選修論文：談線代.doc

談線代一開始我憑著一種對(duì)數(shù)學(xué)的愛(ài)好選學(xué)了這門課程，可后來(lái)慢慢的我才發(fā)現(xiàn)，這其中的智慧遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了我的想象線性代數(shù)有什么用？這是每一個(gè)圈養(yǎng)在象牙塔里，在灌輸式教學(xué)模式下的“被學(xué)習(xí)”的學(xué)生剛剛開始思考時(shí)的第一個(gè)問(wèn)題。其實(shí)，學(xué)習(xí)線代對(duì)我們自身的發(fā)展很有幫助：1.如果你想拿學(xué)位，線代的學(xué)分對(duì)你有幫助。2.如果你想繼續(xù)深造，考研，必須學(xué)好線代。因?yàn)樗潜乜嫉臄?shù)學(xué)科目，也是研究生科目矩陣論、泛函分析的基礎(chǔ)。例如，泛函分析的起點(diǎn)就是無(wú)窮多個(gè)未知量的無(wú)窮多線性方程組理論。3.如果你想提高自己的科研能力，不被現(xiàn)代科技發(fā)展潮流所拋棄，也必須學(xué)好，因?yàn)槿鸬涞腖.戈丁說(shuō)過(guò)，沒(méi)有掌握線代的人簡(jiǎn)直就是文盲。他在自己的數(shù)學(xué)名著數(shù)學(xué)概觀中說(shuō)：要是沒(méi)有線性代數(shù)，任何數(shù)學(xué)和初等教程都講不下去。按照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線性代數(shù)是通過(guò)公理化來(lái)表述的。它是第二代數(shù)學(xué)模型，其根源來(lái)自于歐幾里得幾何、解析幾何以及線性方程組理論。，如果不熟悉線性代數(shù)的概念，像線性性質(zhì)、向量、線性空間、矩陣等等，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來(lái)就和文盲差不多，甚至可能學(xué)習(xí)社會(huì)科學(xué)也是如此。4.如果畢業(yè)后想找個(gè)好工作，也必須學(xué)好線代：(1)想搞數(shù)學(xué)，當(dāng)個(gè)數(shù)學(xué)家。恭喜你，你的職業(yè)未來(lái)將是最光明的。如果到美國(guó)打工的話你可以找到最好的職業(yè)。(2)想搞電子工程，電路分析、線性信號(hào)系統(tǒng)分析、數(shù)字濾波器分析設(shè)計(jì)等需要線代，因?yàn)榫€代就是研究線性網(wǎng)絡(luò)的主要工具；進(jìn)行IC集成電路設(shè)計(jì)時(shí)，對(duì)付數(shù)百萬(wàn)個(gè)集體管的仿真軟件就需要依賴線性方程組的方法；想搞光電及射頻工程，好，電磁場(chǎng)、光波導(dǎo)分析都是向量場(chǎng)的分析，比如光調(diào)制器分析研制需要張量矩陣，手機(jī)信號(hào)處理等等也離不開矩陣運(yùn)算。(3)想搞軟件工程，3D游戲的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)就是以圖形的矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)；當(dāng)然，如果你只想玩3D游戲可以不必掌握線代；想搞圖像處理，大量的圖像數(shù)據(jù)處理更離不開矩陣這個(gè)強(qiáng)大的工具，阿凡達(dá)中大量的后期電腦制作沒(méi)有線代的數(shù)學(xué)工具簡(jiǎn)直難以想象。(4)想搞經(jīng)濟(jì)研究，列昂惕夫（Wassily Leontief），哈佛大學(xué)教授，1949年用計(jì)算機(jī)計(jì)算出了由美國(guó)統(tǒng)計(jì)局的25萬(wàn)條經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)所組成的42個(gè)未知數(shù)的42個(gè)方程的方程組，他打開了研究經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型的新時(shí)代的大門。這些模型通常都是線性的，也就是說(shuō)，它們是用線性方程組來(lái)描述的，被稱為列昂惕夫“投入-產(chǎn)出”模型。列昂惕夫因此獲得了1973年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。(5)相當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)，也要要會(huì)運(yùn)籌學(xué)，運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要議題是線性規(guī)劃。許多重要的管理決策是在線性規(guī)劃模型的基礎(chǔ)上做出的。線性規(guī)劃的知識(shí)就是線代的知識(shí)啊。比如，航空運(yùn)輸業(yè)就使用線性規(guī)劃來(lái)調(diào)度航班，監(jiān)視飛行及機(jī)場(chǎng)的維護(hù)運(yùn)作等；又如，你作為一個(gè)大商場(chǎng)的老板，線性規(guī)劃可以幫助你合理的安排各種商品的進(jìn)貨，以達(dá)到最大利潤(rùn)。(6)對(duì)于其他工程領(lǐng)域，沒(méi)有用不上線代的地方。如搞建筑工程，那么奧運(yùn)場(chǎng)館鳥巢的受力分析需要線代的工具；石油勘探，勘探設(shè)備獲得的大量數(shù)據(jù)所滿足的幾千個(gè)方程組需要你的線代知識(shí)來(lái)解決；飛行器設(shè)計(jì)，就要研究飛機(jī)表面的氣流的過(guò)程包含反復(fù)求解大型的線性方程組，在這個(gè)求解的過(guò)程中，有兩個(gè)矩陣運(yùn)算的技巧：對(duì)稀疏矩陣進(jìn)行分塊處理和進(jìn)行LU分解； 作餐飲業(yè)，對(duì)于構(gòu)造一份有營(yíng)養(yǎng)的減肥食譜也需要解線性方程組；知道有限元方法嗎？這個(gè)工程分析中十分有效的有限元方法，其基礎(chǔ)就是求解線性方程組。知道馬爾科夫鏈嗎？這個(gè)“鏈子”神通廣大，在許多學(xué)科如生物學(xué)、商業(yè)、化學(xué)、工程學(xué)及物理學(xué)等領(lǐng)域中被用來(lái)做數(shù)學(xué)模型，實(shí)際上馬爾科夫鏈?zhǔn)怯梢粋€(gè)隨機(jī)變量矩陣所決定的一個(gè)概率向量序列，看看，矩陣、向量又出現(xiàn)了。5.除此之外，矩陣的特征值和特征向量可以用在研究物理、化學(xué)領(lǐng)域的微分方程、連續(xù)的或離散的動(dòng)力系統(tǒng)中，甚至數(shù)學(xué)生態(tài)學(xué)家用以在預(yù)測(cè)原始森林遭到何種程度的砍伐會(huì)造成貓頭鷹的種群滅亡；大名鼎鼎的最小二乘算法廣泛應(yīng)用在各個(gè)工程領(lǐng)域里被用來(lái)把實(shí)驗(yàn)中得到的大量測(cè)量數(shù)據(jù)來(lái)擬合到一個(gè)理想的直線或曲線上，最小二乘擬合算法實(shí)質(zhì)就是超定線性方程組的求解；二次型常常出現(xiàn)在線性代數(shù)在工程（標(biāo)準(zhǔn)設(shè)計(jì)及優(yōu)化）和信號(hào)處理（輸出的噪聲功率）的應(yīng)用中，他們也常常出現(xiàn)在物理學(xué)（例如勢(shì)能和動(dòng)能）、微分幾何（例如曲面的法曲率）、經(jīng)濟(jì)學(xué)（例如效用函數(shù)）和統(tǒng)計(jì)學(xué)（例如置信橢圓體）中，某些這類應(yīng)用實(shí)例的數(shù)學(xué)背景很容易轉(zhuǎn)化為對(duì)對(duì)稱矩陣的研究。什么是線性代數(shù)呢? 線性代數(shù),是數(shù)學(xué)的一個(gè)分支，它的研究對(duì)象是向量，向量空間（或稱線性空間），線性變換和有限維的線性方程組。向量空間是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題；因而，線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于抽象代數(shù)和泛函分析中；通過(guò)解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示。線性代數(shù)的理論已被泛化為算子理論。由于科學(xué)研究中的非線性模型通?？梢员唤茷榫€性模型，使得線性代數(shù)被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)中。線性代數(shù)是理工類、經(jīng)管類數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容。 由于費(fèi)馬和笛卡兒的工作，線性代數(shù)基本上出現(xiàn)于十七世紀(jì)。直到十八世紀(jì)末，線性代數(shù)的領(lǐng)域還只限于平面與空間。十九世紀(jì)上半葉才完成了到n維向量空間的過(guò)渡 矩陣論始于凱萊，在十九世紀(jì)下半葉，因若當(dāng)?shù)墓ぷ鞫_(dá)到了它的頂點(diǎn)。1888年，皮亞諾以公理的方式定義了有限維或無(wú)限維向量空間。托普利茨將線性代數(shù)的主要定理推廣到任意體上的最一般的向量空間中。線性映射的概念在大多數(shù)情況下能夠擺脫矩陣計(jì)算而引導(dǎo)到固有的推理，即是說(shuō)不依賴于基的選擇。不用交換體而用未必交換之體或環(huán)作為算子之定義域，這就引向模的概念，這一概念很顯著地推廣了向量空間的理論和重新整理了十九世紀(jì)所研究過(guò)的情況。 “代數(shù)”這一個(gè)詞在我國(guó)出現(xiàn)較晚，在清代時(shí)才傳入中國(guó)，當(dāng)時(shí)被人們譯成“阿爾熱巴拉”，直到1859年，清代著名的數(shù)學(xué)家、翻譯家李善蘭才將它翻譯成為“代數(shù)學(xué)”，之后一直沿用。 線性代數(shù)是討論矩陣?yán)碚摗⑴c矩陣結(jié)合的有限維向量空間及其線性變換理論的一門學(xué)科。 其主要理論成熟于十九世紀(jì)，而第一塊基石（二、三元線性方程組的解法）則早在兩千年前出現(xiàn)（見于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)）。 線性代數(shù)在數(shù)學(xué)、力學(xué)、物理學(xué)和技術(shù)學(xué)科中有各種重要應(yīng)用，因而它在各種代數(shù)分支中占居首要地位； 在計(jì)算機(jī)廣泛應(yīng)用的今天，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)、計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)、密碼學(xué)、虛擬現(xiàn)實(shí)等技術(shù)無(wú)不以線性代數(shù)為其理論和算法基礎(chǔ)的一部分； 該學(xué)科所體現(xiàn)的幾何觀念與代數(shù)方法之間的聯(lián)系，從具體概念抽象出來(lái)的公理化方法以及嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐谱C、巧妙的歸納綜合等，對(duì)于強(qiáng)化人們的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，增益科學(xué)智能是非常有用的； 隨著科學(xué)的發(fā)展，我們不僅要研究單個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系，各種實(shí)際問(wèn)題在大多數(shù)情況下可以線性化，而由于計(jì)算機(jī)的發(fā)展，線性化了的問(wèn)題又可以計(jì)算出來(lái)，線性代數(shù)正是解決這些問(wèn)題的有力工具。線性代數(shù)起源于對(duì)二維和三維直角坐標(biāo)系的研究。 在這里，一個(gè)向量是一個(gè)有方向的線段，由長(zhǎng)度和方向同時(shí)表示。這樣向量可以用來(lái)表示物理量，比如力，也可以和標(biāo)量做加法和乘法。這就是實(shí)數(shù)向量空間的第一個(gè)例子。 現(xiàn)代線性代數(shù)已經(jīng)擴(kuò)展到研究任意或無(wú)限維空間。一個(gè)維數(shù)為 n 的向量空間叫做 n 維空間。在二維和三維空間中大多數(shù)有用的結(jié)論可以擴(kuò)展到這些高維空間。盡管許多人不容易想象 n 維空間中的向量，這樣的向量（即 n 元組）用來(lái)表示數(shù)據(jù)非常有效。由于作為 n 元組，向量是 n 個(gè)元素的“有序”列表，大多數(shù)人可以在這種框架中有效地概括和操縱數(shù)據(jù)。比如，在經(jīng)濟(jì)學(xué)中可以使用 8 維向量來(lái)表示 8 個(gè)國(guó)家的國(guó)民生產(chǎn)總值（GNP）。當(dāng)所有國(guó)家的順序排定之后，比如（中國(guó)、美國(guó)、英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)、西班牙、印度、澳大利亞），可以使用向量（v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8）顯示這些國(guó)家某一年各自的 GNP。這里，每個(gè)國(guó)家的 GNP 都在各自的位置上。 作為證明定理而使用的純抽象概念，向量空間（線性空間）屬于抽象代數(shù)的一部分，而且已經(jīng)非常好地融入了這個(gè)領(lǐng)域。一些顯著的例子有： 不可逆線性映射或矩陣的群，向量空間的線性映射的環(huán)。 線性代數(shù)也在數(shù)學(xué)分析中扮演重要角色，特別在 向量分析中描述高階導(dǎo)數(shù)，研究張量積和可交換映射等領(lǐng)域。 向量空間是在域上定義的，比如實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域。線性算子將線性空間的元素映射到另一個(gè)線性空間（也可以是同一個(gè)線性空間），保持向量空間上加法和標(biāo)量乘法的一致性。所有這種變換組成的集合本身也是一個(gè)向量空間。如果一個(gè)線性空間的基是確定的，所有線性變換都可以表示為一個(gè)數(shù)表，稱為矩陣。對(duì)矩陣性質(zhì)和矩陣算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被認(rèn)為是線性代數(shù)的一部分。 我們可以簡(jiǎn)單地說(shuō)數(shù)學(xué)中的線性問(wèn)題-那些表現(xiàn)出線性的問(wèn)題是最容易被解決的。比如微分學(xué)研究很多函數(shù)線性近似的問(wèn)題。 在實(shí)踐中與非線性問(wèn)