（應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文）sinegordon方程的有限元解法.pdf

原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師的指導(dǎo)下， 獨(dú)立進(jìn)行研究所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論 文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的科研成果。對(duì)本 文的研究作出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo) 明。本聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。 論文作者簽名：l 冱 日期：墅2 翌：查：堡 關(guān)于學(xué)位論文使用授權(quán)的聲明 本人完全了解山東大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，同意 學(xué)校保留或向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版，允 許論文被查閱和借閱；本人授權(quán)山東大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部 或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮印或其他 復(fù)制手段保存論文和匯編本學(xué)位論文。 ( 保密論文在解密后應(yīng)遵守此規(guī)定) 論文作者簽名：毖 導(dǎo)師簽名：必l 至日 期：型翌：皇望 目錄 中文摘要i 英文摘要1 i 第一章引言1 1 1 孤子理論的發(fā)展歷史1 1 2 有限元法概述2 1 3s i n e - g o r d o n 方程的歷史發(fā)展4 1 4 能量守恒性分析5 第二章半離散有限元格式8 2 1 有限元格式構(gòu)造8 2 2 一維s i n e - g o r d o n 方程的半離散有限元格式及誤差分析1 2 2 3 二維s i n e - g o r d o n 方程的半離散有限元格式及誤差結(jié)果1 4 第三章全離散有限元格式1 5 3 1 一維s i n e - g o r d o n 方程的全離散有限元格式及誤差分析1 5 3 2 二維s i n e - g o r d o n 方程的全離散有限元格式及誤差結(jié)果2 0 3 ，3 三維s i n e - g o r d o n 方程的全離散格式的誤差分析2 l 第四章三次樣條有限元及問斷有限元格式的構(gòu)造2 5 4 1 三次樣條有限元2 5 4 2 間斷有限元格式的構(gòu)造2 6 參考文獻(xiàn)2 9 致謝3 3 c o n t e n t s d e f i n i t i o ns y m b o l m 1 it h e h i s t o r y v i e w i n g o f s o l i t o n 1 1 2t h e i n t r o d u c t i o n o f f i n i t ee l e m e n t m e t h o d 2 1 3d e v e l o p m e n t o f s i n e - g o r d o n e q u a t i o n 4 c h a p t e r 2t h es e m i d i s c r e t es c h e m e s 8 2 1t h e f o u n d a t i o no f f i n i t e e l e m e n ts c h e m e 8 2 2 t h es e m i d i s c r e t es c h e m e sa n de r o fa n a l y s i so fo n ed i m e n s i o n a ls i n e - g o r d o ne q u a t i o n 1 2 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 中文摘要 s i n e - g o r s o n 方程開始是在研究微分幾何的表面高斯曲率中提出的，以后出現(xiàn) 在許多科學(xué)領(lǐng)域，如連接兩個(gè)超導(dǎo)體約瑟夫森結(jié)，連接在拉伸線上的單擺運(yùn)動(dòng)，凝 聚態(tài)物理、非線性光學(xué)等領(lǐng)域中它是應(yīng)用科學(xué)中重要的非線性方程之一很久以 來研究者用過很多種方法對(duì)它進(jìn)行求解，有的給出了解析解，也有的用差分方法進(jìn) 行數(shù)值求解，都得到了很好的結(jié)果，但是用有限元方法還沒有給出很好的結(jié)果 有限元法是數(shù)值求解偏微分方程的一個(gè)很重要的數(shù)值方法它基于變分原理， 在邊界條件的處理上方便，適應(yīng)能力強(qiáng)，在物理力學(xué)和工程上一直有廣泛的應(yīng)用 本畢業(yè)論文共分四章在引言部分分別介紹了孤立子的歷史發(fā)展進(jìn)程，s i n e g o r d o n 的早期，近期的發(fā)展，并介紹了有限元方法的解題過程第二章和第三章我 們用有限元方法對(duì)方程進(jìn)行求解，首先提出了半離散格式和全離散格式，然后分別 進(jìn)行了誤差分析第四章提出了間斷有限元格式 關(guān)鍵詞：s i n e - g o r d o n 方程；有限元；誤差分析 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 a b s t r a c t t h eo n e - d i m e n s i o n a ls i n e - g o r d o ne q u a t i o nw a sf i r s ti n t r o d u c e di nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , w h e ni tw a su s e dt od e s c n l o es u r f a c e sw i t hac o n s t a n tn e g a t i v eg a u s s i a nc u r v a t u r e b yl a t e r , i t w a si n v e s t i g a t e dt ob eu s e di nm a n yf i e l d so fs c i e n c e ，s u c ha sj o s e p h s o nj u n c t i o n sb e t w e e nt w o s u p e r c o n d u c t o r s ，t h em o t i o no fr i g i dp e n d u l a ra t t a c h e dt oas t r e t c h e dw i r e ，s o l i ds t a t ep h y s i c s ， n o n l i n e a ro p t i c sa n ds oo n i ti sr e g a r d e da so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tn o n l i n e a re q u a t i o n si n a p p l i e ds c i e n c e f o ral o n gt i m e , r e s e a r c h e r sh a v et r i e dav a r i e t yo fm e t h o d st os o l v ei t , s o m e p e o p l eg a v et h ea n a l y t i c a ls o l u t i o n , s o m eu s e dt h ef i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d , b o t hm e t h o d sh a v e b e e na p p l i e ds u c c e s s f u l l yt os o l v ei t , b u tt h e r ei s1 1 0m u c hg o o dr e s u l t sf o rs o l v m gs ge q u a t i o nb y m e a n so ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d i nt h i sp a p e r , w ea t t e m p tt oa p p l yf n i t ee l e m e n tm e t h o dt os o l v e s g e q u a t i o n t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di sav e r yi m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o dt os o l v ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s b a s e do nt h ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，i ti sn o to n l yc o n v e n i e n tt op r o c e s sb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，b u ta l s os h o wg r e a ta d v a n t a g ei na d a p t i v e n e s s ，s o ，i th a sb e e nu s e di nm a n yf i e l d so fp h y s i c a l m e c h a n i c sa n de n g i n e e r i n g t h i sp a p e rc o n s i s t so ff o u rp a r t s i nt h ep r e f a c ep a r ti n t r o d u c e st h eh i s t o r yv i e w i n go fs o l i t o na n dt h ed e v e l o p m e n to fs i n e - g o r d o ne q u a t i o ni ne a r l ya n dr e c e n t l ya n ds o l v i n gs t e p so f f i n i t e e l e m e n tm e t h o d t h es e c o n dp a r ta n dt h et h i r dp a r tw eu s ef i n i t ee l e m e n tm e t h o dt os o l v es i n e g o r d o ne q u a t i o n f i r s t l yw ep r o p o s e dt h es e m i d i s c r e t es c h e m e sa n dt h ef u l l yd i s c r e t es c h e m e s s e c o n d l yg i v e nt h ee r r o ra n a l y s i s i nt h el a s tp a r tw eg e tt h ed i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o do f e q u a t i o n k e y w o r d s ：s i n e - g o r d o ne q u a t i o n ；f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；e r r o ra n a l y s i s 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 第一章引言 1 1 孤子理論的發(fā)展歷史 與物理學(xué)其它理論的創(chuàng)立和發(fā)展一樣，孤子理論源于觀測(cè)并隨實(shí)驗(yàn) 工作的深入而發(fā)展1 5 0 年前，羅素( r u s e l l ) 在運(yùn)河邊行走時(shí)，觀察到 著名的”平移波“這一機(jī)遇改變了他的一生，使他將畢生大部分精力用 于確定這種波的性質(zhì)，他首先認(rèn)識(shí)到，孤立波是傳播的一種基本模式， 如果沒有摩擦，波幅將不會(huì)衰減，波形也將不會(huì)改變但是羅素的觀點(diǎn) 受到當(dāng)時(shí)的權(quán)威們的懷疑甚至反對(duì)s t o k e s 和a i r y 就曾對(duì)形狀不變的行波 能否處在水面上質(zhì)疑，他們認(rèn)為觀察到波幅減小說明這種波本來就不是 一種永行波3 0 年以后，羅素工作的正確性和重要性才逐步為人民所認(rèn) 識(shí)例如1 8 2 7 年，b o u s s i n e s q 求出了被后人冠以他名字的水波近似方程的 解并且提出了色散與非線性平衡的基本思想1 8 9 5 年k o r t e w e gd ev r i e s 試 圖回答a i r y 和s t o k e s 的異議，導(dǎo)出了著名的單向傳播波的k d v 方程，這段 時(shí)期孤子理論的主要內(nèi)容是證明孤波的存在性和永行性。 大約又過了6 0 年，一個(gè)最初被認(rèn)為與孤波毫不相干的實(shí)驗(yàn)導(dǎo)致了孤 立子的發(fā)現(xiàn)為了研究固體的熱傳導(dǎo)率為何有限，f e r m i ，p a s t a 和u l a m ( f p u ) 在美國(guó)進(jìn)行了一維非諧晶格的數(shù)值研究但是實(shí)際上實(shí)驗(yàn)沒有得到預(yù)期的 結(jié)果，卻對(duì)當(dāng)時(shí)的物理學(xué)家的基本思想提出了挑戰(zhàn)實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)能量并不 像預(yù)期的那樣最終馳豫到統(tǒng)計(jì)平衡態(tài)，而是經(jīng)過在幾個(gè)低級(jí)模間來回傳 遞之后回歸到最低模這樣的反常現(xiàn)象引起了應(yīng)用數(shù)學(xué)家的重視，以此 為突破口他們發(fā)現(xiàn)了孤立子和個(gè)奇妙的非線性世界。在連續(xù)近似下， 他們得到的支配晶格運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程和k d v 淺水波方程形式一致，并 到得方程的永形行波解這種解描述的脈沖波在相互作用中具有準(zhǔn)粒子 的性質(zhì)，因而被稱為孤立子 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 孤子理論的發(fā)展一直受其實(shí)際的和可能的應(yīng)用刺激，正是這種不斷 的刺激促進(jìn)理論的繼續(xù)發(fā)展。1 9 5 0 年，g i n z b u r g - l a n d a u 導(dǎo)出超導(dǎo)電子對(duì)的 孤子方程。1 9 6 5 年j o s e p h s o n 給出描述耦合超導(dǎo)結(jié)的s i n e - g o r d o n 方程用孤 子理論解釋某些超導(dǎo)點(diǎn)性質(zhì)，成為超導(dǎo)理論的重要內(nèi)容 1 2 有限元法概述 微分方程這門學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉在他的著作中最早提出了 弦振動(dòng)的二階方程，隨后不久，法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作論動(dòng) 力學(xué)中提出了特殊的偏微分方程這些著作當(dāng)時(shí)沒有引起多大注意 1 7 4 6 年，達(dá)朗貝爾在他的論文張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究中， 提議證明無窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式這樣就由對(duì)弦 振動(dòng)的研究開創(chuàng)了偏微分方程這門學(xué)科 偏微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時(shí)候，數(shù)學(xué)物理問題的研 究繁榮起來了，許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問題的解決做出了貢獻(xiàn)。這里應(yīng) 該提一提法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉，他年輕的時(shí)候就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。 在從事熱流動(dòng)的研究中，寫出了熱的解析理論，在文章中他提出了 三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程他的研究對(duì)偏微分方程的 發(fā)展的影響是很大的偏方程有很多種類型，一般包括橢圓型偏微分方 程、拋物型偏微分方程、雙曲型偏微分方程。應(yīng)該指出，偏微分方程的定 解雖然有各種解法，但是我們不能忽視由于某些原因有許多定解問題是 不能嚴(yán)格解出的，只可以用近似方法求出滿足實(shí)際需要的近似程度的近 似解常用的方法有變分法和有限差分法 大約在3 0 0 年前，牛頓和萊布尼茨發(fā)明了積分法，證明了該運(yùn)算具有 整體對(duì)局部的可加性雖然，積分運(yùn)算與有限元技術(shù)對(duì)定義域的劃分是 不同的，前者進(jìn)行無限劃分而后者進(jìn)行有限劃分，但積分運(yùn)算為實(shí)現(xiàn)有 2 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 限元技術(shù)準(zhǔn)備好了一個(gè)理論基礎(chǔ)在牛頓之后約一百年，著名數(shù)學(xué)家高 斯提出了加權(quán)余值法及線性代數(shù)方程組的解法這兩項(xiàng)成果的前者被用 來將微分方程改寫為積分表達(dá)式，后者被用來求解有限元法所得出的代 數(shù)方程組在1 8 世紀(jì)，另一位數(shù)學(xué)家拉格郎日提出泛函分析泛函分析是 將偏微分方程改寫為積分表達(dá)式的另一途經(jīng)在1 9 世紀(jì)末及2 0 世紀(jì)初， 數(shù)學(xué)家瑞雷和里茲首先提出可對(duì)全定義域運(yùn)用展開函數(shù)來表達(dá)其上的未 知函數(shù)。1 9 1 5 年，數(shù)學(xué)家伽遼金提出了選擇展開函數(shù)中形函數(shù)的伽遼金 法，該方法被廣泛地用于有限元1 9 4 3 年，數(shù)學(xué)家?guī)炖实碌谝淮翁岢隽?可在定義域內(nèi)分片地使用展開函數(shù)來表達(dá)其上的未知函數(shù)這實(shí)際上就 是有限元的做法所以，到這時(shí)為止，實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)的第二個(gè)理論基礎(chǔ) 也已確立2 0 世紀(jì)5 0 年代，飛機(jī)設(shè)計(jì)師們發(fā)現(xiàn)無法用傳統(tǒng)的力學(xué)方法分 析飛機(jī)的應(yīng)力、應(yīng)變等問題波音公司的一個(gè)技術(shù)小組，首先將連續(xù)體 的機(jī)翼離散為三角形板塊的集合來進(jìn)行應(yīng)力分析，經(jīng)過一番波折后獲得 前述的兩個(gè)離散的成功2 0 世紀(jì)5 0 年代，大型電子計(jì)算機(jī)投入了解算大 型代數(shù)方程組的工作，這為實(shí)現(xiàn)有限元技術(shù)準(zhǔn)備好了物質(zhì)條件。1 9 6 0 年 前后，美國(guó)的wc l o u g h 教授及我國(guó)的馮康教授分別獨(dú)立地在論文中提 出了“有限單元，這樣的名詞此后，這樣的叫法被大家接受，有限元 技術(shù)從此正式誕生，并很快風(fēng)靡世界?！?有限元方法的基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把 計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的 節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其 導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理 或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形 式，便構(gòu)成不同的有限元方法有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨 著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬在有限元方法中，把計(jì) 3 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇 基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上 總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解 可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成在河道數(shù)值模擬中，常見的有 限元計(jì)算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、 最j 、- - 乘法等根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也 分為多種計(jì)算格式從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘 法和伽遼金法，從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng) 格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高 次插值函數(shù)等不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式對(duì)于權(quán)函 數(shù)，伽遼金( g a l e r k i n ) 法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法 是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對(duì)代求系數(shù)的平方誤差 最小；在配置法中，先在計(jì)算域內(nèi)選取n 個(gè)配置點(diǎn)令近似解在選定的n 個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0 插值函數(shù) 一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的 乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)有限元插值函數(shù)分為兩大類，一 類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日( l a g r a n g e ) 多 項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值 點(diǎn)取已知值，稱為哈密特( h e r m i t e ) 多項(xiàng)式插值 1 3s i n e - g o r d o n 方程的出現(xiàn)及發(fā)展 s i n e g o r d o n 方程的是在研究微分幾何的表面高斯曲率中出現(xiàn)的近年 來，s i n e - g o r d o n 方程的數(shù)值近似解已經(jīng)引起了人們的關(guān)注。它是應(yīng)用科學(xué) 中重要的非線性方程之一s i n e - g o r d o n 方程出現(xiàn)在許多科學(xué)領(lǐng)域，如連接 兩個(gè)超導(dǎo)體的約瑟夫森結(jié)【8 】，連接在拉伸線上的單擺運(yùn)動(dòng)等它在凝聚 4 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 態(tài)物理、非線性光學(xué)、生物物理、離子物理和非線性晶格等物理領(lǐng)域中 有著廣泛的應(yīng)用 s i n e g o r d o n 方程，包括阻尼的s i n e - g o r d o n 方程，已經(jīng)有很多有關(guān)它的文 章發(fā)表它的弱形式解也被考慮用了多種方法進(jìn)行求解。然而有些結(jié)果 是不完全的。這篇文章的目的就是要研究用有限元法解s i n e - g o r d o n 方程 1 4 能量守恒性 本論文首先研究了一維情形下的s i n e - g o r d o n 方程【8 】 u a + 勵(lì)f = l k s i n u a 0 ( 1 ) - ， 、 ( 2 ) 其中區(qū)域q = “力，_ 口 j 口一b y b 我們假設(shè)口是充分可微的函數(shù)盧 是實(shí)數(shù)盧0 ，它被稱為損耗系數(shù) 近年來人們找到很多種方法來近似求解s i n e - g o r d o n 型方程。如配置法廣 差分法等a b l o w i t z 等人【2 】研究了雙離散的數(shù)值性質(zhì)，證明了離散化的 s i n e - g o r d o n 方程是完全可積并且給出了數(shù)值算例w e i 2 4 采用的是用卷積 對(duì)積分后的s i n e - g o r d o n 方程進(jìn)行處理s h e n g 等人【2 3 】給出了分割的余弦格 式，并利用此格式對(duì)方程進(jìn)行了求解。本畢業(yè)論文研究了用有限元方法 對(duì)s i n e - g o r d o n 方程進(jìn)行求解的過程 方程( 1 ) 的邊界條件 l b = p ( v ，) ， x = 一口，z = 儡 - b y 0 1 9 = 9 0 ，f ) ， y = 一b ，y = 色 一口 j 0 ( 3 ) ( 4 ) 5 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 初始條件是 u ( x , y , o ) = 八五力，u t 化t , o ) = 如”，“力q 其中q = f “州一口 工 口，一b y 0 離散g r o n w a l l 引理 令“七) 和妒是非負(fù)的網(wǎng)格函數(shù)如果c 0 ，袱) 是非遞減函數(shù)，并 且滿足下式 量一l 妒( d + c r 叫( o ， - - 0 那么對(duì)所有的k 有 礎(chǔ)) 妒( 妒 7 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 第二章半離散有限元格式 2 1 有限元格式構(gòu)造 有限元法早在1 9 6 0 年就被工程師們廣泛應(yīng)用，在過去的幾十年中逐 漸成為可能是重要求解橢圓型方程，拋物型方程和雙曲型方程中更是常 用的方法經(jīng)過半個(gè)多世紀(jì)的發(fā)展有限元分析方法從彈性力學(xué)平面問題 擴(kuò)展到空間問題、板殼問題；從線性問題擴(kuò)展到非線性問題，從固體力學(xué) 領(lǐng)域擴(kuò)展到流體力學(xué)，電磁學(xué)等其他連續(xù)介質(zhì)領(lǐng)域，從單一物理場(chǎng)計(jì)算 擴(kuò)展到多物理場(chǎng)的耦合計(jì)算，它經(jīng)歷了從低級(jí)到高級(jí)，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的 發(fā)展過程，實(shí)踐證明這是一種非常有效的數(shù)值分析方法而且從理論上 也已經(jīng)證明，只要用于離散求解對(duì)象的單元足夠小，所得的解就可足夠 逼近于精確值它的精確解精度依賴于逼近的分段多項(xiàng)式函數(shù)的次數(shù)， 這種方法比有限差分法更能適應(yīng)復(fù)雜的幾何區(qū)域。在以下討論過程中， 用表示通常的s o b o l c v 空間，1 1 i i j ，i 為相應(yīng)范數(shù)，空間上的范數(shù)與內(nèi) 積分別記為| i i i 和( ，) 設(shè)x 是一個(gè)b a n a c h 空間，定義空間： ， 土、 擴(kuò)( o ，r ；x ) = u ( t ) ；i i “i l u , = ri l u ( o t 心x a t ) o o ，ls p ， ， 我們對(duì)區(qū)域，進(jìn)行以下剖分： - a = 工l x 2 0 ( 1 5 ) 要想對(duì)上面方程進(jìn)行求解就要去找一個(gè)u h ( x , t ) s 一，滿足 ( 鋤，v ) + 覷l ，d + 反蝴，d 一“蝴，d + ( s i n u h ，d = 0y v s h ，t 0 ( 1 6 ) u h ( x ，o ) = r h f ( x ) u h j ( x ，0 ) = r h g ( x ) ，x ( - a ，口) ( 1 7 ) 因?yàn)槲覀冎辉诳臻g上進(jìn)行了離散，所以稱之為半離散問題，下一節(jié)會(huì)討 論在時(shí)間上的離散化，即全離散格式。為方便討論，下文中用c 來表示 任意正常數(shù)，在不同地方取值可以不同。 在基底 q 筠1 下找系數(shù)町( f ) ，其中叼( f ) 在下面的方程中 + i 蝴( 丘，) = 町( ，) 州 j = l 于是有 1 0 n+i+i ( f ) ( q ，吼) + 盧嘭( f ) ( q ，吼) j = tj = i + 藝a j ( t ) a ( m j ，r y p k ) - - y 肌1o t j ( t ) ( j 刪+ ( s i n ( 川ee t j ( t ) e p j ( x ) ) ：o ， o8 + ， ，呶) + ( s ，吼) = o ， 卅 j = ij = lj = t 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 其中q ( 0 ) = ”，= l ，+ 1 于是方程可表示為 彳0 7 ( f ) + p , 4 a 7 ( ，) 一7 口( f ) + a d ( f ) ) = 0( 1 9 ) 當(dāng)中a = ( 叼) ，并且其中的項(xiàng)a k j = ( q ，o k ) ，b = ( b k j ) ，其中的項(xiàng)= ( ，) ， c ( 口( f ) ) = 似) ，其中的項(xiàng)c k = ( s i n u h ，呶) 下面我們討論一下此格式的能量守恒性，在方程( 1 8 ) 的兩邊同時(shí)乘以 嘭( f ) 則有 r + i 哆( f 蟛( f ) 竹，嘶) + 盧 盧l + i + 1 啄f 蟛( f ) h ，饑) j = l + i+ l + 町( 弼( f ) ( ，) 一) ，q ( 蟛( f ) ( 哆，呶) + ( s i n ( j = l戶lj = i k = l ，。+ 1 整理得 ld 2 西 + l+ l 【哆( r ) 】2 ( q ，饑) + 盧蟛( ，) 】2 ( q ，呶) j = lj = l 町( 螞) ，吼州：o ，( 2 0 ) + 蘭象n 薈+ i c q ，2 烈q ，吼，一三三蕓t 吁，2 c q ，呶，+ 歷d c t c o s c k = l ，+ 1 于是有 掙 i v + l j = i + 2 ( 1 一 ，+ 1 + l 即( f 腳o ) ) ，吼) = 0 ， ( 2 1 ) 【哆( f ，】2 ( q ，吼) + 【啄f ) 】2 ( ， j = l c o s ( n + iq ( f ) q o ) ) 。吼) i + p n + i 【哆( f ) 】2 ( e j ，魄) ：o ( 2 2 ) c o s ( q ( f ) q o ) ) 。面嚏) i + p 【哆( f ) 】2 ，魄) = o u 糾 j = t k = l ，+ 1 1 l 川 戶 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 兩端對(duì)f 從0 到r 積分 圭 【嘭( f ) 】2 竹，吼) + 【吩( f ) 】2 ( ，) + 2 ( - 一c o s 甾啪n 蚴，岳+ r 盧n 薔+ i 啄州2 c q ，饑，一o ， ( 2 3 ) 七= l ，+ 1 當(dāng)盧= 0 時(shí)，有 e 似乃) = e ( o ) ) = 三【啄f ) 】2 ( q ，呶) + 【町( f ) 】2 ( , p j x ，毗。) + 2 ( 1 一c o s ( q ( f ) q ( 曲) ，呶) ( 2 4 ) 2 2 一維s i n e - g o r d o n 方程的半離散有限元格式及誤差分析 上一節(jié)中我們給出了方程的格式并討論了格式的能量守恒性，在這一 節(jié)中我們討論此格式的誤差估計(jì)，我們首先對(duì)一維方程進(jìn)行誤差分析， 在下一節(jié)我們會(huì)對(duì)二維方程進(jìn)行簡(jiǎn)單的說明關(guān)于一維方程的誤差估計(jì)， 我們有下面的定理 定理2 假設(shè)z ，是( 1 2 ) - ( 1 4 ) 的精確解，蝴是0 6 ) - ( 1 7 ) 的解， l l 蝴一圳l + 蝴f u , i i c k 2 定理2 的證明：誤差p = u k 一“可分解為p = 蝴一r k u + r k u 一“= o + p ，則方程0 5 ) 和( 1 6 ) 相減得 ，d + 罔b ，d + a ( o ，力一旭v ) = 一( p ，v ) 一p h ，d + y ( p ，v ) 一( s i n u h s i n u ，v ) ，ve s h ( 2 5 ) 取v = 島，則 三d l l o ，1 1 2 + 6 1 1 0 t l l 2 + 芝l 歷d 糾2 l i i p i ii l o t l l + p l l o , i i1 1 0 , 1 1 + y l l p l l 1 1 0 , 1 1 + | | s i n u k s i n “i i1 1 6 , 1 1 ( 2 6 ) 由不等式a b s ；孑+ 6 2 ， 三d ( 1 l o ，1 1 2 + i 孵) 1 - 1 1 p 1 1 2 + 筆枷+ 扣2 + 1 1 s i n u h s i n 訓(xùn)2 + c l l o , 1 1 2( 2 7 ) 1 2 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 惻1 2 + 1 0 1 i i o , ( o ) 1 1 2 + i o ( o ) 1 + 上2 ( i t o , , 1 1 2 + p l l o r i l 2 十三刪2 + i i s i n u 矗一s i n u l t 2 矽+ 2 c 上211島1100 2 研 2 + + f 2 f2 + 吾i 糾1 2 + 一2 矽+ f 2 研 j 上 j s i l o t ( o ) 1 1 2 + i o ( o ) i + 1 7 ( i l o “1 1 2 + l ，l l o , 1 1 2 + 扣2 + | | 蝴一u l l 2 瑚+ 2 c1 7llotll2dt0 s 2 + + f “2 2 + ；腳+ 一2 瑚+f 2 j 上 j o 2 + + 1 7 2 2+2 2 肌, 【r iio,iillet(o)lli o ( o ) i ( i l o 1 l + 鼻i l o , l li 1 0 1 1 + c l l p l l c i i o , i i h d t 00 2 + + f 2 2 + 2 2 沖+ 2 j 假設(shè)五= r 柝劭= 尺壕那么有即) = 0 ，a t ( o ) = o 2 + + 例訓(xùn)| 2 +2 渺+ f 2 2 ( 2 8 )2 + + 例訓(xùn)| 2 +2 渺+ f 2 ( 2 8 v , r ( i l o 1 1 2 i 1 0 1 1 2i o l i j llo,llile,iii o l ( 1 l p i i1 1 0 1 1 + c l o l l c l l o , l la rt0 0 方程兩邊都加上i 1 0 1 1 2 b i l 2 + i 訴+ i 吲1 2 r ( i l o 1 1 2 + 同h l l 2 + 又伏f ) = 戰(zhàn)o ) + 曬所以 i l p l l 2 ) 出+ 上fl i 糾1 2 毋+ 2i r i i 研1 1 2 出+ 研1 2 ( 2 9 ) 肌l i r w ( r ol l o l l d s ) 2 ( 小2 c 小班 ( 3 0 ) i o t l l 2 + ；+ 2s 上7 ”2 + 剛| 2 + w 肌rilollio,ii 1 0 11 1 0 1 1 ( i t oi i 2 出+ cr r l l 6 , 1 1 0 0j o 2 破( 3 1 ) ；+ 2 sf ”2 + 例h 2 + i 捌1 2 ) 西+ 2 出+ f 2 破 ( 3 l j 因此由g r o n w a l l s 引理有 于是有 其中 b 2 + i i 糾1 2 c ( t ) f o r ( 1 l o 1 1 2 + 矧l 。2 + i 扣2 瑚 a f ) 礦上7 ( 釅+ 同1 1 2 + 1 1 2 渺 i t 0 1 1 2 c ( u t ) h 4 c ( 州) = c ( f ) i r ( 蜥| 1 2 + 同1 2 + | l 訓(xùn)2 渺 ( 3 2 ) ( 3 3 ) 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 2 3 二維s i n e g o r d o n 方程的半離散有限元格式及誤差結(jié)果 二維s i n e - g o r d o n 方程 + f l u t = u x x + 呦一s i n u ,“只f ) q ( 0 ，丁) ， 賽“只f ) = o ( _ 只f ) m 【o ，7 1 ， ( 3 4 ) ( 3 5 ) u ( x , y 。o ) = ( x ，力，u t “只o ) = g ( x ，力瓴力q ( 3 6 ) 其中q cr 2 是多邊形區(qū)域，邊界是施，療是其外法向，函數(shù)f g 在五上光 滑。 在五上我們?nèi)∫粋€(gè)三角剖分死：五= uk ，令h = s u p r e r ( d i a m ( k ) ) 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 第三章全離散有限元格式 3 1 一維s i n e - g o r d o n 方程的全離散有限元格式及誤差分析 在這一章中我們給出全離散有限元格式，全離散有限元格式是在時(shí) 間 o ，刀上進(jìn)行剖分，取正的常數(shù)n ，則時(shí)間間隔k = t i n ，島= n k 全離散 格式就是要找出擴(kuò)s 是在，= 島= 放上的近似解，其中前兩層初值條 件u o ，u t 由前面的已知條件z g 來給出，即。 u o = r h f ( x ) 。u = r h g l ( 曲， 其中 9 1 = 八曲+ k g ( x ) + 譬砌“。) = 以曲+ k g ( x ) + 譬( “o ) - s i n u - # u f ) i ，：o 雙線性形式舐礪d 和橢圓投影算子如如前引入，即 口( 尺以島) 。v ) = 口( 璣d ， l ，s h ，t 【o ，明 為表述方便，我們定義 痂= u n * 1 1 _ 2 u 廠n + 一u n - i 則全離散有限元格式為 ( 面擴(kuò)，肼+ 烈華，們+ a ( 2 1 - ( u + l + 擴(kuò)- i ) ，神一畎蘭( 擴(kuò)+ l + 曠1 ) ，們+ ( s i n u n , x ) = 。 ( 3 9 ) 我們將c ，l 一地) 寫成滬一r h u ( t ) + 如“( 島) 一“( 島) = 礦+ 礦，令方程0 5 ) 中的 v = x 再將方程( 3 9 ) 和方程( 1 5 ) 在，= k ，和t = t n + l 的平均相減得 ( 面擴(kuò)一三( 竹1 + 蚶1 ) 們+ 烈華一蘭( 礦- + 礦1 ) ，神 + d 三( 擴(kuò)1 + 曠1 ) 一三( 纊1 + ) ，柏 ( 柏) 一認(rèn)三( 擴(kuò)+ 1 + 擴(kuò)- 1 ) 一三( 礦1 + 礦) ，疋) + ( s i i l 擴(kuò)一j 1 ( s i n u , , - i + s i n u n ) ，z ) = o 1s 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 方程前兩項(xiàng)可整理為 氟礦一互1 籪1 + 1 ) = 面擴(kuò)一面礦+ 劫一三( 療- + 蚶- ) = 面緲+ 礦) + 面礦一三( 盯1 + 謹(jǐn)1 ) u n + l 瓦_(dá) u n - ! 一三，+ 礦，) ：tun+l_un-i一掣un+l_un-14- 一三( 砰- i + 蚋 (41)2k2 u t= i t ，o1 1 ，、l l 放 放 ”f = 去( 礦+ 1 一礦q ) + 去曠1 一q ) + u n + l 礦_ u n - i 一三( 鐘一t + 留+ - ) 則方程( 加) 可整理得 蕊渺，腳+ 覷去1 一礦- 1 ) 曲+ “三緲+ 1 + 曠1 ) ，力 = 一衙一毒( 靠1 + ) ，力一咖，勱+ 畎曇1 + 廣1 ) ，z ) + 7 ( 三( 礦+ t + 曠1 ) 力一晏礦一礦，舯一覷亟去芝一三( 砰一- + 肌) 心 - ( s i n u 一三( s i n u _ l + s i i i ) 定理4 假設(shè)以島) 是( 1 2 ) 0 4 ) 的精確解，( ，l 是( 3 9 ) 的解， 擴(kuò)一u ( t ) l l c ( u ，t x f + 薩) 證明：取彤= 去緲一礦一1 ) = ；( a ，礦+ 珈) ，則方程h 2 ) 左端的估計(jì)依次為 1 6 咖= 去( 西礦一砂，+ 矽) = 1 ( 1 1 0 ，礦1 1 2 一i 甌礦1 1 2 ) = 三厲i p ，礦1 1 2 烈去緲+ 1 一礦- 1 ) ，力= 覷去緲一礦。) ，去( 礦，曠1 ) ) = 是妙一曠- 1 1 2 = 和+ g o i l ： d 三( 礦+ i + 曠1 ) ，去( 礦“一曠i ) ) = 去( i 曠1 1 2 一i 曠t 斤) 山東大學(xué)碩士學(xué)位論文 根據(jù)上面的分析有下面的不等式 利用 反l 協(xié)礦1 1 2 + 2 壁 l o t o n + 荔儼釅+ 去( i 礦+ 1i ；一l 曠i ) ；i i a 瓦礦一 ( q r l + l 護(hù)1 ) 2 + a 5 茹i ，l i l 2 + 砍地礦+ 11 1 2 + l 礦一i1 1 2 ) + b , f l l o , o i t 2 + i i a i n + 去“礦+ 11 1 2 一i 妒一11 1 2 ) + “妒1 1 2 卅i 砂1 1 2 ) + 用l 學(xué)1 1 2 + 用l 爭(zhēng)一 ( t r 1 + 叼+ 1 ) 2 + s i n 驢一 ( s i n1 + s i n u + 1 ) 2 + ；l l o , a + 瓦礦1 1 2 + g l l o , o + 5 妒1 1 2 ， is i n u ”一 ( s i n 礦- 1 + s i i l 礦+ 1 w s i n u - s i n d l + i s i n一 ( s i n d 一1 + s i ns + 1 ) l s i 礦一1 f ，i + c 鏟礦i + l 儼i + c