轉(zhuǎn)《數(shù)學奧林匹克專題講座》六.doc

轉(zhuǎn)數(shù)學奧林匹克專題講座六(2009-01-31 12:33:22)標簽：雜談 分類：他山之石轉(zhuǎn)數(shù)學奧林匹克專題講座六第10講 應用問題選講我們知道，數(shù)學是一門基礎(chǔ)學科。我們在學校中學習數(shù)學的目的，一方面是為學習其它學科和學習更深的數(shù)學知識打下一個基礎(chǔ)，更重要的是為了現(xiàn)在和將來運用所學的數(shù)學知識去解決一些日常生活、科學實驗、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)以及經(jīng)濟活動中所遇到的實際問題。運用數(shù)學知識解決實際問題的基本思路是：先將這個實際問題轉(zhuǎn)化為一個數(shù)學問題（我們稱之為建立數(shù)學模型），然后解答這個數(shù)學問題，從而解決這個實際問題。即：這里，建立數(shù)學模型是關(guān)鍵的一步。也就是說，要通過審題，將實際問題與自己學過的數(shù)學知識、數(shù)學方法聯(lián)系起來，將其歸結(jié)到某一類型的數(shù)學問題，然后解答這個數(shù)學問題。下面介紹一些典型的數(shù)學模型。一、兩個量變化時，和一定的問題兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的和始終保持不變，那么它們的差與積之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量，如果在變化的過程中，和始終保持不變，那么它們的差越小，積就越大。若它們能夠相等，則當它們相等時，積最大。這個規(guī)律對于三個和三個以上的變量都是成立的。例1 農(nóng)民叔叔阿根想用20塊長2米、寬1.2米的金屬網(wǎng)建一個靠墻的長方形雞窩。為了防止雞飛出，所建雞窩的高度不得低于2米，要使雞窩面積最大，長方形的長和寬分別應是多少？解：如上圖，設長方形的長和寬分別為x米和y米，則有x2y1.22024。長方形的面積為因為x和2y的和等于24是一個定值，故它們的乘積當它們相等時最大，此時長方形面積S也最大。于是有x=12， y6。例2 如果將進貨單價為40元的商品按50元售出，那么每個的利潤是10元，但只能賣出500個。當這種商品每個漲價1元時，其銷售量就減少10個。為了賺得最多的利潤，售價應定為多少？解：設每個商品售價為（50+x）元，則銷量為（500-10X）個。總共可以獲利（50x-40）（500-10x）=10（10+X）（50-X）（元）。因（10+x）+（50x）=60為一定值，故當10+X=50X即X=20時，它們的積最大。此時，每個的銷售價為5020=70（元）。例3 若一個長方體的表面積為54厘米2，為了使長方體的體積最大，長方體的長、寬、高各應為多少厘米？解：設長、寬、高分別為x，y，z厘米，體積為V厘米3。2（xyyz+zx）=54，xyyz+zx=27。因為V2=（xyz）2=（xy）（yz）（zx），故當 xy=yz=zx即 x=y=z=3時，V2有最大值，從而V也有最大值。例4 有一塊長24厘米的正方形厚紙片，在它的四個角各剪去一個小正方形，就可以做成一個無蓋的紙盒，現(xiàn)在要使做成的紙盒容積最大，剪去的小正方形的邊長應為幾厘米？解：如上圖，設剪去的小正方形的邊長為x厘米，則紙盒的容積為V=x（24-2x）（24-2x） =22x（12-x）（12-x）。因為2x+（12-x）+（12-x）=24是一個定值，故當2x=12-x12-x，即x=4時，其乘積最大，從而紙盒的容積也最大。二、兩個量變化時，積一定的問題兩個變化著的量，如果在變化的過程中，它們的乘積始終保持不變，那么它們的差與和之間有什么關(guān)系呢？觀察下面的表：我們不難得出如下的規(guī)律：兩個變化著的量，如果在變化的過程中，乘積始終保持不變，那么它們的差越小，和就越小。若它們能夠相等，則當它們相等時，和最小。例5 長方形的面積為 144 cm2，當它的長和寬分別為多少時，它的周長最短？解：設長方形的長和寬分別為 xcm和 ycm，則有xy144。故當x=y=12時，x+y有最小值，從而長方形周長2（xy）也有最小值。例6 用鐵絲扎一個空心的長方體，為了使長方體的體積恰好是216cm3，長方體的長、寬、高各是多少厘米時，所用的鐵絲長度最短？解：設長方體的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則有xyz216。鐵絲長度的和為 4（x y z），故當 xy=z6時，所用鐵絲最短。例7 農(nóng)場計劃挖一個面積為432 m2的長方形養(yǎng)魚池，魚池周圍兩側(cè)分別有3m和4m的堤堰如下圖所示，要想占地總面積最小，水池的長和寬應為多少？解：如圖所示，設水池的長和寬分別為xm和ym，則有xy432。占地總面積為 S=（x6）（y8）cm2。于是S=Xy+6y+8X486y+8X+480。我們知道6y 8X=48432為一定值，故當6y=8X時，S最小，此時有6y=8X=144，故y=24，x=18。例8 某游泳館出售冬季學生游泳卡，每張240元，使用規(guī)定：不記名，每卡每次只限一人，每人只限一次。某班有48名學生，老師打算組織學生集體去游泳，除需購買若干張游泳卡外，每次游泳還需包一輛汽車，無論乘坐多少名學生，每次的包車費均為40元。若要使每個同學游8次，每人最少交多少錢？解：設一共買了X張卡，一共去游泳y次，則共有Xy=488=384（人次），總用費為（240x40y）元。因為 240x 40y=24040384是一定值，故當 240x=40y，即y=6x時，和最小。易求得x=8，y=48。此時總用費為24084048=3840（元），平均每人最少交 384048=80（元）。三、利用不等關(guān)系來解答的應用題例9 某公司在A，B兩地分別庫存有某機器16臺和12臺，現(xiàn)要運往甲、乙兩家客戶的所在地，其中甲方15臺，乙方13臺。已知從A地運一臺到甲方的運費為500元，到乙方的運費為400元，從B地運一臺到甲方的運費為300元，到乙方的運費為600元。已知運費由公司承擔，公司應設計怎樣的調(diào)運方案，才能使這些機器的總運費最省？解：設由A地運往甲方x臺，則A地運往乙方（16-x）臺，B地運往甲方（15-x）臺，B地運往乙方（x3）臺。于是總運價為：S=500x+400（16-x）300（15-x）+600（x-3） 400x+9100。顯然，x要滿足不等式3x15，于是當x=3時，總運價最省，為 400 3 9100=10300（元）。調(diào)運方案為：由A地運往甲方3臺，A地運往乙方13臺，B地運往甲方12臺，B地運往乙方0臺。例10 某校決定出版“作文集”，費用是30冊以內(nèi)為80元，超過30冊的每冊增加1.20元。當印刷多少冊以上時，每冊費用在1.50元以內(nèi)？解：顯然印刷的冊數(shù)應該大于30。設印刷了（30x）冊，于是總用費為（80+1.2x）元。故有80+1.2x1.5 （30+x）， 以內(nèi)。例11 現(xiàn)有三種合金：第一種含銅60，含錳40；第二種含錳10，含鎳90；第三種含銅20，含錳50，含鎳30?，F(xiàn)各取適當數(shù)量的這三種合金，組成一塊含鎳45的新合金，重量為1千克。（1）求新合金中第二種合金的重量的范圍；（2）求新合金中含錳的重量的范圍。解：設第一種合金用量為x千克，第二種合金用量為y千克，第三種合金用量為z千克，依題意有（1）如果不取第一種合金，即x=0，那么新合金中第二種合金重量最小。解得y=0.25。如果不取第三種合金，即z=0，那么新合金中第二種合金重量最大。解得y0.5。新合金中第二種合金的重量范圍是0.25克到0.5克。（2）由可得z1.5-3y，x=2y0.5。故新合金中含錳的重量為S40x+10y+50z=40（2y-0.5）10y50（1.5-3y）0.55-0.6y。因為0.25y0.5，所以0.25S0.4，即新合金中含錳的重量范圍是0.25克到0.4克。例12 某商店需要制作如下圖所示的工字形架100個，每個由三根長為2.3米、1.7米、1.3米的鋁合金材料組裝而成。市場上可購得該鋁合金材料的原料長為6.3米。問：至少要買回多少根原材料，才能滿足要求（不計損耗）？解：每根原材料的切割有下表的七種情況：顯然，三種方案損耗較小。方案依次切割原材料42根、14根、29根、1根，可得2.3米、1.7米、1.3米的材料各100根，共用原材料 4214291=86（根）。練習101銷售某種西服，當每件售價為100元時可售出1000件。如果定價每下降1，那么銷售量將提高0.5，又知道這批西服是每件80元成本購進的。問：應如何定價才能使獲利最大？2下圖是一個面積為4m2的窗戶，當ab的值是多少時，窗戶的框架所用的材料最?。?有一個長為 80cm、寬為40cm的木板，要以它為原材料做一個無蓋的木盒，應該如何制作才能使木盒的容積最大？最大的容積是多少？4某廠要建造一個無蓋的露天水槽，其底為正方形，容量為64000m3。在建造時，槽底的造價是四壁的2倍，這個水槽的底面邊長和高的比例是多少時，造價最??？5A城有化肥 200噸，B城有化肥 300噸，現(xiàn)要將化肥運往C，D兩村。已知從A城運往C，D兩村的運價分別是每噸20元和25元，從B城運往C，D兩村的運價分別是每噸15元和22元。某個體戶承包了這項運輸任務，請你幫他算一算，如何調(diào)運才能使運費最省？6有兩個學生參加4次數(shù)學測驗，他們的平均分數(shù)不同，但都是低于90分的整數(shù)。他們又參加了第5次測驗，這樣5次的平均分數(shù)都提高到了90分，求第5次測驗二人的得分（滿分為100分）。7某機械廠要把一批長7300毫米的鋼筋截成長290毫米、210毫米和150毫米的鋼筋各一段組成一套鋼筋架子。現(xiàn)在做100套鋼筋架子，至少要用去長為7300毫米的鋼筋多少根？8下表所示為X，Y，Z三種食品原料的維生素含量（單位：單位/千克）及成本：現(xiàn)在要將三種食物混合成100千克的混合物，要求混合物至少需含44000單位的維生素A及48000單位的維生素B0如果所用的食物中x，Y，Z的重量依次為X千克、y千克、Z千克，那么請定出X，y，Z的值，使得成本為最少。練習101.91元。解：設定價為每件（100-x）元，則銷售量為1000（1+0.5x）件。利潤為（100-x-80）1000（1+0.5x）=500（20-x）（2+x）。因為（20-x）+（2+x）=22為一定值，故當20-x=2+x即x=9時利潤最高。此時每件定價為100-9=91（元）。2.23。解：窗戶的框架長為 3a+2b，而 ab=4是一個定值，從而3a2b=6ab=24也是一個定值，故當3a=2b即ab=23時窗戶框架所用材料最省。3.32000cm3解：設木盒的長、寬、高分別為xcm，ycm，zcm，則它的容積為V=xyzcm3。因為xy+2xz+2yz=4080=3200為一定值，故它們的積xy2xz2yz=4（xyz）2=4V2，在xy=2xz=2yz時最大，從而V也最大，此時有x=y=2z。經(jīng)計算得x=40，y=40，z=20。具體制作方式如下：先取原木板的一半（40cm40cm）作為木盒的底面，再將剩下的一半分成 20 cm40 cm大小的四等份，每份作為木盒的一個側(cè)面就可以了。4.11。解：設四壁的造價是a元/m2，則底面造價為2a元/m2。又設其底面邊長為xm，高為ym，則有x2y=64000。總造價為a4xy+2ax2=2a（2xy+x2）=2a（xy+xy+x2）。因為xyxyx2=（x2y）2=640002為一定值，故當xy=xy=x2即xy=11時，總造價最省。5.解：設A城化肥運往C村x噸，則運往D村（200-x）噸；B城化肥運往C村（220-x）噸，運往D村（80+x）噸，總運費y元，則y=20x+25（200-x）+15（220-x）+22（80+x）=2x+10060。又易知0x200，故當x=0時，運費最省，為10060元。運輸方案如下：A城化肥運往C村0噸，運往D村200噸；B城化肥運往C村220噸，運往D村80噸。6.98，94。解：設某一學生前4次的平均分為x分，第5次的得分為y分，則其5次總分為4x+y=590=450。于是y=450-4x。顯然90y100，故90450-4x100，解得87.5x90。于是兩個學生前4次的平均分分別為88分和89分。第5次得分分別為 450-488=98（分）和450-489=94（分）。7.90根。解：每一根7300毫米的鋼筋有如下三種損耗較小的截法：2902+1501=7300， 2102+1502=7200， 2102+2902=7100。 設按方案截得的鋼筋有x根，按方案截得的鋼筋有y 根，按方案截得的鋼筋有z根，則長為290，210，150毫米各有100根，即2x+z=x+2y=2y+2z=100。于是x=40，y=30，z=20。一共至少用去長為7300毫米的鋼筋90根。8. 30，20， 50。解：x+y+z=100， 400x+600y+400z44000， 800x+200y+400z48000。 由得 2x+3y+2z220。 由得 4x+y+2z240。 由-2，得y20。由-2，得2x-y40。由得 z=100-x-y。成本為6x+5y+4z=6x+5y+4（100-x-y）=400+2x+y=400+2y+（2x-y）400+40+40=480。第11講 計數(shù)的方法與原理計數(shù)方法與原理是組合數(shù)學的主要課題之一，本講介紹一些計數(shù)的基本方法及計數(shù)的基本原理。一、枚舉法一位旅客要從武漢乘火車去北京，他要了解所有可供乘坐的車次共有多少，一個最易行的辦法是找一張全國列車運行時刻表，將所有從武漢到北京的車次逐一挑出來，共有多少次車也就數(shù)出來了，這種計數(shù)方法就是枚舉法。所謂枚舉法，就是把所要求計數(shù)的所有對象一一列舉出來，最后計算總數(shù)的方法。運用枚舉法進行列舉時，必須注意無一重復，也無一遺漏。例1 四個學生每人做了一張賀年片，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自己做的一張。問：一共有多少種不同的方法？解：設四個學生分別是A，B，C，D，他們做的賀年片分別是a，b，c，d。先考慮A拿B做的賀年片b的情況（如下表），一共有3種方法。同樣，A拿C或D做的賀年片也有3種方法。一共有333=9（種）不同的方法。例2 甲、乙二人打乒乓球，誰先連勝兩局誰贏，若沒有人連勝頭兩局，則誰先勝三局誰贏，打到?jīng)Q出輸贏為止。問：一共有多少種可能的情況？解：如下圖，我們先考慮甲勝第一局的情況：圖中打的為勝者，一共有7種可能的情況。同理，乙勝第一局也有 7種可能的情況。一共有 77=14（種）可能的情況。二、加法原理如果完成一件事情有n類方法，而每一類方法中分別有m1，m2，mn種方法，而不論采用這些方法中的任何一種，都能單獨地完成這件事情，那么要完成這件事情共有N=m1+m2+mn種方法。這是我們所熟知的加法原理，也是利用分類法計數(shù)的依據(jù)。例3 一個自然數(shù)，如果它順著數(shù)和倒著數(shù)都是一樣的，則稱這個數(shù)為“回文數(shù)”。例如1331，7，202都是回文數(shù)，而220則不是回文數(shù)。問：1到6位的回文數(shù)一共有多少個？按從小到大排，第2000個回文數(shù)是多少？解：一位回文數(shù)有：1，2，9，共9個；二位回文數(shù)有：11，22，99，共9個；三位回文數(shù)有：101，111，999，共90個；四位回文數(shù)有：1001，1111，9999，共90個；五位回文數(shù)有：10001，10101，99999，共900個；六位回文數(shù)有：100001，101101，999999，共900個。到六位數(shù)為止，回文數(shù)共有999090900900=1998（個）。第1999個回文數(shù)是1000001，第2000個回文數(shù)是1001001。例4 設有長度為1，2，9的線段各一條，現(xiàn)在要從這9條線段中選取若干條組成一個正方形，共有多少種不同的取法？這里規(guī)定當用2條或多條線段接成一條邊時，除端點外，不許重疊。解法1：因為所以正方形的邊長不大于11。下面按正方形的邊長分類枚舉：（1）邊長為11：92=8+3=74=65，可得1種選法；（2）邊長為10：91=82=73=64，可得1種選法；（3）邊長為 9：9=81=72=63=54，可得5種選法；（4）邊長為8：8=71=62=5+3，可得1種選法；（5）邊長為7：7=61=52=43，可得1種選法；（6）邊長6時，無法選擇。綜上計算，不同的取法共有11+511=9（種）。解法2：由于這些線段互不等長，故至少要用7條線段才能組成一個正方形。當恰取7條線段組成正方形時，正方形的3條邊各用2條線相接，另一條邊只用一條線段；當恰用8條線段時，只能每邊各用2條線段相接（容易看出，其他情況不可能發(fā)生）。因為 1+29=45， 45不能被4整除，所以用9條線段，不可能組成正方形。由解法一知，拼出的正方形邊長至多為11，又易知正方形的邊長不可能為1，2，3，4，5，6。有了以上分析就容易計數(shù)了。（1）取出7條線段，有以下7種：7=1+62534；81+72+635；9182736=45（這個式子有5種）；（2）取出8條線段，有以下2種：19283746；29384756。綜上所述，不同的取法共有72=9（種）。三、乘法原理如果完成一件事必須分n個步驟，而每一個步驟分別有m1，m2，mn種方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種方法。這就是乘法原理，它是分步法的依據(jù)。乘法原理和加法原理被稱為是計數(shù)的基本原理。我們應注意它們的區(qū)別，也要注意二者的聯(lián)合使用。例5 一臺晚會上有6個演唱節(jié)目和4個舞蹈節(jié)目。求：（1）當4個舞蹈節(jié)目要排在一起時，有多少不同的安排節(jié)目的順序？（2）當要求每2個舞蹈節(jié)目之間至少安排1個演唱節(jié)目時，一共有多少不同的安排節(jié)目的順序？解：（1）先將4個舞蹈節(jié)目看成1個節(jié)目，與6個演唱節(jié)目一起排，有 7！=7654321=5404（種）方法。第二步再排4個舞蹈節(jié)目，有4！=432124（種）方法。根據(jù)乘法原理，一共有 504024=120960（種）方法。（2）首先將6個演唱節(jié)目排成一列（如下圖中的“”），一共有6！=65432 1=720（種）方法。第二步，再將4個舞蹈節(jié)目排在一頭一尾或2個演唱節(jié)目之間（即上圖中“”的位置），這相當于從7個“”中選4個來排，一共有7654840（種）方法。根據(jù)乘法原理，一共有720840=604800（種）方法。例6 有8個隊參加比賽，如果采用下面的淘汰制，那么在賽前抽簽時，實際上可以得到多少種不同的安排表？解：8個隊要經(jīng)過3輪比賽才能確定冠亞軍。將第1輪的4組，自左至右記為1，2，3，4組，其中第1，2組為甲區(qū)，3，4組為乙區(qū)。8個隊抽簽即是在上圖的8個位置排列，共有8！=87654321=40320（種）不同的方法。但是，兩種不同的排列不一定是實際上不同比賽的安排表。事實上，8隊中的某4隊都分在甲區(qū)或乙區(qū)，實際上是一樣的；同區(qū)的4隊中某2隊在某一組或另一組，實際上也是一樣的；同組中的2隊，編號誰是奇數(shù)誰是偶數(shù)實際也是一樣的。由乘法原理知，在40320種排法中，與某一種排法實質(zhì)上相同的排法有 22224=27=128（種），故按實際不同比賽安排表的種數(shù)是四、對應法小孩子數(shù)蘋果，往往掰著手指頭，一個一個地掰，掰完左手掰右手，這種數(shù)蘋果的方法就是對應法。小孩子把蘋果與自己的手指頭一對一，他掰了幾個指頭，也就數(shù)出了幾個蘋果。一般地，如果兩類對象彼此有一對一的關(guān)系，那么我們可以通過對一類較易計數(shù)的對象計數(shù)，而得出具有相同數(shù)目的另一類難于計數(shù)的對象的個數(shù)。例7 在88的方格棋盤中，取出一個由 3個小方格組成的“L”形（如圖1），一共有多少種不同的方法？解：每一種取法，有一個點與之對應，這就是圖1中的A點，它是棋盤上橫線與豎線的交點，且不在棋盤邊上。從圖2可以看出，棋盤內(nèi)的每一個點對應著4個不同的取法（“L”形的“角”在22正方形的不同“角”上）。由于在 88的棋盤上，內(nèi)部有77=49（個）交叉點，故不同的取法共有494=196（種）。例8 數(shù)3可以用4種方法表示為1個或幾個正整數(shù)的和，如3，12，2+1，1+11。問：1999表示為1個或幾個正整數(shù)的和的方法有多少種？分析與解：我們將1999個1寫成一行，它們之間留有1998個空隙，在這些空隙處，或者什么都不填，或者填上“”號。例如對于數(shù)3，上述4種和的表達方法對應：111，111，111，111。顯然，將1999表示成和的形式與填寫1998個空隙處的方式之間一對一，而每一個空隙處都有填“”號和不填“”號2種可能，因此1999可以表示為正整數(shù)之和的不同方法有五、容斥原理在應用加法原理時，關(guān)鍵在于把所要計數(shù)的對象分為若干個不重不漏的類，使得每類便于計數(shù)。但是具體問題往往是復雜的，常常扭成一團，難以分為不重不漏的類，而要把條理分清楚就得用加法原理的推廣容斥原理。為了表達方便，我們用A表示A類元素的個數(shù)，用B表示B類元素的個數(shù)，用 AB表示是 A類或是 B類元素的個數(shù)，用AB表示既是A類又是B類元素的個數(shù)。ABC，ABC的意義類似。容斥原理1 如果被計數(shù)的事物有兩類，那么ABABAB。容斥原理2 如果被計數(shù)的事物有三類，那么ABCA+BC-AB-BCACABB。容斥原理的實質(zhì)在于包含與排除，或形象地稱之為“多退少補”。容斥原理若用韋恩圖進行分析和記憶，十分方便，留給讀者研究。例9 在100名學生中，有10人既不會騎自行車又不會游泳，有65人會騎自行車，有73人會游泳，既會騎自行車又會游泳的有多少人？解：從100名總?cè)藬?shù)中減去既不會騎自行車又不會游泳的10人，就是會騎自行車或會游泳的人數(shù)100-10=90（人）。既會騎自行車又會游泳的有（6573）90=48（人）。例10 在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除，又不能被3整除，還不能被5整除的數(shù)，占這100個自然數(shù)的百分之幾？解：由容斥原理2知，1至100的自然數(shù)中，或能被2整除，或能被3整除，或能被5整除的自然數(shù)的個數(shù)是503320-16-6374。所以，在1至100的自然數(shù)中，不能被2整除，又不能被3整除，還不能被5整除的自然數(shù)有10074=26（個），占這100個自然數(shù)的26。六、歸納法對于比較復雜的問題，可以先觀察其簡單情況，歸納出其中帶規(guī)律性的東西，然后再來解決較復雜的問題。例11 10個三角形最多將平面分成幾個部分？解。設n個三角形最多將平面分成an個部分。n=1時，a1=2；n=2時，第二個三角形的每一條邊與第一個三角形最多有2個交點，三條邊與第一個三角形最多有23=6（個）交點。這6個交點將第二個三角形的周邊分成了6段，這6段中的每一段都將原來的每一個部分分成2個部分，從而平面也增加了6個部分，即a2223。n3時，第三個三角形與前面兩個三角形最多有4312（個）交點，從而平面也增加了12個部分，即：a3=22343。一般地，第n個三角形與前面（n-1）個三角形最多有2（n-1）3個交點，從而平面也增加2（n1）3個部分，故an=223432（n-1）32242（n-1）323n（n-1）3n2-3n2。特別地，當n10時，a1031023102=272，即10個三角形最多把平面分成272個部分。七、整體法解答數(shù)學題，有時要“化整為零”，使問題變得簡單；有時反而要從整體上來考慮，從全局、從整體來研究問題。例12 正方形ABCD的內(nèi)部有1999個點，以正方形的4個頂點和內(nèi)部的1999個點為頂點，將它剪成一些三角形。問：一共可以剪成多少個三角形？共需剪多少刀？解：我們從整體來考慮，先計算所有三角形的內(nèi)角和。匯聚在正方形內(nèi)一點的諸角之和是360，而正方形內(nèi)角和也是360，共有 3601999360，從而三角形的個數(shù)是由于每個三角形有三條邊，而正方形紙原來的4條邊當然不用剪；其余的邊，由于是兩個三角形的公共邊，剪一刀出兩條邊，所以共剪的刀數(shù)是練習111一只青蛙在A，B，C三點之間跳動，若青蛙從A點跳起，跳4次仍回到A點，則這只青蛙一共有多少種不同的跳法？2在國際象棋棋盤上放置兩只“車”，如果它們彼此不構(gòu)成威脅，那么一共有多少種不同的放法？3在88的棋盤上可以找到多少個形如右圖所示的“凸”字形圖形？4從19，20，21，97，98，99這81個數(shù)中，選取兩個不同的數(shù)，使其和為偶數(shù)的選法總數(shù)是多少？5平面上有7個不在同一直線上的點，以這7個點作為頂點做三角形，使得任何兩個三角形至多只有一個公共頂點。最多可做出多少個滿足條件的三角形？6下圖是一個道路圖。A處有一大群孩子，這群孩子向東或向北走，在從A開始的每個路口，都有一半人向北走，另一半人向東走，如果先后有60個孩子到過路口B，那么先后共有多少個孩子到過路口C？7在1001，1002，2000這1000個自然數(shù)中，可以找到多少對相鄰的自然數(shù)，使它們相加時不進位？8有10個箱子，編號為1，2，10，各配一把鑰匙，10把各不相同，每個箱子放進一把鑰匙鎖好，先撬開1，2號箱子，取出鑰匙去開別的箱子，如果最終能把所有箱子的鎖都打開，則說是一種好的放鑰匙的