(新課標(biāo))高中數(shù)學(xué) 3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法教學(xué)設(shè)計(jì) 新人教A版必修5.doc_第1頁
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文檔簡介

3.2一元二次不等式及其解法3.2.1一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法從容說課本節(jié)課是人民教育出版社a版必修數(shù)學(xué)5第三章不等式第二大節(jié)3.2一元二次不等式及其解法的第一節(jié)課.一元二次不等式及其解法教學(xué)分為三個(gè)學(xué)時(shí),第一個(gè)學(xué)時(shí)先由師生共同分析日常生活中的實(shí)際問題來引出一元二次不等式及其解法中的一些基本概念、求解一元二次不等式的步驟、求解一元二次不等式的程序框圖.確定一元二次不等式的概念和解法,以此激發(fā)學(xué)生對科學(xué)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度.通過具體例題的分析和求解,在這些例題中設(shè)置思考項(xiàng),讓學(xué)生探究,層層鋪設(shè),以便讓學(xué)生深刻理解一元二次不等式的概念,有利于一元二次不等式的解法的教學(xué).講述完一元二次不等式的概念后,再回歸到先前的具體事例,總結(jié)一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系和一元二次不等式解法的步驟,由學(xué)生用表格將一元二次不等式解法與二次函數(shù)的數(shù)形關(guān)系的對應(yīng)關(guān)系用圖表形式表示出來;然后用一個(gè)程序框圖把求解一般一元二次不等式的過程表示出來,根據(jù)這些圖表,得出一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系兩者之間的區(qū)別與聯(lián)系,再輔以新的例題鞏固.整個(gè)教學(xué)過程,探究一元二次不等式的概念,揭示一元二次不等式解法與二次函數(shù)的關(guān)系本質(zhì),引出一元二次不等式解法的步驟和過程,并及時(shí)加以鞏固,同時(shí)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)的奧秘與數(shù)學(xué)美,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)重點(diǎn) 1.從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型.2.圍繞一元二次不等式的解法展開,突出體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想.教學(xué)難點(diǎn) 理解二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式的關(guān)系.教具準(zhǔn)備 多媒體及課件,幻燈片三張三維目標(biāo)一、知識與技能1.經(jīng)歷從實(shí)際情景中抽象出一元二次不等式模型的過程;2.通過函數(shù)圖象了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系;3.會解一次二次不等式,對給定的一元二次不等式,嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖.二、過程與方法1.采用探究法,按照思考、交流、實(shí)驗(yàn)、觀察、分析、得出結(jié)論的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué);2.發(fā)揮學(xué)生的主體作用,作好探究性實(shí)驗(yàn);3.理論聯(lián)系實(shí)際,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.三、情感態(tài)度與價(jià)值觀1.通過利用二次函數(shù)的圖象來求解一元二次不等式的解集,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想;2.通過研究函數(shù)、方程與不等式之間的內(nèi)在聯(lián)系,使學(xué)生認(rèn)識到事物是相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的,樹立辯證的世界觀.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 上網(wǎng)獲取信息已經(jīng)成為人們?nèi)粘I畹闹匾M成部分,因特網(wǎng)服務(wù)公司(internet service provider)的任務(wù)就是負(fù)責(zé)將用戶的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng),同時(shí)收取一定的費(fèi)用.某同學(xué)要把自己的計(jì)算機(jī)接入因特網(wǎng),現(xiàn)有兩家isp公司可供選擇,公司a每小時(shí)收費(fèi)1.5元;公司b的收費(fèi)原則是在用戶上網(wǎng)的第一小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.7元,第二小時(shí)內(nèi)收費(fèi)1.6元,以后每小時(shí)減少0.1元.(若用戶一次上網(wǎng)時(shí)間超過17小時(shí),按17小時(shí)計(jì)算)一般來說,一次上網(wǎng)時(shí)間不會超過17小時(shí),所以,不妨一次上網(wǎng)時(shí)間總小于17小時(shí),那么,一次上網(wǎng)在多長時(shí)間以內(nèi)能夠保證選擇公司a比選擇公司b所需費(fèi)用少?假設(shè)一次上網(wǎng)x小時(shí),則a公司收取的費(fèi)用為1.5x,那么b公司收取的費(fèi)用為多少?怎樣得來?生 結(jié)果是元,因?yàn)槭堑炔顢?shù)列,其首項(xiàng)為1.7,公差為-0.1,項(xiàng)數(shù)為x的和,即師 如果能夠保證選擇a公司比選擇b公司所需費(fèi)用少,則如何列式?生 由題設(shè)條件應(yīng)列式為1.5x(0x17),整理化簡得不等式x2-5x0.推進(jìn)新課師 因此這個(gè)問題實(shí)際就是解不等式:x2-5x0的問題.這樣的不等式就叫做一元二次不等式,它的解法是我們下面要學(xué)習(xí)討論的重點(diǎn).什么叫做一元二次不等式?含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式,它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0).例如2x2-3x-20,3x2-6x-2,-2x2+30等都是一元二次不等式.那么如何求解呢?師 在初中,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過一元一次方程和一元一次不等式的解法,以及一次函數(shù)的有關(guān)知識,那么一元一次方程、一元一次不等式以及一次函數(shù)三者之間有什么關(guān)系呢?思考:對一次函數(shù)y=2x-7,當(dāng)x為何值時(shí),y=0?當(dāng)x為何值時(shí),y0?當(dāng)x為何值時(shí),y0?它的對應(yīng)值表與圖象如下:x22.533.544.55y-3-2-10123由對應(yīng)值表與圖象(如上圖)可知:當(dāng)x=3.5時(shí),y=0,即2x-7=0;當(dāng)x3.5時(shí),y0,即2x-70;當(dāng)x3.5時(shí),y0,即2x-70.師 一般地,設(shè)直線y=ax+b與x軸的交點(diǎn)是(x0,0),則有如下結(jié)果:(1)一元一次方程ax+b=0的解是x0;(2)當(dāng)a0時(shí),一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0;一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.當(dāng)a0時(shí),一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0;一元一次不等式ax+b0的解集是x|xx0.師 在解決上述問題的基礎(chǔ)上分析,一次函數(shù)、一元一次方程、一元一次不等式之間的關(guān)系.能通過觀察一次函數(shù)的圖象求得一元一次不等式的解集嗎?生 函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程的根,不等式的解集為函數(shù)圖象落在x軸上方(下方)部分對應(yīng)的橫坐標(biāo).a0a0一次函數(shù)y=ax+b(a0)的圖象一元一次方程ax+b=0的解集x|x=x|x=一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x一元一次不等式ax+b0的解集x|xx|x師 在這里我們發(fā)現(xiàn)一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)三者之間有著密切的聯(lián)系.利用這種聯(lián)系(集中反映在相應(yīng)一次函數(shù)的圖象上)我們可以快速準(zhǔn)確地求出一元一次不等式的解集,類似地,我們能不能將現(xiàn)在要求解的一元二次不等式與二次函數(shù)聯(lián)系起來討論找到其求解方法呢?在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí),我們曾解決過這樣的問題:對二次函數(shù)y=x2-5x,當(dāng)x為何值時(shí),y=0?當(dāng)x為何值時(shí),y0?當(dāng)x為何值時(shí),y0?當(dāng)時(shí)我們又是怎樣解決的呢?生 當(dāng)時(shí)我們是通過作出函數(shù)的圖象,找出圖象與x軸的交點(diǎn),通過觀察來解決的.二次函數(shù)y=x2-5x的對應(yīng)值表與圖象如下:x-10123456y60-4-6-6-406由對應(yīng)值表與圖象(如上圖)可知:當(dāng)x=0或x=5時(shí),y=0,即x2-5x=0;當(dāng)0x5時(shí),y0,即x2-5x0;當(dāng)x0或x5時(shí),y0,即x2-5x0.這就是說,若拋物線y=x 2-5x與x軸的交點(diǎn)是(0,0)與(5,0),則一元二次方程x2-5x=0的解就是x1=0,x2=5.一元二次不等式x2-5x0的解集是x|0x5;一元二次不等式x2-5x0的解集是x|x0或x5.教師精講由一元二次不等式的一般形式知,任何一個(gè)一元二次不等式,最后都可以化為ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)的形式,而且我們已經(jīng)知道,一元二次不等式的解與其相應(yīng)的一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象有關(guān),即由拋物線與x軸的交點(diǎn)可以確定對應(yīng)的一元二次方程的解和對應(yīng)的一元二次不等式的解集.如何討論一元二次不等式的解集呢?我們知道,對于一元二次方程ax2+bx+c=0(a0),設(shè)其判別式為=b2-4ac,它的解按照0,=0,0分為三種情況,相應(yīng)地,拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸的相關(guān)位置也分為三種情況(如下圖),因此,對相應(yīng)的一元二次不等式ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0)的解集我們也分這三種情況進(jìn)行討論.(1)若0,此時(shí)拋物線y=ax 2+bx+c(a0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)圖(1),即方程ax 2+bx+c=0(a0)有兩個(gè)不相等的實(shí)根x1,x2(x1x2),則不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是x|xx1,或xx2;不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是x|x1xx2.(2)若=0,此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)圖(2),即方程ax2+bx+c=0(a0)有兩個(gè)相等的實(shí)根x1=x2=,則不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是x|x;不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是.(3)若0,此時(shí)拋物線y=ax2+bx+c(a0)與x軸沒有交點(diǎn)圖(3),即方程ax2+bx+c=0(a0)無實(shí)根,則不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是r;不等式ax2+bx+c0(a0)的解集是.=b2-4ac0=00二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a0)的圖象ax2+bx+c=0的根x1=x2=ax2+bx+c0的解集x|xx1或xx2x|xrax2+bx+c0的解集x|x1xx2對于二次項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù)(即a0)的不等式,可以先把二次項(xiàng)系數(shù)化成正數(shù),再求解.知識拓展【例1】 解不等式2x 2-5x-30.生 解:因?yàn)?,2x2-5x-3=0的解是x1=-,x 2=3.所以不等式的解集是x|x,或x3.【例2】 解不等式-3x 2+15x12.生 解:整理化簡得3x 2-15x+120.因?yàn)?,方程3x2-15x+12=0的解是x 1=1,x2=4,所以不等式的解集是x|1x4.【例3】 解不等式4x 2+4x+10.生 解:因?yàn)?0,方程4x 2+4x+1=0的解是x1=x 2=.所以不等式的解集是x|x.【例4】 解不等式-x 2+2x-30.生 解:整理化簡,得x2-2x+30.因?yàn)?,方程x 2-2x+3=0無實(shí)數(shù)解,所以不等式的解集是.師 由上述討論及例題,可歸納出解一元二次不等式的程序嗎?生 歸納如下:(1)將二次項(xiàng)系數(shù)化為“+”:y=ax 2+bx+c0(或0)(a0).(2)計(jì)算判別式,分析不等式的解的情況:0時(shí),求根x1x2,=0時(shí),求根x 1=x 2=x 0,0時(shí),方程無解,(3)寫出解集.師 說的很好.下面我們用一個(gè)程序框圖把求解一元二次不等式的過程表示出來,請同學(xué)們將判斷框和處理框中的空格填充完整.學(xué)生活動(dòng)過程方法引導(dǎo)上述過程以學(xué)生自主探究為主,教師起引導(dǎo)作用,充分體現(xiàn)學(xué)生的主體作用與新課程的理念.該過程中的思考、觀察、探究起到層層鋪設(shè)的作用,激起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣與勇于探索的精神.課堂小結(jié)1.一元二次不等式:含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的最高次數(shù)是二次的不等式叫做一元二次不等式,它的一般形式是ax2+bx+c0或ax2+bx+c0(a0).2.求解一元二次不等式的步驟和解一元二次不等式的程序.布置作業(yè)1.完成第90頁的練習(xí).2.完成第90頁習(xí)題3.2第1題.板書設(shè)計(jì)一元二次不等式的概念和一元二次不等式解法多媒體演示區(qū) 一元二次不等式概念一元二次不等式解題步驟 例題習(xí)題詳解(課本第90頁練習(xí))1.(1)解:整理化簡得3x 2-7x-100.因?yàn)?,方程3x 2-7x-10=0的解是x1=-1,x2=,所以不等式的解集是x|-1x.(2)解:整理化簡得2x 2-x+50.因?yàn)?,所以不等式的解集是r.(3)解:整理化簡得x2-4x+40.因?yàn)?0,方程x 2-4x+4=0的解是x1=x 2=2,所以不等式的解集是x|x2.(4)解:整理化簡得x2-4x+140.因?yàn)?0,方程x2-4x+14=0的解是x 1=x2=所以不等式的解集是x|x.(5)解:整理化簡得2x2-x-30.因?yàn)?,方程2x2-x-3=0的解是x1=,x2=-1,所以不等式的解集是x|x-1或x.(6)解:整理化簡得12x2-31x+200.因?yàn)?,方程12x2-31x+20=0的解是x1=,x2=,所以不等式的解集是x|x54或x43.(7)解:整理化簡得3x 2+5x0.因?yàn)?,方程3x2+5x=0的解是x1=0,x 2=-,所以不等式的解集是x|-x0.2.(1)解:當(dāng)或時(shí),y的值等于0;當(dāng)或時(shí)y的值大于0;當(dāng)3-33x3+33時(shí)y的值小于0.(2)解:當(dāng)x=-5或x=5時(shí),y的值等于0;當(dāng)-5x5時(shí)y的值大于0;當(dāng)x-5或x5時(shí)y的值小于0.(3)解:因?yàn)?,所以對一切實(shí)數(shù)x都有y大于零.(4)解:當(dāng)x=2時(shí),y的值等于0;當(dāng)x時(shí)y的值大于0;當(dāng)xr且x2時(shí)y的值小于0.備課資料一、備用習(xí)題1.解不等式x+23x 2.解:原不等式等價(jià)于3x 2x20,解方程3x2x2=0得兩根:,x 2=1.原不等式的解集為(,1).2.解下列不等式:(1)2+3x2x 20;(2)x 2+2x3x0;(3)x24x+40.解:(1)原不等式等價(jià)于2x 2-3x-20.由2x23x2=0得,x2=2.原不等式的解集是(-,)(2,+).(2)原不等式等價(jià)于:x 2-2x+30.由=(-2)2-4130,知原不等式解集為.(3)=(-4)2-44=0,方程x2-4x+4=0有等根x1=x2=2,原不等式的解集為x|xr,且x2.點(diǎn)評:1.要嚴(yán)格按“解法步驟”求解.2.最后要用集合表示法表出解集.如本例(1)用區(qū)間表示出解集;本例(3)用大括號表示解集,該題的解集也可用區(qū)間表為(-,2)(2,+),但有的同學(xué)把第(3)題的解集表示為x2,這是錯(cuò)誤的.二、閱讀材料法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)韋達(dá),1540年出生在法國東部的普瓦圖的韋特奈.他早年學(xué)習(xí)法律,曾以律師身份在法國議會里工作,韋達(dá)不是專職數(shù)學(xué)家,但他非常喜歡在政治生涯的間隙和工作余暇研究數(shù)學(xué),并作出了很多重要貢獻(xiàn),成為那個(gè)時(shí)代最偉大的數(shù)學(xué)家.在對西班牙的戰(zhàn)爭中曾為政府破譯敵軍的密碼.韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究,第一個(gè)有意識地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪,帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步.韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換,發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系(所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”).韋達(dá)是第一個(gè)有意識地和系統(tǒng)地使用字母表示數(shù)的人,并且對數(shù)學(xué)符號進(jìn)行了很多改進(jìn).他在1591年所寫的分析術(shù)引論是最早的符號代數(shù)著作.是他確定了符號代數(shù)的原理與方法,使當(dāng)時(shí)的代數(shù)學(xué)系統(tǒng)化并且把代數(shù)學(xué)作為解析的方法使用.他還寫下了數(shù)學(xué)典則,1579年,韋達(dá)出版應(yīng)用于三角形的數(shù)學(xué)定律.這是歐洲第一本使用六種三角函數(shù)的系統(tǒng)的平面、球面三角學(xué).主要著作還有論方程的識別與修正分析五章等.韋達(dá)的著作以獨(dú)特形式包含了文藝復(fù)興時(shí)期的全部數(shù)學(xué)內(nèi)容.只可惜韋達(dá)著作的文字比較晦澀難懂,在當(dāng)時(shí)不能得到廣泛傳播.在他逝世后,才由別人匯集整理并編成韋達(dá)文集于1646年出版.韋達(dá)1603年卒于巴黎,享年63歲.由于韋達(dá)作出了許多重要貢獻(xiàn),成為16世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家,在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”.中國在一元二次方程方面的成就從“九章算術(shù)”卷八說明方程以后,在數(shù)值代數(shù)的領(lǐng)域內(nèi)中國一直保持了光輝的成就.“九章算術(shù)”方程章首先解釋正負(fù)術(shù)是確切不移的,正像我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)初等代數(shù)時(shí)從正負(fù)數(shù)的四則運(yùn)算學(xué)起一樣,負(fù)數(shù)的出現(xiàn)

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