（新課標）高考數(shù)學大一輪復習精品講義 坐標系與參數(shù)方程（含解析）.DOC

坐標系與參數(shù)方程第一節(jié)坐_標_系對應學生用書p166基礎盤查一平面直角坐標系中的伸縮變換(一)循綱憶知理解坐標系的作用，了解在平面直角坐標系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況(二)小題查驗1判斷正誤(1)在伸縮變換下，直線仍然變成直線，圓仍然變成圓()(2)在伸縮變換下，橢圓可變?yōu)閳A，圓可變?yōu)闄E圓()答案：(1)(2)2設平面上的伸縮變換的坐標表達式為則在這一坐標變換下正弦曲線ysin x的方程變?yōu)開解析：由知代入ysin x中得y3sin 2x.答案：y3sin 2x基礎盤查二極坐標系的概念及極坐標和直角坐標的互化(一)循綱憶知能在極坐標系中用極坐標表示點的位置,理解在極坐標和平面直角坐標系中表示點的位置的區(qū)別,能進行極坐標和直角坐標的互化.(二)小題查驗1點p的直角坐標為(1，)，則點p的極坐標為_解析：因為點p(1，)在第四象限，與原點的距離為2，且op與x軸所成的角為，所以點p的極坐標為.答案：2曲線4sin 與2的交點坐標是_解析：由sin ，或.答案：或基礎盤查三簡單曲線的極坐標方程(一)循綱憶知能在極坐標系中給出簡單的圖形(如過極點的直線、過極點或圓心在極點的圓)的方程，通過比較這些圖形在極坐標系和平面直角坐標系中的方程，理解用方程表示平面圖形時選擇適當坐標系的意義(二)小題查驗1判斷正誤(1)過極點，做斜角為的直線的極坐標方程可表示為或 ()(2)圓心在極軸上的點(a,0)處，且過極點o的圓的極坐標方程為2asin ()答案：(1)(2)2在極坐標系中，圓心在(，)且過極點的圓的方程為_解析：如圖，o為極點，ob為直徑，a(，)，則abo90，ob2，化簡得2cos .答案：2cos 3在極坐標系中，曲線c1：1與曲線c2：a(a0)的一個交點在極軸上，則a_.解析：曲線c1的直角坐標方程為xy1，曲線c2的直角坐標方程為x2y2a2，曲線c1與x軸的交點坐標為，此點也在曲線c2上，代入解得a.答案：對應學生用書p166|(基礎送分型考點自主練透)必備知識設點p(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換：的作用下，點p(x，y)對應到點p(x，y)，稱為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱伸縮變換題組練透1在同一平面直角坐標系中，已知伸縮變換：求點a經(jīng)過變換所得的點a的坐標解：設a(x，y)，由伸縮變換：得到由于點a的坐標為，于是x31，y(2)1，a(1，1)為所求2求直線l：y6x經(jīng)過：變換后所得到的直線l的方程解：設直線l上任意一點p(x，y)，由上述可知，將代入y6x得2y6，yx，即yx為所求3求雙曲線c：x21經(jīng)過：變換后所得曲線c的焦點坐標解：設曲線c上任意一點p(x，y)，由上述可知，將代入x21得1，化簡得1，即1為曲線c的方程，可見仍是雙曲線，則焦點f1(5,0)，f2(5,0)為所求類題通法平面圖形的伸縮變換可以用坐標伸縮變換來表示在伸縮變換下，直線仍然變成直線，拋物線仍然變成拋物線，雙曲線仍然變成雙曲線，圓可以變成橢圓，橢圓也可以變成圓|(重點保分型考點師生共研)必備知識設m為平面上的一點，它的直角坐標為(x，y)，極坐標為(，)由圖可知下面的關系式成立：或(與(x，y)所在象限一致)提醒(1)在將直角坐標化為極坐標求極角時，易忽視判斷點所在的象限(即角的終邊的位置)(2)在極坐標系下，點的極坐標不惟一性易忽視注意極坐標(，)(，2k)，(，2k)(kz)表示同一點的坐標典題例析在極坐標系下，已知圓o：cos sin 和直線l：sin.(1)求圓o和直線l的直角坐標方程；(2)當(0，)時，求直線l與圓o公共點的一個極坐標解：(1)圓o：cos sin ，即2cos sin ，圓o的直角坐標方程為：x2y2xy，即x2y2xy0，直線l：sin，即sin cos 1，則直線l的直角坐標方程為：yx1，即xy10.(2)由得故直線l與圓o公共點的一個極坐標為.類題通法極坐標方程與普通方程互化技巧(1)巧用極坐標方程兩邊同乘以或同時平方技巧，將極坐標方程構(gòu)造成含有cos ，sin ，2的形式，然后利用公式代入化簡得到普通方程(2)巧借兩角和差公式，轉(zhuǎn)化sin()或cos()的結(jié)構(gòu)形式，進而利用互化公式得到普通方程(3)將直角坐標方程中的x轉(zhuǎn)化為cos ，將y換成sin ，即可得到其極坐標方程演練沖關(2014廣東高考改編)在極坐標系中，曲線c1和c2的方程分別為sin2cos 和sin 1.以極點為平面直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標系，求曲線c1和c2的交點的直角坐標解析：由sin2cos 2sin2cos y2x，又由sin 1y1，聯(lián)立故曲線c1和c2交點的直角坐標為(1,1)|(重點保分型考點師生共研)必備知識1圓的極坐標方程(1)圓心在極點，半徑為r的圓的極坐標方程為r.(2)圓心在極軸上的點(a,0)處，且過極點o的圓的極坐標方程為2acos .(3)圓心在點處，且過極點o的圓的極坐標方程為2asin .2直線的極坐標方程(1)過點(a,0)與極軸垂直的直線的極坐標方程為cos a.(2)過點與極軸平行的直線的極坐標方程為sin a.提醒(1)確定極坐標方程時要注意極坐標系的四要素：極點、極軸、長度單位、角度單位及其正方向，四者缺一不可(2)研究曲線的極坐標方程往往要與直角坐標方程進行相互轉(zhuǎn)化當條件涉及“角度”和“到定點距離”時，引入極坐標系將會給問題的解決帶來很大的方便典題例析(2015唐山模擬)已知圓c：x2y24，直線l：xy2.以o為極點，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標系(1)將圓c和直線l的方程化為極坐標方程；(2)p是l上的點，射線op交圓c于點r，又點q在op上且滿足|oq|op|or|2，當點p在l上移動時，求點q軌跡的極坐標方程解：(1)將xcos ，ysin 代入圓c和直線l的直角坐標方程得其極坐標方程為c：2，l：(cos sin )2.(2)設p，q，r的極坐標分別為(1，)，(，)，(2，)，則由|oq|op|or|2得1.又22，1，所以4，故點q軌跡的極坐標方程為2(cos sin )(0)類題通法求曲線方程，常設曲線上任意一點p(，)，利用解三角形的知識，列出等量關系式，特別是正、余弦定理用的較多求曲線的極坐標方程的步驟：(1)建立適當?shù)臉O坐標系，設p(，)是曲線上任意一點；(2)由曲線上的點所適合的條件，列出曲線上任意一點的極徑和極角之間的關系式；(3)將列出的關系式進行整理、化簡，得出曲線的極坐標方程演練沖關(2014江西高考)若以直角坐標系的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，則線段y1x(0x1)的極坐標方程為()a，0b，0ccos sin ，0dcos sin ，0解析：選a因為xcos ，ysin ，且y1x，所以sin 1cos ，所以(sin cos )1，.又0x1，所以0y1，所以點(x，y)都在第一象限及坐標軸的正半軸上，則0.對應b本課時跟蹤檢測（六十四）1在極坐標系中，求直線(cos sin )2與圓4sin 的交點的極坐標解：(cos sin )2化為直角坐標方程為xy2，即yx2.4sin 可化為x2y24y，把yx2代入x2y24y，得4x28x120，即x22x30，所以x，y1.所以直線與圓的交點坐標(，1)，化為極坐標為.2在極坐標系中，求曲線4cos上任意兩點間的距離的最大值解：由4cos可得242cos 2sin ，即得x2y22x2y，配方可得(x1)2(y)24，該圓的半徑為2，則圓上任意兩點間距離的最大值為4.3若直線3x4ym0與曲線22cos 4sin 40沒有公共點，求實數(shù)m的取值范圍解：曲線22cos 4sin 40的直角坐標方程是x2y22x4y40，即(x1)2(y2)21.要使直線3x4ym0與該曲線沒有公共點，只要圓心(1，2)到直線3x4ym0的距離大于圓的半徑即可，即1，|m5|5，解得，m0或m10.4求函數(shù)ysin經(jīng)伸縮變換后的解析式解：由得將其代入ysin，得2ysin，即ysin.5已知圓o1和圓o2的極坐標方程分別為2，22cos2.(1)將圓o1和圓o2的極坐標方程化為直角坐標方程；(2)求經(jīng)過兩圓交點的直線的極坐標方程解：(1)由2知24，所以x2y24.因為22cos2，所以222.所以x2y22x2y20.(2)將兩圓的直角坐標方程相減，得經(jīng)過兩圓交點的直線方程為xy1.化為極坐標方程為cos sin 1，即sin.6在極坐標系中，曲線c1，c2的極坐標方程分別為2cos ，cos1.(1)求曲線c1和c2的公共點的個數(shù)；(2)過極點作動直線與曲線c2相交于點q，在oq上取一點p，使|op|oq|2，求點p的軌跡，并指出軌跡是什么圖形解：(1)c1的直角坐標方程為(x1)2y21，它表示圓心為(1,0)，半徑為1的圓，c2的直角坐標方程為xy20，所以曲線c2為直線，由于圓心到直線的距離為d1，所以直線與圓相離，即曲線c1和c2沒有公共點(2)設q(0，0)，p(，)，則即因為點q(0，0)在曲線c2上，所以0cos1，將代入，得cos1，即2cos為點p的軌跡方程，化為直角坐標方程為221，因此點p的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓7(2015濟寧模擬)已知直線l：sin4和圓c：2kcos(k0)，若直線l上的點到圓c上的點的最小距離等于2.求實數(shù)k的值并求圓心c的直角坐標解：kcos ksin ，2kcos ksin ，圓c的直角坐標方程為x2y2kxky0，即22k2，圓心的直角坐標為.sin cos 4，直線l的直角坐標方程為xy40，|k|2.即|k4|2|k|，兩邊平方，得|k|2k3，或解得k1，故圓心c的直角坐標為.8在直角坐標系xoy中，以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系曲線c的極坐標方程為cos1，m，n分別為c與x軸、y軸的交點(1)寫出c的直角坐標方程，并求m，n的極坐標；(2)設mn的中點為p，求直線op的極坐標方程解：(1)由cos1得1.從而c的直角坐標方程為xy1，即xy2.當0時，2，所以m(2,0)當時，所以n.(2)因為m點的直角坐標為(2,0)，n點的直角坐標為.所以p點的直角坐標為，則p點的極坐標為，所以直線op的極坐標方程為(r)第二節(jié)參數(shù)方程對應學生用書p168基礎盤查一參數(shù)方程與普通方程的互化(一)循綱憶知了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義，會進行參數(shù)方程與普通方程的互化.(二)小題查驗1判斷正誤(1)參數(shù)方程(t1)表示的曲線為直線()(2)參數(shù)方程當m為參數(shù)時表示直線，當為參數(shù)時表示的曲線為圓()答案：(1)(2)2參數(shù)方程(t為參數(shù))化為普通方程為_解析：x，y4343x.又x20,2)，x0,2)所求的普通方程為3xy40(x0,2)答案：3xy40基礎盤查二常見曲線的參數(shù)方程(一)循綱憶知1能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程2掌握直線的參數(shù)方程及參數(shù)的幾何意義，能用直線的參數(shù)方程解決簡單的相關問題過點p(x0，y0)且傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(二)小題查驗1判斷正誤(1)直線(t為參數(shù))的傾斜角為30.()(2)參數(shù)方程表示的曲線為橢圓()答案：(1)(2)2在平面直角坐標系xoy中，曲線c1和c2的參數(shù)方程分別為和(t為參數(shù))，則曲線c1與c2的交點坐標為_解析：由c1得x2y25，且由c2得x1y, 由聯(lián)立解得答案：(2,1)3直線(t為參數(shù))與圓(為參數(shù))相切，則切線的傾斜角為_解析：直線的普通方程為bxay4b0，圓的普通方程為(x2)2y23，因為直線與圓相切，則圓心(2,0)到直線的距離為，從而有 ，即3a23b24b2，所以ba，而直線的傾斜角的正切值tan ，所以tan ，因此切線的傾斜角或.答案：或 對應學生用書p169|(基礎送分型考點自主練透)必備知識1參考方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式將參數(shù)方程化為普通方程需消去參數(shù)(2)如果知道變數(shù)x，y中的一個與參數(shù)t的關系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系yg(t)，那么就是曲線的參數(shù)方程提醒在參數(shù)方程與普通方程的互化中，必須使x，y的取值范圍保持一致2幾種常見的參數(shù)方程(1)圓的參數(shù)方程若圓心在點m0(x0，y0)，半徑為r，則圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)橢圓1(ab0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))(3)雙曲線1(a0，b0)的參數(shù)方程為(為參數(shù))(4)拋物線y22px(p0)的參數(shù)方程為(t為參數(shù))題組練透1將下列參數(shù)方程化為普通方程(1)(2)解：(1)兩式相除，得k，將其代入得x，化簡得所求的普通方程是4x2y26y0(y6)(2)由(sin cos )21sin 22(1sin 2)得y22x.又x1sin 20,2，得所求的普通方程為y22x，x0,22求曲線(為參數(shù))中兩焦點間的距離解：曲線化為普通方程為1，c，故焦距為2.3已知曲線c的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，t0)，求曲線c的普通方程解：因為x2t2，所以x22t，故曲線c的普通方程為3x2y60.類題通法參數(shù)方程化為普通方程，主要用“消元法”消參，常用代入法、加減消元法、利用三角恒等式消元等在參數(shù)方程化為普通方程時，要注意保持同解變形|(重點保分型考點師生共研)必備知識利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求解問題的方法經(jīng)過點p(x0，y0)，傾斜角為的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))若a，b為直線l上兩點，其對應的參數(shù)分別為t1，t2，線段ab的中點為m，點m所對應的參數(shù)為t0，則以下結(jié)論在解題中經(jīng)常用到：(1)t0；(2)|pm|t0|；(3)|ab|t2t1|；(4)|pa|pb|t1t2|.提醒直線的參數(shù)方程中，參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時，t才有幾何意義且其幾何意義為：|t|是直線上任一點m(x，y)到m0(x0，y0)的距離，即|m0m|t|.典題例析設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為傾斜角)，圓c的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)若直線l經(jīng)過圓c的圓心，求直線l的斜率；(2)若直線l與圓c交于兩個不同的點，求直線l的斜率的取值范圍解：(1)由已知得直線l經(jīng)過的定點是p(3,4)，而圓c的圓心是c(1，1)，所以，當直線l經(jīng)過圓c的圓心時，直線l的斜率為k.(2)法一：由圓c的參數(shù)方程得圓c的圓心是c(1，1)，半徑為2.由直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，為傾斜角)，知直線l的普通方程為y4k(x3)(斜率存在)，即kxy43k0.當直線l與圓c交于兩個不同的點時，圓心到直線的距離小于圓的半徑，即2，由此解得k.即直線l的斜率的取值范圍為.法二：將圓c的參數(shù)方程為化成普通方程為(x1)2(y1)24，將直線l的參數(shù)方程代入式，得t22(2cos 5sin )t250.當直線l與圓c交于兩個不同的點時，方程有兩個不相等的實根，即4(2cos 5sin )21000，即20sin cos 21cos2 ，兩邊同除以cos2 ，由此解得tan ，即直線l的斜率的取值范圍為.類題通法1解決直線與圓的參數(shù)方程的應用問題時一般是先化為普通方程再根據(jù)直線與圓的位置關系來解決問題2對于形如(t為參數(shù))當a2b21時，應先化為標準形式后才能利用t的幾何意義解題演練沖關已知直線l：xy10與拋物線yx2相交于a，b兩點，求線段ab的長度和點m(1,2)到a，b兩點的距離之積解：因為直線l過定點m，且l的傾斜角為，所以它的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，即(t為參數(shù))，把它代入拋物線的方程，得t2t20，解得t1，t2.由參數(shù)t的幾何意義可知|ab|t1t2|，|ma|mb|t1t2|2.|(重點保分型考點師生共研)必備知識極坐標與參數(shù)方程的綜合應用規(guī)律1化歸思想的應用，即對于含有極坐標方程和參數(shù)的題目，全部轉(zhuǎn)化為直角坐標方程后再求解2數(shù)形結(jié)合的應用，即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，或者利用和的幾何意義，直接求解，能達到化繁為簡的解題目的典題例析(2014遼寧高考)將圓x2y21上每一點的橫坐標保持不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，得曲線c.(1)寫出c的參數(shù)方程；(2)設直線l：2xy20與c的交點為p1，p2，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，求過線段p1p2的中點且與l垂直的直線的極坐標方程解：(1)設(x1，y1)為圓上的點，在已知變換下變?yōu)閏上點(x，y)，依題意，得由xy1得x221，即曲線c的方程為x21.故c的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(2)由解得或不妨設p1(1,0)，p2(0,2)，則線段p1p2的中點坐標為，所求直線斜率為k，于是所求直線方程為y1，化為極坐標方程，并整理得2cos 4sin 3，即.類題通法涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解當然，還要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程演練沖關1(2015大同調(diào)研)在直角坐標系xoy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線c的極坐標方程為cos.(1)求直線l被曲線c所截得的弦長；(2)若m(x，y)是曲線c上的動點，求xy的最大值解：(1)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，消去t，可得3x4y10.由于 cos ，即有2cossin ，則有x2y2xy0，其圓心為，半徑為r，圓心到直線的距離d，故弦長為22 .(2)可設圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))，即m，則xycos sin sin，由于 r，則xy的最大值為1.2在直角坐標系中，以原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線c：sin22acos (a0)，過點p(2，4)的直線l：(t為參數(shù))與曲線c相交于m，n兩點(1)求曲線c的直角坐標方程和直線l的普通方程；(2)若|pm|，|mn|，|pn|成等比數(shù)列，求實數(shù)a的值解：(1)把代入sin22acos ，得y22ax(a0)，(t為參數(shù))，消去t得xy20，曲線c的直角坐標方程和直線l的普通方程分別是y22ax(a0)，xy20.(2)將(t為參數(shù))代入y22ax，整理得t22(4a)t8(4a)0.設t1，t2是該方程的兩根，則t1t22(4a)，t1t28(4a)，|mn|2|pm|pn|，(t1t2)2(t1t2)24t1t2t1t2，8(4a)248(4a)8(4a)，a1.對應a本課時跟蹤檢測（六十五）1在平面直角坐標系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))以o為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線c2的方程為4sin ，曲線c1與c2交于m，n兩點，求線段mn的長解析：由題意得，c1的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為xy40，c2的極坐標方程4sin 轉(zhuǎn)化為直角坐標方程為x2y24y，即x2(y2)222，圓心(0,2)到直線xy40的距離為d，所以|mn|22.2在直角坐標系xoy中，直線l的方程為xy40，曲線c的參數(shù)方程為(為參數(shù))(1)已知在極坐標系(與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸正半軸為極軸)中，點p的極坐標為，判斷點p與直線l的位置關系；(2)設點q是曲線c上的一個動點，求它到直線l的距離的最小值解：(1)把極坐標系下的點p化為直角坐標得p(0,4)，p(0,4)滿足方程xy40，點p在直線l上(2)法一：因為點q是曲線c上的點，故可設點q的坐標為(cos ，sin )，所以點q到直線l的距離d(r)所以當cos1時，d取得最小值.3(2015河南實驗中學模擬)直角坐標系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為：(為參數(shù))，m是c1上的動點，p點滿足2，p點的軌跡為曲線c2.(1)求c2的方程；(2)在以o為極點，x軸的正半軸為極軸的極坐標系中，射線與c1的異于極點的交點為a，與c2的異于極點的交點為b，求|ab|.解：(1)設p(x，y)，則由條件知m.由于m點在曲線c1上，所以從而曲線c2的參數(shù)方程為(為參數(shù))(2)曲線c1的極坐標方程為4sin ，曲線c2的極坐標方程為8sin .射線與c1的交點a的極徑為14sin ，射線與c2的交點b的極徑為28sin .所以|ab|21|2.4(2014江蘇高考)在平面直角坐標系xoy中，已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l與拋物線y24x相交于a，b兩點，求線段ab的長解：將直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))代入拋物線方程y24x，得24，解得t10，t28.所以ab|t1t2|8