（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專業(yè)論文）有限子序列覆蓋映射及π映象.pdf

獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人聲明所呈交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的 研究成果。據(jù)我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文中不包含其 他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果，也不包含為獲得密綹女警其他教育機(jī)構(gòu) 的學(xué)位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的任何貢獻(xiàn)均 已在論文中作了明確的說明并表示謝意。 學(xué)位論文作者鮐移7 每藩簽字魄洳一年月。日 學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解雅櫞式酗關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定， 有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和磁盤，允許論文被查閱和 借閱本人授權(quán)瘟銬女鼢以將學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行 檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存，匯編學(xué)位論文 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名：，物7 芻努導(dǎo)師簽名：攙，硝攔 簽字日期口國f 年廠月弘日 簽字日期：跚年一f 月p 日 學(xué)位論文作者畢業(yè)去向：家釣技教蜀巷f 乳 工作單位：它 弘數(shù)務(wù)學(xué)f 勛電話：肛孔名尹7 j 。業(yè) 通訊地址：寶4 獨(dú)赦毒彥f 凌。彀學(xué)每，郵編：口多刪 2 摘要 本文主要是討論了有限子序列覆蓋映射的若干性質(zhì)以及此映射與其它映 射類之間的相互關(guān)系，另一方面本文還給出了局部可分度量空間的7 r 映象的 某些內(nèi)在刻畫 在第二章中，我們主要證明了有限子序列覆蓋映射保持s n 一第一可數(shù)空 間，作為它的應(yīng)用，又證明了有限子序列覆蓋、商映射保持9 一第一可數(shù)空間， 也證明了有限子序列覆蓋閉映射保持s n 一度量空間，g 一度量空間，度量空 間，點(diǎn)可數(shù)基。此外，我們還研究了幾種映射類之間的相互關(guān)系，首先說明了 第一可數(shù)空間上的映射，是幾乎開映射當(dāng)且僅當(dāng)，是1 一序列覆蓋的偽開映 射，其次說明了s n 一第一可數(shù)空間上的1 一序列商映射是1 一序列覆蓋映射 最后舉例說明了1 一序列商映射未必是序列覆蓋映射，從而也就否定回答了文 【3 】中提出的一個(gè)問題 在第三章中，我們主要是利用篩的概念給出了局部可分度量空間的序列 商及序列覆蓋”映象的某些內(nèi)在刻畫，而且度量空間的各種”象也可以用篩 的概念給出刻畫，證明了空間x 是度量空問的序列商( 序列覆蓋) ”映象當(dāng) 且僅當(dāng)x 具有c 3 + ( 。) 篩構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng)以及空間x 是局部可分度量空間的序 列商( 序列覆蓋) ”映象當(dāng)且僅當(dāng)x 具有可數(shù)纖維的c s + ( c s ) 篩構(gòu)成的點(diǎn)星 網(wǎng)。 關(guān)鍵詞：1 一序列商映射；1 一序列覆蓋映射；有限子序列覆蓋映射；s n 一 度量空間；9 一度量空間；度量空間；x 一空間；局部可分度量空間；序列商 3 映射；序列覆蓋映射；”映射；篩；c s 篩；c 礦篩 a b s t r a c t i nt l l i sp a p e r ，w ed i s m l s st h ep r o p e r t i e so ft h en n i t es u b s e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g sa n dr e l a t i o nb e c w e e i li ta n do t h e rm a p p i n g s 穗a l s oo b t a i ns o m ei n t e rc h a r a c t e r i z a t i o n so ft l l e7 ri m a g e so f l o c a l l ys e p a r a b l em e t r i cs p a c e s i nc l l a p t e r2 ，w ep m v et h a ts n 一矗r s tc o u n t a b l es p a c e sa r ep r e s e r v e db yt h e6 n i t e s u b s e q l l e n c e c o v c r i n gm a p p i 唱s b yt h i sr e s u l t ，w ep r o v et h a tt h e 矗n i t es u b 8 e q u e n c e c o v e r i n g ，q u o t i e n th l a p p i n 9 8p r e s e r v e 口一n l e t r i z a b l es p a c e s ，a l s op r o v et h a tt h e6 n i t e s u b s e q u e n c e c o v e r i n g ，c l o s e dm a p p j n g sp r e s e r v e 占扎一n l c t r j z a b l es p a c e s ，夕一m e t r i z a b l e s p a c e s ，m e t r i z a b l es p a c e s ，p o i n t c o u n t a b l eb a s c s i na d d i t i o n ，c o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e dt l l 砒m a p p i n g so n 矗r s c o u m a b l es p a c e sa l ea i m o s o p e nm a p p n g sj fa n d o n l yi nt h em a p p i n g sa r eo n e s e q u e n c e - c o v e r i g ，p s e u d o - o p e nm a p p i n g s ，a n do n e 一 8 e q u e n c e 。q u o t i e n m a p p i n g so s n n r s tc o u n t a b i es p a c e sa r eo n e s e q u e n c e c o v e r i “g m 印p i n g s a tl a s t ，a ne x a m p l ea r eg i v e no u tt os h o wt h a tn o ta l lo n e 8 e q u e n c e - q u o t i e n tm 印p i n 9 8a r es e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g s i nc h 印t e r3 ，u s i n gt h en o t i o no fs i e v et og i v ec h a r a c t e r i z a t i o so f 曲e8 e q u e c e q u o t i e n ta n d8 e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g s 丌i m a g e so fm e t r i cs p a c e sa n dl o c d l y s e p a r a b l em e t r i cs p 8 c e 8 w ep r o v et h a ta8 p a c exi sas e q u e n c e q u o t i e n t ( s e q u e n c e c o v e r i r 培) 7 ri m a g e 8o fm e t r i cs p a c e si fa n do n l yi fxh a sap o j n t s t a rn e t w o r kw h i c h h a sc 礦( c s ) s j e v ea n das p a exj sas e q u e c e _ q u o t i e n ( s e q u e n c e c o v e r i n g ) 7 rj m a g e s o fl o c a l l ys e p a r a b l e 塒【e t r i cs p a c e si fa n do n l yi fxh a sap o i n t s t a rn e t w o r ko fa 5 c o u n a b l ec 1 1 r e a tw h i c hh a sc s + ( c s ) 8 i e v e k e yw o r d s ：o n e s e q u e n c e q u o t i e n tm a p p i n g s ；o n e s e q u e n c e c o v e r i n gm a p p l n 9 8 ； 6 n i t es u b s e q u e n c e c o v e r i n gm a p p i n g s ；s 禮一m e tr i z a b l es p a c e s ；9 一m e t r i z a b l es p a c e s n e tr i z a b l es p a c e s ； x s p a c e 8 ； l o c a l l ys e p a r a b i em e t r i cs p a c e s is e q u e n c e q u o i e n t m a p p i n g s ；o n e s e q u e n c e c o v c r i n gn l a p p i n g s ；丌m a p p i n g s ；s i e v e ；c ss i e v e ；c s s i e 、，e 6 安徽大學(xué)碩士論文有隈子序列覆蓋映射及”映象 第一章引言 l 一序列覆蓋映射是在一般拓?fù)鋵W(xué)中近來經(jīng)常被研究的一類映射，它具有 保持9 第一可數(shù)空間等良好性質(zhì)近來的研究表明，它具有一種所謂的收斂 序列的“拉回”性質(zhì)，然而，我們在研究廣義度量空間的映射象時(shí)，所涉及的 映射通常并不滿足這一條件，例如序列商映射因此，在第二章中，我們考慮 將其條件減弱，將“保持收斂序列”減弱為“收斂子序列”，將“存在原象中 的一點(diǎn)”減弱為“存在原象中的有限子集”，這樣得到的映射即為本章中的有 限子序列覆蓋映射而且它具有與1 序列覆蓋映射類似的良好性質(zhì)； 定理2 ，l ：有限子序列覆蓋映射保持s n 一第一可數(shù)空間。 作為其應(yīng)用，我們得到了一些推論： 推論2 1 ；有限子序列覆蓋、商映射保持g 一第一可數(shù)空間 推論2 2 ：有限子序列覆蓋閉映射保持s n 一度量空間，9 一度量空間，度 量空間 推論2 3 ：有限子序列覆蓋閉映射保持具有點(diǎn)可數(shù)基的空間 文 3 中谷建勝引進(jìn)l 一序列商映射，由于有限子序列覆蓋映射號卜序 列商映射，故： 推論2 4 ：l 一序列商映射保持s n 一第一可數(shù)空間 推論2 5 ： 1 一序列商、商映射保持9 一第一可數(shù)空間 推論2 6 ： l 一序列商閉映射保持s n 一度量空間，9 一度量空間，度量空 間，具有點(diǎn)可數(shù)基的空間 第一章引言 7 另一方面，我們還研究了幾種映射類之間的相互關(guān)系： 定理2 2 ：設(shè)m 為第一可數(shù)空間，：m _ x ，那么，為幾乎開映射當(dāng)且 僅當(dāng)，是l 一序列商的偽開映射 定理2 3 ：設(shè)肘為s n 一第一可數(shù)空問，：m _ x 為l 一序列商映射，則 ，是l 一序列覆蓋映射 從而文( 3 j 中的結(jié)果均是此結(jié)論的直接推導(dǎo)。最后，還舉例說明了最后舉 例說明了卜序列商映射未必是序列覆蓋映射，從而也就否定回答了文 3 中 提出的一個(gè)問題。 在第三章中，利用篩的概念給出了局部可分度量空間的序列商及序列覆 蓋”映象的某些內(nèi)在刻畫近年來，局部可分度量空間的幾類s 映象，緊映象 都有一些刻畫，本章主要對其”象給出內(nèi)在刻畫，主要結(jié)果有： 定理3 3 ：空間x 是局部可分度量空間的序列商”象當(dāng)且僅當(dāng)x 具有可 數(shù)纖維的c s + 篩構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng) 定理3 4 ：空間x 是局部可分度量空間的序列覆蓋”象當(dāng)且僅當(dāng)x 具有 可數(shù)纖維的c s 篩構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng) 本論文中所有空間為正則的，所有映射連續(xù)且是到上的 8 安徽大學(xué)碩士論文 有限子序列覆盞映射及丌映象 第二章關(guān)于有限子序列覆蓋映射 5 2 1 基本概念 定義2 1 1 1 】：設(shè)，：x y 是映射 ( 1 ) ：，成為偽開映射，若v 是x 的開子集且，- 1 ( 9 ) y ，則，( 礦) 是y 在 y 中的鄰域 ( 2 ) ：，成為幾乎開映射，若對于口y ，存在。，- 1 ( 9 ) 使得如果( ，是z 在 x 中的鄰域，則，( 礦) 是在r 中的鄰域 ( 3 ) ：，成為閉映射，若f 是x 的閉子集，則，( f ) 是l ，的閉子集 ( 4 ) ：，成為開映射，若礦是x 的開子集，則，( y ) 是l ，的開子集 ( 5 ) ：，成為商映射，若，“渺) 是x 的開子集，則c ，是x 的開子集 易驗(yàn)證，幾乎開映射# 開映射兮偽開映射穹商映射 閉映射= 偽開映射辛商映射 定義2 2 【1 】：設(shè)，：x y 是映射， ( 1 ) ，稱為序列商映射，若 ) 是y 中的收斂序列，那么存在 鯫) 的子 序列 。，和x 中的收斂序列 q ) 使得每一q 廠1 ( 。) ( 2 ) ，稱為序列覆蓋映射，若 洳) 是y 中的收斂序列，那么存在x 中的 收斂序列 。) 使得每一z 。廠1 ) 定義2 ，3 ( 1 】：設(shè)，：x y 是映射，稱，為1 序列覆蓋映射：若對于 g y ，存在z ，- 1 ( 目) 滿足：如果y 中的序列口。收斂于g ，那么存在x 中收 斂于z 的序列。使得每一$ 。，_ ( ) 第二章關(guān)于有限子序列覆蓋映射 9 定義2 ，4 【3 j ：設(shè)，：x + y 是映射，稱，為1 序列商映射：若對于y y ， 存在z 廠1 ( ) 滿足：如果y 中的序列f g 。) 收斂于，那么存在x 中收斂于 z 的序列 z 。 使得每一z 。，“( 螄。) 定義2 ，5 f 1 0 ) ：設(shè)，：工，y 是映射，稱廠為有限子序列覆蓋映射：若對于 y ，存在，_ 1 ( ) 的有限子集r 使得對任意收斂于9 的序列m ，存在序列三 收斂于k 中的某點(diǎn)，且，( 己) 是m 的子序列 顯然，1 序列覆蓋映射號l 一序列商映射= 爭有限子序列覆蓋映射j 序列 商映射 1 一序列覆蓋映射= 爭序列覆蓋映射= 序列商映射 定義26 1 1 ：設(shè)x 是一個(gè)空間，p c x ( 1 ) ：若x 中序列z 。收斂于z ，稱 z 。 是終于p 的，如果存在m ，使 得 z u 。：n 仇) cp ( 2 ) ：p 稱為x 中點(diǎn)。的序列鄰域，若x 中序列 z 。 收斂于。，則( 岱。) 是終于p 的。 ( 3 ) ：x 稱為序列空間，若x 的每序列開集是x 的開集。 ( 4 ) ：x 稱為耳空間，若acx 使得對于x 的每一緊子集k 有k n a 是 k 的閉子集，則a 是x 的閉子集。 ( 5 ) ：x 稱為f r c 船t 空間，若。c f ( a ) cx ，則存在a 中點(diǎn)組成的序列 。) ，使得在x 中 。) 收斂于z ( 6 ) ：x 稱為強(qiáng)f r d 礬e t 空間，若 a ) 是x 中遞減的集列且。n 。 rc f ( 如) ， 則存在z 。a 。m ) ，使得在x 中 z 。 收斂于。 1 0安徽大學(xué)碩士論文有限子序列覆蓋映射及7 r 映象 顯然，第一可數(shù)空間號強(qiáng)f r d 曲甜空間寺f r d c e 空間辛序列空間辛 空間 定義2 7 川釓設(shè)p = u 妒。：z x 是空間x 的覆蓋，對每一。x ，滿 足下述條件( n ) ，( 6 ) ( o ) ：是z 處網(wǎng)，即。n 吼且任給含。的開集，存在p r ，使得 尸cu ( d ) ：若p l ，p 2 吼，則存在p 乃，使得尸cp i n 懇， ：p 稱為x 的弱基，如果任給gcx ，g 是x 的開集當(dāng)且僅當(dāng)對每一 $ g ，存在尸巴，使得pcg ，此處兄稱為。處弱鄰域基。 ( 2 ) ：p 稱為x 的s n 一網(wǎng)，如果每一z x ，r 中任元是z 的序列鄰域， 此處r 稱為z 處s n 一網(wǎng) ( 3 ) ：空間x 稱為9 一第一可數(shù)( s n 一第一可數(shù)) 的，如果x 具有弱基 ( s n 一網(wǎng)) p = u r ：z x ，使得每一是可數(shù)的；空間x 稱為9 一度 量空間( s n 一度量空間) ，如果x 具有a 一局部有限弱基( 弱鄰域) 定義2 8 1 】：設(shè)p 是空間x 的覆蓋 ( 1 ) ：p 稱為x 的k 網(wǎng)，若對于x 中的每一緊子集k 及x 中包含k 的開 子集y ，存在_ p “使得k u p v 具有。一局部有限網(wǎng)的空間稱為x 一空間 ( 2 ) ：p 稱為x 的c s 網(wǎng)，若x 中的序列 z 。) 收斂于z 且y 是z 在x 中 的鄰域，則存在尸尹使得序列 。 終于p 且尸 礦 ( 3 ) ：p 稱為x 的 c s + 網(wǎng)，若x 中的序列 z 。) 收斂于且z u r ，則 第二章關(guān)于有限子序列覆蓋映射 存在p p 和如。 的子序列z 。，使得z 。c ，cu 注f 1 ) ： ( 1 ) 弱基= 爭s n 一網(wǎng)凈網(wǎng)j 網(wǎng)仁女網(wǎng)，故9 一度量空間 j s n 一度量空間；9 一第一可數(shù)= s n 一第一可數(shù)jc s 一第一可數(shù)。 ( 2 ) 序列空間中，弱基替s n 一網(wǎng)，故9 一第一可數(shù)空間甘s n 一第一可數(shù) 空間，9 一度量空間甘s n 一度量空間 2 2 主要結(jié)果及其證明 我們已經(jīng)在書 1 中已經(jīng)知道，1 序列覆蓋映射具有良好的性質(zhì)，它能保 持m 一第一可數(shù)空間，并且1 序列覆蓋，商映射保持g 一第一可數(shù)空間，那么 有限子序列覆蓋映射是否具有類似的性質(zhì)呢? 基于這樣的想法，我們首先得 到如下的定理： 定理2 ，l ：有限子序列覆蓋映射保持s n 一第一可數(shù)空間 證明；設(shè)，：肘- x 為有限子序列覆蓋映射，吖是s n 一第一可敷空問， 則對于z x ，存在，。( z ) 的有限子集k = t ，2 ，0 ) 滿足定義中條件，記 8 t i - 且。，是點(diǎn)t ：在膨中的可數(shù)遞減序列鄰域網(wǎng)，令 k = u 墜1 曰i 。 p z = ，( z k ) = ，( u b 訊) 下說明吼為z 的可數(shù)遞減序列鄰域網(wǎng) ( 1 ) p 。為z 的可數(shù)遞減網(wǎng)：顯然凡遞減，且z n r ，任給含z 的開 集u ，則廠1 ( u ) 是缸( 1si r ) 的開鄰域，故對每個(gè)圮存在b 。8 t ：，使得 b 。，一1 ( u ) 取 1 2 安徽大學(xué)碩士論文有限子序列覆蓋映射及7 r 映象 n o = m 。z ( n n 對應(yīng)所有旦。( 1 isr ) 的下標(biāo)中的n ) 則由廖“的遞減性，我們得到b 。= u b mc 廠1 ( ，) ，故 ( b n o 、c u 由此可見，r 為z 的可數(shù)遞減網(wǎng) ( 2 ) 每一，( 曰。) 均是茁的序列鄰域：設(shè)f 。 收斂于z ，若，( b n ) 不是。的 序列鄰域，則存在( 。 - 。，z 。毛，( 取) 而由b n 定義，存在m 中收斂于某個(gè) ( 1 i o r ) 的序列托。 ，。c 玩，使得 ，( 。) ，t j v ) 是 。) 的子列，這于 。芒，( b 。) 矛盾 由此可見。，( b 。) 均是z 的序列鄰域 由( 1 ) ( 2 ) ，p 工為z 的可數(shù)遞減序列鄰域網(wǎng)，故x 為s n 一第可數(shù)空間 定理得證 由此定理，我們有： 推論2 1 ：有限子序列覆蓋、商映射保持9 第一可數(shù)空間 證明：設(shè)，：彤_ 爿為有限子序列覆蓋映射，肘是p 一第可數(shù)空閉 由定理2 1 ，x 為s 禮一第一可數(shù)空間，而由 1 引理1 4 3 ：商映射保持序列空間 性質(zhì)，且在序列空間中，口一第一可數(shù)空間甘s n 第一可數(shù)空間，故x 是9 一 第一可數(shù)空間即 有限子序列覆蓋商映射保持g 一第一可數(shù)空間 推論2 2 ：有限子序列覆蓋閉映射保持s n 一度量空間，9 一度量空間，度 量空間 第二童關(guān)于有限子序；q 覆蓋映射 1 3 證明：設(shè)廠：m _ x 為有限子序列覆蓋映射 ( 1 ) ：m 是s n 一度量空間，則由定理2 ，1 ，x 為s n 一第一可數(shù)空間，結(jié)合 5 】 推論3 2 ：s n 一度量空間的閉映像是s n 一度量空間當(dāng)且僅當(dāng)它是s n 一第一可數(shù) 空間故x 為s n 度量空間即 有限子序列覆蓋映射保持s n 一度量空間 ( 2 ) ：m 是g 一度量空間，由予序列空間中，9 一度量空間營s ”度量空 間而序列空間在閉映射下保持，結(jié)合( 1 ) 知： x 為9 一度量空間即： 有限子序列覆蓋映射保持9 一度量空間， ( 3 ) ：m 是度量空間，由 5 】定理2 4 ：空間m 是度量空間當(dāng)且僅當(dāng)m 是 f 7 - d c f 。e t 的s n 一度量空間而另一方面，f r c 戰(zhàn)空間在閉映射下保持，結(jié)合 ( 1 ) 知：肖為度量空間即 有限子序列覆蓋映射保持度量空間 定理得證 推論2 3 ；有限子序列覆蓋閉映射保持具有點(diǎn)可數(shù)基的空間 證明：設(shè)，：m x 為有限子序列覆蓋映射，m 具有點(diǎn)可效基，由于閉 映射保持f r g 曲e t 空間，故x 為f r c _ f i e t 空間，又由定理2 1 知：x 為s n 一 第一可數(shù)空間故結(jié)合( 1 推論1 4 8 ( 1 ) ：空間x 是第一可數(shù)空間當(dāng)且僅當(dāng)x 是s n ，可數(shù)的f r d c e t 空間x 是第一可數(shù)空間而另方面，由【1 】定理 2 2 ，5 知：x 具有點(diǎn)可數(shù)自網(wǎng)故x 是具有點(diǎn)可數(shù)訓(xùn)c 礦網(wǎng)的序列空間，由并 的正則性及 1 推論2 1 1 1 知：x 具有點(diǎn)可數(shù)基即 有限子序列覆蓋映射保持具有點(diǎn)可數(shù)基的空間 1 4 安徽大學(xué)頊?zhǔn)空撐挠邢拮有蛄懈采w映射及7 r 映象 由于1 序列商映射辛有限子序列覆蓋映射，故有： 推論2 4 ：1 序列商映射保持s n 一第一可數(shù)空間 推論2 5 ：i - 序列商，商映射保持9 一第一可數(shù)空間 推論2 6 ：l 序列商閉映射保持s n 一度量空間。9 一度量空間，度量空 間，具有點(diǎn)可數(shù)基的空間 我們知道，l 序列覆蓋映射，序列覆蓋映射，開映射，幾乎開映射以及 1 序列商映射，有限子序列覆蓋映射都具有一種收斂序列的”拉回一陛質(zhì)， 而且這些映射之間也會(huì)有一些關(guān)系，燕鵬飛，林壽，江守禮在 1 1 中證明了可 度量空間上的序列覆蓋閉映射是1 一序列覆蓋映射；林壽，燕鵬飛在【7 中證 明了第一可數(shù)空間上的映射，是幾乎開映射當(dāng)且僅當(dāng)，是1 一序列覆蓋的偽 開映射，我們減弱條件，得到定理2 2 及1 一序列商映射與1 一序列覆蓋映射 的關(guān)系定理 定理2 2 ：設(shè)m 為第一可數(shù)空間，：m _ x ，那么，為幾乎開映射當(dāng)且 僅當(dāng)，是1 一序列商的偽開映射 證明：”辛”因?yàn)閘 序列覆蓋映射辛1 序列商映射，所以結(jié)論成立 ”簪”設(shè)，：m - x 為i 一序列商的偽開映射，對于每一。x ，存在t 廠1 ( 。) 滿足定義中要求，如果u 是t 在m 中的鄰域，我們要證明，( u ) 是z 在x 中的鄰域： 首先說明，( u ) 是z 在x 中的序列鄰域，若不然，則存在 。) 收斂于 。，z 。啊，( u ) ，又，是1 一序列商的，故存在m 中收斂于某個(gè)的序列 ， 第二章關(guān)于有限子序列覆蓋映射 1 5 使得每一t 。，一1 ( z 。) 、由于u 是在m 中的鄰域，故 。) 終于c ，因此 ，( 如) ) 終于，( 礦) ，即 z 。) 終于，( l ，) ，矛盾。由此，( u ) 是z 的序列鄰域又由于 m 為第一可數(shù)空間，而偽開映射保持f r d c e 性質(zhì)，故x 為尸r d 曲e 空間， 由( 1 ，引理1 4 ，7 1 ，( u ) 是。的鄰域，于是，是幾乎開映射 定理得證 定理2 3 ：設(shè)彤為s n 一第一可數(shù)空間，：m 一x 為1 序列商映射，則 ，是l 一序列覆蓋映射 證明：設(shè)，：m 葉x 為1 一序列商映射，。x ， 。) - 。，則存在，。( z ) 滿足定義中條件因?yàn)閙 為一第一可數(shù)空間，故可取在 ，中的遞減的 可數(shù)序列鄰域網(wǎng) h ，n ， 首先我們說明，( k ) 是。的序列鄰域： 若，( k ) 不是z 的序列鄰域，則存在 z 。 收斂于z ，z 。- ，( y ) ，且存在m 中收斂于某個(gè)的序列( 如) ，使得每一“，1 ( 岱k 。) ，由于每一 n 是 在m 中的序列鄰域，故 k ) 終于k ，因此 ，( 。) ) 終于，( ) ，即 z 。) 終于，( ) ， 矛盾 由此可見，( 壇) 是z 的序列鄰域 其次，我們令 三= 。n ，n u 茹) ， 三k = 囂。，n 盤 u ) ， 則對任意n 1 存在。，使得l kc ，( k ) ， 當(dāng)n 女l 時(shí)，取如，一( 。) 1 6 安徽大學(xué)碩士論文有限子序列覆蓋映射及7 r 映象 當(dāng)n 。 o 定義3 6 1 3 1 ：序列d = ( d 。，以。，”。) ) 。l 稱為x 的篩：若每個(gè)口n = d ( 口) ： o a 。 是x 的覆蓋，7 r 。：a ，i + l - a 。為到上映射且對每個(gè)o a 。有： d ( ) = u ( d ( n ) ：幾：( o ! ) = o ) 注；在下述證明中，記”搿= “”。+ l ”。 定義37 ：口稱為x 的具有可數(shù)纖維的篩：若上述篩的定義中，對任一 q 如，”i 1 ( a ) 是a 。+ 1 的可數(shù)子集 口稱為x 的c s ( c s ) 篩；若對每一個(gè)收斂序列s ，存在一列 d ( a 。) ，a 。 如，n ) ，使得( o 。十1 ) = o 。對每個(gè)n ，s ( s 的某個(gè)子序列) 終于d ( a 。) 5 3 2 主要結(jié)果及其證明 我們知道，點(diǎn)星網(wǎng)被廣泛的運(yùn)用于描述度量空間的各種”和緊映象，例 如我們在書 1 】中已經(jīng)知道： 空間x 是度量空間的序列商( 子序列覆蓋) w 映象當(dāng)且僅當(dāng)x 具有c r 覆 蓋構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng) 空間x 是度量空間的商”映象當(dāng)且僅當(dāng)x 具有+ 覆蓋的點(diǎn)星網(wǎng)的序列 空間 2 0 安徽大學(xué)碩士論文有限子序列覆蓋映射及7 r 映象 空間工是度量空間的偽開”映象當(dāng)且僅當(dāng)x 具有c 礦覆蓋的點(diǎn)星網(wǎng)的 f r d c f l e 空間 對于空間x ，下述四個(gè)條件等價(jià)： ( 1 ) x 是度量空間的1 序列覆蓋的( 商，偽開) ”映象； ( 1 ) x 是度量空間的序列覆蓋的( 商，偽開) ”映象； ( 3 ) x 具有s n 覆蓋構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng)的( 序列空間，f r d c e t 空間) ； ( 4 ) x 具有c s 覆蓋構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng)的( 序列空間，r c e t 空間) 等等諸多結(jié)論e h a b e r 在文獻(xiàn)【1 2 】中利用篩的概念描述了一些弱度量空間的 象，事實(shí)上，篩還可以用來描述局部可分度量空間的一些”映象 首先，我們在度量空間中用篩來給出”象的刻畫。 定理3 1 ：下列三個(gè)條件等價(jià)： ( 1 ) x 是度量空間的序列商”象 ( 2 ) x 具有c s 覆蓋構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng) ( 3 ) x 具有”篩構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng) 證明( 1 ) 甘( 2 ) 見【2 定理3 1 6 ( 3 ) 辛( 2 ) 顯然 ( 2 ) ：爭( 3 ) ：設(shè)f ) 為x 的c s + 覆蓋構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng)記 p i = 尸n ：o a i ) 令妒；= _ p l = j 氣：8 a 1 ) p ：= rn 昂：a a l ，盧a 2 圭 已：7 以1 a 2 ) 第三章局部可分度量空間的7 r 映象 2 l p ：= r ：a 兀冬l a ) 令 n 斗1n ：a ：_ n a = lt = l ( o i 1 “n + l ) ( a l ，口n ) 則易驗(yàn)證 ( p ：，兀饕【a ，”。) ) 。2 1 為x 的c s + 篩構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng) 同樣地可以給出下個(gè)定理： 定理3 ，2 ：下列三個(gè)條件等價(jià)： ( 1 ) ：x 是度量空間的序列覆蓋”象 ( 2 ) ：x 具有c s 覆蓋構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng) ( 3 ) ：x 具有c s 篩構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng) 對于局部可分度量空間，我們也有類似的刻畫，下面將給出局部可分度量 空間的序列商”象及序列覆蓋”象的某些刻畫 定理3 3 ：空間x 是局部可分度量空間的序列商”象當(dāng)且僅當(dāng)x 具有可 數(shù)纖維的c s 篩構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng) 證明”兮”設(shè)，：m - x 為序列商7 r 映射，m 為局部可分度量空間取 m 的直徑小于1 的由可分子集構(gòu)成的開覆蓋為口- ，令 a l = a 8 l = 地，d a 1 ) ， 2 2 安徽大學(xué)碩士論文有限子序列覆蓋映射及7 r 映象 故m 。具有可數(shù)開覆蓋，其半徑小于1 2 ，記為 口( 血) ：a a 。，d i n m b ( o ) 1 n 若。，( 縣( o 。) ) ，則，- 1 ( z ) n 廖( a 。) 若日( 。) 不全包含于，一1 ( u ) ，則 矛盾 d ( ，一1 ( 。) ， f ，1 ( c 廠) ) 出口”l 口( o 。) l n 故b ( o ，。) ，一1 ( u ) ，3 ( z ，p 。) cu ”乍”設(shè)p 是x 的具有可數(shù)纖維的。+ 篩構(gòu)成的點(diǎn)星網(wǎng)，r = ( p 。；： o i ) 對每一個(gè) u ，賦予a 離散拓?fù)?，?m = 壚= 慨) h ，鼬a ：存在a 1 ，使得” ( 覷+ 1 ) 一o l 且 昂，) 是x 中某 點(diǎn)。( 盧) 的網(wǎng) 則m 做為兀，。a 的子空間是可度量化的 定義 j ：m _ x 盧- z ( 盧) 是連續(xù)到上的 ( 1 ) m 是局部可分度量空間：設(shè)= ( 覷) m ，j 0 1 使功。= p n 。令 安徽大學(xué)碩士論文有限子序列覆盞映射及7 r 映象 和= n = h ) n a ：7 r i ( 1 i 十t ) = 0 1 且( b ， 是x 中某點(diǎn)z ( 盧) 的網(wǎng)1 則a 婦為m 的含盧的開集 令r ；= ( 7 4 。7 r j 一1 ( ，y ) = q 1 ) ，則r ；可數(shù)，且 鉑c 丌：( 饑) 故可 分 可見m 是局部可分度量空間。 ( 2 ) ，：m 。x 為7 r 映射：p 為x 的點(diǎn)星網(wǎng)，讓( ，m ，x ，p ) 是p o n o m a r e v 系下說明存在m 上的度量d 使得，是”映射： 對于每一。x ，n ，存在o 。 ，。使得。r 。，且p 0 。+ 。c 尸0 。由于 p 為x 的點(diǎn)星網(wǎng)，所以( j 氣。) 是z 在x 中的網(wǎng)令o = ( 0 。) ， 則o m ，且，( o ) = z ，故，為滿函數(shù) 設(shè) q = ( o ，) m ，( 口) = z u 下( x ) ， 則存在n 使得r 。c u 令 y = 侈m ：盧的第n 個(gè)坐標(biāo)為o 。) ， 那么v 是m 中含n 的開子集且，( y ) cr 。cu ，故，連續(xù) 對于每一吼聲m ，定義 d c a ，盧，= 。，。：。，n 。盧，：i ； 則d 是m 上的距離由于m 的拓?fù)涫怯须x散空間族( a ) 的積空間所誘 第三章 局部可分度量空間的7 r 映象 導(dǎo)的子空間拓?fù)洌谑莇 是m 上的度量對于。，r ( x ) ，存在n ，使 得s ( z ，_ p 。) cu 對于q ，一1 ( z ) ，盧m ，若d ( o ，盧) 1 n ，那么當(dāng)isn 時(shí) 有：q ( a ) = ”n ( 盧) ，于是。只。( 。) = b 。( 口) ，從而 ，( 盧) n ，n 只( 盧) cp 丌。) 礦 因此 d ( ，一1 ( z ) ，m ，一1 ( 礦) ) 1 n 故，是”映射 ( 3 ) ，是序列商映射：p 是空間x 的“。篩，則對任意的收斂序列 z 。) _ z o ，令丁= z n ，n u ( z ，不妨設(shè)z 。z o ，則存在( p 0 。 。l ，對每個(gè)n ， f ) 的某子序列終于 r 。) 令 = t n r 。 則矗終于 r 。，且五十l 是正的子序列，于是正c 億 m 時(shí)有o 。= o 。，于是在如序列 a 。) 收斂于a 。對每個(gè)m 令風(fēng)。= ( a 。) ，則，( 盧。) = z 。，且在m 中序列 肪) 收斂于盧= ( ) 故，為序列覆蓋映射。 致謝 本論文是在我的導(dǎo)師燕鵬飛教授的支持、鼓勵(lì)和精心指導(dǎo)下完成的在我 研究生三年的學(xué)習(xí)過程中，燕老師淵博的專業(yè)知識、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，以及敏 銳的學(xué)術(shù)洞察力都讓我受益匪淺我在學(xué)習(xí)中所取得的任何進(jìn)步都離不開燕 老師對我的悉心指導(dǎo)和親切關(guān)懷在此特表示我最深切的感謝 感謝數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2 0 0 2 級全體研究生同學(xué)和你們相處的三年 中，我們在學(xué)業(yè)上共同進(jìn)步，在生活上互相關(guān)心，度過了很多快樂的時(shí)光。特 別感謝和我同一個(gè)導(dǎo)師的同學(xué)楊二光、呂誠，和你們共同的學(xué)習(xí)和討論幫助我 在學(xué)習(xí)中克服很多困難 感謝我的輔導(dǎo)員裴修碧老師和劉衛(wèi)老師，感謝你們?nèi)陙韺ξ业膸椭?關(guān)懷，你們是我學(xué)習(xí)和生活中的良師 最后我要向我的親人，我的父母和弟弟表示我深深的致意，感謝他們多 年來對我的照顧，正是他們從未改變過的信念和不倦的鼓勵(lì)，才使得我的論文 得以順利完成 再次感謝所有幫助過我的老師，同學(xué)和親人! 3 1 4 參考文獻(xiàn) ”林壽：點(diǎn)可數(shù)覆蓋與序列覆蓋映射【m ，科學(xué)出版社，2 0 0 2 m 林壽：廣義度量空間與映射【m 】，科學(xué)出版社，1 9 9 5 3 l 谷建勝：關(guān)于l 一序列商映射【j 】，數(shù)學(xué)研究，2 0 0 3 ，4 4 ： 3 0 5 3 0 8 。 4 林壽，燕鵬飛：關(guān)于序列覆蓋緊映射【j ，數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2 0 0 1 ，4 4 ：1 7 5 一1 8 2 臥葛英：關(guān)于s n 一度量空間【j j ，數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2 0 0 2 ，4 5 ：3 5 5 3 6 0 ( 6 ，林壽：關(guān)于序列覆蓋s 映射【j ，數(shù)學(xué)進(jìn)展，1 9 9 6 ，2 5 ： 5 4 8 5 5 1 7 】l j ns ，y a np ：s e q u e n c e - c o 她r i n gi n a p so f m e