專(zhuān)業(yè)課資料 練習(xí)題 真題 20次作業(yè)2003已打印 ps7_n_2003_fll

Homework 7 October 14 2003 1 某消費(fèi)者的效用函數(shù)為 u x yxy x 和 y 的價(jià)格都是 1 他的收入為 200 當(dāng) x 的 價(jià)格漲至 2 元時(shí) 計(jì)算消費(fèi)者剩余的變化 補(bǔ)償變換和等價(jià)變換 solution Cohb Douglas 效用函數(shù)下 x y 的需求函數(shù)是 2 xy x m x ppm p 2 xy y m y ppm p x y 價(jià)格是 1 收入為 200 時(shí) 200 1 1 200 100 2 x 200 1 1 200 100 2 y 消費(fèi)者的效用 0 100 100 10 000uu x 的價(jià)格漲至 2 時(shí) 200 2 1 200 50 4 x 200 2 1 200 100 2 y 消費(fèi)者的效用 1 50 100 5 000uu x 的價(jià)格從 1 漲至 2 時(shí) 消費(fèi)者剩余的變化 The lost consumer surplus 是 22 11 100 1 200 100ln269 3CSx pdpdp p 用 C 表示補(bǔ)償變化 Compensating variation 有 0 2 1 2 1 200200 100 000 42 200 21 82 8 u xmCymCu CC or C 用 E 表示等價(jià)變化 Equivalent variation 有 1 1 1 200 1 1 200 200200 5 000 22 100 22 58 6 u xEyEu EE or E 注意 趙老師在課上定義的CS 就是消費(fèi)者剩余的損失 見(jiàn)課件第 14 章第 38 頁(yè) 這 樣定義也許是為了同補(bǔ)償變化和等價(jià)變化具有可比性 2 證明當(dāng)效用函數(shù)為擬線形時(shí) 消費(fèi)者剩余的變化 補(bǔ)償變換 等價(jià)變換都相等 Proof 擬線性的效用可以表示成 u x yv xy 在預(yù)算約束 x p xym 把 y 的價(jià)格標(biāo)準(zhǔn)化為 1 下 假設(shè)內(nèi)點(diǎn)解 x 的反需求函數(shù)是 x pv x 由此可見(jiàn) x 的需求與收入無(wú)關(guān) 在 y 的價(jià)格不變時(shí)有 1 xx x pmx p y 的需求等于 xx ymp x p 這時(shí)消費(fèi)者的效用水平 xxx uv x pmp x p 設(shè) x 的價(jià)格從 x p變化到 x p 則消費(fèi)者剩余變化 The lost consumer surplus 是 00 xx x px p xxxx xxxxxx CSv x dxp x pv x dxp x p v x pmp x pv x pmp x p uu 設(shè)補(bǔ)償變化為 C 有 1 1 xx xxx xxx u x pmCy pmCu orv x pmCp x pu Cuv x pmp x puu 設(shè)等價(jià)變化為 E 有 1 1 xx xxx xxx u x pmEy pmEu orv x pmEp x pu Ev x pmp x puuu 對(duì)比可見(jiàn)對(duì)于擬線性的效用函數(shù)對(duì)比可見(jiàn)對(duì)于擬線性的效用函數(shù)CSCE 3 消費(fèi)者對(duì)商品 x 和在其它商品上的開(kāi)支 y 的效用函數(shù)為 yxxyxu 2 2 1 1 市場(chǎng)上有完全同樣的消費(fèi)者 100 人 寫(xiě)出市場(chǎng)需求函數(shù) 2 該如何定價(jià)使銷(xiāo)售收入最大 此時(shí)價(jià)格彈性是多少 solution 首先求解單個(gè)消費(fèi)者的最優(yōu)化問(wèn)題 2 1 max 2 x xxy stp xym 其他商品上的開(kāi)支設(shè)它是用貨幣度量的 所以價(jià) 格標(biāo)準(zhǔn)化為 1 解聯(lián)立方程組 1 11 xx y x MUpx MU p xym 得 2 1 x xx xp ympp 1 x 的市場(chǎng)需求函數(shù)是單個(gè)需求函數(shù)的橫向加總 100100 1 x Xxp 2 銷(xiāo)售收入用 R 表示 最大化銷(xiāo)售收入就是 max100 1 xx Rpp 1 100 12 0 2 xx x dR pp dp 這時(shí)需求彈性是 100 1 100 1 xx x xx ppdX X dpp 4 證明所有消費(fèi)品的收入彈性的加權(quán)平均為 1 權(quán)重為每個(gè)消費(fèi)品的開(kāi)支比例 Proof 無(wú)論任何價(jià)格 收入下 我們都有預(yù)算約束式 1 n ii i p xm 成立 對(duì)預(yù)算約束是兩邊 對(duì)收入 m 求導(dǎo)得 1 1 1 n i i i x p m LLLLLL 而 iiiiii i