遼寧省沈陽市第十五中學(xué)高中數(shù)學(xué)論文 圖形計算器應(yīng)用能力測試活動學(xué)生 關(guān)于運用CASIO圖形計算器解決超越方程解的個數(shù)的探究.doc

遼寧省沈陽市第十五中學(xué)2013年高中數(shù)學(xué)論文 圖形計算器應(yīng)用能力測試活動學(xué)生 關(guān)于運用casio圖形計算器解決超越方程解的個數(shù)的探究在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會遇到這樣一些問題，例如求解方程的實數(shù)解個數(shù)，這類方程被稱為超越方程，超越方程一般指的是等號兩邊至少有一個含有未知數(shù)的初等超越函數(shù)式的方程。如指數(shù)方程、對數(shù)方程、三角方程、反三角方程等。超越方程一般沒有解析解，而只有數(shù)值解或近似解，只有特殊的超越方程才可以求出解析解來。而這樣的題便是令大多數(shù)同學(xué)的十分頭痛的難題。而適當(dāng)?shù)剡\用casio圖形計算器并輔以一定的數(shù)學(xué)運算，就能方便而準(zhǔn)確地解決這類問題。首先，對于文章開頭所提出的，采用以下簡單的解法來解決問題：在casio計算器中選取圖形模塊，輸入方程：然后繪圖，很容易得到有三個交點：那么，當(dāng)面對比較復(fù)雜的，例如帶參數(shù)的超越方程時，應(yīng)當(dāng)如何解決呢？例如下題：當(dāng)方程對于解的個數(shù)為個時，的取值范圍是？為解決這道題，首先利用圖形計算器中的動態(tài)函數(shù)，初步了解題目：先取=1,2,3，觀察圖形：從圖形中可以發(fā)現(xiàn)，由于n與k的值都是不定的，無法直接從圖中得出準(zhǔn)確的答案。當(dāng)n為偶數(shù)時，對數(shù)函數(shù)與sin函數(shù)的最后一個交點應(yīng)該在sin函數(shù)的最大值，即y=1時取到，根據(jù)這一點，可以聯(lián)想到當(dāng)n為奇數(shù)時，對數(shù)函數(shù)的最后兩個交點會穿過sin函數(shù)的“山峰”， 即類似于k=1時的部分圖像：那么，根據(jù)以上分析，分類討論：1.當(dāng)n為偶數(shù)時： 設(shè)n=2m，此時代入數(shù)據(jù)，即當(dāng)為最后一個交點時，將共有2m個交點。解得：2.當(dāng)n為奇數(shù)時，既要保證時的sin函數(shù)值小于1，又要保證的sin函數(shù)值大于1，這樣才能保證對數(shù)函數(shù)與sin函數(shù)共有n個交點，根據(jù)上述分析列出不等式：根據(jù)上述不等式解出n為奇數(shù)時k的范圍：那么，綜上所述：當(dāng)方程對于解的個數(shù)為個時，當(dāng)n為偶數(shù)時，當(dāng)n為奇數(shù)時，從這道題中我們不難發(fā)現(xiàn)，對于一些含參數(shù)的超越方程解的個數(shù)問題，并不是簡單地使用計算器畫圖就可以得出解答，而是要先經(jīng)過計算器畫圖得出直觀的印象，再進行精確的數(shù)學(xué)分析與解答，才能解出答案。由此，可以引申出另一道題，即解答方程的交點個數(shù)：此時，運用計算器畫圖就成為非常重要的先行步驟：可以看到，現(xiàn)在這道題由于sin函數(shù)前的系數(shù)為2，與文章開篇的簡單問題產(chǎn)生了很大的不同，那么，對于這道題就需要合理的推斷與想象。當(dāng)時，此時已經(jīng)沒有交點。而在共有15個完整的“峰”，那么此時，解題就變得十分便捷。所以，算上第一個交點，共有15*2+1=31個交點。通過上述三道題的分析，可以看出合理適當(dāng)?shù)剡\用casio計算器在解決超越方程解的個數(shù)上十分有很大的作用。由于手畫草圖并不能準(zhǔn)確地顯示圖像的細(xì)節(jié)，會產(chǎn)生很大的誤差，因此在解決超越方程解的個數(shù)問題時