專題二 數(shù)列與不等式 二輪復(fù)習(xí)(教師).doc

高考第二輪復(fù)習(xí)專題二 數(shù)列 數(shù)列二輪復(fù)習(xí)（教師）一本單元二輪專題課時(shí)建議（以上內(nèi)容大部分來自吳建華老師提供的周練和高考題，在此表示感謝！時(shí)間緊，老師們可據(jù)實(shí)際情況增刪使用！謝謝！）專題內(nèi)容說明注意事項(xiàng)第一課時(shí)等差等比數(shù)列基本量問題重點(diǎn)側(cè)重于基本量思想的運(yùn)用，結(jié)合等差等比數(shù)列的基本性質(zhì)注重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，以填空題訓(xùn)練為主第二課時(shí)遞推數(shù)列的求通項(xiàng)與求和重點(diǎn)側(cè)重于幾個(gè)常見的遞推模型及幾個(gè)常用的求和方法，如分組求和法，裂項(xiàng)法，錯(cuò)位相減法培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)式的變形與轉(zhuǎn)化和字母運(yùn)算的能力，以解答題訓(xùn)練為主第三課時(shí)數(shù)列與方程、不等式的綜合運(yùn)用（一）簡(jiǎn)單的運(yùn)用函數(shù)、不等式等知識(shí)求解數(shù)列的表達(dá)式、單調(diào)性、比較大小等問題知識(shí)的遷移與綜合運(yùn)用能力，以綜合性解答題訓(xùn)練為主第四課時(shí)數(shù)列與方程、不等式的綜合運(yùn)用（二）數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合運(yùn)用，適當(dāng)加大難度（根據(jù)學(xué)生情況選講）第五課時(shí)探索型、開放型問題多種題型呈現(xiàn)：數(shù)陣、周期數(shù)列、存在性問題等知識(shí)與方法的靈活運(yùn)用，填空題與解答題均可出現(xiàn) 一、數(shù)列地位與考查方向（一）數(shù)列地位數(shù)列是刻畫離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，數(shù)列知識(shí)對(duì)進(jìn)一步理解函數(shù)的概念和體會(huì)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值具有重要的意義，是高中代數(shù)的重要內(nèi)容之一.在高考中承載著對(duì)高中數(shù)學(xué)抽象概括能力、運(yùn)算能力、建模能力、類比與化歸能力等多種數(shù)學(xué)能力的考察.因此，在歷屆高考中，數(shù)列作為必考題，其難度屬于中、高檔難度.（二）考查動(dòng)向數(shù)列在高考中始終不變的是一小一大，小題為中難度題，解答題幾乎都為難題，考查內(nèi)容都是關(guān)于等比及等差數(shù)列的問題，小題幾乎都涉及到等比數(shù)列，大題幾乎都為等差數(shù)列，因此復(fù)習(xí)必須系統(tǒng)地掌握數(shù)列知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，并能解決綜合性較強(qiáng)的或較為困難的問題.1、關(guān)于等差、等比數(shù)列的基本量問題，一般是求項(xiàng)、求和，較高的要求是求項(xiàng)數(shù)n2、通過遞推或探索來判斷數(shù)列及其性質(zhì)的問題，常用的方法有構(gòu)造、累加、累乘法；3、等差、等比數(shù)列與方程、不等式或簡(jiǎn)單的整數(shù)問題的綜合。如果數(shù)列問題出現(xiàn)在最后一兩題，則是綜合性很強(qiáng)的問題，大多以數(shù)列為考查平臺(tái)，綜合運(yùn)用函數(shù)、方程、不等式、簡(jiǎn)單數(shù)論等知識(shí)，通過運(yùn)用遞推、函數(shù)與方程、歸納與猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類整合等各種數(shù)學(xué)思想方法，考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力和數(shù)學(xué)探索創(chuàng)新的能力.二、基本題型與基本策略基本題型一：運(yùn)用基本量思想解決等差、等比數(shù)列的求項(xiàng)、求和問題例1.（1）（2011遼寧理17） 已知等差數(shù)列an滿足a2=0，a6+a8=-10.求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；求數(shù)列的前n項(xiàng)和說明：這是一道典型的運(yùn)用基本量思想求數(shù)列和的問題，根據(jù)a2=0，a6+a8=-10，可以列出關(guān)于的方程兩個(gè)二元一次方程方程，通過加減消元或帶入消元接出的值；同時(shí)注意到個(gè)方程數(shù)列項(xiàng)下標(biāo)特征，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)a6+a8=2a7=-10，得到a7=-5，從而d=( a7- a2)=-1.變式：（2010全國(guó)卷理科數(shù)學(xué)4）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，=5，=10，則說明：表面看這是一道可以用基本量思想解決的問題，但在實(shí)際操作過程中發(fā)現(xiàn)，使用基本量列出方程組計(jì)算量較大，要得到結(jié)果還需借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，易出錯(cuò).如果仔細(xì)觀察已知條件與所求結(jié)論的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)可以很快得到選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄓ袝r(shí)可以大大簡(jiǎn)化我們的計(jì)算，為考試贏得寶貴的時(shí)間，而恰當(dāng)方法的選擇，借助于我們認(rèn)真審題和知識(shí)的融會(huì)貫通.（2）等差數(shù)列中，且成等比數(shù)列，求數(shù)列前20項(xiàng)的和說明：這也是一道典型的運(yùn)用基本量思想求數(shù)列和的問題，同時(shí)也是一道簡(jiǎn)單地將等差數(shù)列和等比數(shù)列組合在一起的問題，通過和成等比數(shù)列可以直接列出兩個(gè)關(guān)于基本量的方程組：，此方程組是由一個(gè)二元一次與一個(gè)二元二次方程組合而成，宜采先化簡(jiǎn)再帶入消元法的方法求解，第二個(gè)方程可化簡(jiǎn)為，學(xué)生特別容易將d直接消去，導(dǎo)致漏解的錯(cuò)誤.最終結(jié)果=200或330.此種題型方法常規(guī)，思路明確，計(jì)算量適中，屬容易題.例2.（2011全國(guó)新課標(biāo)理17） 已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且求數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和說明：設(shè)數(shù)列an的公比為q，由得所以由條件可知q0，故由得2a1+3a1q=1，所以故數(shù)列an的通項(xiàng)式為an =略.例3. (江蘇2010、19)設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；略.說明：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是學(xué)生要弄清楚哪個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，是，不是，所以問題求解應(yīng)圍繞著等差數(shù)列展開，因?yàn)?n-1)d，所以Sn=(n-1)d2，基本量應(yīng)是和，由題意是已知量，故只需求出，把題目條件轉(zhuǎn)換為即，代入Sn=(n-1)d2得，化簡(jiǎn)，得：，當(dāng)時(shí)，適合情形.故所求.基本策略：等差、等比數(shù)列是兩類最基本的數(shù)列，它們的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和的公式中均含有兩個(gè)基本量，因此數(shù)通過基本量思想求解等差等比的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和是高考考查的重點(diǎn)也是熱點(diǎn).在運(yùn)用基本量思想解決問題時(shí)，要注意以下兩個(gè)方面：1、基本兩思想在解決問題時(shí)比較程序化，認(rèn)真審題選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄊ顷P(guān)鍵，有兩個(gè)性質(zhì)有時(shí)可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算（在等差數(shù)列中，若則在等比數(shù)列中若則）；2、在計(jì)算過程中注意觀察表達(dá)式的特征，靈活地運(yùn)用計(jì)算方法在等差數(shù)列求和的問題中，首先是確定通項(xiàng)，選擇恰當(dāng)?shù)那蠛凸剑诘缺葦?shù)列求和中要注意q =1的情況單獨(dú)討論.3、應(yīng)不斷強(qiáng)化學(xué)生頭腦中的等差及等比數(shù)列的意識(shí)，認(rèn)真分析題目中的條件，看清“誰”是等差或等比數(shù)列，那么解題中就應(yīng)緊緊抓住這個(gè)數(shù)列不放.基本題型二：與遞推有關(guān)的數(shù)列問題例4. （2011四川理8）數(shù)列的首項(xiàng)為，為等差數(shù)列且若則，則_.說明：由已知知由疊加法一般地，使用累加法求通項(xiàng)的遞推形式為，使用累乘法求通項(xiàng)的遞推形式為，使用錯(cuò)位相減法求和的通項(xiàng)公式為.例5. (江蘇2010、8)函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_.說明：此題不難，但題目很長(zhǎng)，等差還是等比要通過層層運(yùn)算才能確定，需要學(xué)生具備較好的運(yùn)算能力，由題意，在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時(shí)，解得，所以又a1=16，所以數(shù)列an為等比數(shù)列，.平時(shí)在教學(xué)中要告誡學(xué)生，要靜下心來認(rèn)真運(yùn)算，那怕慢一點(diǎn)，也要確保正確.例6. （2011江蘇20）設(shè)為部分正整數(shù)組成的集合，數(shù)列，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)都成立設(shè)設(shè)的值；設(shè)的通項(xiàng)公式.說明：由題設(shè)知，當(dāng)，在表達(dá)式中同時(shí)出現(xiàn)an，S n，但題目是求a5，所以采用的方法是運(yùn)用公式，將表達(dá)式轉(zhuǎn)化為都關(guān)于an的式子，然后再進(jìn)行求解.所以， 從而所以數(shù)列an是等差數(shù)列. 所以的值為8. 略.基本策略：一般數(shù)列的求項(xiàng)求和問題大多以遞推通項(xiàng)為背景，通過常見的公式、累加、累乘、構(gòu)造等方法對(duì)遞推公式進(jìn)行變形，最終轉(zhuǎn)化為我們熟知的等差、等比數(shù)列的定義式進(jìn)行求解，有時(shí)候在構(gòu)造過程中我們會(huì)用到多種構(gòu)造方法，但最后的目的還是將未知的數(shù)列轉(zhuǎn)化為我們已知的數(shù)列進(jìn)行求解. 公式要求每一個(gè)學(xué)生都掌握并會(huì)運(yùn)用，其它類型的遞推，由于類型較多，根據(jù)江蘇教學(xué)要求及歷年高考中考查的問題，一般要求不高，復(fù)習(xí)時(shí)建議不同層次的學(xué)校根據(jù)學(xué)生特點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)，幾種基本的遞推模型人人掌握，對(duì)于變形巧妙，難度較大的問題，講解時(shí)可預(yù)設(shè)臺(tái)階或視學(xué)生情況選講.基本題型三：數(shù)列的綜合問題（與不等式、方程等知識(shí)的綜合）（1）求公比公差的范圍例7. 數(shù)列是等比數(shù)列，8，設(shè)（），如果數(shù)列的前7項(xiàng)和是它的前n項(xiàng)和組成的數(shù)列的最大值，且，求的公比q的取值范圍說明：這是一道較為簡(jiǎn)單的數(shù)列與函數(shù)、不等式結(jié)合的問題，解題步驟如下：因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，設(shè)公比為q,由則， 為首項(xiàng)是3，公差為的等差數(shù)列；由最大，且 且 即從解題的過程可以看出此題運(yùn)用到對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、簡(jiǎn)單對(duì)數(shù)不等式的解法，數(shù)列在題中作為問題的載體，僅用到基本的等差等比通項(xiàng)知識(shí).例8. 設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則 .說明：基礎(chǔ)不好的學(xué)生會(huì)不知所措，找不到下手的地方，若學(xué)生能抓住等比數(shù)列不放，則問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，到此，學(xué)生可逐一作商尋找，也可利用性質(zhì)，注意到五個(gè)數(shù)中有三正兩負(fù)，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的項(xiàng)只能是正負(fù)相間，又故數(shù)列的連續(xù)四項(xiàng)應(yīng)為18，24，36，54. 本題的命題意圖本題主要考查等比數(shù)列的基本概念，對(duì)于公比為負(fù)的等比數(shù)列的基本結(jié)構(gòu)要有比較清晰的理解；可以直接計(jì)算求解，也可利用等比數(shù)列的性質(zhì)求解.考查學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力.本題屬難題. 由于不同層次的學(xué)生會(huì)選用優(yōu)劣不一的方法，解題效率上會(huì)有差異，決定了本題具有較好的區(qū)分度.例9(江蘇2011、13)設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_.說明：有等差又有等比，基本量在哪兒，注意到已知d=1，所以a2為等差的基本量，先用基本量表示已知條件得，再注意到結(jié)論為求q的最小值，所以a2+1、a2+2應(yīng)盡可能的小，故a2a11，可得，所以，.這是一道與不等式結(jié)合的數(shù)列綜合題，要想快速求解需要學(xué)生有較好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，甚至解題過程還需要直覺的成份，顯然死記硬背式的學(xué)習(xí)對(duì)解決這樣的問題是行不通的的，因此在數(shù)列教學(xué)中，我們更要關(guān)注學(xué)生對(duì)數(shù)列的深入理解，以及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的教育.例10. （1）設(shè) ，是各項(xiàng)均不為零的n (n4) 項(xiàng)等差數(shù)列，且公差d0，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)后得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列（i）當(dāng)時(shí)，求的數(shù)值；（ii）求的所有可能值（2）求證：存在一個(gè)各項(xiàng)及公差均不為零的 () 項(xiàng)等差數(shù)列, 任意刪去其中的k項(xiàng)（1kn3），都不能使剩下的項(xiàng)（按原來的順序）構(gòu)成等比數(shù)列說明：本題以等差數(shù)列、等比數(shù)列為平臺(tái)，主要考查學(xué)生的探索與推理能力本題屬難題首先證明一個(gè)“基本事實(shí)”：一個(gè)等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差d00事實(shí)上，設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)ad0，a，ad0成等比數(shù)列，則a2( ad0)( ad0)，由此得a2d02，故d00（1）（i）當(dāng)n4時(shí)，由于數(shù)列的公差d0，故由“基本事實(shí)”推知，刪去的項(xiàng)只可能為a2或a3若刪去，則由成等比數(shù)列，得因d0，故由上式得，即此時(shí)數(shù)列為4d，3d，2d，d，滿足題設(shè)若刪去，則由成等比數(shù)列，得因d0，故由上式得，即此時(shí)數(shù)列為d，2d，3d，4d，滿足題設(shè)綜上可知的值為4或1(ii) 當(dāng)n6時(shí)，則從滿足題設(shè)的數(shù)列，中刪去任意一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本事實(shí)”知，數(shù)列，的公差必為0，這與題設(shè)矛盾所以滿足題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n5又因題設(shè)n4，故n4或5當(dāng)n4時(shí)，由（i）中的討論知存在滿足題設(shè)的數(shù)列當(dāng)n5時(shí)，若存在滿足題設(shè)的數(shù)列，則由“基本事實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是，從而成等比數(shù)列，故，及分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式，得及，故，矛盾因此, 不存在滿足題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列綜上可知n只能為4（2）我們證明：當(dāng)一個(gè)等差數(shù)列 ， (n4) 的首項(xiàng)b1與公差d之比值為無理數(shù)時(shí)，此等差數(shù)列滿足題設(shè)要求證明如下：假設(shè)任意刪去等差數(shù)列 ， (n4)中的k（1kn3）項(xiàng)后，得到的新數(shù)列（按原來的順序）構(gòu)成等比數(shù)列，則可令此新數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)為（0m1m2m3n1），于是有，化簡(jiǎn)得 . （*）由知，與同時(shí)為零或同時(shí)不為零若0，且0，則有，即，得，從而，矛盾因此，與都不為零，故由（*）得 （*）因?yàn)榫鶠榉秦?fù)整數(shù)，所以（*）式右邊是有理數(shù)，而是一個(gè)無理數(shù)，所以（*）不成立因此, 當(dāng)一個(gè)等差數(shù)列 ， (n4) 的首項(xiàng)b1與公差d之比值為無理數(shù)時(shí)，任意刪去此等差數(shù)列中的k項(xiàng)（1kn3），得到的新數(shù)列（按原來的順序）都不能構(gòu)成等比數(shù)列 （2）用基本不等式證明數(shù)列不等式問題例11.（廣東2011）設(shè)b0,數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)證明：對(duì)于一切正整數(shù)n, (3)用通項(xiàng)放縮法證明數(shù)列不等式問題例12：已知數(shù)列滿足（I）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（II）若數(shù)列bn滿足證：數(shù)列bn是等差數(shù)列；（）證明：（I）解：是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列 即（II）證法一：，得即 ，得 即 是等差數(shù)列 證法二：同證法一，得令得 設(shè)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)時(shí)，等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)，那么這就是說，當(dāng)時(shí)，等式也成立 根據(jù)（1）和（2），可知對(duì)任何都成立 是等差數(shù)列 （III）證明： （4）先求和后放縮解決數(shù)列不等式問題例13.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)的和，（）求首項(xiàng)與通項(xiàng)；（）設(shè)，證明：解：（I）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即，利用（其中p，q均為常數(shù)，）。 （或,其中p，q, r均為常數(shù)）的方法，解之得：()將代入得 Sn= (4n2n)2n+1 + = (2n+11)(2n+12) = (2n+11)(2n1) Tn= = = ( )所以, = ) = ( ) (5)用數(shù)學(xué)歸納法解決數(shù)列不等式問題例14.（2006，江西,理,22,本大題滿分14分）已知數(shù)列an滿足：a1，且an求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；證明：對(duì)于一切正整數(shù)n，不等式a1a2an2n！解：（1）將條件變?yōu)椋?，因此1為一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)為1，公比，從而1，據(jù)此得an（n1）1（2）證：據(jù)1得，a1a2an為證a1a2an2顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)nN*，有1（）3用數(shù)學(xué)歸納法證明3式：n1時(shí)，3式顯然成立，設(shè)nk時(shí)，3式成立，即1（）則當(dāng)nk1時(shí)，1（）（）1（）（）1（）即當(dāng)nk1時(shí)，3式也成立 故對(duì)一切nN*，3式都成立 利用3得，1（）11 故2式成立，從而結(jié)論成立 例15、已知函數(shù)在上是增函數(shù)。求實(shí)數(shù)的取值集合(2)當(dāng)中取A中最小值時(shí)，定義數(shù)列滿足：且，為常數(shù)，試比較的大小(3)在(2)的條件下，問是否存在正實(shí)數(shù)使對(duì)一切恒成立？解：(1) 對(duì)恒成立故，即，集合(2) 集合中的最小值是3當(dāng)時(shí)，下面用數(shù)學(xué)歸納法先證明，假設(shè) 于是 由數(shù)學(xué)歸納法原理得當(dāng)時(shí)總成立于是 由得，(3) 由(2)知，遞增 于是，即，因此取， 對(duì)對(duì)一切恒成立。例16、已知求證：（1）（2）（3）遞增證明：（1），由于，于是，假設(shè)，用上面的方法可得由數(shù)學(xué)歸納法原理得（2），設(shè)，于是，由（1）知，函數(shù)在上是遞增，由得，故得，于是，假設(shè)，用上面的方法可得由數(shù)學(xué)歸納法原理得恒成立，故恒成立（3）（由（2）所以，遞增，于是遞增例17、用數(shù)學(xué)歸納法證明 證明：（1）當(dāng)n=3時(shí)成立，（自已驗(yàn)證）（2）假設(shè)當(dāng)，即當(dāng)時(shí)因此當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)原式也成立綜上，當(dāng)時(shí)，原式總成立例18.數(shù)列中(a0)，求證：對(duì)于一切正整數(shù)n都有證明：，猜出：（*）下面用數(shù)數(shù)歸納法證明（*）當(dāng)n=1時(shí)（*）顯然成立假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)（*）成立，即則即當(dāng)n=k+1時(shí)（*）也成立故當(dāng) 成立，（6）用二項(xiàng)式定理證明數(shù)列不等式問題 例19.求證： (n6，)證明：（1）設(shè) 由于當(dāng)時(shí)，因此，因，故當(dāng)時(shí) 即，故（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，因，故當(dāng)時(shí)，即，故 綜上，原不等式得證（7）運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性 例20.在數(shù)列中，(1)證明:是等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)；(3)若對(duì)任意的整數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:(1)將整理得： ，所以是以1為首項(xiàng),3為公差的等差數(shù)列. (2)由()可得:，所以(3)若恒成立，即恒成立，整理得： 令： ，因?yàn)?，所以上式，即為單調(diào)遞增數(shù)列，所以最小，所以的取值范圍為（8）構(gòu)造函數(shù)，利用單函數(shù)的單調(diào)性例21數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且，求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，2.71828）和任意正整數(shù)，總有；（3）正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最大項(xiàng).（已知：）解：（1）由已知：對(duì)于，總有 成立 （n 2） -得，均為正數(shù)，（n 2） 數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列又n=1時(shí)， 解得=1，.()（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)n，總有.（3）解：由已知 ， 易得猜想 n2 時(shí)，是遞減數(shù)列.令當(dāng)在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).由.n2 時(shí), 是遞減數(shù)列.即是遞減數(shù)列.又 , 數(shù)列中的最大項(xiàng)為例22.已知數(shù)列和滿足,且對(duì)任意N都有, . (1) 判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列, 并說明理由; (2) 證明: .（已知類比章魚型函數(shù)在上單調(diào)遞減）解: 數(shù)列為等差數(shù)列. 對(duì)任意N都有,. ,即.數(shù)列是首項(xiàng)為,公差為1的等差數(shù)列. (2) 證明: , 且,. 由(1)知. , . 所證不等式,即,也即證明. 令, 則. 再令,則. 當(dāng)時(shí), ,函數(shù)在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),即.當(dāng)時(shí), . 函數(shù)在上單調(diào)遞減.，,. .成立. 例23. 已知函數(shù)（1）（2）將（）在（1）的條件下，求并證明（）解：（1）1分經(jīng)檢驗(yàn)：2分（2）將（）在（1）的條件下故（）方法1：即 為單調(diào)增函數(shù)，故不可能有兩實(shí)根10分a0 令當(dāng)遞減，處取到極大值 要使軸有兩個(gè)交點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng)0解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為方法2： 與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)當(dāng)時(shí)，遞增與直線下降或與x軸重合，故交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1，不合題意， a0由幾何意義知與直線y=ax交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2時(shí)，直線y=ax的變化應(yīng)是從x軸到與相切之間的情形設(shè)切點(diǎn)，切線方程為：由切線與y=ax重合知，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為方法3：轉(zhuǎn)化為處理，根據(jù)步驟相應(yīng)計(jì)分基本題型四 數(shù)列中的存在與恒成立問題例24.已知數(shù)列an和bn滿足：a1=,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù).（1）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù),數(shù)列an不是等比數(shù)列；（2）證明：當(dāng)-18時(shí)，數(shù)列bn是等比數(shù)列；（3）設(shè)Sn為數(shù)列 bn 的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù),使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有Sn-12?若存在，求的取值范圍；若不存在，說明理由.（1）證明 假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù),使an是等比數(shù)列，則有a=a1a3,即=2-4+9=2-49=0,矛盾.所以a