數(shù)學名著.pdf

數(shù)學名著數(shù)學名著 幾何原本 幾何原本 幾何原本 是古希臘數(shù)學家歐幾里得的一部不朽之作 是當時整個希臘數(shù) 學成果 方法 思想和精神的結(jié)晶 其內(nèi)容和形式對幾何學本身和數(shù)學邏輯的發(fā) 展有著巨大的影響 自它問世之日起 在長達二千多年的時間里一直盛行不衰 它歷經(jīng)多次翻譯和修訂 自 1482 年第一個印刷本出版后 至今已有一千多種不 同的版本 除了 圣經(jīng) 之外 沒有任何其他著作 其研究 使用和傳播之廣泛 能夠與 幾何原本 相比 但 幾何原本 超越民族 種族 宗教信仰 文化意 識方面的影響 卻是 圣經(jīng) 所無法比擬的 公元前 7 世紀之后 希臘幾何學迅猛地發(fā)展 積累了豐富的材料 希臘學者 們開始對當時的數(shù)學知識作有計劃的整理 并試圖將其組成一個嚴密的知識系 統(tǒng) 首先做出這方面嘗試的是公元前 5 世紀的希波克拉底 Hippocrates 其后 經(jīng)過了眾多數(shù)學家的修改和補充 到了公元前 4 世紀時 希臘學者們已經(jīng)為建構(gòu) 數(shù)學的理論大廈打下了堅實的基礎 歐幾里得在前人工作的基礎之上 對希臘豐富的數(shù)學成果進行了收集 整 理 用命題的形式重新表述 對一些結(jié)論作了嚴格的證明 他最大的貢獻就是選 擇了一系列具有重大意義的 最原始的定義和公理 并將它們嚴格地按邏輯的順 序進行排列 然后在此基礎上進行演繹和證明 形成了具有公理化結(jié)構(gòu)的 具有 嚴密邏輯體系的 幾何原本 幾何原本 的希臘原始抄本已經(jīng)流失了 它的所有現(xiàn)代版本都是以希臘評 注家泰奧恩 Theon 約比歐幾里得晚七百年 編寫的修訂本為依據(jù)的 幾何原 本 的泰奧恩修訂本分 13 卷 總共有 465 個命題 其內(nèi)容是闡述平面幾何 立 體幾何及算術理論的系統(tǒng)化知識 第一卷首先給出了一些必要的基本定義 解釋 公設和公理 還包括一些關 于全等形 平行線和直線形的熟知的定理 該卷的最后兩個命題是畢達哥拉斯定 理及其逆定理 這里我們想到了關于英國哲學家 T 霍布斯的一個小故事 有一 天 霍布斯在偶然翻閱歐幾里得的 幾何原本 看到畢達哥拉斯定理 感到十 分驚訝 他說 上帝啊 這是不可能的 他由后向前仔細閱讀第一章的每個命 題的證明 直到公理和公設 他終于完全信服了 第二卷篇幅不大 主要討論畢達哥拉斯學派的幾何代數(shù)學 第三卷包括圓 弦 割線 切線以及圓心角和圓周角的一些熟知的定理 這 些定理大多都能在現(xiàn)在的中學數(shù)學課本中找到 第四卷則討論了給定圓的某些內(nèi) 接和外切正多邊形的尺規(guī)作圖問題 第五卷對歐多克斯的比例理論作了精彩的解釋 被認為是最重要的數(shù)學杰作 之一 據(jù)說 捷克斯洛伐克的一位并不出名的數(shù)學家和牧師波爾查諾 Bolzano 1781 1848 在布拉格度假時 恰好生病 為了分散注意力 他拿起 幾何原 本 閱讀了第五卷的內(nèi)容 他說 這種高明的方法使他興奮無比 以致于從病痛 中完全解脫出來 此后 每當他朋友生病時 他總是把這作為一劑靈丹妙藥問病 人推薦 第七 八 九卷討論的是初等數(shù)論 給出了求兩個或多個整數(shù)的最大公因子 的 歐幾里得算法 討論了比例 幾何級數(shù) 還給出了許多關于數(shù)論的重要定理 第十卷討論無理量 即不可公度的線段 是很難讀懂的一卷 最后三卷 即 第十一 十二和十三卷 論述立體幾何 目前中學幾何課本中的內(nèi)容 絕大多數(shù) 都可以在 幾何原本 中找到 幾何原本 按照公理化結(jié)構(gòu) 運用了亞里士多德的邏輯方法 建立了第一 個完整的關于幾何學的演繹知識體系 所謂公理化結(jié)構(gòu)就是 選取少量的原始概 念和不需證明的命題 作為定義 公設和公理 使它們成為整個體系的出發(fā)點和 邏輯依據(jù) 然后運用邏輯推理證明其他命題 幾何原本 成為了兩千多年來運 用公理化方法的一個絕好典范 誠然 正如一些現(xiàn)代數(shù)學家所指出的那樣 幾何原本 存在著一些結(jié)構(gòu)上 的缺陷 但這絲毫無損于這部著作的崇高價值 它的影響之深遠 使得 歐幾里 得 與 幾何學 幾乎成了同義語 它集中體現(xiàn)了希臘數(shù)學所奠定的數(shù)學思想 數(shù) 學精神 是人類文化遺產(chǎn)中的一塊瑰寶 幾何學 幾何學 幾何學 是法國數(shù)學家笛卡兒一生中所寫的惟一的數(shù)學著作 它是作為笛 卡兒的名著 更好地指導推理和尋求科學真理的方法論 或簡稱 方法論 的 三個附錄之一 于 1637 年出版的 幾何學 在 方法論 中大約占 100 頁 共分三卷 討論的全是關于幾何 作圖問題 笛卡兒在這本書中 將邏輯 代數(shù)和幾何方法結(jié)合到一起 勾畫了解 析幾何的方法 他說 當我們想要解決任何一個問題時 給作圖中要用到的 線段以一個名字 用最自然的方法表示這些線段之間的關系 直到能找出兩種 方式來表示同一個量 這將構(gòu)成一個方程 在第一卷中 笛卡兒對代數(shù)式的幾 何作了解釋 而且比希臘人更進一步 對希臘人來說 一個變量相當于某線段的 長度 兩個變量的乘積相當于某個矩形的面積 三個變量的乘積相當于某個長方 體的體積 三個變量以上的乘積 希臘人就沒有辦法處理了 笛卡地不這么考慮 他認為 與其把 X2 看作面積 不如把它看作比例式 1 x x x2 的第四項 這 樣 只給走一個單位的線段 我們就能用給走線段的長度來表達一個變量的任何 次冪與多個變量的乘積 在這一部分中 笛卡地把幾何算術化了 如果在一個給 定的軸上標出 x 在與該軸成固定角的另一直線上標出 y 就能做出其 x的值和 y值滿足一定關系的點 見圖 1 在第二卷中 笛卡兒根據(jù)代數(shù)方程的次數(shù)對幾何曲線分了類 含 x和 y的一 次和二次曲線是第一類 三次和四次方程對應的曲線是第二類 五次和六次方程 對應的曲線是第三類 等等 幾何學 的第三卷又回到了作圖問題上 并且涉及了高于二次方程的解法 笛卡兒還在 幾何學 中確立了用前幾個字母代表已知數(shù) 如 a b c 等 用 末后的字母代表本知量 如 x y Z 的習慣用法 他還引進了我們現(xiàn)在所使用 的指數(shù)表示法 如 a2 a3 等 在這本書里 還出現(xiàn)了待定系數(shù)法的最初使用 盡管笛卡兒在這本書中 對解析幾何的基本思想作了闡述 但這種闡述遠非 系統(tǒng)和清楚明了的 讀者必須自己去從一大堆孤立的陳述中花費許多的時間來想 出這些方法 原書中共有 32 個圖形 但是我們找不出一個明確地擺出了坐標軸 的圖 笛卡地在寫這本書的時候 有意地使用了十分含糊的筆法 讓人讀起來十 分地困難 他曾自吹說全歐洲幾乎沒有一個數(shù)學家能夠讀懂他的著作 他只是簡 略地指出作圖法和證泳 而把其余的細節(jié)都留給別人去考慮 他在一封信中 把 他的工作比作建筑師的工作 即立下計劃 指明什么是應該做的 而把手工操留 給木工與瓦工 他還說 我沒有做過任何漫不經(jīng)心的刪節(jié) 但我預見到 對那 些自命為無所不知的人 我如果寫得使他們能充分理解 他們將不失機會地說我 寫的都是他們已經(jīng)知道的東西 后來 有人為這本書寫了許多評注 才使得它 易于理解 盡管在 幾何學 中 笛卡兒表達了方程與曲線相結(jié)合這一顯著的思想 但 他只把它作為解決作圖問題的一個手段 笛卡兒對幾何作圖問題的過分強調(diào) 反 而掩蓋了曲線和方程的主要思想 不過瑕不掩玉 笛卡兒所提出的方程與曲線的 思想 最終被人們所逐漸接受 并且 幾何學 也被認為是論述解析幾何的一部 經(jīng)典之作 幾何基礎 幾何基礎 幾何基礎 GrundlagenderGeometrie 是德國著名數(shù)學家希爾伯特所著 1899 年初版 此后不斷再版 至 1930 年已出第七版 我們知道 幾何學本來的對象就是圖形 因而研究它們時必然要用到我們的 空間直觀性 可是直觀性也有缺乏客觀性的情況 因此在明確地規(guī)定了定義和公 理的基礎上 排除直觀 建立純粹的合乎邏輯的幾何學的思想 在古希臘時代就 已經(jīng)開始了 歐幾里得的 幾何原本 就是在這種思想的指導下完成的 雖然長 期以來 幾何原本 被視為完善的邏輯體系的典范 但是事實上隨著時代的進 步 數(shù)學的批判精神有所發(fā)展 人們注意到 幾何原本 中的邏輯性存在許多缺 陷 請看下例 幾何原本 第 1 卷命題 16 任意三角形的任意一個外角大于任何一個內(nèi)對角 證明如圖 1 設 ABC 是一個三角形 延長 BC 到 D 則可證外角 ACD 大于內(nèi)對角 CBA BAC 的任何一個 設 AC 被 E 點平分 連 BE 并延長至 F 使 EF 等于 BE 連 FC 延長 AC 至 G 易證三角形 ABE 全等于三角形 CFE 所以角 BAE 等于角 ECF 因角 ECD 大于角 ECF 故角 ACD 大于角 BAE 類似地 BC 被平分 角 BCG 即角 ACD 可證明大于角 ABC 這個證明 貌似邏輯嚴密 其實它在很大程度上依賴了直觀性 問題出在 角 ECD 大于角 ECF 理論依據(jù)何在 根據(jù)公理 5 整體大于部分 何調(diào)整體 難道只許把 ECD 視為整體 就不準把 ECF 作整體嗎 這個例子說明了直觀性缺乏客觀性 更暴露出 幾何原本 的公理體系本身 的不完備 而且這樣的例子在機何原本種可謂比比皆是 到 19 世紀后半葉 許 多數(shù)學家提出了可用以代替 幾何原本 公理體系的在邏輯上完善的公理體系 其中 希爾伯特提出的公理體系是考慮最周到的 希爾伯特精確地提出公理體系應有相容性 獨立性和完備性的要求 把空間 內(nèi)的點 直線 平面作為不定義的概念 規(guī)定它們之間存在著關聯(lián)關系順序關系 合同關系 這些關系由五組公理得以保障 關聯(lián)公理 1 8 8 條 順序公理 1 4 4 條 合同公理 1 一 5 5 條 平行公理 1 條 連續(xù)公理 V1 V2 2 條 記述了希爾伯特為歐幾里得幾何學給出的上述公理體系的 幾何基礎 出版 后 立即引起了整個數(shù)學界的關注 并視為一部經(jīng)典的著作 因為 希爾伯特上 述工作的意義遠超出了幾何基礎的范圍 而使他成為現(xiàn)代公理化方法的奠基人 代數(shù)學 代數(shù)學 代數(shù)學 由伊斯蘭數(shù)學家 天文學家花拉子莫 約 783 約 850 所著 阿 拉伯原文書名直譯為 利用還原與對消運算的簡明算書 該書 1183 年被譯成拉 丁文傳入歐洲 比較流行的一種說法認為西文中 代數(shù)學 Algebra 一詞是 由阿拉伯文的拉丁轉(zhuǎn)寫 al jabr 演變而來 后漸稱該書為 代數(shù)學 這是歷史上 使用這一名稱的最早的代數(shù)方面的著作 一般認為該著作是近代意義下的代數(shù)學 的真正肇始之作 全書由三部分組成 第一部份講述現(xiàn)代意義下的初等代數(shù) 第二部份講各種 實用算術問題 最后列舉了大量有關遺產(chǎn)繼承的各種問題 全書不使用符號 而 是用語言敘述 代數(shù)學 是受到了希臘數(shù)學乃至印度數(shù)學的影響的 它不但對阿拉伯數(shù)學 而且對歐洲數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生了深遠的影響 花拉子米因此有 代數(shù)學之父 之稱 算術 算術 算術 Arithmetica 是古希臘后期數(shù)學家丟番圖的一部名著 這部著作原 有 13 卷 長期以來 大家都以為只有 1464 年在威尼斯發(fā)現(xiàn)的前 6 卷希臘文抄本 最近在馬什哈德 伊朗東北部 又發(fā)現(xiàn) 4 卷阿拉伯文譯本 算術 事實上是一部代數(shù)著作 其中包含有一元或多元一次方程的問題 二次不定方程問題以及數(shù)論方面的問題 現(xiàn)存 6 卷中共有 189 題 幾乎一題一法 各不相同 雖然后人將其歸成五十多個類 但是仍無一般的方法可尋 并且 這 部著作中引用了許多縮寫符號 如未知量及其各次冪用 S r Kr r Kr KrK 等符號 無論從內(nèi)容與形式上講 這種完全脫離幾何的特征 與當時古 希臘歐幾里得幾何盛行的時尚大異其趣 因此 丟番圖的 算術 雖然代表了古 希臘代數(shù)學的最高水平 但是它遠遠超出了同時代人 而不為同時代人所接受 很快就被湮沒 沒有對當時數(shù)學的發(fā)展產(chǎn)生太大的影響 直到 15 世紀 算術 被重新發(fā)掘 鼓舞了一大批數(shù)學家在此基礎之上 把 代數(shù)學大大向前推進了 首先是法國數(shù)學家蓬貝利認識到 算術 的重大價值 他的同胞韋達正是在丟番圖縮寫代數(shù)的啟示下才做出了符號代數(shù)的貢獻 到 17 世紀 費馬手持一本 算術 并在其空白處寫寫畫畫 竟把數(shù)論引上了近代的 軌道 算術 中的不定分析 對現(xiàn)代數(shù)學影響也很深遠 在不同數(shù)域上 凡是 涉及不定方程求解問題 現(xiàn)在都稱之為 丟番圖方程 或 丟番圖分析 測圓海鏡 測圓海鏡 測圓海鏡 由中國金 元時期數(shù)學家李冶所著 成書于 1248 年 全書共 有 12 卷 170 問 這是中國古代論述容圓的一部專箸 也是天元術的代表作 測圓海鏡 所討論的問題大都是已知勾股形而求其內(nèi)切圓 旁切圓等的直 徑一類的問題 勾股形的解法是古代傳統(tǒng)數(shù)學的重要內(nèi)容之一 此外 在中國古代數(shù)學的發(fā)展中 天元術起著重要的作用 在 測圓海鏡 問世之前 我國雖有文字代表未知數(shù)用以布列方程和多項式的工作 但是沒有留 下很有系統(tǒng)的記載 李冶在 測圓海鏡 中系統(tǒng)而概栝地總結(jié)了天元術 使文詞 代數(shù)開始演變成符號代數(shù) 所謂天元術 就是設 天元一 為未知數(shù) 根據(jù)問題的已知條件 列出兩個 相等的多項式 經(jīng)相