教案10(教師用)數(shù)學(xué)歸納法.doc

教案10 數(shù)學(xué)歸納法一、課前檢測1在數(shù)列中，=1，(),求。解：n=1時,=1 以上n-1個等式累加得=，故 且也滿足該式 ()。2在數(shù)列中，=1，求。解：由已知得，分別取n=1、2、3(n-1),代入該式得n-1個等式累乘，即=123(n-1)=(n-1)!所以時，故且=1也適用該式 ().二、知識梳理（一）基本知識1.歸納法：由一些特殊事例推出一般結(jié)論的推理方法. 特點(diǎn)：特殊一般2.不完全歸納法:根據(jù)事物的部分(而不是全部)特例得出一般結(jié)論的推理方法叫做不完全歸納法. 3.完全歸納法:把研究對象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法.完全歸納法是一種在研究了事物的所有(有限種)特殊情況后得出一般結(jié)論的推理方法，又叫做枚舉法.與不完全歸納法不同，用完全歸納法得出的結(jié)論是可靠的.通常在事物包括的特殊情況數(shù)不多時，采用完全歸納法.4.數(shù)學(xué)歸納法:對于某些與自然數(shù)n有關(guān)的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立；然后假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，kn0)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立這種證明方法就叫做數(shù)學(xué)歸納法5.數(shù)學(xué)歸納法的基本思想：即先驗證使結(jié)論有意義的最小的正整數(shù)n0，如果當(dāng)n=n0時，命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k(kn0，kN*)時，命題成立.(這時命題是否成立不是確定的)，根據(jù)這個假設(shè)，如能推出當(dāng)n=k+1時，命題也成立，那么就可以遞推出對所有不小于n0的正整數(shù)n0+1，n0+2，命題都成立.6.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當(dāng)n取第一個值n0結(jié)論正確；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*，且kn0)時結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時結(jié)論也正確.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確遞推基礎(chǔ)不可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉.（二）解讀(1）用數(shù)學(xué)歸納法證明一個命題必須分為兩個步驟：第一步驗證n取第一個允許值n0時命題成立；第二步從n=k(kn0)時命題成立的假設(shè)出發(fā)，推證n=k+1時命題也成立。其中第一步是驗證命題的起始正確性，是歸納的基礎(chǔ)；第二步則是推證命題正確性的可傳遞性，是遞推的依據(jù)。兩個步驟各司其職，缺一不可。證明步驟與格式的完整與規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個鮮明特征。(2）在第二步證明“當(dāng)n=k+1時命題成立”的過程中，必須利用“歸納假設(shè)”，即必須用上“當(dāng)n=k時命題成立”這一條件。因為“當(dāng)n=k時命題成立”實為一個已知條件，而“當(dāng)n=k+1時命題成立”只是一個待證目標(biāo)。(3)“觀察歸納猜想證明”是一種十分重要的思維方法，運(yùn)用這種思維方法既能發(fā)現(xiàn)結(jié)論，又能證明結(jié)論的正確性。這是分析問題和解決問題能力的一個重要內(nèi)容，也是近幾年高考的一個考查重點(diǎn)。(4)用數(shù)學(xué)歸納法可以證明許多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題，其中包括恒等式、不等式、數(shù)列通項公式、整除性問題、幾何問題等.(5)沒有運(yùn)用歸納假設(shè)的證明不是數(shù)學(xué)歸納法問題1 用數(shù)學(xué)歸納法證明：錯證：（1）當(dāng)n=1時，左=右=1，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時等式成立，那么當(dāng)n=k+1時，綜合（1）（2），等式對所有正整數(shù)都成立點(diǎn)撥：錯誤原因在于只有數(shù)學(xué)歸納法的形式，沒有數(shù)學(xué)歸納法的“實質(zhì)”即在歸納遞推中，沒有運(yùn)用歸納假設(shè)(6)歸納起點(diǎn)未必是1。問題2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：凸n邊形的對角線條數(shù)為點(diǎn)拔：本題的歸納起點(diǎn)三、典型例題分析題型1 證明等式問題例1 用數(shù)學(xué)歸納法證明證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1-=，右邊=，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，即。那么，當(dāng)n=k+1時， 即是說，當(dāng)n=k+1時等式也成立。綜上所述，等式對任何自然數(shù)n都成立。變式訓(xùn)練1 在數(shù)列中，求數(shù)列的通項公式。解：猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：（1）當(dāng)n=1時，猜想成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時猜想成立，則當(dāng)n=k+1時猜想也成立綜合（1）（2），對猜想都成立小結(jié)與拓展：（1）數(shù)學(xué)歸納法證明命題，格式嚴(yán)謹(jǐn)，必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；（2）歸納遞推是證明的難點(diǎn)，應(yīng)看準(zhǔn)“目標(biāo)”進(jìn)行變形；（3）由k推導(dǎo)到k+1時，有時可以“套”用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法“靈活”的一面。找到“遞推關(guān)系”就等于把握住解決問題的“靈魂”。（4）“歸納猜想證明”是一個完整的發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的思維模式。題型2 證明不等式問題例2 （2010年北京調(diào)研20）數(shù)列滿足：，.（）若數(shù)列為常數(shù)列，求的值；（）若，求證： (.)。解：（）當(dāng)數(shù)列為常數(shù)列時，=，由條件得， 解得或 （）用數(shù)學(xué)歸納法證明.（1）當(dāng)時，符合上式. （2）假設(shè)當(dāng)時，因為 ，所以 ，即.從而，即.因為，所以，當(dāng)時，成立.即當(dāng)n=k+1時命題也成立由（1）、（2）知，對，都成立。變式訓(xùn)練2 對于不等式n1(nN*)，某同學(xué)的證明過程如下：證明：(1)當(dāng)n1時，11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時，不等式成立，即k1，則當(dāng)nk1時，(k1)1，當(dāng)nk1時，不等式成立綜上所述，不等式對任何自然數(shù)n都成立。則上述證法( D )A過程全部正確 Bn1驗得不正確C歸納假設(shè)不正確 D從nk到nk1的推理不正確解：用數(shù)學(xué)歸納法證題的關(guān)鍵在于合理運(yùn)用歸納假設(shè)小結(jié)與拓展：題型3 數(shù)學(xué)歸納法的綜合應(yīng)用例3 是否存在常數(shù)a，b，c使得等式122232n(n1)2(an2bnc)對于一切正整數(shù)n都成立？并證明你的結(jié)論證明：假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c，在等式122232n(n1)2(an2bnc)中，令n1，得4(abc) 令n2，得22(4a2bc) 令n3，得709a3bc 由解得a3，b11，c10，于是，對于n1,2,3都有122232n(n1)2(3n211n10)(*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于一切正整數(shù)n，(*)式都成立(1)當(dāng)n1時，由上述知，(*)成立(2)假設(shè)nk(k1)時，(*)成立，即122232k(k1)2(3k211k10)，那么當(dāng)nk1時，122232k(k1)2(k1)(k2)2(3k211k10)(k1)(k2)2(3k25k12k24)3(k1)211(k1)10，由此可知，當(dāng)nk1時，(*)式也成立綜上所述，當(dāng)a3，b11，c10時題設(shè)的等式對于一切正整數(shù)n都成立變式訓(xùn)練3 設(shè)函數(shù)f(n)(2n9)3n19，當(dāng)nN*時，f(n)能被m(mN*)整除，猜想m的最大值為( D )A9 B18 C27 D36解：由f(n1)f(n)363n1(n6)知m的最大值為36.小結(jié)與拓展：四、歸納與總結(jié)（以學(xué)生為主，師生共同完成）（一）數(shù)學(xué)歸納法是一種只適用于與正整數(shù)有關(guān)的命題的證明方法。（二）數(shù)學(xué)歸納法分為兩個步驟：（1）證明當(dāng)n取第一個允許值n0時，結(jié)論正確。（注意n0不一定是1，也可能是其他的自然數(shù)。）（2）假設(shè)當(dāng)n=k(kN, kn0)時命題正確,根據(jù)假設(shè)，證明n=k+1時，結(jié)論也正確。由以上兩步得