插值算法與matlab代碼.docx

Matlab中插值函數(shù)匯總和使用說(shuō)明MATLAB中的插值函數(shù)為interp1，其調(diào)用格式為：yi=interp1(x,y,xi,method)其中x，y為插值點(diǎn)，yi為在被插值點(diǎn)xi處的插值結(jié)果；x,y為向量， method表示采用的插值方法，MATLAB提供的插值方法有幾種： method是最鄰近插值， linear線性插值； spline三次樣條插值； cubic立方插值缺省時(shí)表示線性插值 注意：所有的插值方法都要求x是單調(diào)的，并且xi不能夠超過(guò)x的范圍。例如：在一 天24小時(shí)內(nèi)，從零點(diǎn)開始每間隔2小時(shí)測(cè)得的環(huán)境溫度數(shù)據(jù)分別為 12，9，9，10，18 ，24，28，27，25，20，18，15，13，推測(cè)中午12點(diǎn)（即13點(diǎn)）時(shí)的溫度x=0:2:24; y=12 9 9 10 18 24 28 27 25 20 18 15 13;a=13; y1=interp1(x,y,a,spline)結(jié)果為： 27.8725若要得到一天24小時(shí)的溫度曲線，則：xi=0:1/3600:24;yi=interp1(x,y,xi, spline);plot(x,y,o ,xi,yi)命令1 interp1功能 一維數(shù)據(jù)插值（表格查找）。該命令對(duì)數(shù)據(jù)點(diǎn)之間計(jì)算內(nèi)插值。它找出一元函數(shù)f(x)在中間點(diǎn)的數(shù)值。其中函數(shù)f(x)由所給數(shù)據(jù)決定。x：原始數(shù)據(jù)點(diǎn)Y：原始數(shù)據(jù)點(diǎn)xi：插值點(diǎn)Yi：插值點(diǎn)格式(1)yi = interp1(x,Y,xi)返回插值向量yi，每一元素對(duì)應(yīng)于參量xi，同時(shí)由向量x 與Y 的內(nèi)插值決定。參量x 指定數(shù)據(jù)Y 的點(diǎn)。若Y 為一矩陣，則按Y 的每列計(jì)算。yi 是階數(shù)為length(xi)*size(Y,2)的輸出矩陣。(2)yi = interp1(Y,xi)假定x=1:N，其中N 為向量Y 的長(zhǎng)度，或者為矩陣Y 的行數(shù)。(3)yi = interp1(x,Y,xi,method)用指定的算法計(jì)算插值：nearest：最近鄰點(diǎn)插值，直接完成計(jì)算；linear：線性插值（缺省方式），直接完成計(jì)算；spline：三次樣條函數(shù)插值。對(duì)于該方法，命令interp1 調(diào)用函數(shù)spline、ppval、mkpp、umkpp。這些命令生成一系列用于分段多項(xiàng)式操作的函數(shù)。命令spline 用它們執(zhí)行三次樣條函數(shù)插值；pchip：分段三次Hermite 插值。對(duì)于該方法，命令interp1 調(diào)用函數(shù)pchip，用于對(duì)向量x 與y 執(zhí)行分段三次內(nèi)插值。該方法保留單調(diào)性與數(shù)據(jù)的外形；cubic：與pchip操作相同；v5cubic：在MATLAB 5.0 中的三次插值。對(duì)于超出x 范圍的xi 的分量，使用方法nearest、linear、v5cubic的插值算法，相應(yīng)地將返回NaN。對(duì)其他的方法，interp1 將對(duì)超出的分量執(zhí)行外插值算法。(4)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrap)對(duì)于超出x 范圍的xi 中的分量將執(zhí)行特殊的外插值法extrap。(5)yi = interp1(x,Y,xi,method,extrapval)確定超出x 范圍的xi 中的分量的外插值extrapval，其值通常取NaN 或0。例1 1.2. x = 0:10; y = x.*sin(x);3. xx = 0:.25:10; yy = interp1(x,y,xx);4. plot(x,y,kd,xx,yy)復(fù)制代碼例2 1.2. year = 1900:10:2010;3. product = 75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 203.212 226.5054. 249.633 256.344 267.893 ;5. p1995 = interp1(year,product,1995)6. x = 1900:1:2010;7. y = interp1(year,product,x,pchip);8. plot(year,product,o,x,y)復(fù)制代碼插值結(jié)果為： 1.2. p1995 =3. 252.9885復(fù)制代碼命令2 interp2功能 二維數(shù)據(jù)內(nèi)插值（表格查找）格式(1)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI)返回矩陣ZI，其元素包含對(duì)應(yīng)于參量XI 與YI（可以是向量、或同型矩陣） 的元素， 即Zi(i,j) Xi(i,j),yi(i,j)。用戶可以輸入行向量和列向量Xi 與Yi，此時(shí)，輸出向量Zi 與矩陣meshgrid(xi,yi)是同型的。同時(shí)取決于由輸入矩陣X、Y 與Z 確定的二維函數(shù)Z=f(X,Y)。參量X 與Y 必須是單調(diào)的，且相同的劃分格式，就像由命令meshgrid 生成的一樣。若Xi與Yi 中有在X 與Y范圍之外的點(diǎn)，則相應(yīng)地返回nan（Not a Number）。(2)ZI = interp2(Z,XI,YI)缺省地，X=1:n、Y=1:m，其中m,n=size(Z)。再按第一種情形進(jìn)行計(jì)算。(3)ZI = interp2(Z,n)作n 次遞歸計(jì)算，在Z 的每?jī)蓚€(gè)元素之間插入它們的二維插值，這樣，Z 的階數(shù)將不斷增加。interp2(Z)等價(jià)于interp2(z,1)。(4)ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,method)用指定的算法method 計(jì)算二維插值：linear：雙線性插值算法（缺省算法）；nearest：最臨近插值；spline：三次樣條插值；cubic：雙三次插值。例3： 1.2. X,Y = meshgrid(-3:.25:3);3. Z = peaks(X,Y);4. XI,YI = meshgrid(-3:.125:3);5. ZZ = interp2(X,Y,Z,XI,YI);6. surfl(X,Y,Z);hold on;7. surfl(XI,YI,ZZ+15)8. axis(-3 3 -3 3 -5 20);shading flat9. hold off復(fù)制代碼例4： 1.2. years = 1950:10:1990;3. service = 10:10:30;4. wage = 150.697 199.592 187.6255. 179.323 195.072 250.2876. 203.212 179.092 322.7677. 226.505 153.706 426.7308. 249.633 120.281 598.243;9. w = interp2(service,years,wage,15,1975)復(fù)制代碼插值結(jié)果為： 1.2. w =3. 190.6288復(fù)制代碼命令3 interp3功能 三維數(shù)據(jù)插值（查表）格式(1)VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)找出由參量X,Y,Z決定的三元函數(shù)V=V(X,Y,Z)在點(diǎn)（XI,YI,ZI）的值。參量XI,YI,ZI 是同型陣列或向量。若向量參量XI,YI,ZI 是不同長(zhǎng)度，不同方向（行或列）的向量，這時(shí)輸出參量VI 與Y1,Y2,Y3 為同型矩陣。其中Y1,Y2,Y3 為用命令meshgrid(XI,YI,ZI)生成的同型陣列。若插值點(diǎn)(XI,YI,ZI)中有位于點(diǎn)(X,Y,Z)之外的點(diǎn)，則相應(yīng)地返回特殊變量值NaN。(2)VI = interp3(V,XI,YI,ZI)缺省地， X=1:N ，Y=1:M， Z=1：P ，其中，M,N,P=size(V)，再按上面的情形計(jì)算。(3)VI = interp3(V,n)作n 次遞歸計(jì)算，在V 的每?jī)蓚€(gè)元素之間插入它們的三維插值。這樣，V 的階數(shù)將不斷增加。interp3(V)等價(jià)于interp3(V,1)。(4)VI = interp3(.,method) %用指定的算法method 作插值計(jì)算：linear：線性插值（缺省算法）；cubic：三次插值；spline：三次樣條插值；nearest：最鄰近插值。說(shuō)明 在所有的算法中，都要求X,Y,Z 是單調(diào)且有相同的格點(diǎn)形式。當(dāng)X,Y,Z 是等距且單調(diào)時(shí)，用算法*linear，*cubic，*nearest，可得到快速插值。例5 1.2. x,y,z,v = flow(20);3. xx,yy,zz = meshgrid(.1:.25:10, -3:.25:3, -3:.25:3);4. vv = interp3(x,y,z,v,xx,yy,zz);5. slice(xx,yy,zz,vv,6 9.5,1 2,-2 .2); shading interp;colormap cool復(fù)制代碼命令4 interpft功能 用快速Fourier 算法作一維插值格式(1)y = interpft(x,n)返回包含周期函數(shù)x 在重采樣的n 個(gè)等距的點(diǎn)的插值y。若length(x)=m，且x 有采樣間隔dx，則新的y 的采樣間隔dy=dx*m/n。注意的是必須nm。若x 為一矩陣，則按x 的列進(jìn)行計(jì)算。返回的矩陣y 有與x 相同的列數(shù)，但有n 行。(2)y = interpft(x,n,dim)沿著指定的方向dim 進(jìn)行計(jì)算命令5 griddata功能 數(shù)據(jù)格點(diǎn)格式(1)ZI = griddata(x,y,z,XI,YI)用二元函數(shù)z=f(x,y)的曲面擬合有不規(guī)則的數(shù)據(jù)向量x,y,z。griddata 將返回曲面z 在點(diǎn)（XI,YI）處的插值。曲面總是經(jīng)過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)（x,y,z）的。輸入?yún)⒘浚╔I,YI）通常是規(guī)則的格點(diǎn)（像用命令meshgrid 生成的一樣）。XI 可以是一行向量，這時(shí)XI 指定一有常數(shù)列向量的矩陣。類似地，YI 可以是一列向量，它指定一有常數(shù)行向量的矩陣。(2)XI,YI,ZI = griddata(x,y,z,xi,yi)返回的矩陣ZI 含義同上，同時(shí)，返回的矩陣XI,YI 是由行向量xi 與列向量yi 用命令meshgrid 生成的。(3)XI,YI,ZI = griddata(.,method)用指定的算法method 計(jì)算：linear：基于三角形的線性插值（缺省算法）；cubic： 基于三角形的三次插值；nearest：最鄰近插值法；v4：MATLAB 4 中的griddata 算法。命令6 spline功能 三次樣條數(shù)據(jù)插值格式(1)yy = spline(x,y,xx)對(duì)于給定的離散的測(cè)量數(shù)據(jù)x,y（稱為斷點(diǎn)），要尋找一個(gè)三項(xiàng)多項(xiàng)式y(tǒng) = p(x) ，以逼近每對(duì)數(shù)據(jù)(x,y)點(diǎn)間的曲線。過(guò)兩點(diǎn)(xi, yi) 和(xi+1, yi+1) 只能確定一條直線，而通過(guò)一點(diǎn)的三次多項(xiàng)式曲線有無(wú)窮多條。為使通過(guò)中間斷點(diǎn)的三次多項(xiàng)式曲線具有唯一性，要增加兩個(gè)條件（因?yàn)槿味囗?xiàng)式有4 個(gè)系數(shù)）：a三次多項(xiàng)式在點(diǎn)(xi, yi) 處有： p¢i(xi) = p¢i(xi) ；b三次多項(xiàng)式在點(diǎn)(xi+1, yi+1) 處有： p¢i(xi+1) = pi¢(xi+1) ；cp(x)在點(diǎn)(xi, yi) 處的斜率是連續(xù)的（為了使三次多項(xiàng)式具有良好的解析性，加上的條件）；dp(x)在點(diǎn)(xi, yi) 處的曲率是連續(xù)的；對(duì)于第一個(gè)和最后一個(gè)多項(xiàng)式，人為地規(guī)定如下條件： p¢1¢(x) = p¢2¢(x) p¢n¢(x) = p¢n¢-1(x)上述兩個(gè)條件稱為非結(jié)點(diǎn)(not-a-knot)條件。綜合上述內(nèi)容，可知對(duì)數(shù)據(jù)擬合的三次樣條函數(shù)p(x)是一個(gè)分段的三次多項(xiàng)式：ï ïîï ï£ ££ ££ £=n n n+12 2 31 1 2p (x) x x xp (x) x x xp (x) x x xp(x)L L L L其中每段pi(x) 都是三次多項(xiàng)式。該命令用三次樣條插值計(jì)算出由向量x 與y 確定的一元函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)xx 處的值。若參量y 是一矩陣，則以y 的每一列和x 配對(duì)，再分別計(jì)算由它們確定的函數(shù)在點(diǎn)xx 處的值。則yy 是一階數(shù)為length(xx)*size(y,2)的矩陣。(2)pp = spline(x,y)返回由向量x 與y 確定的分段樣條多項(xiàng)式的系數(shù)矩陣pp，它可用于命令ppval、unmkpp 的計(jì)算。例6對(duì)離散地分布在y=exp(x)sin(x)函數(shù)曲線上的數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行樣條插值計(jì)算： 1.2. x = 0 2 4 5 8 12 12.8 17.2 19.9 20; y = exp(x).*sin(x);3. xx = 0:.25:20;4. yy = spline(x,y,xx);5. plot(x,y,o,xx,yy)復(fù)制代碼命令7 interpn功能 n 維數(shù)據(jù)插值（查表）格式(1)VI = interpn(X1,X2,Xn,V,Y1,Y2,Yn) %返回由參量X1,X2,Xn,V 確定的n 元函數(shù)V=V(X1,X2,Xn)在點(diǎn)（Y1,Y2,Yn）處的插值。參量Y1,Y2,Yn 是同型的矩陣或向量。若Y1,Y2,Yn 是向量，則可以是不同長(zhǎng)度，不同方向（行或列）的向量。它們將通過(guò)命令ndgrid生成同型的矩陣， 再作計(jì)算。若點(diǎn)(Y1,Y2,Yn) 中有位于點(diǎn)（X1,X2,Xn）之外的點(diǎn)，則相應(yīng)地返回特殊變量NaN。VI = interpn(V,Y1,Y2,Yn) %缺省地，X1=1:size(V,1)，X2=1:size(V,2)， ，Xn=1:size(V,n)，再按上面的情形計(jì)算。VI = interpn(V,ntimes) %作ntimes 次遞歸計(jì)算，在V 的每?jī)蓚€(gè)元素之間插入它們的n 維插值。這樣，V 的階數(shù)將不斷增加。interpn(V)等價(jià)于interpn(V, 1)。VI = interpn(,method) %用指定的算法method 計(jì)算：linear：線性插值（缺省算法）；cubic：三次插值；spline：三次樣條插值法；nearest：最鄰近插值算法。命令8 meshgrid功能 生成用于畫三維圖形的矩陣數(shù)據(jù)。格式 X,Y = meshgrid(x,y) 將由向量x，y（可以是不同方向的）指定的區(qū)域min(x)，max(x) ， min(y) ， max(y) 用直線x=x(i),y=y(j) （ i=1,2,length(x) ，j=1,2,length(y)）進(jìn)行劃分。這樣，得到了length(x)*length(y)個(gè)點(diǎn)，這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)用矩陣X 表示，X 的每個(gè)行向量與向量x 相同；這些點(diǎn)的縱坐標(biāo)用矩陣Y 表示，Y 的每個(gè)列向量與向量y 相同。其中X,Y可用于計(jì)算二元函數(shù)z=f(x,y)與三維圖形中xy 平面矩形定義域的劃分或曲面作圖。X,Y = meshgrid(x) %等價(jià)于X,Y=meshgrid(x,x)。X,Y,Z = meshgrid(x,y,z) %生成三維陣列X,Y,Z，用于計(jì)算三元函數(shù)v=f(x,y,z)或三維容積圖。例7 1. X,Y = meshgrid(1:3,10:14)復(fù)制代碼計(jì)算結(jié)果為： 1. X =2. 1 2 33. 1