（基礎(chǔ)數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)論文）素特征域上半單代數(shù)群及其李代數(shù)表示中的verma模.pdf

摘要 在本文中，我們主要研究素特征域k 上連通、單連通的半單代數(shù)群g 及其李代數(shù)g = l i eg 表示中的v e r m a 模本文主要研究成果有下面幾個(gè) 方面： 1 當(dāng)蜀( a ) 的最高權(quán)入落在基本室島時(shí)，在域的特征p 比較大的情況 下，我們決定了而( 入) 的所有極大權(quán)向量它們都是單項(xiàng)式形式而對(duì)于這 類(lèi)“單項(xiàng)式形式的”極大權(quán)向量，本文給出了一個(gè)充分性的界定 2 我們研究了非限制的廣義b a b yv e r m a 模的不可約性問(wèn)題我們知 道當(dāng)?shù)V特征函數(shù)x 為零時(shí)，一般的廣義b a b yv e r m a 模不是不可約的但 當(dāng)?shù)V特征函數(shù)x 為正則冪零時(shí)，廣義b a b yv e r m a 模均是不可約的當(dāng)?shù)V特 征函數(shù)) ( 具有標(biāo)準(zhǔn)l e v i 型且當(dāng)最高權(quán)入落在基本室島時(shí)，我們給出了a n 型李代數(shù)表示中的廣義b a b yv e r m a 模畋( g ) o ( p ，) 三，( a ) 不可約的充分 條件在此情況下，我們部分解決了f r i e d l a n d e r p a r s h a u 所提出的相關(guān)問(wèn)題 3 我們研究了李代數(shù)表示理論中的支柱簇和秩簇理論，當(dāng)驢特征函 數(shù)x 是秩1 時(shí)，我們證明了約化包絡(luò)代數(shù)氓( g ) 與限制包絡(luò)代數(shù)鞏( g ) ( 作 為左正則模) 是j g ( x ) 一等變同構(gòu)的，從而獲得了非限制b a b yv e r m a 模盈( 入) 和限制b a b yv e r m a 模磊( 入) 的秩簇之間的關(guān)系式： u ( 么( 入) ) = ( 磊( 入) ) n3 9 ( x ) 其中吾g ( ) ( ) = _ x g1 ) ( ( x ，g 】) = o ) 4b s t r a c t l e tgd e n o t eac o n n e c t e d ，s i m p l yc o n n e c t e da n ds e m i - s i m p l ea l g e b r a i c g r o u po v e ra l la l g e b r a i c a l l yc l o s e df i e l dko fc h a r a c t e r i s t i cp 0 ，a n dg = l i e g b ei t sl i ea l g e b r a i nt h i sp a p e r w em a i n l ys t u d yt h ev e r m am o d u l e si n r e p r e s e n t a t i o n so fg a n dg i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h em a i nr e s u l t sa r el i s t e d b e l o w ： 1 v v h e nt h eh i g h e s tw e i g h tao f 蜀( a ) l i ei nt h ef u n d a m e n t a la l c o v e c o ，w ec a nd e t e r m i n ea l lt h em a x i m a lw e i g h tv e c t o ro f 磊( a ) a n dt h e ya r e m o n o m i a l sp r o v i d e dt h a tpi sb i g g e rt h a nac e r t a i nn u m b e r f o rg e n e r a l d e s c r i p t i o no fs u c hm a x i m a lw e i g h tv e c t o r s ，w eg i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nt o j u d g ei fam a x i m a lw e i g h tv e c t o ro fav e r m am o d u l ei nt h ed i s t ( g ) - m o d u l e c a t e g o r yb e c o m e sam a x i m a lv e c t o ro fab a b yv e r m am o d u l ei nt h e ( 夕) 一 m o d u l ec a t e g o r y 2 w es t u d yi r r e d u c i b l en o n - r e s t r i c t e dg e n e r a l i z e db a b yv e r m am o d u l e s w ek n o wt h a tw h e np - c h a r a c t e rxi sz e r o ，ab a b yv e r m am o d u l ei sm o s t l y r e d u c i b l e b u tw h e np - c h a r a c t e rxi sn o tz e r o ，t h eg e n e r a l i z e db a b yv e r m a m o d u l em a yb ei r r e d u c i b l e w h e nt h ep - c h a r a c t e rxh a ss t a n d a r dl e v if o r m a n dt h eh i g h e s tw e i g h tai si n c l u d e di nt h ef u n d a m e n t a la l c o v ec o ，w eg e ta n s u f f i c i e n tc o n d i t i o no ng e n e r a l i z e db a b yv e r m am o d u l e 氓( g ) v o ( p j ) l j ( a ) i si r r e d u c i b l e w ep a r t i a l l ya n s w e r e da l lq u e s t i o na d d r e s s e db yf r i e d l a n d e r a n dp a r s h a l li nt h er e f e r e n c e 【2 2 ，5 1 】。 3 w es t u d ys u p p o r tv a r i e t i e sa n dr a n kv a r i e t i e sf o rg w h e nt h er a n k o fp - c h a r a c t e rxi s 1 ，w ep r o vt h er e d u c e de n v e l o p i n ga l g e b r a 氓( g ) a n d r e s t r i c t e de n v e l o p i n ga l g e b r au o ( g ) a r e3 9 ( x ) 一e q u i v a r i a n ti s o m o r p h i s m8 u sl e f t r e g u l a rm o d u l e s ，s ow eg e tt h er e l a t i o nb e t w e e nt h er a n kv a r i e t yo fb a b y v e r m am o d u l e 揚(yáng)( 入) a n dt h er a n kv a r i e t yo fb a b yv e r m a m o d u l e 么( a ) ： 屹( 么c a ) ) = u ( z o c a ) ) n3 9 ( x ) w h e r e3 9 ( x ) = x g lx ( 【x ，g 】) = o ) 學(xué)位論文獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人所呈交的學(xué)位論文是我在導(dǎo)師的指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工作及取得的 研究成果。據(jù)我所知，除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不包含其他個(gè) 人已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)過(guò)的研究成果。對(duì)本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集 體，均已在文中作了明確說(shuō)明并表示謝意。 作者簽名：日期： 學(xué)位論文授權(quán)使用聲明 本人完全了解華東師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī)定，學(xué)校有權(quán) 保留學(xué)位論文并向國(guó)家主管部門(mén)或其指定機(jī)構(gòu)送交論文的電子版和紙質(zhì)版。 有權(quán)將學(xué)位論文用于非贏利目的的少量復(fù)制并允許論文進(jìn)入學(xué)校圖書(shū)館被 查閱。有權(quán)將學(xué)位論文的內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫(kù)進(jìn)行檢索。有權(quán)將學(xué)位論文 的標(biāo)題和摘要匯編出版。保密的學(xué)位論文在解密后適用本 學(xué)位論文作者簽名： 日期：型叫 導(dǎo)師簽名 ji 士 虧i 苗 在v e r m a 的文章【5 5 】中，標(biāo)準(zhǔn)循環(huán)模( v e r m a 模) 首先被引入并研究 在復(fù)半單李代數(shù)的表示中，b e r n s t e i n ，g e l l a n d 和g e l l a n d 的一系列文 章【7 ，8 ，9 】研究了v e r m a 模的性質(zhì)其中b g g 定理給出了v e r m a 模之間 同態(tài)存在的充分必要條件即v e r m a 模的極大權(quán)向量或子模存在的充分必 要條件另外還有關(guān)于單模特征標(biāo)的k a z h d a n - l u s z t i g 理論f 4 0 ，5 ，1 1 】 當(dāng)基域七的特征為素?cái)?shù)時(shí)，由于李代數(shù)的普遍包絡(luò)代數(shù)【廠( g ) 的f r o b e - n i u s 中心磊( g ) = 七矽一z m ：茹g 】對(duì)李代數(shù)單模的作用的效果不同，產(chǎn) 生相應(yīng)的有限維的所謂“b a b y v e r m a 模，我們將此時(shí)的v e r m a 模記為限 制( z o ( g ) 作用在單模上為零) b a b yv e r m a 模磊( a ) 和非限制( z o ( g ) 作 用在單模上非零) b a b yv e r m a 模瓦( 入) 所以原來(lái)v e r m a 模的角色現(xiàn)在由 b a b yv e r m a 模來(lái)取代按照限制表示和非限制表示，本文分成兩大部分 第一大部分，我們主要研究限制表示中b a b yv e r m a 模的極大權(quán)向量 首先指出的是：盡管一般來(lái)講限制b a b yv e r m a 模不能提升為相關(guān)代數(shù)群的 有理模，但代數(shù)群的單模特征標(biāo)公式的解決等價(jià)于b a b yv e r m a 模分解數(shù)的 解決( 1 ) 這樣，l u s z t i g 關(guān)于半單代數(shù)群?jiǎn)文Ｌ卣鳂?biāo)公式的猜想( 見(jiàn)f 4 4 ，4 5 ， 3 7 ，3 9 1 ) 的最終解決可以歸于b a b yv e r m a 的研究另一方面，由c l i n e ， p a r s h a l l 和s c o t t 的工作 1 5 】，可將l u s z t i g 猜想( 4 4 ) 的證明轉(zhuǎn)化為證 明e x t 芻, t ( l o ( w 入) ，l o ( w 8 a ) ) 0 ( 3 7 ，i i ，c h a p tc 2 】) 轉(zhuǎn)化為研究最高 權(quán)在相鄰室( a l c o v e ) 里的限制單模之間的一階上同調(diào)e x t l 為此，我們需 足夠了解限制b a b yv e r m a 2 _ 間的同態(tài)信息所以，l u s z t i g 猜想的最終完成， ( 1 ) 在代數(shù)群的表示理論中，中國(guó)數(shù)學(xué)家們做出了突出的貢獻(xiàn)，如王建磐( c f 【5 6 】等) ，時(shí)儉 益，葉家琛( c f 【6 0 1 等) ，席南華( c f 5 7 】等) 2 引言 與b a b yv e r m a 模的結(jié)構(gòu)，特別與b a b yv e r m a 模的極大權(quán)向量的確定有密 切關(guān)系 在復(fù)半單李代數(shù)的表示中，v e r m a 【5 5 】和b e r n s t e i n ，g e l f a n d 和g e l f a n d f 7 ，8 】對(duì)v e r m a 模z ( a ) c 的合成列和v e r m a 模之間同態(tài)的進(jìn)行了系統(tǒng)的研 究，由此我們可以找出v e r m a 模的所有極大權(quán)向量當(dāng)域的特征為素?cái)?shù)p 時(shí)，v e r m a 模( 或者w e y l 模) 之間同態(tài)要麻煩得多，很多數(shù)學(xué)家已經(jīng)得到了 許多重要的結(jié)果如c a r t e r 和l u s z t i g ( c f f 1 3 】) ，c a r t e r 和p a y n e c f f 1 4 j ) ， f r a n k l i n ( c f 1 7 1 ，1 8 1 ) ，a n d e r s e n ( c f f 1 1 ) ，k o p p i n e n ( c 4 1 1 ) 等席南 華在其論文 5 7 】，【5 8 】中對(duì)于w e y l 模以及b a b yv e r m a 模的極大權(quán)向量進(jìn) 行了深入研究他的一些獨(dú)到的討論也成為本文的工具和出發(fā)點(diǎn)。在以上所 述的研究基礎(chǔ)上，本文試圖理解復(fù)半單情形關(guān)于v e r m a 模的b g g 理論的 原始思想，并由此出發(fā)來(lái)考慮模p 后原始v e r m a 模的變形，最終尋求b a b y v e r m a 模的極大權(quán)向量 在本文中，我們首先借助特征零時(shí)v e r m a 模的最高權(quán)向量的結(jié)果研究 特征p 時(shí)b a b yv e r m a 模的極大權(quán)向量令g z 是一個(gè)連通，單連通的簡(jiǎn)約 代數(shù)z 一群令d i s t ( g z ) 是g r z 的廣衍代數(shù)( d i s t r i b u t i o n sa l g e b r a ) 首先，根據(jù)v e r m a 5 5 1 和b e r n s t e i n ，g e l f a n d 和g e l f a n df 7 ，8 1 對(duì)v e r m a 模的極大權(quán)向量的研究結(jié)果，以及f r a n k l i n 關(guān)于d i s t ( g z ) 上的v e r m a 模的 極大權(quán)向量的結(jié)果( 見(jiàn) 1 7 】， 1 8 】) ，我們可以描述d i s t ( g z ) 表示中的v e r m a 模z ( 入) z 的極大權(quán)向量并將其分類(lèi)為單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量和非單項(xiàng) 式形式的極大權(quán)向量借助于v e r m a 模z ( a ) z 的極大權(quán)向量，我們可以得 到d i s t ( g ) 表示的v e r m a 模z ( 入) 的相應(yīng)的極大權(quán)向量例如，如果仳o z a 是z ( 入) z 的一個(gè)極大權(quán)向量，令= 仳圓z 詹，則oh 是v e r m a 模z ( 入) 膏 的一個(gè)極大權(quán)向量 在第三章中借助于z ( a ) z 的極大權(quán)向量，我們研究了限制b a b yv e r m a 模磊( 入) 的極大權(quán)向量既然一階f r o b e n i u s 核g 1 的廣衍代數(shù)d i s t ( g 1 ) 是d i s t ( g ) 的子代數(shù)( c f f 3 7 ，9 8 1 ) ，借助于v e r m a 模z ( 入) z 的極大權(quán)向量，我 們可以得到一階f r o b e n i u s 核表示的b a b yv e r m a 模歷( 入) 竺d i s t ( 聽(tīng)一) oh 的相應(yīng)極大權(quán)向量由于李代數(shù)g = l i e ( g ) 的限制包絡(luò)代數(shù)( g ) 與廣衍 代數(shù)d i s t ( g 1 ) 是同構(gòu)的，所以b a b yv e r m a 模z 1 ( a ) 同構(gòu)于限制b a b yv e r m a 引言3 模易( a ) 借助于v e r m a 模z ( 入) z 的極大權(quán)向量我們可以得到以下結(jié)果： ( 1 ) 當(dāng)李代數(shù)g 的根系冗是a n 型時(shí)若u 圓z a 是z ( 入) z 的一個(gè)單項(xiàng) 式形式的極大權(quán)向量，我們可以給出= t zk 落在d i s t ( 盯) 的充分必 要條件由此借助于z ( a ) z 的單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量，我們可以找出限制 b a b yv e r m a 模蜀( 入) 的相應(yīng)單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量如下( 我們稱(chēng)這樣的 極大權(quán)向量為“原始”的極大權(quán)向量) 定理3 1 ：令入x ( t ) 是正則的限制權(quán)假設(shè)李代數(shù)g 是a n 型的李代 數(shù)特征p 大于根系冗的c o x e t e r 數(shù)令v k x = 淺- 艘。j 趣r q h 是 v e r m a 模z ( 入) 七的一個(gè)“原始 極大權(quán)向量則齠一耀：) 可5 ：i j ( n 一) 當(dāng)且僅當(dāng)齠一可譬。j 覷j 滿足下面的條件： ( 掌) 對(duì)u 的任一表達(dá)式螺一嬡2 一- c 【n j t j r r ，i i 其中s a i l s 叼。s 是硼= s 口。，8 a 。：s 口，的任一簡(jiǎn)約表達(dá)式，有呵。 p 當(dāng)且僅當(dāng)入一p 是正根之和 令l 是一個(gè)單g 模，則普遍包絡(luò)代數(shù)礦( g ) 的中心元護(hù)一z 糾作用 在己上是一個(gè)數(shù)將其記為x l ( z ) p ( c 【3 3 ，2 4 】) 對(duì)任一單g 模l 我們 有x l g + 我們稱(chēng)尬為l 的少特征函數(shù)更一般的，如果m 是一個(gè)g 模， 則我們稱(chēng)m 具有p 一特征函數(shù)x 當(dāng)且僅當(dāng) ( 護(hù)一x n x ( z ) p ) m = o ，vx g 令x g 設(shè) 吼( g ) = u ( o ) 氏 1 2v e r m a 模 7 是李代數(shù)g 的約化包絡(luò)代數(shù)，其中文= 礦一x n x ( 。) p ，對(duì)所有茁g ) 是v ( g ) 的理想我們有氓( g ) = 酞( n 一) o 鞏( o ) o 畋( r l + ) 對(duì)任一x g + ，由等價(jià)的模范疇 g 一模) 一 u ( g ) 一模) 誘導(dǎo)出一個(gè)等價(jià)的模范疇 具有p 特征的g 模) 一 氓( g ) 一模) 當(dāng)x = 0 時(shí)，我們稱(chēng) ( g ) = u c g ) j o 是李代數(shù)g 的限制包絡(luò)代數(shù)，其中而= ( 擴(kuò)一z 糾，對(duì)所有z g ) 我們 有( g ) = u o ( n 一) 圓u o ( d ) o5 t o ( n 十) 1 1 3 令人o ：= a 0 + la ( h ) p = 入( 危嘲) ) 是x ( t ) 的限制權(quán)集我們知道存 在雙射( c f 【3 3 ，1 1 1 】) a o 皇x ( t ) p x ( t ) 對(duì)任意的a r ，令q v 表示a 的余根令是由所有單反射8 d ，v 口r 生成的w e y l 群，是由所有單反射s 吖p ，r z ，va r 生成的仿射 w e y l 群，其中s 口，印( p ) = p 一( ( 肛，a v ) 一叩) q 定義w e y l 群的點(diǎn)作用w 入= 塒( 入+ p ) 一島w w ，其中p 是正根和的一半 設(shè)z a g 口，口h 是g 的正單根向量設(shè)m 是李代數(shù)g 的模，m 的 一個(gè)權(quán)為入的極大權(quán)向量是一個(gè)非零向量m 螈，它被所有g(shù) 的單根向 量x n 零化 1 2v e r m a 模 1 2 1 假設(shè)基域?yàn)閺?fù)數(shù)域c ，其上李代數(shù)記為g c 令a x ( t ) ，c 是一維 的b 老模，b 古在c a 上的作用為( 危+ 口r + z a ) c a = c a = 入( ) c a 定 8 第一章概念與記號(hào) 義g c 表示中的v e r m a 模為： z ( 入) c ：= u ( g c ) o c ，( b 古) c a 。 于是有嘔模同構(gòu)z ( 入) c 竺u ( 1 云) 我們稱(chēng)c a 是z ( a ) c 的生成元 設(shè)d i s t ( g z ) 是g z 的廣衍( d i s t r i b u t i o n s ) 代數(shù)( 廣衍代數(shù)的具體定義 可見(jiàn)文獻(xiàn)【3 7 】的c hi 7 和c hi i 1 或文獻(xiàn) 1 2 1 ) 則有： d i s t ( g z ) 皇od i s t ( u z ) a d i s t ( t z ) qo d i s t ( u z ) 一 設(shè)，0 f r ，h i ，i = 1 ，2 ，r = d i m b z 是取定的c h e v a l l e y 基( 見(jiàn)【3 7 ， i i ，1 1 1 ；1 1 2 】) d i s t ( a z ) 是礦( g z ) 的由警，a r ，n n 和f 鬼1 ，勉 b z ，m n 生成的子代數(shù)為了方便，我們記磚) = 等 d i s t ( g z ) 是u ( g c ) 的k o s a n t sz - 形式。則d i s t ( g z ) 有典范基 旦磚) 卉i = 1 卜m1a 丌e r + 礎(chǔ)) n 設(shè) d i s t ( u 云) = od i s t ( u z ) d i s t ( u + ) = od i s t ( u z ) a ， a e r + a r 十 d i s t ( b + ) = od i s t ( u z ) 口od i s t ( t z ) 令入x ( t ) ，定義d i s t ( g z ) 表示中的v e r m a 模： z ( 入) z ：= d i s t ( g z ) d i s t ( b + ) z 我們稱(chēng)么是生成元，哇在z a 上的作用為。，d i s t ( 死) 中元素( 乏) 作 用在z a 上為業(yè)必坐止產(chǎn)啦上= 業(yè)z a 不難得知有d i s t ( u z ) 模同構(gòu)：z ( a ) z2d i s t ( u z ) 記代數(shù)群g 為： g = u + t u 一，其中廠+ = 且沙一= n 口 a e r +a e r + 1 2v e r m a 模 9 記b + = u + t 是代數(shù)群g 的b o r e l 子群令d i s t ( g ) 是g 的廣 衍( d i s t r i b u t i o n s ) 代數(shù)則有： d i s t ( g ) 皇d i s t ( u + ) od i s t ( t ) od i s t ( u 一) 我們有d i s t ( g ) 型d i s t ( g z ) ( g zk 令入x ( t ) ，定義d i s t ( g ) 表示中的v e r m a 模： z ( a ) 詹：= d i s t ( g ) o d i s t ( b 十) 奴 則有d i s t ( u 一) 模同構(gòu)： z ( 入) 七型d i s t ( u 一) 令g ，r 1 是g 的r 階f r o b e n i u s 核則有： g r = 時(shí)霉盯，其中時(shí)= i i ( 珥) a 且昨= ( 珥) 一 a r +a r 9 - 記霹= 時(shí)耳是g r 的b o r e l 子群令d i s t ( g r ) 是f r o b e n i u s 核g ，r 1 的廣衍代數(shù)( c f 【3 7 ) 我們有d i s t ( g ) 竺ud i s t ( g ，) r l 我們知道代數(shù)群g 的一階f r o b e n i u s 核g 1 的廣衍代數(shù)d i s t ( g 1 ) 同構(gòu) 于g 的李代數(shù)g 的限制包絡(luò)代數(shù)u o ( g ) ( c f 【1 2 ，推論9 2 9 】) 令a x ( t ) ，定義d i s t ( g ，) 表示中的v e r m a 模： 4 ( 入) ：= d i s t ( g r ) ( g d i s t ( 辟) h ，入x ( t ) 則有d i s t ( 昨) 模同構(gòu)： 磊( 入) 皇d i s t ( u i ) h ，a x ( t ) 記一g ，r 1 模為： 厶( 入) 2 磊( a ) r a l g ，互( 入) 由 3 7 ，i i ；3 1 0 ，如果r 是x ( t ) p 7 x ( t ) 的一個(gè)代表元系，我們知道任一 單g ，- 模恰好同構(gòu)于某一個(gè)厶( a ) ，入r 設(shè)p 一限制權(quán)集 x r ( t ) = 入x ( t ) i o ( 入，a v ) 0 ，l i 佗，我們稱(chēng)入是支配( d o m i n a n t ) 的( c f 2 7 ，1 3 1 】) 如果對(duì)任意的1 i n 都有m t 0 ，vi 對(duì)任意的單根，我們 有s o k a s a t ，s a s a 礦a ，v 歹= 2 ，r 如若不然， 令s 啦8 口訌2 8 。入+ p = ( m ：，m ：，m 魯) 則m ： o ，vi 1 ，2 ，n ) 通過(guò)計(jì)算易得w o 入+ p = ( m ：，m ：；，m ：) 滿足m ， o ，vi = 1 ，2 ，n 由 于支配權(quán)和反支配權(quán)在w e y l 群阢軌道下是唯一的，所以得到矛盾由此 證明了我們的斷言根據(jù)b g g 定理，我們可以證明這個(gè)推論 口 我們記如( g - a ) z ，a r + 是g z 的負(fù)根向量記拶= 等，口 r + ；m n 由引理2 2 和推論2 4 ，我們可以證明下面的推論： 推論2 5 令a x ( t ) 是支配的，即入+ p ，= ，1 ，1 ，m 2 ，m n ) n n 則v e r m a 模z ( 入) z 的任一極大權(quán)向量形為齠t ) 可罷z 齠r ，z a 其 中s 啦，8 a 幻s 眥，啦，1 i ，1 歹r 是w w 的一個(gè)簡(jiǎn)約表達(dá)式 證明 既然入+ p = ( m 1 ，m 2 ，m n ) n n ，根據(jù)引理2 3 ，我們有權(quán) 向量可鼢z a ，v 啦i i 是z ( 入) z 的一個(gè)極大權(quán)向量由推論2 4 ，我們 知道h o m g z ( z ( s 8 口t 2 s 入) z ，z ( 入) z ) 皇z ，其中任一，1 歹7 都是單根我們得到z ( 入) z 的權(quán)為8 8 8 a 的唯一( 差數(shù)乘) 極 大權(quán)向量是形如越z ，a 的極大權(quán)向量的復(fù)合，故其可以寫(xiě) 為嘏耀：) 秒跺r ，z 所以我們得到z ( 入) z 的任一極大權(quán)向量具有單 項(xiàng)式的形式，其形如辮j 艘：) 覷一z a 口 我們需要注意的是極大權(quán)向量澀t 罌 可5 ：r ，z a 的表達(dá)形式并 不一定是唯一的這是因?yàn)橛蓋 e y l 群元素簡(jiǎn)約表達(dá)式的不唯一性引起 的v e r m a 恒等式：令a + p = ( r ，s ) ，對(duì)a 2 型李代數(shù)我們有s a 。8 a ：8 a 。= s 口2 s a l s 舊對(duì)島型李代數(shù)我們有8 a 1 8 口2 8 口l8 n 2 = s 口2 s a l8 a ：8 對(duì)g 2 型李 代數(shù)我們有s a 。s 口：8 口。8 口2 s a ，8 口2 = s 口2 s 口1 8 a 2 8 a l s 口2 s ”于是我們分別有下面 的v e r m a 恒等式( c f i 5 5 ，( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) 】) ， y 器燈8 螂= 趔燈5 捌； ( 1 ) 趔y 豺8 ) 蟛+ 8 y 甜= 崩緩+ 。y 豺8 趔； ( 2 ) 趔燈。避+ 2 3 蹬+ 。蟛+ 5 謝= 謝辮+ 3 辮如蹬+ 2 8 燈。趔( 3 ) 由于w e y l 群w 是c o x e t e r 群，所以我們可以把上面秩二的情形推廣到一 般給定w 的兩個(gè)簡(jiǎn)約表達(dá)式s a t l8 a ；。s a 如= s 叼。s 叼。s q ，由上面的 2 1 v e r m a 模和b g g 理論 1 5 v e r m a 恒等式可得 趣，逝。齠”z a = 齠t 趣。姆r ，z a 所以極大權(quán)向量趲t ) ：) 以= ：r z a 與其對(duì)應(yīng)的w e y l 取群中元 素w 的簡(jiǎn)約表達(dá)式的選取是無(wú)關(guān)的 定義2 我們稱(chēng)z ( a ) z 的形如 齠j 趣2 逝一z 的極大權(quán)向量為單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量 對(duì)應(yīng)于單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量，我們稱(chēng)不能寫(xiě)成形如y a i lj y a ；2 ：】 艇r ，z a 的極大權(quán)向量為非單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量 注1 固定d i s t ( g ) z 的一組典范基( 見(jiàn)第8 頁(yè)的( 木) ) 如果將v e r m a 模z ( 入) z 的任一單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量y 旨- 趣。) 澎r ，z a 按照給 定的典范基基的順序展開(kāi)，除r = l 外，展開(kāi)式是一個(gè)多項(xiàng)式這是因?yàn)槿?意兩個(gè)具有非零冪的單根向量換位后變成多項(xiàng)式例如： 假設(shè)肘= a ，p ，0 f + 盧，則 m i n ( r , t ) 謬0 妒= 5 ，口妲盧始一移一 i = 0 其中。a 是c h e v a l l e y 基的結(jié)構(gòu)常數(shù)所以我們所定義的單項(xiàng)式形式的極 大權(quán)向量?jī)H僅是形式上的定義 我們可以看出當(dāng)入是支配的時(shí)，z ( 入) z 的單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量簡(jiǎn) 單明了，容易得到對(duì)任一p = 伽入 入，只要我們寫(xiě)出w 的任一簡(jiǎn)約表達(dá) 式，即能寫(xiě)出權(quán)為肛的極大權(quán)向量但對(duì)一般的入，z ( 入) z 的任一極大權(quán)向 量并不一定能寫(xiě)成單項(xiàng)式的形式當(dāng)入是反支配的時(shí)候，由于a 在形入軌 道中是最小的，由引理2 2 ，我們知道v e r m a 模z ( 入) z 沒(méi)有除生成元以外的 極大權(quán)向量因?yàn)閦 ( 入) z 是最高權(quán)模，所以z ( a ) z 是單的 當(dāng)入既不支配的又不反支配的時(shí)，我們希望研究z ( 入) z 的所有具有單 項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量借助于引理2 2 ，我們可以找出z ( 入) z 的所有極大 權(quán)向量在這些極大權(quán)向量中有一些可以寫(xiě)成單項(xiàng)式形式下面的命題描述 了z ( 入) z 所有的單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量： 1 6 第二章v e r m a 模z ( 入) z 的極大權(quán)向量 命題2 6 設(shè)入x ( t ) 且a 既不是支配的也不是反支配的令p = 伽入 入其中t i ，= 8 a hs a t 2 s a 諱彬0sr n ，q 旬，v 歹= 1 ，r 則z ( a ) z 的權(quán)為p 的極大權(quán)向量具有單項(xiàng)式形式當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意的歹 【1 ，r ) ，有s 口+ l s a s a 勺s a 是單根的正整數(shù)倍 證明由推論2 4 和推論2 5 我們可以證明這個(gè)命題 口 2 1 3 我們還可以描述z ( a ) z 的非單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量 推論2 7 若入x ( t ) 且入既不是支配的也不是反支配的令p = 伽入 s a i j + l s 鋤，入 證明由于我們稱(chēng)z ( 入) z 的非單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量為那些不能寫(xiě) 為形如斌t 救。) 覷一z a 的極大權(quán)向量，所以由命題2 6 可以直接得 到這個(gè)推論 口 例如，令a + p = ( 一1 ，2 ) 通過(guò)計(jì)算，我們知道權(quán)向量( 如?？冢阂击?。+ a 。) z 是z ( a ) z 權(quán)為入一a 1 一o t 2 的極大權(quán)向量明顯的( 如。鼬。一蜘。+ n 。) z a 不能 寫(xiě)成單項(xiàng)式的形式 注2 我們需要注意的是當(dāng)一個(gè)權(quán)a 既不是支配的也不是反支配的時(shí)， z ( 入) z 不一定有非單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向量例如，設(shè)入+ p = ( 一2 ，1 ) ， 則z ( a ) z 的極大權(quán)向量只有訛。z a 2 2 1 2 2 v e r m a 模z ( 入) 七的極大權(quán)向量 在上一節(jié)中我們描述分類(lèi)了v e r m a 模z ( a ) z ，入x ( t ) 的極大權(quán)向量 我們本文的一個(gè)主要目的是借助于z ( a ) z ，入x ( t ) 的極大權(quán)向量來(lái)研究 域七上限制b a b yv e r m a 模的極大權(quán)向量但是素特征域上限制b a b y v e r m a 2 2 v e r m a 模z ( 入) 的極大權(quán)向量 1 7 模的極大權(quán)向量的確定是一件非常困難的事情例如，令9 是a 2 型李代數(shù)， 假設(shè)a 是限制權(quán)且入+ p = ( 2 ，p 一1 ) v e r m a 模z ( 入) z 的所有極大權(quán)向量 為： z a ，刪z a ，逝z a ，燈1 燈z a ，可黔1 螂z a ，刪辮1 翊z 當(dāng)基域的特征為素?cái)?shù)p 時(shí)，b a b yv e r m a 模z o ( a ) 的所有極大權(quán)向量 為( c f 【2 9 ，3 1 1 ) ： h ，螂h ，燈h ，y a ：可獸h ，弛。逝1 1 h ，( y a 。鼬：+ 2 y a 。+ n 。) h ， 刪燈1 齒奴 對(duì)z ( 入) 知來(lái)說(shuō)， 咖2o h ，燈1 oh ，燈1 燈1 oh ，燈1 螂oh ，謝甜1 螂oh ， 可口2 可嬰圓入，弧l y 0 , - 1 圓七入，( y a l y n 2 + 2 y 口l + a 2 ) 七入 是它的一部分但不是全部極大權(quán)向量 上面的例子說(shuō)明了即使在最高權(quán)的特定限制下，v e r m a 模z ( 入) z 和z ( 入) 奄，b a b yv e r m a 模磊( 入) 的極大權(quán)向量也是有很大差別的模p 的過(guò)程使得v e r m a 模z ( 入) 七的極大權(quán)向量較v e r m a 模z ( 入) z 極大權(quán)向量 復(fù)雜的多 另一方面，下面的引理說(shuō)明了v e r m a 模z ( a ) z 的極大權(quán)向量在以下的 意義下可成為v e r m a 模z ( 入) 七的極大權(quán)向量 引理2 8 如果讓z 入是v e r m a 模z ( 入) z 的一個(gè)極大權(quán)向量令= uo zk 則u 7ph 是v e r m a 模z ( 入) 七的一個(gè)極大權(quán)向量特別的，如果t 7 落在d i s t ( u i - ) 中，則仳7 h 是b a b yv e r m a 模磊( 入) 的一個(gè)極大權(quán)向量 證明對(duì)任一正單根向量；，啦i i ，我們有如下的公式： ( 1 ) z 弛，】= 0 ，i j ； ( 2 ) z 口。罌+ l 、z a = ( 入( a 。) 一口) y 蟹) z a ，口n ； ( 3 ) z 弧】= 0 ，當(dāng)a 一啦不是一個(gè)根； ( 4 ) z 口；沿) = a 礦a 弧- 口i 括1 + 活) z 口；，其中帆礦口是c h e v a u e y 基的結(jié)構(gòu) 常數(shù) 1 8 第二章v e r m a 模z ( a ) z 的極大權(quán)向量 既然u z a 是極大的，我們知道任一單根向量z 啦作用在u z a 是零既然基域k 的特征為p ，根據(jù)上面的等式可以算出任一單根向 量z vo t i i i 作用在仳7ok a 亦為零的所以u(píng) 7ok a 是z ( 入) 七的極大權(quán) 向量 口 定義3 我們把通過(guò)引理2 8 得到的z ( 入) 七和磊( 入) 的單項(xiàng)式形式的極大 權(quán)向量稱(chēng)為“原始 的極大權(quán)向量 注3 為了不引起混淆，如果u ( n 一) ，我們記uph 是z ( a ) 七的權(quán)向量 而u h 表示b a b yv e r m a 模z o ( a ) 的權(quán)向量 第三章限制b a b yv e r m a 模的極 大權(quán)向量 在上一章中我們描述了v e r m a 模z ( 入) z 的極大權(quán)向量將它們分為單 項(xiàng)式形式和非單項(xiàng)式形式在本章中，根據(jù)v e r m a 模z ( 入) z 的極大權(quán)向量， 在3 1 和3 2 中我們將描述限制b a b yv e r m a 模的單項(xiàng)式形式的極大權(quán)向 量 從本章開(kāi)始，我們總是假定基域七是素特征p 的代數(shù)閉域，g 是七上連 通、單連通半單的代數(shù)群g = l i e ( a ) 另外，我們總是假定p 大于李代數(shù)g 的根系r 的c o x e t e r 數(shù)h 其它記號(hào)同前 3 1 1 3 1 “原始 極大權(quán)向量 首先我們要描述的是“原始 極大權(quán)向量 我們知道，因?yàn)椴豢杉s研，r 1 模的同構(gòu)類(lèi)與x ( t ) p x ( t ) 中的元 素一一對(duì)應(yīng)因?yàn)樵趚 ( t ) p t x ( t ) 上無(wú)法定義合理的半序，給g ，7 1 模 的研究帶來(lái)了困難，為此j a n t z e n 引入了階化g ，r 1 模( g r t - 模) 的 概念( c f 【3 2 1 ) ，從而把權(quán)集恢復(fù)為x ( t ) 所以我們將研究階化限制b a b y v e r m a 模磊( 入) ，a x ( t ) ( c f 【3 7 ，i i ，9 】) 的極大權(quán)向量設(shè)礦是一個(gè)k 向 量空間在它上面同時(shí)有d i s t ( a r ) 模結(jié)構(gòu)和有理t 模結(jié)構(gòu)，并且這兩個(gè)模 結(jié)構(gòu)是相容的，即 ( 1 ) 從d i s t ( a ，) 的作用限制得到d i s t ( 乃) 的作用與從t 的作用導(dǎo)出的 2 0 第三章限制b a b yv e r m a 模的極大權(quán)向量 d i s t ( t ，) 的作用是一致的； ( 2 ) 對(duì)z d i s t ( g r ) ，t t 與t ，v ，有 t ( x v ) = ( a d t ( x ) ) ( t v ) ， 則稱(chēng)y 是一個(gè)d i s t ( g ，) 一t 模簡(jiǎn)記為g ，t 模。 對(duì)于d i s t ( a r ) 一t 模范疇，在3 2 中將會(huì)用到以下分解： 設(shè)m 是任意的d i s t ( g r ) - t 模，m 總有以下分解 m = o p r p ( m ) “_ 0 這里_ 0 = a x ( t ) i o ( 入+ p ，p v ) p ，vp r + ) 而肛( m ) 中的每一 個(gè)合成因子形如l o ( 入) ，入p ( 見(jiàn) 3 7 ，i i ，7 】) 記召( p ) 為d i s t ( g ，) 一t 模的