（江蘇專用）高考數(shù)學一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其概率分布 12.4 離散型隨機變量及其概率分布 理.doc

【步步高】（江蘇專用）2017版高考數(shù)學一輪復習 第十二章 概率、隨機變量及其概率分布 12.4 離散型隨機變量及其概率分布 理1離散型隨機變量的概率分布(1)隨著試驗結果變化而變化的變量叫做隨機變量；所有取值可以一一列出的隨機變量叫做離散型隨機變量(2)一般地，若離散型隨機變量x可能取的不同值為x1，x2，xi，xn，x取每一個值xi(i1,2，n)的概率p(xxi)pi，則稱表xx1x2xixnpp1p2pipn為離散型隨機變量x的概率分布表，具有如下性質：pi_0，i1,2，n；p1p2pipn_1_.離散型隨機變量在某一范圍內取值的概率等于它取這個范圍內各個值的概率之和2兩點分布如果隨機變量x的概率分布表為x01p1pp其中0p1，則稱離散型隨機變量x服從兩點分布3超幾何分布一般地，設有n件產(chǎn)品，其中有m(mn)件次品從中任取n (nn)件產(chǎn)品，用x表示取出的n件產(chǎn)品中次品的件數(shù)，那么p(xr) (r0,1,2，l)即x01lp其中l(wèi)min(m，n)，且nn，mn，n，m，nn*.如果一個隨機變量x的概率分布具有上表的形式，則稱隨機變量x服從超幾何分布【思考辨析】判斷下面結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)拋擲均勻硬幣一次，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機變量()(2)離散型隨機變量的概率分布描述了由這個隨機變量所刻畫的隨機現(xiàn)象()(3)某人射擊時命中的概率為0.5，此人射擊三次命中的次數(shù)x服從兩點分布()(4)從4名男演員和3名女演員中選出4名，其中女演員的人數(shù)x服從超幾何分布()(5)離散型隨機變量的概率分布中，隨機變量取各個值的概率之和可以小于1.()(6)離散型隨機變量的各個可能值表示的事件是彼此互斥的()1袋中有3個白球、5個黑球，從中任取2個，可以作為隨機變量的是_至少取到1個白球；至多取到1個白球；取到白球的個數(shù)；取到的球的個數(shù)答案解析表述的都是隨機事件，是確定的值2，并不隨機；是隨機變量，可能取值為0,1,2.2(教材改編)從標有110的10支竹簽中任取2支，設所得2支竹簽上的數(shù)字之和為x，那么隨機變量x可能取得的值有_個答案17解析x可能取得的值有3,4,5，19共17個3隨機變量x的概率分布如下：x101pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則p(|x|1)_.答案解析a，b，c成等差數(shù)列，2bac.又abc1，b，p(|x|1)ac.4隨機變量x等可能取值1,2,3，n，如果p(x4)0.3，則n_.答案10解析p(x4)p(x1)p(x2)p(x3)0.3，得n10.5(教材改編)一盒中有12個乒乓球，其中9個新的、3個舊的，從盒中任取3個球來用，用完后裝回盒中，此時盒中舊球個數(shù)x是一個隨機變量，則p(x4)的值為_答案解析由題意知取出的3個球必為2個舊球、1個新球，故p(x4).題型一離散型隨機變量的概率分布的性質例1設隨機變量x的概率分布為p(x)ak(k1,2,3,4,5)(1)求a；(2)求p(x)；(3)求p(x)解(1)由概率分布的性質，得p(x)p(x)p(x)p(x)p(x1)a2a3a4a5a1，所以a.(2)p(x)p(x)p(x)p(x1)345.(3)p(x)p(x)p(x)p(x).思維升華(1)利用概率分布中各概率之和為1可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)(2)求隨機變量在某個范圍內的概率時，根據(jù)概率分布，將所求范圍內各隨機變量對應的概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式設離散型隨機變量x的概率分布為x01234p0.20.10.10.3m求：(1)2x1的概率分布；(2)|x1|的概率分布解由概率分布的性質知：020.10.10.3m1，得m0.3.首先列表為x012342x113579|x1|10123從而由上表得兩個概率分布為(1)2x1的概率分布2x113579p0.20.10.10.30.3(2)|x1|的概率分布|x1|0123p0.10.30.30.3題型二離散型隨機變量概率分布的求法命題點1與排列組合有關的概率分布的求法例2(2015重慶改編)端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習俗設一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同從中任意選取3個(1)求三種粽子各取到1個的概率；(2)設x表示取到的豆沙粽的個數(shù)，求x的概率分布解(1)令a表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有p(a).(2)x的所有可能值為0,1,2，且p(x0)，p(x1)，p(x2).綜上知，x的概率分布為x012p命題點2與互斥事件有關的概率分布的求法例3某商店試銷某種商品20天，獲得如下數(shù)據(jù)：日銷售量(件)0123頻數(shù)1595試銷結束后(假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變)，設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現(xiàn)存量少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率(1)求當天商店不進貨的概率；(2)記x為第二天開始營業(yè)時該商品的件數(shù)，求x的概率分布解(1)p(當天商店不進貨)p(當天商品銷售量為0件)p(當天商品銷售量為1件).(2)由題意知，x的可能取值為2,3.p(x2)p(當天商品銷售量為1件)；p(x3)p(當天商品銷售量為0件)p(當天商品銷售量為2件)p(當天商品銷售量為3件).所以x的概率分布為x23p命題點3與獨立事件(或獨立重復試驗)有關的概率分布的求法例4(2014安徽改編)甲乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽假設每局甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，各局比賽結果相互獨立(1)求甲在4局以內(含4局)贏得比賽的概率；(2)記x為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求x的概率分布解用a表示“甲在4局以內(含4局)贏得比賽”，ak表示“第k局甲獲勝”，bk表示“第k局乙獲勝”則p(ak)，p(bk)，k1,2,3,4,5.(1)p(a)p(a1a2)p(b1a2a3)p(a1b2a3a4)p(a1)p(a2)p(b1)p(a2)p(a3)p(a1)p(b2)p(a3)p(a4)222.(2)x的可能取值為2,3,4,5.p(x2)p(a1a2)p(b1b2)p(a1)p(a2)p(b1)p(b2)，p(x3)p(b1a2a3)p(a1b2b3)p(b1)p(a2)p(a3)p(a1)p(b2)p(b3)，p(x4)p(a1b2a3a4)p(b1a2b3b4)p(a1)p(b2)p(a3)p(a4)p(b1)p(a2)p(b3)p(b4)，p(x5)1p(x2)p(x3)p(x4).故x的概率分布為x2345p思維升華求離散型隨機變量x的概率分布的步驟：理解x的意義，寫出x可能取的全部值；求x取每個值的概率；寫出x的概率分布求離散型隨機變量的概率分布的關鍵是求隨機變量所取值對應的概率，在求解時，要注意應用計數(shù)原理、古典概型等知識(1)4支圓珠筆標價分別為10元、20元、30元、40元從中任取一支，求其標價x的概率分布；從中任取兩支，若以y表示取到的圓珠筆的最高標價，求y的概率分布解x的可能取值分別為10,20,30,40，且取得任一支的概率相等，故x的概率分布為x10203040p根據(jù)題意，y的可能取值為20,30,40，且p(y20)，p(y30)，p(y40).所以y的概率分布為y203040p(2)(2015安徽改編)已知2件次品和3件正品混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分，每次隨機檢測一件產(chǎn)品，檢測后不放回，直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時檢測結束求第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品的概率；已知每檢測一件產(chǎn)品需要費用100元，設x表示直到檢測出2件次品或者檢測出3件正品時所需要的檢測費用(單位：元)，求x的概率分布解記“第一次檢測出的是次品且第二次檢測出的是正品”為事件a.p(a).x的可能取值為200,300,400.p(x200)，p(x300)，p(x400)1p(x200)p(x300)1.故x的概率分布為x200300400p題型三超幾何分布例5一袋中裝有10個大小相同的黑球和白球已知從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球的概率是.(1)求白球的個數(shù)；(2)從袋中任意摸出3個球，記得到白球的個數(shù)為x，求隨機變量x的概率分布解(1)記“從袋中任意摸出2個球，至少得到1個白球”為事件a，設袋中白球的個數(shù)為x，則p(a)1，得到x5.故白球有5個(2)x服從超幾何分布，p(xk)，k0,1,2,3.于是可得其概率分布為x0123p思維升華超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)超幾何分布的特征是：考察對象分兩類；已知各類對象的個數(shù)；從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)x的概率分布超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質是古典概型(2015天津改編)為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽(1)設a為事件“選出的4人中恰有2 名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”，求事件a發(fā)生的概率；(2)設x為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量x的概率分布解(1)由已知，有p(a).所以，事件a發(fā)生的概率為.(2)隨機變量x的所有可能取值為1,2,3,4.p(xk)(k1,2,3,4)所以，隨機變量x的概率分布為x1234p17隨機變量取值不全致誤典例(14分)盒子中有大小相同的球10個，其中標號為1的球3個，標號為2的球4個，標號為5的球3個第一次從盒子中任取1個球，放回后第二次再任取1個球(假設取到每個球的可能性都相同)記第一次與第二次取得球的標號之和為.求隨機變量的可能取值及其概率分布易錯分析由于隨機變量取值情況較多，極易發(fā)生對隨機變量取值考慮不全而導致解題錯誤規(guī)范解答解由題意可得，隨機變量的可能取值是2,3,4,6,7,10.4分p(2)0.30.30.09，p(3)c0.30.40.24，p(4)0.40.40.16，p(6)c0.30.30.18，p(7)c0.40.30.24，p(10)0.30.30.09.10分故隨機變量的概率分布為2346710p0.090.240.160.180.240.0914分溫馨提醒(1)解決此類問題的關鍵是弄清隨機變量的取值，正確應用概率公式(2)此類問題還極易發(fā)生如下錯誤：雖然弄清隨機變量的所有取值，但對某個取值考慮不全面(3)避免以上錯誤發(fā)生的有效方法是驗證隨機變量的概率和是否為1.方法與技巧1對于隨機變量x的研究，需要了解隨機變量能取哪些值以及取這些值或取某一個集合內的值的概率，對于離散型隨機變量，它的分布正是指出了隨機變量x的取值范圍以及取這些值的概率2求離散型隨機變量的概率分布，首先要根據(jù)具體情況確定x的取值情況，然后利用排列、組合與概率知識求出x取各個值的概率失誤與防范掌握離散型隨機變量的概率分布，須注意：(1)概率分布的結構為兩行，第一行為隨機變量x所有可能取得的值；第二行是對應于隨機變量x的值的事件發(fā)生的概率看每一列，實際上是上為“事件”，下為“事件發(fā)生的概率”，只不過“事件”是用一個反映其結果的實數(shù)表示的每完成一列，就相當于求一個隨機事件發(fā)生的概率(2)要會根據(jù)概率分布的兩個性質來檢驗求得的概率分布的正誤a組專項基礎訓練(時間：40分鐘)1一只袋內裝有m個白球，nm個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球為止，設此時取出了x個白球，下列概率等于的是_p(x3) p(x2) p(x3) p(x2)答案解析由超幾何分布知p(x2).2隨機變量的所有可能的取值為1,2,3，10，且p(k)ak(k1,2，10)，則a值為_答案解析隨機變量的所有可能的取值為1,2,3，10，且p(k)ak(k1,2，10)，a2a3a10a1，55a1，a.3隨機變量x的概率分布規(guī)律為p(xn)(n1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則p(x)的值為_答案解析p(xn)(n1,2,3,4)，1，a，p(x)p(x1)p(x2).4從裝有3個白球，4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，則恰好是2個白球，1個紅球的概率是_答案解析如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為p.5設離散型隨機變量x的概率分布為x01234p0.20.10.10.3m若隨機變量y|x2|，則p(y2)_.答案0.5解析由概率分布的性質，知020.10.10.3m1，m0.3.由y2，即|x2|2，得x4或x0，p(y2)p(x4或x0)p(x4)p(x0)0.30.20.5.6甲、乙兩隊在一次對抗賽的某一輪中有3個搶答題，比賽規(guī)定：對于每一個題，沒有搶到題的隊伍得0分，搶到題并回答正確的得1分，搶到題但回答錯誤的扣1分(即得1分)；若x是甲隊在該輪比賽獲勝時的得分(分數(shù)高者勝)，則x的所有可能取值是_答案1,0,1,2,3解析x1，甲搶到一題但答錯了，而乙搶到了兩個題目都答錯了，x0，甲沒搶到題，乙搶到題目答錯至少2個題或甲搶到2題，但答時一對一錯，而乙答錯一個題目，x1，甲搶到1題且答對或甲搶到3題，且1錯2對，x2，甲搶到2題均答對，x3，甲搶到3題均答對7袋中有4只紅球3只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得1分，取到1只黑球得3分，設得分為隨機變量，則p(6)_.答案解析p(6)p(取到3只紅球1只黑球)p(取到4只紅球).8某超市在節(jié)日期間進行有獎促銷，凡在該超市購物滿300元的顧客，將獲得一次摸獎機會，規(guī)則如下：獎盒中放有除顏色外完全相同的1個紅球，1個黃球，1個白球和1個黑球顧客不放回地每次摸出1個球，若摸到黑球則停止摸獎，否則就要將獎盒中的球全部摸出才停止規(guī)定摸到紅球獎勵10元，摸到白球或黃球獎勵5元，摸到黑球不獎勵(1)求1名顧客摸球3次停止摸獎的概率；(2)記x為1名顧客摸獎獲得的獎金數(shù)額，求隨機變量x的概率分布解(1)設“1名顧客摸球3次停止摸獎”為事件a，則p(a)，故1名顧客摸球3次停止摸球的概率為.(2)隨機變量x的所有取值為0,5,10,15,20.p(x0)，p(x5)，p(x10)，p(x15)，p(x20).所以，隨機變量x的概率分布為x05101520pb組專項能力提升(時間：30分鐘)9從裝有3個紅球、2個白球的袋中隨機取出2個球，設其中有x個紅球，則隨機變量x的概率分布為_答案x012p0.10.60.3解析x的所有可能取值為0,1,2，p(x0)0.1，p(x1)0.6，p(x2)0.3.x的概率分布為x012p0.10.60.310.已知隨機變量只能取三個值：x1，x2，x3，其概率依次成等差數(shù)列，則公差d的取值范圍是_答案(，)解析設取x1，x2，x3時的概率分別為ad，a，ad，則(