微積分A習題答案.pdf

2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 1 頁 目錄 練習題部分 第一部分 極限與連續(xù) 2 第二部分 導數(shù)與微分 8 第三部分 導數(shù)與微分的應用 13 第四部分 不定積分 17 第五部分 定積分 21 第六部分 微分方程 25 附錄 練習題答案 第一部分 極限與連續(xù) 27 第二部分 導數(shù)與微分 38 第三部分 導數(shù)與微分的應用 47 第四部分 不定積分 57 第五部分 定積分 70 第六部分 微分方程 80 致謝 86 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 2 頁 第一部分 極限與連續(xù) 一 求極限一 求極限 1 32 3 342 lim 753 x xx xx 2 2 2 1 21 lim 1 x xx x 3 222 12 lim n n nnn 4 3 1 13 lim 11 x xx 5 1 0 lim x x e 6 2sin3 lim sin2 x xx xx 7 42 lim12 n nnnn 8 0 1 sin x lim x x 9 2 13 lim sin x xx xx 10 arctan lim x x x 11 2 lim1 x xxx 12 2 lim n nnn 數(shù)列極限的值為 1 01 2 ABCD 不存在 13 下列極限計算正確的是 A 1 1 lim 2 2 n n n x x B 1 sin sin lim xx xx x C 0 sintan lim 3 0 x xx x C 2 2 1 1lime n n n 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 3 頁 14 下列極限中存在的是 2 1 00 1111 limlimlim sinlim 21 1 x xxxx x x ABCxD xx e 15 1 1 lim 3 1 x x x 二 求極限二 求極限 1 sin23 limsin x x x xx 2 1 sin x lim x x 3 2 0 1 cos lim x x x 4 0 limcot x xx 5 0 1 cos2 lim sin x x xx 6 0 sin2 lim sin3 x x x 7 lim 2 sin 2 n n n x 8 2 1 lim x x x x 9 1 lim 1 x x x 10 3 0 lim 12 x x x 11 x x x 2 cot 2 0 tan1lim 12 1 23 lim 21 x x x x 13 0 111 lim sintan x xxx 14 sin lim x x x 極限 101ABCD 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 4 頁 三 求極限三 求極限 1 0 tan2 lim sin5 x x x 2 3 0 tansin lim sin x xx x 3 0 sin lim sin n m x x x 4 2 0 1 lim ln 12 x x e xx 5 設 2 0 ln 1 sin lim2 arctan x f x x x 求 3 0 lim2 x f x x 6 21 21ln sin lim 0 xe xx x x 7 1 2 3 0 1 1 lim cos1 x x x 8 3 20 121 lim 11 x xx x 9 x e x x 1 lim 3 0 10 0 ln sectan lim sin x xx x 11 xx x x 2 sin 35 53 lim 2 四 概念與定理相關四 概念與定理相關 1 0 x 是函數(shù) 1 1 21 21 x x f x 的 間斷點 2 已知函數(shù) 2 0 1 cos 0 x kex f x xx 當k 時 函數(shù) f x在0 x 處連續(xù) 3 232 xx f x 當0 x 時 A f xx B f x是x的同階但非等價的無窮小 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 5 頁 C f x是x的高階無窮小 D f x是x的低階無窮小 4 下列說法正確的是 A 若 f x在xa 處連續(xù) 則 f x在xa 處連續(xù) B 若 f x在xa 處連續(xù) 則 f x在xa 處連續(xù) C 若 f x在xa 處連續(xù) 則 f x在xa 的某一領域內連續(xù) D 若 0 lim 0 h f ahf ah 則 f x在xa 處連續(xù) 5 存在的處有定義是極限在點 lim 0 0 xfxxf xx AB CD 必要條件 充分條件 充分必要條件 既非必要又非充分條件 6 是時 函數(shù)為常數(shù) 則當若AxfxxAAxf xx lim 0 0 AB CD 無窮大量 無界 但非無窮大量 無窮小量 有界 而未必為無窮小量 7 設有兩命題 000 000 0 lim 0 lim 0 lim0 lim lim lim xxxxxx xxxxxx f x af xg xg x g x bf xg xf xg x A abB ab C ab 命題 若 存在 且 則 命題 若存在 不存在 則必不存在 則 都正確 正確 不正確 不正確 正確 D ab 都不正確 8 2 02sin 1 cos xxxx 當時 與比較是 AB CD 同階但不等價無窮小 等價無窮小 高階無窮小 低階無窮小 9 00 0 00 lim lim xxxx f xf xaf xxx 是函數(shù)在處連續(xù)的 AB CD 充分條件 必要條件 充分必要條件 既非充分又非必要條件 10 2 2 1 1 2 32 x yx xx 函數(shù)的間斷點為 則此函數(shù)間斷點的題型為 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 6 頁 A x 1 2 都是第一類間斷點 B x 1 2 都是第二類 C x 1 是第二類 x 2 是第一類 D x 1 是第一類 x 2 是第二類 11 下列敘述不正確的是 A B C D 無窮小量與無窮大量的商為無窮小量 無窮小量與有界量的積是無窮小量 無窮大量與有界量的積是無窮大量 無窮大量與無窮大量的積是無窮大量 12 4 lim 32 xx xx x ee ee 1 21 3 ABCD 不存在 五 連續(xù)性五 連續(xù)性 1 設函數(shù) sin 0 0 10 sin x x x f xAx x xB x 問 A B取何值時 函數(shù) f x在整個實軸上連續(xù) 2 設 2 1 sin 0 0 xx f xx axx 問如何選擇常數(shù)a可使函數(shù) f x在 內連續(xù) 3 設 2 2 2 arcsin21 0 ln 12 0 ax xe x f xx ax 在0 x 處連續(xù) 求常數(shù)a 4 求函數(shù) xx x xf 1 1 2 的間斷點 并判斷其類型 5 求函數(shù) 2 1 sin 23 xx f x x xx 的間斷點 并判定類型 六 極限的反問題六 極限的反問題 1 設 2 1 lim5 1 x xbxa x 則 a b 2 已知lim9 x x xa xa 則a 3 已知 2015 2 lim 0 1 k k x x C xx 求常數(shù) k C 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 7 頁 4 設 3 2 lim2 1 x x axbxc x 求常數(shù) a b c 5 設當0 x 222 44sinxxkx 求常數(shù)k 七 有關閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質七 有關閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質 1 證明方程 5 31xx 至少有一個根介于 1 和 2 之間 2 證明方程sin10 xx 在開區(qū)間 2 2 內至少有一個根 3 設 f x在 a b 上連續(xù) 且在 a b 上的值域也為 a b 證明存在 a b 使得 f xx 成立 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 8 頁 第二部分 導數(shù)與微分 一 導數(shù)的概念一 導數(shù)的概念 1 設函數(shù) f x在點 0 xx 處可導 且 0 00 1 lim 2 4 h h f xhf x 則 0 fx等于 A 4 B 2 C 2 D 4 2 設 f x可導 常數(shù)0a 則lim n a n f xf x n A a B a C afx D a fx 3 設 3 1 lim 0 00 0 xf x xfxkxf x 其中0 0 x f 則 k 4 設 f x在xa 的某個領域內有定義 則 f x在xa 處可導的一個充分條件是 A 1 lim h h f af a h 存在 B 0 2 lim h f ahf ah h 存在 C 0 lim 2 h f ahf ah h 存在 D 0 lim h f af ah h 存在 5 設 2 0 0 sin3 lim4 x f xfx x 則 0 f等于 A 3 B 4 3 C 3 4 D 4 6 設函數(shù) f x在點0 x 處連續(xù) 且 0 lim1 x f x x 則下列命題不正確的是 A 0 lim 0 x f x B 0 0f C 0 0f D 0 1f 7 若 0 fx 存在 則 0 00 0 lim xx xf xx f x xx 8 設 1 1 3 2 2 3 xx x x xf 則 f x在1 x處 A 左 右導數(shù)均存在 B 左導數(shù)存在 右導數(shù)不存在 C 左導數(shù)不存在 右導數(shù)存在 D 左 右導數(shù)都不存在 9 設 2 2 sin0 00 xx f xx x 則 0 f 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 9 頁 10 若函數(shù) f x在點 0 x處不連續(xù) 則 f x在點 0 x處 A 必無定義 B 必無極限 C 必不可導 D 必可導 11 若 2 0 2 0 x aex f x bx x 在0 x 處可導 則常數(shù) ab 12 設函數(shù) 100 99 2 1 xxxxxxf 則 0 f A A 100 B B 100 C C 100 D D 100 13 曲線 x ye 在 0 1 處的切線方程為 14 設曲線2 2 xxy在點P處的切線的斜率等于3 則P點的坐標為 二 求導數(shù)二 求導數(shù) 1 求12 17 4 3 xx xy的導數(shù) 2 求 xx exy325 3 的導數(shù) 3 求1sectan2 xxy的導數(shù) 4 求xxyln 2 的導數(shù) 5 求 x x y ln 的導數(shù) 6 求xxxycosln 2 的導數(shù) 7 求 x x y cos1 sin1 的導數(shù) 三 求導數(shù)三 求導數(shù) 1 設 4 2 1 tanfx x 則 fx 2 設 cos sin yfxf x 其中f可微 則 dy dx 3 設 f x在點1x 處具有連續(xù)導數(shù) 且 1 1 f 則 0 lim cos x d fx dx 為 A 1 B 1 2 C2 D 1 4 已知 f x在0 x 可導且 1 0 3 f 又對任意x有 3 3 fxf x 則 3 f A 3 B 1 3 C 1 D 0 5 求 x eyarctan 的導數(shù) 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 10 頁 6 求xyarcsin 的導數(shù) 7 求 22 lnxaxy 的導數(shù) 8 求 xxytansecln 的導數(shù) 9 求 2 tanln x y 的導數(shù) 10 求 x ey arctan 的導數(shù) 11 求xylnlnln 的導數(shù) 12 求 x x y 1 1 arcsin的導數(shù) 13 310ln cos 2 yxy 求 14 函數(shù)1ln xxf的導數(shù)是 A A 1 1 x xf B B 1 1 x xf C C x xf 1 1 D D 1 1 1 1 1 1 x x fx x x 15 設 xfx eefy 其中 x f 存在 求 y 四 求導數(shù)四 求導數(shù) 1 設 ln x y x 則 2 ln 3 x x yxy x 2 設 f u可導 若 22 sin cos yfxfx 試求 dy dx 3 設 sin2 ln2 f x yefx f x可導且 0 0 0 1ff 求 0 x dy dx 4 求5 52 2 5 x x y的導數(shù) 5 求 x x x y 1 的導數(shù) 6 已知 x xy sin tan 求 y 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 11 頁 7 設函數(shù) yf x 由方程 yx xy 所確定 求 dy dx 8 求sin ln xyyxx 在點 0 1 處的切線方程 9 求03 33 axyyx確定的隱函數(shù)的導數(shù) dx dy 10 設函數(shù) y y x 由方程0 cos xye yx 確定 則 dx dy 11 設 y 為 x 的函數(shù)是由方程 x y yxarctanln 22 確定的 求 y 12 曲線2 0 xya a 在點 a a處的切線方程是 A 20 xya B 20 xya C 20 xya D 20 xya 13 設 xfy 由方程1 cos 2 exye yx 所確定 則曲線 xfy 在點 0 1 處的法 線方程為 14 設參數(shù)方程 2 ln 1 arctan xt yt 求 1t dy dx 15 求由參數(shù)方程 cos sin tex tey t t 所確定函數(shù)的導數(shù) dx dy 16 函數(shù) t t ey etx 2ln 在0 t處的切線方程為 五 高階導數(shù)與微分五 高階導數(shù)與微分 1 下列結論不正確的是 A 若 f x在 0 x處可導 則 f x在 0 x處可微 B f x在 0 x處可微是 f x在 0 x處連續(xù)的充分條件 C f x在 0 x處的左導數(shù) 0 fx 及右導數(shù) 0 fx 都存在是 f x在 0 x處可微的充分必 要條件 D f x在 0 x處連續(xù)是 f x在 0 x處可導的必要條件 2 設函數(shù) f u可導 函數(shù) 2 yf x 在點1x 處取得增量0 1x 時 相應的函數(shù) 增量y 的線性主部為0 1 則 1 f 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 12 頁 3 設函數(shù) y f x 在點 x0處可導 當自變量 x 由 x0增加到 x0 x 時 記 y 為 f x 的增量 dy 為 f x 的微分 x dyy x 0 lim等于 A 1 B 0 C 1 D 4 設 ln x yf ef x f x可導且 0f x 求dy 5 設 sin cos 2 xx yxe 0 x 求 y dy 6 求 2 1arcsinxy 的微分 7 求 21 tan 22 xy 的微分 8 求 xxyarctan1 2 的二階導數(shù) 9 求xytan 的二階導數(shù) 10 求 1ln 2 xxy的二階導數(shù) 11 求 x x y 1 1 的三階導數(shù) 12 27 sin 2 x f xx 則 28 f 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 13 頁 第三部分 導數(shù)與微分的應用 一 中值定理和漸近線一 中值定理和漸近線 1 若 f x在 a b內可導 且 12 axxb 則至少存在一點 使 成立 A f bf afba ab B 11 f bf xfbx 1 xb C 2121 f xf xfxx 12 xx D 22 f xf afxa 2 ax 2 函數(shù)xxfarctan 在 1 0 上使拉格朗日中值定理結論成立的 是 3 下列函數(shù)在 1 1 上滿足羅爾定理條件的是 A x exf B B xxf C C 2 1 xxf D D 0 0 0 1 sin x x x x xf 4 設函數(shù) 4 3 2 1 xxxxxf 則導函數(shù)0 x f有 個實根 分別位 于區(qū)間 中 5 羅爾定理中的三個條件 xf在 ba上連續(xù) 在 ba內可導 且 bfaf 是 xf在 ba內至少存在一點 使0 f成立的 A 必要條件 B 充分條件 C 充要條件 D 既非充分也非必要條件 6 曲線 2 3x x y 的漸近線 A A 無水平漸近線 也無斜漸近線 B B 3 x為垂直漸近線 無水平漸近線 C C 有水平漸近線 也有垂直漸近線 D D 只有水平漸近線 7 曲線 2 2 1 1 x x e e y A 無漸近線 B 僅水平漸近線 C 僅鉛直漸近線 D 既有水平和又有鉛直漸近線 二 求極限二 求極限 1 設 f x二階可導 則 2 0 2 lim h f ahf af ah h 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 14 頁 2 0 11 lim 1 x x x ex 3 0 lnsin3 lim lnsin5 x x x 4 0 3sin3 lim 1cos ln 12 x xx xx 5 sin 0 lim sin xx x ee xx 6 sin lim sin x xx xx 7 設 f x具有一階連續(xù)導數(shù)且 00 02f f 求 2 0 1 cos lim tan x fx x 8 0 lim sin xx x ee x 9 x x x 5tanln 7tanln lim 0 10 1 1 1 2 lim 2 1 xx x 11 tan 11 lim 2 0 xxx x 12 xx xx x sin tan lim 2 0 13 3 0 sin lim x xx x 14 2 0 2 lim xx x ee x 15 2 0 arcsin 1sin lim x xe x x 16 1 11 lim 0 x x ex 17 2 0 1ln sin1tan1 lim xxx xx x 18 1 1ln 1 lim 0 xx x 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 15 頁 19 x x x arctan 1 1ln lim 三 單調性與極值三 單調性與極值 1 函數(shù)2cosyxx 在 0 2 上的最大值為 2 函數(shù) yf x 在 0 xx 處連續(xù)且取得極小值 則在 0 xx 處必有 A 0 0fx B 0 0fx C 0 0fx 且 0 0fx D 0 0fx 或 0 fx不存在 3 下列結論正確的是 A 0 x是 f x的極值點 且 0 fx存在 則必有 0 0fx B 0 x是 f x的極值點 則 0 x必是 f x的駐點 C 若 0 0fx 則 0 x必是 f x的極值點 D 使 fx不存在的點一定是 f x的極值點 4 設函數(shù) f x二階可導且處處滿足方程 2 320 x fxfxe f x 若 0 x是函 數(shù)的一個駐點且 0 0f x 則 f x在 0 x處 A 取極大值 B 取極小值 C 不取極值 D 不能確定 5 求點 0 1 A到曲線 22 1xy 的最短距離 6 試問a為何值時 函數(shù)xxay3sin 3 1 sin 在 3 x處取得極值 并判斷為極大值還 是極小值 7 函數(shù) ln 4 22 xxy 的單調增加區(qū)間是 單調減少區(qū)間 8 設函數(shù) xf在 1 0 上二階導數(shù)大于 0 則下列關系式成立的是 A 0 1 0 1 ffff B 0 0 1 1 ffff C 0 1 0 1 ffff D 0 1 0 1 ffff 9 函數(shù)xxy 1 在區(qū)間 5 1 上的最大值為 最小值為 四 凹凸性與拐點四 凹凸性與拐點 1 函數(shù)arctanyxx 在 的上凹區(qū)間是 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 16 頁 2 若點 1 3 為曲線 32 yaxbx 的拐點 則ab 3 設 2 lnyxx 此曲線的拐點坐標是 4 求曲線 32 26182yxxx 的單調區(qū)間 極值 凹凸區(qū)間和拐點 5 求曲線 32 1 231 3 yxxx 的單調區(qū)間 極值 凹凸區(qū)間和拐點 6 試確定曲線 32 yaxbxcxd 中的常數(shù) a b c d 使 2 44 為極值點 1 10 為拐點 7 試決定 2 2 3yk x 中k的值 使曲線在拐點處的法線通過原點 8 設 12 1 xxxf 則在區(qū)間 1 2 1 內 A xfy 單調增加 曲線 xfy 為凹的 B xfy 單調減少 曲線 xfy 為凹的 C xfy 單調減少 曲線 xfy 為凸的 xfy 單調增加 曲線 xfy 為凸的 五 證明不等式五 證明不等式 1 當0 x 時 證明 22 1ln 1 1xxxx 2 證明不等式 1 1 01 x x xeex x 3 設1 0 nba 證明 11 banababanb nnnn 4 設0 ba 證明 b ba a b a ba ln 5 當 2 0 x 證明 3 tan 3 x xx 6 證明方程0 62 1 32 xx x有且僅有一個實根 7 當 0 x時 證明 6 sin 3 x xx 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 17 頁 第四部分 不定積分 一 不定積分的概念一 不定積分的概念 1 如果 22 sin cosfxx 則 f x 2 設 F x和 G x都是 f x的原函數(shù) 則 A 0F xG x B F xG xC C為常數(shù) C 0F xG x D F xG xC C為常數(shù) 3 求 3 2 1x dx x 4 求 2 tan xdx 5 求 2 sin 2 xdx 6 求 42 2 23 1 xx dx x 7 求 2 1 cos2 dx x 8 22 cos2 cossin x dx xx 9 4 22 1 1 x dx x 二 求不定積分二 求不定積分 1 12ln dx xx 2 23ln dx xx 3 tan lncos x dx x 4 2 arctan 1 xx dx x 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 18 頁 5 2 1 4ln dx xx 6 3 1 sin cos dx xx 7 2 3 2 x dx x 8 2 1xx dx 9 x e dx x 10 3 sin xdx 11 24 sincosxxdx 12 6 sec xdx 13 arctan 1 xdx xx 14 xx dx ee 15 2 2 dx xx 16 8 1 32 dx x 17 sin 4 xx eedx 18 2 3 cos x dx x 三 求不定積分三 求不定積分 1 2 11 dx x 2 22 1 1 dx xx 3 2 1 dx x x 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 19 頁 4 12 dx x 5 3 2 1 dx x 6 2 1 23 x dx xx 7 3 1 11dxx 8 3 1 dx xx 9 3 3 2 2 1 x dx x 四 求不定積分四 求不定積分 1 2 cos x dx x 2 2 ln x dx x 3 sinxxdx 4 2x x e dx 5 lnxxdx 6 arctan xdx 7 2 sin3 x exdx 8 x edx 9 arcsin xdx 10 2 arctanxxdx 11 2 ln xdx 12 22 cos 2 x xdx 13 39x edx 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 20 頁 14 cosln xdx 15 2 tanxxdx 16 ln 1 xxdx 17 cos2 x exdx 18 2 22 x dx xx 19 2 32 x dx xx 五 求不定積分五 求不定積分 1 設 f x的一個原函數(shù)是1x 則 2 1 xfx dx 2 如果 x f xe 則 ln fx dx x 3 設 sin x x 是 f x的一個原函數(shù) 則 3 x fx dx 4 f x的一個原函數(shù)是 2 xxC 則 fx dx x A 2 x xC B 2xxC C 1 22 x xC D 22xxC 5 設 sin x x 為 f x的一個原函數(shù) 且0a 則 f ax dx a 應等于 A 3 sinax C a x B 2 sinax C a x C sinax C ax D sinax C x 6 設 2 1f x dxxC 求 ln fx dx x 7 設 2 lnfxx 0 x 求 f x 8 若 2 xx f edxeC 則 f x A 1 2 x eC B 2x eC C 3 2 3 xC D 4 4 3 xC 9 不定積分 2 1 1 sin sin dx x A 1 sin sin xC x B 1 sin sin xC x C cotsinxxC D cotsinxxC 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 21 頁 第五部分 定積分 一 定積分與變上限函數(shù)一 定積分與變上限函數(shù) 1 設 1 3 2 0 1 1 f xxf x dx x 則 f x 2 函數(shù) 1 1 2 0 x F xdt x t 的單調減少區(qū)間為 3 下列式子正確的是 A df x dxf x B fx dxf x C b a d f x dxf x dx D 0 x d f t dtf x dx 4 下列式子錯誤的是 A 22 xx d e dxe dx B 22 xx d edxeC dx C 22 1 0 xx d e dxe dx D 22 0 x tx d e dte dx 5 sin 2 0 sin x f xtdt 34 g xxx 當0 x 時 f x是 g x的 無窮小量 A 等價 B 同階但非等價 C 高階 D 低階 6 設 0 1 0 0 0 1 0 x x f xxF xf t dt x 則 A F x在0 x 點不連續(xù) B F x在 內連續(xù) 在0 x 點不可導 C F x在 內可導 且滿足 F xf x D F x在 內可導 但不一定滿足 F xf x 7 0 02 0 sin lim x x x ttdt t dt 8 求 2 00 1sin lim1 x x t dt xt 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 22 頁 9 求 2 1 0 cos2 tan6 lim xt x xx e dt 10 求 2 2 0 0 1 lim sin2 x x t dt xx 11 若 2 0 2 1 0 0 0 x t edt x f x x x 求 0 f 12 求 2 2 2 0 02 0 lim x t x xt e dt tedt 13 求 2 0 2 arctan lim 1 x x tdt x 14 求 2 4 0 tan xdx 15 設 0 sin x t f xdt t 則 0 f 二 求定積分二 求定積分 1 1 2 1 cos 1 xxxdx 2 1 23 2 1 1 sin 1 xxdx x 3 1 2 1 1sin1xxdx 4 2 0 1 sin xdx 5 求 9 4 1 dx xx 6 2 1 1 2 21 x dx x 7 3 221 1 dx xx 8 5 2 0 cossinxxdx 9 35 0 sinsinxxdx 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 23 頁 10 4 1 2 12 x dx x 11 2 2 2 82x dx 12 1 3 4 11 dx x 13 2 0 1 sin2xdx 14 設 2 1 0 1cos 0 x x xf x xex 求 4 1 2 f xdx 三 求定積分三 求定積分 1 設 2 0 1 2 2f x dxf 則 1 0 2 xfx dx 2 1 ln e e x dx 3 已知曲線 C 的方程為 yf x 點 3 2 是它的一個拐點 直線 12 l l分別是曲線 C 在 點 0 0 與 3 2 處的切線 其交點為 2 4 設函數(shù) f x具有三階連續(xù)導數(shù) 計算定 積分 3 2 0 xx fx dx 4 求 1 0 x edx 5 求 4 1 ln xdx x 6 求 2 0 sinxx dx 7 求 3 2 4 sin x dx x 8 求 0 cos3xxdx 9 求 4 0 1cos2 x dx x 四 定積分的應用四 定積分的應用 1 計算由曲線1x x ye x ye 所圍成平面圖形的面積及其繞x軸旋轉一周而得的 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 24 頁 旋轉體的體積 2 設平面圖形D由曲線1yx 及其過原點的切線和x軸所圍成 1 求該平面圖形的面積 2 求所圍成的平面圖形繞x軸旋轉一周所得的旋轉體體積 3 計算拋物線 2 2yx 與直線4yx 所圍成的圖形的面積 4 拋物線 2 43yxx 及其在點 0 3 與 3 0 處的切線所圍成的面積 5 求由 22 yxxy 所圍成的圖形繞 y 軸旋轉一周所得旋轉體的體積 五 關于定積分的證明五 關于定積分的證明 1 證明 1 1 22 1 11 11 x x dxdx xx 0 x 2 設 f x為連續(xù)函數(shù) 證明 1 0 b a baf aba x dxf x dx 3 證明等式 2 32 00 1 2 aa x f x dxxf x dx 其中 f x為連續(xù)函數(shù) 0a 并用上面的 結果計算積分 32 2 0 sinxx dx 4 若 f x為連續(xù)函數(shù) 證明 1 22 00 sin cos fx dxfx dx 2 2 00 sin sin 2 xfx dxfx dx 5 設0 x 證明 1 22 00 11 112 x x dtdt tt 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 25 頁 第六部分 微分方程 一一 求下列微分方程的解求下列微分方程的解 1 x y ye 求通解 2 2yxy 求通解 3 ln0 xyyy 求通解 4 cos sinsincos0 xydxxydy 求通解 5 23 1 0 dy yx dx 求通解 6 2 x y ye 滿足 0 0y 的特解 7 2 1 0 xyxy 滿足初始條件 1 1y 的特解 8 設 yy x 在點x處的增量為 1 y yx x 且當0 x 時 是x 的高階無 窮小 0 1y 則 1 y的值為 A 1 B 0 C 1 D 2 9 22 1yxxyy 滿足初始條件 0 1 x y 的特解 10 當0 x 時 是比x 較高階的無窮小量 函數(shù) yy x 在任意點x處的增量 2 1 y x y xx 且 0 y 則 1 y 11 微分方程 2 3 3 1 x y y x 的通解為 二二 求 求下列微分方程下列微分方程的解的解 1 求微分方程 5 2 2 1 1 dyy x dxx 的通解 2 求微分方程 x dy ye dx 的通解 3 求微分方程 sin cos x dy yxe dx 的通解 4 求微分方程 2 1 2cos0 xyxyx 的通解 5 求微分方程24 dy xyx dx 的通解 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 26 頁 6 求微分方程 tansecyyxx 滿足初始條件 0 0 x y 的特解 7 求微分方程 sin cos x yyxe 滿足初始條件 0 1 x y 的特解 8 設連續(xù)函數(shù) y x滿足方程 0 x x y xy t dte 求 y x 9 已知曲線l通過點 1 2 且l上任一點處切線的斜率為 1 sin xy x 求曲線的方程 10 下列方程中以sincosyCxx 為通解的方程是 A 0yy B cotsinyyxx C cotsinyyxx D tansinyyxx 三三 求下列微分方程的解求下列微分方程的解 1 已知 1 sinyx 2 2sinyx 是微分方程 0ypy p為常數(shù) 的的兩個解 則 1122 yC yC y 12 C C為任意常數(shù) 是方程的 A 解 但不是通解 B 通解 C 不是解 D 特解 2 求微分方程 60yyy 的通解 3 求微分方程 2 30yyy 的通解 4 求微分方程 2 0yyy 的通解 5 求微分方程 2 50yyy 的通解 6 求微分方程 6 130yyy 的通解 7 微分方程 20yyy 的通解為 8 求微分方程 4 30yyy 且滿足 0 6 x y 0 10 x y 的通解 9 求微分方程4 4 0yyy 且滿足 0 2 x y 0 0 x y 的通解 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 27 頁 附錄 參考答案 第一部分 極限與連續(xù) 一 一 求極限求極限 1 32 3 342 lim 753 x xx xx 2 2 2 1 21 lim 1 x xx x 3 222 121 lim n n nnn 4 3 1 13 lim 11 x xx 5 1 0 lim x x e 0 6 2sin3 lim sin2 x xx xx 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 28 頁 解 原式 sin 23 lim sin 2 x x x x x 由于x 時 1 x 為無窮小 而sin x為有界量 所以 sin lim0 x x x 所以可知 原式 2 033 022 7 42 lim12 n nnnn 解 42 lim12 n nnnn 4242 42 112 lim 1 n nnnnnnn nnn 42 12 lim 1 n nn nnn 34 12 11 lim 11 11 n nn nn 1 2 8 0 1 sin x lim x x 0 9 2 13 lim sin x xx xx 解 2 2 1 13 13 limlim sin sin 1 xx xx x x xx x 由于x 時 1 x 為無窮小 而sin x為有 界量 所以 sin lim0 x x x 所以原式 1 3 2 10 10 arctan lim x x x 0 11 2 lim1 x xxx 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 29 頁 12 2 lim n nnn 數(shù)列極限的值為 B 1 01 2 ABCD 不存在 13 下列極限計算正確的是 B A 1 1 lim 2 2 n n n x x B 1 sin sin lim xx xx x C 0 sintan lim 3 0 x xx x C 2 2 1 1lime n n n 14 下列極限中存在的是 C 2 1 00 1111 limlimlim sinlim 21 1 x xxxx x x ABCxD xx e 15 1 1 lim 3 1 x x x 二 二 求極限求極限 1 sin23 limsin x x x xx 解 由于x 時 1 x 為無窮小 而sin2x為有界量 所以 sin2 lim0 x x x 3 sin 3 limsinlim33 3 xx x x x x 2 1 sin x lim x x 3 2 0 1 cos lim x x x 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 30 頁 4 0 limcot x xx 5 0 1 cos2 lim sin x x xx 6 0 sin2 lim sin3 x x x 7 lim 2 sin 2 n n n x 8 2 1 lim x x x x 9 1 lim 1 x x x 10 3 0 lim 12 x x x 解 1 6 6 2 0 lim 1 2x x x e 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 31 頁 11 x x x 2 cot 2 0 tan1lim 12 1 23 lim 21 x x x x 解 1 23 lim 21 x x x x 21 2 1 2 1 221lim 21 2 lim 1 21 x xx x x x x ee x 13 0 111 lim sintan x xxx 14 sin lim x x x 極限 C 101ABCD 三 求極限三 求極限 1 0 tan2 lim sin5 x x x 2 3 0 tansin lim sin x xx x 3 0 sin lim sin n m x x x 4 2 0 1 lim ln 12 x x e xx 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 32 頁 5 設 2 0 ln 1 sin lim2 arctan x f x x x 求 3 0 lim2 x f x x 6 21 21ln sin lim 0 xe xx x x 解 21 21ln sin lim 0 xe xx x x0 sinln 12 lim 111 x x xx xx ex xx 0000 00 00 sinln 12 2 limlimlimlim 111 limlim 2 limlim xxxx x xx xx xxxx xxxx x ex x xx xx 6 7 1 2 3 0 1 1 lim cos1 x x x 解 1 2 3 0 1 1 lim cos1 x x x 2 2 0 2 3 lim 3 2 x x x 8 3 20 121 lim 11 x xx x 解 3 20 121 lim 11 x xx x 0 2 1 2 3 lim 1 2 x x x x 4 3 9 x e x x 1 lim 3 0 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 33 頁 10 0 ln sectan lim sin x xx x 解 0 ln sectan lim sin x xx x 0 ln 1 sectan1 lim sin x xx x 0 sectan1 lim sin x xx x 0 sin1 cos lim sincos x xx xx 0 sin1 cos lim sin cos x xx xx x x x 00 00 sin1 cos limlim 1 sin limlimcos xx xx xx xx x x x 11 xx x x 2 sin 35 53 lim 2 解 xx x x 2 sin 35 53 lim 22 35 2 lim 53 x x xx 6 5 四 概念與定理相關四 概念與定理相關 1 0 x 是函數(shù) 1 1 21 21 x x f x 的 間斷點 解 11 11 00 2112 limlim1 2112 xx xx xx 1 1 0 21 lim1 21 x x x 0 0 ff 所以為跳躍間 斷點 2 已知函數(shù) 2 0 1 cos 0 x kex f x xx 當k 時 函數(shù) f x在0 x 處連續(xù) 3 2 xx f xee 當0 x 時 B A f xx B f x是x的同階但非等價的無窮小 C f x是x的高階無窮小 D f x是x的低階無窮小 4 下列說法正確的是 B A 若 f x在xa 處連續(xù) 則 f x在xa 處連續(xù) B 若 f x在xa 處連續(xù) 則 f x在xa 處連續(xù) C 若 f x在xa 處連續(xù) 則 f x在xa 的某一領域內連續(xù) 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 34 頁 D 若 0 lim 0 h f ahf ah 則 f x在xa 處連續(xù) 5 存在的處有定義是極限在點 lim 0 0 xfxxf xx D AB CD 必要條件 充分條件 充分必要條件 既非必要又非充分條件 6 是時 函數(shù)為常數(shù) 則當若AxfxxAAxf xx lim 0 0 C AB CD 無窮大量 無界 但非無窮大量 無窮小量 有界 而未必為無窮小量 7 設有兩命題 000 000 0 lim 0 lim 0 lim0 lim lim lim xxxxxx xxxxxx f x af xg xg x g x bf xg xf xg x A abB ab C ab 命題 若 存在 且 則 命題 若存在 不存在 則必不存在 則 C 都正確 正確 不正確 不正確 正確 D ab 都不正確 8 2 02sin 1 cos xxxx 當時 與比較是 C AB CD 同階但不等價無窮小 等價無窮小 高階無窮小 低階無窮小 9 00 0 00 lim lim xxxx f xf xaf xxx 是函數(shù)在處連續(xù)的 B AB CD 充分條件 必要條件 充分必要條件 既非充分又非必要條件 10 2 2 1 1 2 32 x yx xx 函數(shù)的間斷點為 則此函數(shù)間斷點的題型為 D A x 1 2 都是第一類間斷點 B x 1 2 都是第二類 C x 1 是第二類 x 2 是第一類 D x 1 是第一類 x 2 是第二類 11 下列敘述不正確的是 C A B C D 無窮小量與無窮大量的商為無窮小量 無窮小量與有界量的積是無窮小量 無窮大量與有界量的積是無窮大量 無窮大量與無窮大量的積是無窮大量 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 35 頁 12 4 lim 32 xx xx x ee ee A 1 21 3 ABCD 不存在 五 連續(xù)性五 連續(xù)性 1 設函數(shù) sin 0 0 10 sin x x x f xAx x xB x 問 A B取何值時 函數(shù) f x在整個實軸上連續(xù) 2 設 2 1 sin 0 0 xx f xx axx 問如何選擇常數(shù)a可使函數(shù) f x在 內連續(xù) 3 設 2 2 2 arcsin21 0 ln 12 0 ax xe x f xx ax 在0 x 處連續(xù) 求常數(shù)a 4 求函數(shù) xx x xf 1 1 2 的間斷點 并判斷其類型 2015 2016 學年微積分 A1 練習冊 版權歸文理學部微積分 A 課程建設團隊所有 共 86 頁 第 36 頁 5 求函數(shù) 2 1 sin 23 xx f x x xx 的間斷點 并判定類型 六 六 極限極限的反問題的反問題 1 設 2 1 lim5 1 x xbxa x 則 a b