（控制理論與控制工程專業(yè)論文）基于倒立擺系統的智能控制算法研究.pdf

摘要 倒立擺系統作為研究控制理論的一種典型的實驗裝置，具有成本低廉，結構 簡單，物理參數和結構易于調整的優(yōu)點，然而倒立擺系統本身所具有的高階次、 不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合特性，是一個絕對不穩(wěn)定系統，必須采用十分 有效的控制策略才能使之穩(wěn)定。倒立擺系統是研究變結構控制，非線性控制，目 標定位控制，智能控制等控制方法理想的實驗平臺。 本文圍繞一級倒立擺系統和二級倒立擺系統，采用模糊控制和滑模變結構控 制理論研究了倒立擺的控制系統仿真和實物系統控制問題。實物控制的成功進一 步證明了本文設計的控制器有很好的穩(wěn)定性、魯棒性和適應性。主要研究工作如 下： 1 建立了一級、二級倒立擺系統的數學模型，對倒立擺系統進行定性分析。并證 明倒立擺系統開環(huán)是不穩(wěn)定的，但在平衡點是能控的和能觀的。 2 倒立擺系統的模糊控制算法研究。運用最優(yōu)控制方法設計了融合函數，減少模 糊控制器的輸入變量維數，成功解決了“規(guī)則爆炸”問題。 3 倒立擺系統的滑模變結構控制研究。運用常值切換和比例切換設計了倒立擺系 統的滑模變結構控制器。 4 實現了倒立擺模糊控制系統和滑模變結構控制系統的仿真。仿真結果證明：控 制器不僅可以穩(wěn)定倒立擺系統，還可以使小車定位在特定位置。 5 實現了倒立擺實物系統控制。給出了一級、二級倒立擺穩(wěn)定時各狀態(tài)變量的響 應曲線和控制量曲線以及倒立擺穩(wěn)定時的照片。 關鍵詞：倒立擺模糊控制融合函數變結構控制 a b s tr a c t i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mi sat y p i c a le x p e r i m e n t a lr e s e a r c hi n s t a l l a t i o n , l o wc o s t , s i m p l es t r u c t u r e ，e a s yt oa d j u s tt h ep a r a m e t e r sa n ds t r u c t u r a la d v a n t a g e s ，b u ti n v e r t e d p e n d u l u ms y s t e mi t s e l fi st h eh i 【e , ht i m e so fi n s t a b i l i t y , m u l t i v a r i a b l e ，s t r o n gn o n l i n e a r a n dc o u p l i n gc h a r a c t e r i s t i c s ，i sa b s o l u t e l yu n s t a b l e ，a n du s e dt ob ea ne f f e c t i v ec o n t r o l s t r a t e g yt om a k ei t s t a b l e i n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e mi sav a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o l ， n o n l i n e a rc o n t r o l ，g o a lc o n t r o li n t e l l i g e n tc o n t r o la n do t h e rm e t h o d st oc o n t r o lt h ei d e a l p l a t f o r m f u z z yc o n t r o lt h e o r yi si n t r o d u c e dt os t u d ys i m u l a t i o na n dt h ec o n t r o l l i n gp r o b l e m i nr e a l t i m eo fi n v e r t e dp e n d u l u mi nt h i sp a p e r s u c c e s so fc o n t r o lo fh a r d w a r ep e n d u l u m s y s t e mp r o v e st h a tt h i sc o n t r o l l e rh a sv e r yg o o ds t a b i l i t ya n da d a p t a b i l i t y m a i nr e s e a r c hw o r ki s d e c l a r e db e l o w ： 1 n 圮m a t h e m a t i c a lm o d e lo fs i n g l ea n dd o u b l ei n v e r t e dp e n d u l u mi sp r o p o s e d i ti s p r o v e dt h a to p e nc o n t r o ls y s t e mi si n s t a b i l i t y , b u ti ti sc o n t r o l l a b l ea n do b s e r v a b l eo n e q u i l i b r i u mp o i n t 2 r e s e a r c ho nf u z z yc o n t r o la l g o r i t h mo fi n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m t h ed i m e n s i o no f i n p u tv a r i e t i e so ff u z z yc o n t r o l l e ri sd e p r e s s e db yd e s i g n i n gaf u s i o nf u n c t i o nu s i n g o p t i m i z a t i o nc o n t r o lt h e o r y ， r u l ee x p l o s i o n p r o b l e mi ss o l v e d 3 r e s e a r c ho nv a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o la l g o r i t h mo fi n v e r t e dp e n d u l u ms y s t e m v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lo fi n v e r t e dp e n d u l u mi sd e s i g n e db yc o n s t a n ts w i t c ha n d p r o p o r t i o ns w i t c h 4 n 忙s i m u l a t i o no ff u z z yc o n t r o la n dv a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o lo fi n v e r t e dp e n d u l u m s y s t e m s i m u l a t i o ne x p e r i m e n to ft h ef u z z yc o n t r o lo fi n v e r t e dp e n d u l u mi sv e r yw e l l i m p l e m e n t e db yu s i n gf u z z yc o n t r o lt h e o r yt h a tt h er e s u l ts h o w st h a ti tn o to n l yh a s q u i t eg o o ds t a b i l i t y b u ta l s oi sa b l et 0m a k et h ec a r to ft h ep e n d u l u mm o v i n gt ot h e p l a c ew h e r e i ti sa p p o i n t e di na d v a n c e ，a l o n gt h eo r b i t 5 i n v e r t e dp e n d u l u mh a r d w a r es y s t e mi sr e a l i z e d t h er e s p o n s ec u r v e so fe a c hs t a t e v a r i a b l ea n dt h ec u r v eo fc o n t r o lq u a n t i t yw h e nt h ep e n d u l u mi ss t a b l eo rb e i n g d i s t u r b e da r ep r e s e n t e d a tl a s t , s e v e r a lp h o t o sw h e nt h ep e n d u l u mi ss t a b l ea r es h o w n k e y w o r d ：i n v e r t e dp e n d u l u mf u z z y c o n t r o l f u s i o nf u n c t i o n 創(chuàng)新性聲明 本人聲明所呈交的論文是我個人在導師指導下進行的研究工作及耿得的研究 成累。盡我所知，除了文中特別加以注明和致謝中所羅列的內容以外，論文中不 包含其他人已經發(fā)表或撰寫過的研究成果：也不包含為獲得謠安電子科技大學或 其它教育機構的學位或證書而使用過的材料。與我- m i 作的同志對本研究所做 的任何貢獻均己在論文中做了明確的說明并表示了謝意， r i 清學位論文與資料若有不實之處，本人承擔一切相關責任。 本人簽名：壬盤躚婭 f 1 【j ：2 殳竺 ：也 關于論文使用授權的說明 本人完全了解西安電子科技大學有關保留和使用學位論文的規(guī)定，【! i 】：i i j 可： 生在校攻瀆學位期間論文工作的知以產權單位屬砥安電子科技大學。本人保征畢 業(yè)離餃后，發(fā)表淪文或使用論文二l ：作成果時署名單位仍然為西安電子科技大學。 學：皎有權保留送交淪文的復印p ：，允許查閱和借閱論文；學?？梢怨癷 論文的全 部或部分內容，可以允許采用影印、縮印或其他復制手段保存論文。( 保密的論文 在解密后遵守此規(guī)定) 本學位論文屬 。保密，在一年解密后適用本授權書。 本人簽名：i 逝盟 同期：圣盟1 ：! 里 導師簽名 壘塑罵塑一曰期：2 0 0 7 i , i o 第一章緒論 第一章緒論 本章主要介紹倒立擺系統的研究意義和國內外的發(fā)展狀況，最后介紹了本論 文所作的工作。 1 1 倒立擺研究意義 倒立擺系統的最初研究開始于二十世紀五十年代，麻省理工大學電機工程系 設計出單級倒立擺系統這個實驗設備。后來在此基礎上，人們又進行拓展，產生 了直線二級倒立擺、多級倒立擺，柔性連接直線倒立擺，環(huán)形倒立擺，平面倒立 擺和環(huán)形并聯多級倒立擺的實驗設備。因此，倒立擺系統成為控制領域中不可或 缺的研究設備和驗證各種控制策略有效性的實驗平臺。 倒立擺系統作為研究控制理論的一種典型的實驗裝置，具有成本低廉，結構 簡單，物理參數和結構易于調整的優(yōu)點，然而倒立擺系統本身所具有的高階次、 不穩(wěn)定、多變量、非線性和強耦合特性，是一個絕對不穩(wěn)定系統，必須采用十分 有效的控制策略才能使之穩(wěn)定。倒立擺系統是研究變結構控制，非線性控制，目 標定位控制，智能控制等控制方法理想的實驗平臺，被譽為：“控制領域中的一顆 明珠”【”。 研究倒立擺系統除了很強的理論意義，同時也具有深遠的實踐意義。許多抽 象的控制概念如穩(wěn)定性、能控性、快速性和魯棒性，都可以通過倒立擺系統直觀 的表現出來。同時其動態(tài)過程與人類的行走姿態(tài)類似，其平衡與火箭的發(fā)射姿態(tài) 調整類似，因此倒立擺在研究雙足機器人直立行走、火箭發(fā)射過程的姿態(tài)調整和 直升機飛行控制領域中有重要的現實意義，相關的科研成果已經應用到航天科技 和機器人學等諸多領域。 1 2 國內外研究情況簡介 對于倒立擺的研究主要集中在兩個方面： 1 ) 研究控制器使倒立擺系統穩(wěn)定并可以定位在特定位置 倒立擺系統的自動起擺 1 2 1 研究使倒立擺穩(wěn)定的控制器 1 9 7 6 年m o i lp 紀【2 】發(fā)表的研究論文，首先把倒立擺系統在平衡點附近線性化， 2 基于倒立擺系統的智能控制算法研究 利用狀態(tài)空間方法設計比例微分控制器。1 9 8 0 年，f u r u t ae 把【3 】等人基于線性化方 法，實現了二級倒立擺的控制。1 9 8 4 年，f u r u t a 等人首次實現雙電機三級倒立擺 實物控制【4 】。 1 9 8 4 年，w a u e s 研究了l q r ( l i n e a rq u a d r a t i cr c g i l l a t o r ) 方法控制倒立擺【5 1 。 l q r 方法主要基于系統的線性化模型和二次性能指標： j = 【( 以+ 礦跏) a t ( 1 1 ) 實際上是尋找一個最優(yōu)的狀態(tài)反饋向量足，從而設計一個最優(yōu)反饋控制器。w a r e s 驗證了改變權重矩陣可以得到不同的狀態(tài)反饋向量，從而產生不同的控制效果。 控制器原理框圖如圖1 1 所示。 圖1 i 最優(yōu)的狀態(tài)反饋控制器框圖 八十年代后期開始，倒立擺系統中的非線性特性得到較多的研究，并且提出 了一系列基于非線性分析的控制策略。 1 9 9 2 年，f u r u t a 等人1 6 1 提出了倒立擺系統的變結構控制。1 9 9 5 年，f r a d k o v 等 人 7 1 提出了基于無源性的控制。另外w i k l u n d 等人【8 1 應用基于李亞普諾夫的方法控 制了環(huán)形一級倒立擺，y a m a k i t a 等人 9 1 給出了環(huán)形二級倒立擺的實驗結果。 e g g r o s s i m o n 等們通過設計一種新型滑動模面，使擺的角度成為基座轉動 角度的函數，從而實現了平面式倒立擺的滑?？刂?。y p c h e n 等采用滑?？刂?方法設計了兩并行二級倒立擺的離散滑模控制器，并通過計算機實時控制實驗， 同時實現了小車位置、擺l 角度及擺2 角度的跟蹤。張克勤等“2 1 利用倒立擺的特 征值，設計了一種全魯棒滑模面，實現了具有單輸入的三級倒立擺全魯棒滑模控 制。 近年來隨著智能控制方法的研究逐漸受到人們的重視，模糊控制、神經網絡、 擬人智能控制、遺傳算法和專家系統等越來越多的智能算法應用到倒立擺系統的 控制上： 1 9 9 7 年，t h h u n g 等【”j 設計了類p i 模糊控制器應用于一級倒立擺控制，具 有系統結構簡單對硬件依賴小的特點。1 9 9 5 年，l i t l 4 1 利用兩個并行的模糊滑模來 第一章緒論 3 分別控n 4 , 車和擺桿偏角。1 9 9 6 年張乃堯等【1 5 】采用模糊雙閉環(huán)控制方案成功地穩(wěn) 定住了一級倒立擺。 d e r i s m 】利用神經網絡的自學習能力來整定p i d 控制器參數。1 9 9 7 年， g o r d i l l o 1 比較了l q r 方法和基于遺傳算法的控制方法，結論是傳統控制方法比 遺傳算法控制效果更好。1 9 9 3 年，b o u s l a m a ”喇用一個簡單的神經網絡來學習模 糊控制器的輸入輸出數據，設計了新型控制器。還有一些文章利用神經網絡的實 時學習能力來控制倒立擺【l 蚣啦”。 1 9 9 4 年，北京航空航天大學張明廉教授阱人工智能與自動控制理論相結合， 提出“擬人智能控制理論”，實現了用單電機控制三級倒立擺實物。 北京師范大學李洪興【2 3 1 教授采用變論域自適應模糊控制理論研究四級倒立擺 控制問題，成功實現了三級倒立擺實物系統控制【2 4 】。 總而言之，倒立擺系統是各檢驗控制算法、研究控制理論很有效的實驗設備。 目前應用在倒立擺上的算法有以下幾類：經典控制( l m i ，p i d ) ；現代控制( 極 點配置法，l q r 法) ；日?？刂?；變結構控制；模糊控制；神經網絡控制；擬人控 制等。 1 2 2 倒立擺自起擺 倒立擺起擺問題：倒立擺在靜止狀態(tài)下，由于重力作用擺桿是豎直垂下狀態(tài)。 使擺桿從垂下狀態(tài)到豎直向上狀態(tài)的過程就是倒立擺的起擺問題。 較早研究起擺問題的文獻有：1 9 7 6 年，m 嘶【2 5 】等人提出包含兩個控制器。一 個控制器用來自起擺，另一個用來鎮(zhèn)定進入平衡態(tài)附近的倒立擺系統。1 9 9 6 年， k j a s t r o m 2 6 研究了用能量控制策略，實現了一級倒立擺的起擺。b o a o 一2 7 】實現二 級環(huán)形倒立擺起擺控制。 朱江濱等人提出了一種基于專家系統及變步長預測控制的實時非線性系統控 制方法，仿真實現t - 級倒立擺的擺起及穩(wěn)定控制【2 8 】。李祖樞等人利用擬人智能 控制理論研究了二級倒立擺的起擺和控制問題 2 9 , 3 2 。 目前用于倒立擺起擺的控制方法主要有：能量控制，啟發(fā)式控制，擬人智能 控制等。 1 3 論文主要工作 本論文的主要工作是研究了直線一級、二級倒立擺的模糊控制及變結構控制 問題。對一級倒立擺、二級倒立擺系統建立了數學模型并用m a n a b 和s i m u l i n k 對 系統進行仿真，最后用計算機進行算法編程實現了倒立擺實物系統的控制。具體 4 基于倒立擺系統的智能控制算法研究 內容如下： 1 ) 詳細討論了一級倒立擺和二級倒立擺的數學建模方法，推導出它們的非線性微 分方程，以及線性化后的狀態(tài)方程，并且分析倒立擺系統的可控性、可觀性以 及相對可控性。 2 ) 討論了倒立擺系統的控制方法。對于一級倒立擺和二級倒立擺分別介紹了模糊 控制和變結構控制，對其進行仿真，達到了很好的效果。 3 ) 通過編程實現了倒立擺的實物控制，給出了一級、二級倒立擺穩(wěn)定時和受干擾 時系統各狀態(tài)變量的響應曲線。 4 ) 對論文的工作總結和下一步工作的展望。 第二章倒立擺系統的建模和定性分析 第二章倒立擺系統的建模和定性分析 分析了倒立擺系統特性，建立了一級、二級倒立擺系統的數學模型。對倒立 擺系統進行定性分析。利用l a g r a n g e 方程1 3 l 】建立了倒立擺系統的微分方程，并在 平衡位置附近線性化，推導出倒立擺系統的線性狀態(tài)方程。分析了倒立擺系統的 能控性、能觀性及相對能控度，證明倒立擺系統開環(huán)是不穩(wěn)定的，但在平衡位置 是能控的和能觀的，同時二級倒立擺的相對能控度比一級擺小很多，說明其更難 控制。最后介紹了一級、二級倒立擺的最優(yōu)控制，得出狀態(tài)反饋矩陣k 。 2 1 倒立擺系統建模 系統建?？梢苑譃閮煞N：機理建模和實驗建模。實驗建模就是通過在研究對 象上加上一系列的研究者事先確定的輸入信號，激勵研究對象并通過傳感器檢測 其可觀測的輸出，應用數學手段建立起系統的輸入一輸出關系。這里面包括輸入 信號的設計選取，輸出信號的精確檢測，數學算法的研究等等內容。機理建模就 是在了解研究對象的運動規(guī)律基礎上，通過物理、化學的知識和數學手段建立起 系統內部的輸入一狀態(tài)關系。 對于倒立擺系統，由于其本身是不穩(wěn)定的系統，實驗建模存在一定的困難。 但是經過小心的假設忽略掉一些次要的因素后，倒立擺系統就是一個典型的運動 的剛體系統，可以在慣性坐標系內應用經典力學理論建立系統的動力學方程。 2 2 倒立擺系統數學模型 2 2 1 一級倒立擺系統數學模型 下面我們采用其中的牛頓一歐拉方法建立直線型一級倒立擺系統的數學模 型。 在忽略了空氣阻力，各種摩擦之后，可將直線一級倒立擺系統抽象成小車和 勻質桿組成的系統，如下圖2 1 所示。 6 基于倒立擺系統的智能控制算法研究 圖2 1 直線一級倒立擺系統 表2 1 級倒立擺參數表 符號含義 r 小車相對初始位置的位移 口 擺桿與豎宣向上方向的夾角 f 作用在倒立擺系統上的控制量( 力) 巾 擺桿與垂直向上方向的夾角 肘小車質量 m 一級擺桿質量 一級擺桿長度 ， 一級擺質心到轉軸d l 的距離 ， 一級擺桿轉動慣量 b 小車的滑動摩擦系數 取值( 單位) m t a d n r a d 1 0 9 6 k g 0 。1 0 9 k g 4 0 c m 2 5 e m 0 0 0 3 4 k g m m 0 1 n + s ，m 下圖是系統中小車和擺桿的受力分析圖。其中，和，為小車與擺桿相互作 用力的水平和垂直方向的分量。 圖2 2 ( a ) 小車隔離受力圖( b ) 擺桿隔離受力圖 注意：在實際倒立擺系統中檢測和執(zhí)行裝置的正負方向已經完全確定，因而 矢量方向定義如圖2 2 所示，圖示方向為矢量正方向。 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 第二章倒立擺系統的建模和定性分析 7 廈=f一掀一，(2-1) 由擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式： n = m 景( x + l s i n o ) ( 2 - 2 ) 即： n = r n _ j i + m l o c o s o m z 0 2s i n 0 ( 2 3 ) 把這個等式代入上式中，就得到系統的第一個運動方程： ( m + m ) i i + b y c + m l o c o s o i n t 0 2s i n 0 = f ( 2 4 ) 為了推出系統的第二個運動方程，我們對擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以 得到下面方程； p m g = 肌孚( ，c o s 印 ( 2 - 5 ) 即 尸一m g = 一m l o s i n o i n t 0 2 c o s 0 ( 2 6 ) 力矩平衡方程如下： 一p i s i n 8 一n c o s o = ，百 ( 2 7 ) 注意：此方程中力矩的方向，由于口= 萬+ 毋，c o s # = 一c o s o ，s i n # = 一s i n 0 ，故等 式前面有負號。 合并這兩個方程，約去，和，得到第二個運動方程： ( j + m 1 2 ) 口+ m g l s i n 0 = 一m l i c o s o ( 2 - 8 ) 設0 = 石+ 礦( 礦是擺桿與垂直向上方向之間的夾角) ，假設礦與l ( 單位是弧度) 相 比很小，即l ，則可以進行近似處理：c o s 0 = - l 。s i n 0 ：妒，( 掣) ：0 。用“ 罐 來代表被控對象的輸入力，線性化后兩個運動方程如下： ( “冊7 2 ) 多一例_ 哆( 2 - 9 ) 【( f + m ) 膏+ 6 峙一所塒= 對方程組( 2 9 ) 進行拉普拉斯變換，得到 u 棚f 2 凈o ) 一唰似引= m t x ( s ，) r ( 2 - l o ) i ( m + 小) x ( s ) s 2 + 色y o ) - m l o ( s ) s 2 = u o ) 注意：推導傳遞函數時假設初始條件為0 。 由于輸出為角度，求解方程組( 2 一1 0 ) 的第一個方程，可以得到 基于倒立擺系統的智能控制算法研究 砷) = 【坐m 粵l j 一 把上式代入方程組( 2 一l o ) 的第二個方程，得到 (m+肌)【!三!竺一吾】(咖2+6【!旦一吾】(s)s-mlo(s)s2=umlm l ( s )( 2 - 1 2 ) s 。s 。 整理后得到傳遞函數： 中( j ) u ( s ) 型j 2 g 。+ 型叢! ，一 g ( m + m ) m g ls 2 一魚型j g g 其中 g = 【( f + ， ) ( ，+ 冊，2 ) 一( 塒，) 2 】 系統狀態(tài)空間方程為 巖= 崩+ b 甜 【y = c x + d u 對量，解代數方程，得到解如下： 西= 一m l b 二m g l ( m + m ) _ x + - i ( m + ，竹) + m m l 2i ( m + ，”) + m m l 2 整理后得到系統狀態(tài)空間方程： y 鉗b：淚 x x 礦 矽 ( 2 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) + 意“ 弘啪 西+ + ( 2 - 1 6 ) ( 2 - 1 7 ) 一坨。 一r ：贏 贏 。州咖。村一咖 ，一十 一十品! 而 j 腑蓋搴。篇蒜籌 翌砌 麗 。型畜絲咖。學贏 第二章倒立擺系統的建模和定性分析 把表2 1 中參數取值代入( 2 - 1 6 ) 式和( 2 1 7 ) 式得n - a = ol o - o 0 8 8 3 oo o _ o 2 3 5 7 0o 0 6 2 9 30 o1 2 7 8 2 8 50 b = 【o 0 8 8 3 20 2 3 5 6 6 7 2 2 2 二級倒立擺系統數學模型 9 圖2 3 二級倒立擺系統示意圈 二級倒立擺系統如圖2 3 所示。二級倒立擺裝置由沿導軌運動的小車和通過轉 軸固定在小車上的擺體組成。在軌道一端裝有用來測量小車位移的光電編碼器。 擺體與小車之間、擺體與擺體之間由轉軸連接，并在連接處有2 個光電編碼器分別 用來測量一級擺和二級擺的角度。一擺、二擺可以繞各自的轉軸在水平導軌所在 的鉛垂面內自由轉動，而小車則由交流伺服電機、皮帶輪、傳動帶帶動在水平導 軌上左右運動，從而使倒立擺穩(wěn)定在豎直位置并且可以沿著導軌倒立行走。 基于倒立擺系統的智能控制算法研究 圖2 4 二級倒立擺運動分析示意圖 系統中的符號含義及其取值見表2 2 ： 表2 2 二級倒立擺系統符號參數表 符號含義 掰小車質量 一級擺桿的質量 二級擺桿的質量 質量快的質量 一級擺質心g ，到轉軸d i 的距離 二級擺質心g 2 到轉軸d 2 的距離 一級擺桿的長度 二級擺桿的長度 小車與導軌間的滑動摩擦系數 一級擺繞轉軸d 轉動的摩擦阻力矩系數 二級擺繞轉軸d 2 轉動的摩擦阻力矩系數 當地重力加速度 倒立擺系統的控制量( 力) 取值( 單位) 1 3 2 k g o 0 4 k g o 1 3 2 k g o 2 0 8 k g 0 0 9 m o 2 7 m 0 1 6 m 0 4 0 m 2 3 6 7 8 2n + s ，m o 0 0 3 4 2 5n s + m 0 0 0 3 4 2 5n + s m 9 8 m s e c 2 n 拉格朗日方程為 l ( q ，口) = t ( q ，尊) 一r ( q ，牙) ( 2 - 1 8 、 其中，工為拉格朗日算子，g 為系統的廣義坐標，r 為系統的動能，v 為系統的勢 能。拉格朗日方程由廣義坐標承和表示為： 旦絲一絲；， d l 鈞。a q ?！?( 2 - 1 9 ) 其中，i - - 1 ，2 ，3 押，為系統沿該廣義坐標上的外力，在本系統中，設系統的三 研脅m山如白幻而療五g“ 第二章倒立擺系統的建模和定性分析 個廣義坐標分別是x ，日，島。 首先計算系統的動能： t=+乙l+l2+瓦(2-20) 其中為小車動能，擺桿1 動能，乙：擺桿2 動能，l 質量塊動能。 而乙，= 巧。+ 巧。，其中露擺桿1 質心平動動能，丁：。擺桿1 繞質心轉動動能。 l ：= 巧：+ ：，其中：擺桿2 質心平動動能，r ：擺桿2 繞質心轉動動能。 = 蘭膨2 毛。= 扣塹箬盟) 2 + ( 甕攀2 】= i 1 碼 嘲硝c o s 舅+ 三衍 。= 丟弓瑪芊) 砰= i 1 鉑彳群 則瓦1 = 巧l + l = 寺朋i j 2 一所1 婦lc o s o l + 詈f 1 2 卯 l 同樣可以求出 ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) f 2 2 3 ) 砭：= j 1 j 1 塒：譬) 彰= 吉聊：乏2 2 ( z - 2 5 ) 乙：= ：+ ：= i 1 塒：( j 2 2 量( 2 幅c 。s 品+ 之幺c 。s 島) ) + 圭( 4 芊印+ ；譬寵+ 4 ，l 屯反幺c o s ( 島 ( 2 - 2 6 ) l 申c 監(jiān)擎嗡+ c 塑筆腳)， 2 圭肌童2 2 m 嘲c 。s b + 2 肌，衍 因此，可以得到系統總的動能為： t = + 乙l + 乙2 + 瓦 = 蘭 輯2 + 丟碼量2 一m 面c 。s q + 詈確彳砰+ j 1m ：( 圣2 2 圣( 2 反c 。s q + l ：o ：c o s 島) ) + j 1 聊：( 4 芊卯+ 詈譬老+ 4 f 2 馥幺c 。s ( 島一b ) ) + 三，磚2 2 聊確c o s b + 2 肼砰鲆 柳 凈 島一 戶 墮 睦 和一 如 業(yè)出坡 竺 + 盟 如 蘆一 叫 0 2 。產 b + 幽 刪警壩 型 嘲簿她b 2 鼬 = 卅 幺。i 1 2 基于倒立擺系統的智能控制算法研究 糸統的勢能為： v = l + 圪2 + 圪= 帆9 1 c o s o l + 2 m 9 1 c o s o i + 刪2 9 ( 2 t lc o s o i + 1 2e o s 0 2 ) ( 2 2 9 ) 從而拉格朗日算子： l = t v = 三腳2 + 蠆1 毋z - 2 一啊嘲c 。s 鼠+ j 2 m ，1 , 2 e , 2 + 三 2 2 j ( 2 諺c 。s 島+ 厶幺c 。s 島” + j i 聊：( 4 f 砰+ 詈譬老+ 4 t i t 2 0 , 0 2c 。s ( 島一q ) ) + 尋，疵2 2 m 磚c 。s b + 2 所砰卯 一m l g l tc o s o l 一2 m g f lc o s o i - m 2 9 ( 2 t , c o s o i + 如c o s 0 2 ) ( 2 3 0 ) 由于因為在廣義坐標q ，島上均無外力作用，有以下等式成立： d ( a l ) 一罷：o ( 2 _ 3 1 ) n t o 甘t8 e 1 。 要( 知一要：o ( 2 - 3 2 ) d l 、a e 、。8 e ， 展開( 2 3 1 ) 、( 2 - 3 2 ) ，分別得到( 2 - 3 3 ) 、( 2 3 4 ) 式 6 m j 2 毋2 s i n ( o i - 0 2 ) + 4 ( m , + 3 ( m 2 + m 、) ) l , o i 一3 ( - 2 m 2 坦。3 ( 島一只) ( 2 3 3 ) 一3 ( m i + 2 ( m 2 + m ) ) ( g s i n o i + i e o s o , ) ) = 0 、。 一3 9 s i n 0 2 6 l l 鲆s i n ( o l 一島) + 4 之噬+ 6 1 i o tc o s ( 0 2 一島) 一3 c o s a 2 = o( 2 3 4 ) 將( 2 3 3 ) 、( 2 - 3 4 ) 對反、幺求解代數方程，得到以下兩式 諺= ( 3 ( - 2 m i g s i n o l 一4 m 2 9 s i n 0 一4 m g s i n o i + 3 m 2 9 c o s ( 0 2 一o o s i n o z + 6 m 2 l , c o s ( o l o o s i n ( o , - 0 2 ) 0 1 2 + 4 m 2 1 2 s i n ( 舅一島) 田- 2 m i 童c o s o l ( 2 - 3 5 ) - 4 m 2 j c o s 0 1 4 m 主e o s o i + 3 r a 2 # c o s ( o r 0 2 ) c o s 0 0 ) ( 2 ( - 4 一1 2 傷一1 2 m + 9 c o s 2 一島) ) ) 諺= 一- - 蕓，f 2 ( 加。+ 3 ( m 2 + 所) ) 彳，2 ( 一3 9 s i n 0 2 6 1 1 0 2s i n ( q 一島) 一3 j f c 。s 島) + 詈州2 r 厶c o s ( o l 一0 2 ) ( 6 m 2 1 2 矽2s i n ( o r 一0 2 ) - 3 ( m t + 2 ( 腳2 + m ) ) ( g s i n o l + i c o s o o ) ) ( 一等m ：( ，2 i + 3 ( + 肌) ) 乍譬+ 4 諺彳譬c o s 2 一島) ) ( 2 - 3 6 ) 表示成以下形式： 玩= _ ，：( 毛鼠，0 2 ，】 ，反，0 2 ，置) ( 2 - 3 7 ) 第二章倒立擺系統的建模和定性分析 島= 五( x ，q ，吃，膏，q ，島，置) 取平衡位置時各變量的初置為零， ，b ，島，童，諺，曉，刁= ( o ，0 ，0 ，0 ，0 ，0 ，o ) 將( 2 3 7 ) 式在平衡位置進行泰勒級數展開，并線性化，令 k - 2 象l 刪粥：。觸。鶘：。枷= o k ：2 矗i 刪榪；。島：。觸4 鶘一= i 3 ( - ；2 n g f - 4 石r r 6 面g - 4 r a g ) 恥蠹j 刪鶘一似一= 硒 牛象i 刪枷一柳= o k s 2 嘉l 。，。：。吃砘枷舡鴨：。，糊= o 恥嘉b 啦刪鶘一= o k ，2 篆b 哪嘶坼嗨岍。= 而3 ( - 而2 r 搗瓦- m 2 面- 4 m 兩) 帶入( 2 - 3 5 ) 式，得到線性化之后的公式 龜= k ：q + k ，島+ k ，疊 將( 2 3 s ) k 在平衡位置進行泰勒級數展開，并線性化，令 屹= 蓑i ，刪鶘刪礬嘶卸= o 鉍鼽刪舡雌噸細鯽娜2 意囂籌瓷 玨乳一昏礦菊4 巧g ( m a 鬲+ 3 ( m 7 i + m ) ) 麗 如= 誓b 毗榭= o 屹= 誓b 。舢舢a 。j 。= o ( 2 - 3 s ) ( 2 - 3 9 ) 基于倒立擺系統的智能控制算法研究 瓦= 舞l ，蝴啦如瞬鴨一= 。 ，2，=篆l，；。，。t；。j。=2(-m1：+；：2：(：m：-：2：j+2；mi；)：)：；-：4：；(im：r：-+-：3：(：m；2；：+-m-)一 嘎= k 2 2 b + 照+ 局，j ( 2 4 0 ) 現在得到了兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需要 加上一個方程 “=j(2-41) 取狀態(tài)變量如下： 工= x 屯= q = 睦 2 x 墨= 最 = 幺 由( 2 3 9 ) 、( 2 - 4 0 ) 、( 2 - 4 1 ) 式得到狀態(tài)空間方程如下： 五 而 毛 毛 屯 00 00 00 0 0 0 k 1 2 0 如2 hf i 島h 0 訓1 0 o1o0 ool0 oo 0l 00 oo k 1 3 00 0 k 2 3 0 0 0 0 0o0 o lo o o o olo o o x 最 島 x q 島 而 而 以 而 把表中的數據代入上式得到系統的狀態(tài)空間表達式為： + 0 0 0 1 k ， 如， “(2-42) ( 2 - 4 3 ) 第二章倒立擺系統的建模和定性分析 而 毛 屯 毛 毛 0 0 0 0 2 1 1 9 2 7 5 0 7 2 7 啪! ；0o lo o 0lo 0ol o o0 oo 0 0o0 而 屯 屯 扎 2 3 倒立擺系統的定性分析 + o o o l 5 7 0 1 2 0 0 2 6 7 1 5 在得到系統的數學模型之后，為了進一步的了解系統性質，需要對系統的特 性進行分析，最主要的是系統的穩(wěn)定性、能控性以及能觀性。 系統的穩(wěn)定性分析一般可以應用l a s a l l e st h e o r e m 或者李亞普諾夫穩(wěn)定性理 論。最常用的是后者。對于系統在平衡點鄰域的穩(wěn)定性可以根據前面得到的系統 線性模型分析。一般擺桿豎直向上是系統的不穩(wěn)定平衡點，需要設計控制器來鎮(zhèn) 定系統。既然需要設計控制器鎮(zhèn)定系統，那么就要考慮系統是否能控。我們所關 心的是系統在平衡點附近的性質，因而可以采用線性模型來分析。 在進行倒立擺的定性分析之前，先介紹線性控制理論中幾個關于能控性、能 觀性的判定定理3 2 ，3 3 ，3 4 1 ： 定理l ( 能控性判據) 珂階線性定常連續(xù)系統名= a r + b u 狀態(tài)完全能控，當且 僅當系統的能控性矩陣： s = lb彳ba 2 b 么”b 滿秩，即r a n k ( s ) = n 。特別，當輸入控制量“( t ) 為標量時，能控性矩陣s 為方陣； r a n k ( s ) = n 等價于s 的行列式值d e t ( s ) 0 。 定理2 ( 能觀性判據) n 階線性定常連續(xù)系統 i x = a x + b u l y = c x 。一 x島島童qb 1 6 基于倒立擺系統的智能控制算法研究 狀態(tài)完全能觀，當且僅當系統的能觀性矩陣： 礦= cc a c a “ 7 ( 2 - 4 4 ) 滿秩，即r a n k ( d = n 。特別，當輸出量y ( 0 為標量時，能觀性矩陣v 為方陣；r a n k ( v ) = n 等價于礦的行列式值d e t ( v ) 0 。 為了衡量系統控制器設計的難度，或者說衡量系統本身能控性的相對程度， 一般稱之為相對能控性，可通過計算能控性矩陣的奇異值艿來判斷【3 5 】。 定理3 ( 相對能控性判據) 線性定常連續(xù)系統巖= a x + b u ，矩陣彳的最小奇 異值與最大奇異值的比值為系統的相對能控度，記作艿。 2 3 1 一級倒立擺系統定性分析 一級倒立擺系統的特征方程為d e t 2 1 一a = 0 ，經過計算得到系統的開環(huán) 特征根： ( o - 0 0 8 3 5 2 7 2 6 - 5 2 7 8 ) 系統有一個極點在平面的右半平面上，有一個極點在原點，因此系統是不穩(wěn) 定的。 對一級倒立擺系統線性狀態(tài)方程式( 2 1 6 ) ，根據定理l 和定理2 得到： r a n k 8 4 b a 2 b a 3 b = 4 ， r a n k c c ac a 2 c a 3 2 = 4 所以一級倒立擺系統是能控的和能觀測的。 對于一級倒立擺狀態(tài)方程( 2 1 6 ) ，對彳矩陣進行奇異值分解得到a 矩陣的奇異 值陣胍 形= 2 7 8 3 6 6 o o o oo o 1 0 0 3 40 0 ol0 oo o a 矩陣的奇異值為i , v 對角線上的值，所以一級倒立擺的相對能控度 j = 芴妄孺= o 0 3 5 9 。j 越小時系統越難控制。 2 3 2 二級倒立擺系統定性分析 二級倒立擺系統的特征方程為d e t 2 1 一椰= o ，經過計算得到系統的開環(huán) 特征根： 第二章倒立擺系統的建模和定性分析 1 7 ( 9 3 2 8 9 - 9 3 2 8 9 2 2 11 6 i - 2 2 11 6 i0 o ) 系統有一個極點在平面的右半平面上，有兩個極點在原點，有兩個極點在虛軸上， 因此系統是不穩(wěn)定的。 對于二級倒立擺系統狀態(tài)方程( 2 - 4 2 ) ，根據定理l 和定理2 得到： r a n k l ba b 彳“1 b l = 6 ， lj r 鋤k r c c a 翻“ 2 ：6 lj 所以二級倒立擺線性系統能控的和能觀測的。 對于二級倒立擺狀態(tài)方程( 2 - 4 2 ) ，對a 矩陣進行奇異值分解得到a 矩陣的奇異 值陣胍 w = 8 8 7 4 8 3 o o o o o o oo o o 4 7 9 6 70000 olooo ooloo oo 01o oo o o o 二級倒立擺的相對能控度艿= 1 8 8 7 4 8 3 = o 0 1 1 3 ，可見二級倒立擺系統將比一 級倒立擺系統更難控制。 2 4 狀態(tài)反饋矩陣k 的計算 利用最優(yōu)控制理論計算出一組可以讓倒立擺的線性模型基本穩(wěn)定的狀態(tài)反饋 矩陣k ：先9 - 級倒立擺為例： 置= 巧k o , k 0 2k ，k 根據線性狀態(tài)反饋調節(jié)律的形式： u ：k x 7 以下利用線性二次最優(yōu)控制理論( l q r ) 來為二級倒立擺的狀態(tài)方程設計一 個狀態(tài)反饋矩陣。 最優(yōu)控制性能指標： ，= c 。( x 7 + “r u ) d t 通過使性能指標函數式為最小，可以求得： k = ( b 7 p b + r ) - 1 ( 占7 p 彳) 求解如下代數r i e a t t i 方程： 基于倒立擺系統的智能控制算法研究 a | 。p a a l p b ( b ip b + r 、1 b jp a + q = p 可以得到矩陣p 。 說明：l q r 參數的選擇。矩陣q 和矩陣r 用來平衡輸入量與狀態(tài)量的權重， 對閉環(huán)系統動態(tài)性能影響很大。在倒立擺系統中，q 、r 分別用來對狀態(tài)向量x ， 控制量u 引起的性能度量的相對重要性進行加權，并且q 、r 的參數以及跟隨速度、 角速度大小的關系是相互耦合的，應綜合選取。一般情況下：r 增加時，控制力 減小，角度變化變小，跟隨速度變慢。矩陣q 中某元素相對增加，其對應的狀態(tài) 變量的響應速度增加，其他狀態(tài)變量的響應速度相對減慢。如：若q 對應與角度0 的元素增加，使得0 的變化幅度減小，而位移，的響應速度變慢；若q 對應于，的 元素增加，使得，的跟蹤速度變快，而口的變化幅度增大。 在實際一級倒立擺系統的控制過程中，我們?。?q = 1 0 00 o o olo 0 ool0 oo0l ：r = 1 通過計算得到狀態(tài)反饋矩陣k k = - 1 0 - 8 9 8 3 6 4 9 9 8 3 5 9 6 8 4 0 】 在實際二級倒立擺系統的控制過程中，我們?。?q = 1 0 0 00 05 0 0 oo 00 0o oo oo 0 o oooo 8 0 0000 o1o 0 ool0 00 ol ：r = l 通過計算得到狀態(tài)反饋矩陣k ： k = - 3 1 6 2 2 8 1 0 0 3 8 2 2 5 4 8 5 6 3 - 3 6 1 2 7 8 1 2 1 9 6 5 - 2 3 0 5 4 】 2 5 本章小結 本章詳細討論了用牛頓力學分析，歐拉一拉格朗日原理方程建立一級倒立 擺系統和二級倒立擺系統的數學模型，并推導出倒立擺系統在平衡位置的線性 狀態(tài)方程，