高中數(shù)學(xué) 第三章 空間向量與立體幾何 3.2 空間向量在立體幾何中的應(yīng)用 3.2.3-3.2.4 課堂探究學(xué)案 新人教B版選修2-1.doc

3.2.3 直線與平面的夾角3.2.4 二面角及其度量課堂探究探究一 用定義法求直線與平面所成的角利用定義法求直線與平面所成的角，首先要作出斜線和這條斜線在平面內(nèi)的射影所成的銳角，然后通過解三角形求出直線與平面所成的角的大小其基本步驟可歸納為“一作，二證，三計算”【典型例題1】 在正四面體abcd中，e為棱ad的中點，連接ce，求ce和平面bcd所成角的正弦值思路分析：在求解斜線和平面所成的角時，確定斜線在平面內(nèi)的射影的位置是一個既基本又重要的問題解：如圖，過a，e分別作ao平面bcd，eg平面bcd，o，g為垂足則aoge，ao2ge.連接gc，則ecg為ec和平面bcd所成的角因為abacad，所以obocod.因為bcd是正三角形，所以o為bcd的中心連接do并延長交bc于f，則f為bc的中點令正四面體abcd的棱長為1，可求得ce，df，od，則ao，所以eg.在rtecg中，sinecg.歸納找射影的兩種方法：(1)斜線上任一點在平面內(nèi)的射影必在斜線在平面內(nèi)的射影上；(2)利用已知垂直關(guān)系得出線面垂直，確定射影探究二 向量法求直線與平面所成的角利用向量法求直線與平面所成角的優(yōu)勢在于不用找角，只需求出直線的方向向量和平面的法向量，再用公式求解即可，其基本步驟為：(1)建立空間直角坐標(biāo)系；(2)求直線的方向向量s和平面的法向量n；(3)設(shè)線面角為，由sin 得出的值，需注意的是的范圍是.【典型例題2】 如圖所示，在直三棱柱aboa1b1o1中，oo14，oa4，ob3，aob90.d是線段a1b1的中點p是側(cè)棱bb1上的一點，若bdop，求op與底面aob所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)思路分析：由于題中所給圖形是直三棱柱，可建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解解：如圖所示，以o點為原點，為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系由題意有o(0,0,0)，b(3,0,0)，d，b1(3,0,4)設(shè)p(3,0，z)，則，(3,0，z)因為bdop，所以4z0，所以z.因為平面pbo平面abo，所以ob為op在平面abo內(nèi)的射影，所以pob為op與平面abo所成的角又因為bb1平面aob，所以是平面aob的一個法向量，且(0,0,4)，所以sinpob|cosbpo|.所以op與底面aob所成的角為arcsin.探究三 定義法求二面角的大小所謂定義法，就是作出二面角的平面角，然后通過解三角形求解作出二面角的平面角常用的方法有：(1)找與二面角的棱垂直的平面與二面角兩半平面的交線；(2)在二面角的一個面上取一點，利用三垂線定理作平面角；(3)在二面角的棱上取一點，分別在兩個面內(nèi)作出和棱垂直的射線【典型例題3】 已知在三棱錐pabc中，pc平面abc，abbccapc.求二面角bapc的大小思路分析：本題可考慮利用三垂線定理作出二面角的平面角，再求解；還可考慮用射影面積公式求出二面角的大小解法一：如圖，過點b作beac于點e，過點e作efpa于點f，連接bf.pc平面abc，pc平面pac，平面pac平面abc.be平面pac.由三垂線定理有bfpa，bfe是二面角bpac的平面角設(shè)pc1，由e是ac中點，得be，efsin 45，tanbfe，bfearctan.解法二：(利用射影面積公式)如圖，過點b作beac于點e，連接pe. pc平面abc，平面pac平面abc.pae是pab在平面pac上的射影設(shè)pc1，則papb，ab1，pab中ab邊上的高h.spab，又spaespac.設(shè)二面角bpac的大小為，由射影面積公式有cos ，arccos.探究四 向量法求二面角利用向量法求二面角常有如下兩種方法：方法一：分別在二面角l的面，內(nèi)，并且沿，延伸的方向作向量n1l，n2l，則可用n1，n2度量這個二面角的大小cosn1，n2，n1，n2的選取建立在現(xiàn)有圖形中的已知或構(gòu)圖論證上方法二：通過法向量求解設(shè)m1，m2，則m1，m2與該二面角相等或互補此方法的運用適宜于：(1)在空間直角坐標(biāo)系下，平面，的法向量便于確定(2)二面角的大小便于定性(銳角、鈍角)從圖中便于直觀獲得二面角為銳角或鈍角(3)具體求解過程中，先求m1與m2所成銳角，cos .若二面角為銳角，則為；若二面角為鈍角，則為.【典型例題4】 在底面為直角梯形的四棱錐sabcd中，abc90，sa平面abcd.saabbc1，ad，求平面scd與平面sab所成二面角的余弦值思路分析：解答本題可建立空間直角坐標(biāo)系，轉(zhuǎn)化為求法向量的夾角解：以a為原點建立空間直角坐標(biāo)系如圖則d，c(1,1,0)，s(0,0,1)，a(0,0,0)，(1,1，1)，.設(shè)平面scd的法向量為n(x，y，z)，則即令z1，得n(1,2,1)，而是平面sab的法向量cos，n.觀察圖形可知平面scd與平面sab所成角為銳角，其余弦值為.探究五 易錯辨析易錯點混淆直線的方向向量和平面法向量的夾角與線面角【典型例題5】 在四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，側(cè)棱pd底面abcd，pddc，e是pc的中點求eb與底面abcd所成角的正弦值錯解：由向量加法知()，設(shè)|1，則|1，|1，且，兩兩垂直，可求出|，cos，直線eb與底面abcd所成角的正弦值為