（新課標）高中數學 3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法教學設計 新人教A版必修5.docVIP

3.2一元二次不等式及其解法3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法從容說課本節(jié)課是人民教育出版社a版必修數學5第三章不等式第二大節(jié)3.2一元二次不等式及其解法的第一節(jié)課.一元二次不等式及其解法教學分為三個學時，第一個學時先由師生共同分析日常生活中的實際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法，以此激發(fā)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度.通過具體例題的分析和求解，在這些例題中設置思考項，讓學生探究，層層鋪設，以便讓學生深刻理解一元二次不等式的概念，有利于一元二次不等式的解法的教學.講述完一元二次不等式的概念后，再回歸到先前的具體事例，總結一元二次不等式解法與二次函數的關系和一元二次不等式解法的步驟，由學生用表格將一元二次不等式解法與二次函數的數形關系的對應關系用圖表形式表示出來；然后用一個程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來，根據這些圖表，得出一元二次不等式解法與二次函數的關系兩者之間的區(qū)別與聯系，再輔以新的例題鞏固.整個教學過程，探究一元二次不等式的概念，揭示一元二次不等式解法與二次函數的關系本質，引出一元二次不等式解法的步驟和過程，并及時加以鞏固，同時讓學生體驗數學的奧秘與數學美，激發(fā)學生的學習興趣.教學重點 1.從實際問題中抽象出一元二次不等式模型.2.圍繞一元二次不等式的解法展開，突出體現數形結合的思想.教學難點 理解二次函數、一元二次方程與一元二次不等式的關系.教具準備 多媒體及課件，幻燈片三張三維目標一、知識與技能1.經歷從實際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;2.通過函數圖象了解一元二次不等式與二次函數、一元二次方程的聯系;3.會解一次二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖.二、過程與方法1.采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法進行啟發(fā)式教學;2.發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性實驗;3.理論聯系實際，激發(fā)學生的學習積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過利用二次函數的圖象來求解一元二次不等式的解集，培養(yǎng)學生的數形結合的數學思想;2.通過研究函數、方程與不等式之間的內在聯系，使學生認識到事物是相互聯系、相互轉化的，樹立辯證的世界觀.教學過程導入新課師 上網獲取信息已經成為人們日常生活的重要組成部分，因特網服務公司（internet service provider）的任務就是負責將用戶的計算機接入因特網，同時收取一定的費用.某同學要把自己的計算機接入因特網，現有兩家isp公司可供選擇，公司a每小時收費1.5元；公司b的收費原則是在用戶上網的第一小時內收費1.7元，第二小時內收費1.6元，以后每小時減少0.1元.（若用戶一次上網時間超過17小時，按17小時計算）一般來說，一次上網時間不會超過17小時，所以，不妨一次上網時間總小于17小時，那么，一次上網在多長時間以內能夠保證選擇公司a比選擇公司b所需費用少？假設一次上網x小時，則a公司收取的費用為1.5x，那么b公司收取的費用為多少？怎樣得來？生 結果是元，因為是等差數列，其首項為1.7，公差為-0.1，項數為x的和，即師 如果能夠保證選擇a公司比選擇b公司所需費用少，則如何列式？生 由題設條件應列式為1.5x(0x17)，整理化簡得不等式x2-5x0.推進新課師 因此這個問題實際就是解不等式：x2-5x0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式，它的解法是我們下面要學習討論的重點.什么叫做一元二次不等式？含有一個未知數并且未知數的最高次數是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）.例如2x2-3x-20，3x2-6x-2，-2x2+30等都是一元二次不等式.那么如何求解呢？師 在初中，我們已經學習過一元一次方程和一元一次不等式的解法，以及一次函數的有關知識，那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數三者之間有什么關系呢？思考：對一次函數y=2x-7，當x為何值時，y=0？當x為何值時，y0？當x為何值時，y0？它的對應值表與圖象如下：x22.533.544.55y-3-2-10123由對應值表與圖象（如上圖）可知：當x=3.5時，y=0，即2x-7=0；當x3.5時，y0，即2x-70；當x3.5時，y0，即2x-70.師 一般地，設直線y=ax+b與x軸的交點是(x0，0),則有如下結果：（1）一元一次方程ax+b=0的解是x0；（2）當a0時，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.當a0時，一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0；一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.師 在解決上述問題的基礎上分析，一次函數、一元一次方程、一元一次不等式之間的關系.能通過觀察一次函數的圖象求得一元一次不等式的解集嗎？生 函數圖象與x軸的交點橫坐標為方程的根，不等式的解集為函數圖象落在x軸上方(下方)部分對應的橫坐標.a0a0一次函數y=ax+b(a0)的圖象一元一次方程ax+b=0的解集x|x=x|x=一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x師 在這里我們發(fā)現一元一次方程、一元一次不等式與一次函數三者之間有著密切的聯系.利用這種聯系（集中反映在相應一次函數的圖象上）我們可以快速準確地求出一元一次不等式的解集，類似地，我們能不能將現在要求解的一元二次不等式與二次函數聯系起來討論找到其求解方法呢？在初中學習二次函數時，我們曾解決過這樣的問題：對二次函數y=x2-5x，當x為何值時，y=0？當x為何值時，y0？當x為何值時，y0？當時我們又是怎樣解決的呢？生 當時我們是通過作出函數的圖象，找出圖象與x軸的交點，通過觀察來解決的.二次函數y=x2-5x的對應值表與圖象如下：x-10123456y60-4-6-6-406由對應值表與圖象（如上圖）可知：當x=0或x=5時，y=0，即x2-5x=0；當0x5時，y0，即x2-5x0；當x0或x5時，y0，即x2-5x0.這就是說，若拋物線y=x 2-5x與x軸的交點是(0，0)與(5，0),則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0，x2=5.一元二次不等式x2-5x0的解集是x|0x5;一元二次不等式x2-5x0的解集是x|x0或x5.教師精講由一元二次不等式的一般形式知，任何一個一元二次不等式，最后都可以化為ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的形式，而且我們已經知道，一元二次不等式的解與其相應的一元二次方程的根及二次函數圖象有關，即由拋物線與x軸的交點可以確定對應的一元二次方程的解和對應的一元二次不等式的解集.如何討論一元二次不等式的解集呢？我們知道，對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)，設其判別式為=b2-4ac，它的解按照0,=0，0分為三種情況，相應地，拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸的相關位置也分為三種情況（如下圖），因此，對相應的一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）的解集我們也分這三種情況進行討論.（1）若0，此時拋物線y=ax 2+bx+c(a0)與x軸有兩個交點圖（1），即方程ax 2+bx+c=0(a0)有兩個不相等的實根x1，x2（x1x2）,則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|xx1，或xx2；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x1xx2.（2）若=0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸只有一個交點圖（2），即方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個相等的實根x1=x2=,則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是x|x；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.(3)若0，此時拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點圖(3)，即方程ax2+bx+c=0(a0)無實根，則不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是r；不等式ax2+bx+c0（a0）的解集是.=b2-4ac0=00二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象ax2+bx+c=0的根x1=x2=ax2+bx+c0的解集x|xx1或xx2x|xrax2+bx+c0的解集x|x1xx2對于二次項系數是負數（即a0）的不等式，可以先把二次項系數化成正數，再求解.知識拓展【例1】 解不等式2x 2-5x-30.生 解：因為0，2x2-5x-3=0的解是x1=-,x 2=3.所以不等式的解集是x|x，或x3.【例2】 解不等式-3x 2+15x12.生 解：整理化簡得3x 2-15x+120.因為0，方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4，所以不等式的解集是x|1x4.【例3】 解不等式4x 2+4x+10.生 解：因為=0，方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是x|x.【例4】 解不等式-x 2+2x-30.生 解：整理化簡，得x2-2x+30.因為0，方程x 2-2x+3=0無實數解，所以不等式的解集是.師 由上述討論及例題，可歸納出解一元二次不等式的程序嗎？生 歸納如下：（1）將二次項系數化為“+”：y=ax 2+bx+c0(或0)(a0).（2）計算判別式，分析不等式的解的情況：0時，求根x1x2，=0時，求根x 1=x 2=x 0，0時，方程無解，（3）寫出解集.師 說的很好.下面我們用一個程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來，請同學們將判斷框和處理框中的空格填充完整.學生活動過程方法引導上述過程以學生自主探究為主，教師起引導作用，充分體現學生的主體作用與新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設的作用，激起學生學習的興趣與勇于探索的精神.課堂小結1.一元二次不等式：含有一個未知數并且未知數的最高次數是二次的不等式叫做一元二次不等式，它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0（a0）.2.求解一元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序.布置作業(yè)1.完成第90頁的練習.2.完成第90頁習題3.2第1題.板書設計一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒體演示區(qū) 一元二次不等式概念一元二次不等式解題步驟 例題習題詳解（課本第90頁練習）1.（1）解：整理化簡得3x 2-7x-100.因為0，方程3x 2-7x-10=0的解是x1=-1,x2=,所以不等式的解集是x|-1x.(2)解：整理化簡得2x 2-x+50.因為0，所以不等式的解集是r.(3)解：整理化簡得x2-4x+40.因為=0，方程x 2-4x+4=0的解是x1=x 2=2,所以不等式的解集是x|x2.(4)解：整理化簡得x2-4x+140.因為=0，方程x2-4x+14=0的解是x 1=x2=所以不等式的解集是x|x.(5)解：整理化簡得2x2-x-30.因為0，方程2x2-x-3=0的解是x1=,x2=-1,所以不等式的解集是x|x-1或x.(6)解：整理化簡得12x2-31x+200.因為0，方程12x2-31x+20=0的解是x1=,x2=，所以不等式的解集是x|x54或x43.(7)解：整理化簡得3x 2+5x0.因為0，方程3x2+5x=0的解是x1=0,x 2=-，所以不等式的解集是x|-x0.2.(1)解：當或時，y的值等于0；當或時y的值大于0；當3-33x3+33時y的值小于0.(2)解：當x=-5或x=5時，y的值等于0；當-5x5時y的值大于0；當x-5或x5時y的值小于0.(3)解：因為0，所以對一切實數x都有y大于零.(4)解：當x=2時，y的值等于0；當x時y的值大于0；當xr且x2時y的值小于0.備課資料一、備用習題1.解不等式x+23x 2.解：原不等式等價于3x 2x20,解方程3x2x2=0得兩根：，x 2=1.原不等式的解集為（，1）.2.解下列不等式：（1）2+3x2x 20；（2）x 2+2x3x0；（3）x24x+40.解:（1）原不等式等價于2x 2-3x-20.由2x23x2=0得，x2=2.原不等式的解集是(-,)(2,+).（2）原不等式等價于:x 2-2x+30.由=(-2)2-4130，知原不等式解集為.（3）=(-4)2-44=0，方程x2-4x+4=0有等根x1=x2=2，原不等式的解集為x|xr，且x2.點評:1.要嚴格按“解法步驟”求解.2.最后要用集合表示法表出解集.如本例（1）用區(qū)間表示出解集；本例（3）用大括號表示解集，該題的解集也可用區(qū)間表為(-,2)(2,+)，但有的同學把第（3）題的解集表示為x2，這是錯誤的.二、閱讀材料法國數學家韋達韋達，1540年出生在法國東部的普瓦圖的韋特奈.他早年學習法律，曾以律師身份在法國議會里工作，韋達不是專職數學家，但他非常喜歡在政治生涯的間隙和工作余暇研究數學，并作出了很多重要貢獻，成為那個時代最偉大的數學家.在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼.韋達還致力于數學研究，第一個有意識地和系統地使用字母來表示已知數、未知數及其乘冪，帶來了代數學理論研究的重大進步.韋達討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現了方程根與系數之間的關系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數關系的結論稱為“韋達定理”）.韋達是第一個有意識地和系統地使用字母表示數的人，并且對數學符號進行了很多改進.他在1591年所寫的分析術引論是最早的符號代數著作.是他確定了符號代數的原理與方法，使當時的代數學系統化并且把代數學作為解析的方法使用.他還寫下了數學典則，1579年，韋達出版應用于三角形的數學定律.這是歐洲第一本使用六種三角函數的系統的平面、球面三角學.主要著作還有論方程的識別與修正分析五章等.韋達的著作以獨特形式包含了文藝復興時期的全部數學內容.只可惜韋達著作的文字比較晦澀難懂，在當時不能得到廣泛傳播.在他逝世后，才由別人匯集整理并編成韋達文集于1646年出版.韋達1603年卒于巴黎，享年63歲.由于韋達作出了許多重要貢獻，成為16世紀法國最杰出的數學家，在歐洲被尊稱為“代數學之父”.中國在一元二次方程方面的成就從“九章算術”卷八說明方程以后，在數值代數的領域內中國一直保持了光輝的成就.“九章算術”方程章首先解釋正負術是確切不移的，正像我們現在學習初等代數時從正負數的四則運算學起一樣，負數的出現