概率論與數(shù)理統(tǒng)計習題冊 第五章 答案.pdf

第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 85 系別 系別 班級 班級 姓名 姓名 學號 學號 作業(yè) 14 大數(shù)定律 中心極限定理 I 作業(yè) 14 大數(shù)定律 中心極限定理 I 一 設隨機變量序列一 設隨機變量序列 12 n XXX 是相互獨立的 對于每一個固定的 是相互獨立的 對于每一個固定的n n X 的分布律為 的分布律為 21 2 21 202 2122 nn n nnn X 概率 試證隨機變量序列 概率 試證隨機變量序列 12 n XXX 服從大數(shù)定律 證 由于 服從大數(shù)定律 證 由于 21 2 21 2 20 12 220 nnnnn n E X 22 21 222 21 2 20 12 2 21 nnnnn nn D XE X 根據(jù)切比雪夫大數(shù)定理可知 隨機變量序列 根據(jù)切比雪夫大數(shù)定理可知 隨機變量序列 12 n XXX 服從大數(shù)定律 二 設隨機變量序列 服從大數(shù)定律 二 設隨機變量序列 12 n XXX 是獨立同分布且 是獨立同分布且 k E X 2 0 1 2 k D Xk 1 2 1 n nk k YkX n n 試證隨機變量序列 試證隨機變量序列 n Y依概率收斂 參考概率論與數(shù)理統(tǒng)計輔導 陜西教育出版社 2009 6 P116 例 5 三 設 隨 機 變 量 依概率收斂 參考概率論與數(shù)理統(tǒng)計輔導 陜西教育出版社 2009 6 P116 例 5 三 設 隨 機 變 量 12100 XXX 獨 立 同 分 布 獨 立 同 分 布 16 kk E XD X 求 求 1 PX 解 由已知條件 解 由已知條件 100 1 1 100 i i E XEX 100 1 1164 10010025 i i E XEX 再 由中心極限定理 得 再 由中心極限定理 得 11 1 2 1 X PXP D XD XD X 5 2 10 9876 2 四 據(jù)以往經(jīng)驗 某種電器元件的壽命服從均值為 100 小時的指數(shù)分布 現(xiàn)隨 機地取 16 只 設它們的壽命是相互獨立的 求這 16 只元件的壽命的總和大于 1920 小時的概率 解 設 16 只元件的壽命分別為 四 據(jù)以往經(jīng)驗 某種電器元件的壽命服從均值為 100 小時的指數(shù)分布 現(xiàn)隨 機地取 16 只 設它們的壽命是相互獨立的 求這 16 只元件的壽命的總和大于 1920 小時的概率 解 設 16 只元件的壽命分別為 k V 1 2 16k 記 記 16 1k k VV 且 且 100 k E V 10000 k D V 由獨立同分布中心極限定理 隨機變量 由獨立同分布中心極限定理 隨機變量 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 86 16 1 1600 1600 40016 100 k k V V Z 近似服從正態(tài)分布 近似服從正態(tài)分布 1 0 N 則 則 1600192016001600 1920 10 8 400400400 VV P VPP 1 0 8 0 2119 即壽命總和大于 1920 小時的概率為 0 2119 五 一部件包括 10 部分 每部分的長度是一個隨機變量 它們相互獨立 且 服從同一分布 其數(shù)學期望為 2 即壽命總和大于 1920 小時的概率為 0 2119 五 一部件包括 10 部分 每部分的長度是一個隨機變量 它們相互獨立 且 服從同一分布 其數(shù)學期望為 2mm 均方差為 0 05 均方差為 0 05mm 規(guī)定總長度為 規(guī)定總長度為 200 1 mm 時產品合格 試求產品合格的概率 解 設 時產品合格 試求產品合格的概率 解 設 k V為每個部件長度 為每個部件長度 10 1 k k VV 由獨立同分布中心極限定理 隨機變量 由獨立同分布中心極限定理 隨機變量 10 1 20 0 0510 k k V Z 近似地服從正態(tài)分布 近似地服從正態(tài)分布 1 0 N 則 則 200 12020200 120 200 1200 1 0 05100 05100 0510 V PVP 2500 11 414 50 X P 1 1 414 0 0793 則總重量超過 2510kg 的概率為 0 0793 則總重量超過 2510kg 的概率為 0 0793 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 87 系別 系別 班級 班級 姓名 姓名 學號 學號 作業(yè) 15 大數(shù)定律 中心極限定理 II 作業(yè) 15 大數(shù)定律 中心極限定理 II 一 計算器在進行加法時 將每個加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù) 設所有舍入誤差 是獨立的且在 一 計算器在進行加法時 將每個加數(shù)舍入最靠近它的整數(shù) 設所有舍入誤差 是獨立的且在 0 5 0 5 上服從均勻分布 1 若將 1500 個數(shù)相加 問誤差總和的絕對值超過 15 的概率是多少 2 最多可有幾個數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于 10 的概率不小于 0 90 解 設有 上服從均勻分布 1 若將 1500 個數(shù)相加 問誤差總和的絕對值超過 15 的概率是多少 2 最多可有幾個數(shù)相加使得誤差總和的絕對值小于 10 的概率不小于 0 90 解 設有n個數(shù)相加 個數(shù)相加 i X分別為每個數(shù)的舍入誤差 記分別為每個數(shù)的舍入誤差 記 1 n i i XX 0 i E X 1 12 i D X 由定理一知 隨機變量由定理一知 隨機變量 16 1 0 12 i k Xn Z n 近似地服從正態(tài)分布近似地服從正態(tài)分布 1 0 N 1 所求概率 1 所求概率 15 1515 P XPX 1515 5 55 55 5 X P 1515 5 55 5 15 210 8198 5 5 則絕對值超過 15 的概率為 0 1802 2 所求概率 則絕對值超過 15 的概率為 0 1802 2 所求概率 1010 1 12 12 12 X P XP nnn 1 0 6711 0 6711 0 7486 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 88 三 某車間有同型車床 200 臺 假設每臺開動的概率為 0 7 且開關是相互獨 立的 設每臺的耗電量為 15kW 試問最少需耗多少電力 才能以 95 的把握滿足該車 間生產 參考概率論與數(shù)理統(tǒng)計輔導 陜西教育出版社 2009 6 P117 例 8 四 某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明 在索賠戶中被盜索賠戶占 20 以 三 某車間有同型車床 200 臺 假設每臺開動的概率為 0 7 且開關是相互獨 立的 設每臺的耗電量為 15kW 試問最少需耗多少電力 才能以 95 的把握滿足該車 間生產 參考概率論與數(shù)理統(tǒng)計輔導 陜西教育出版社 2009 6 P117 例 8 四 某保險公司多年的統(tǒng)計資料表明 在索賠戶中被盜索賠戶占 20 以X表示 在隨機抽查的 100 個索賠戶因盜竊而向保險公司索賠的戶數(shù) 1 寫出 表示 在隨機抽查的 100 個索賠戶因盜竊而向保險公司索賠的戶數(shù) 1 寫出X的概率分布 2 求被盜索賠戶不少于 14 戶且不多于 30 戶的概率的近似值 解 1 根據(jù)已知條件 的概率分布 2 求被盜索賠戶不少于 14 戶且不多于 30 戶的概率的近似值 解 1 根據(jù)已知條件 100 0 2 XB 故 故 100 0 20 8 kkk n P XkC 2 由拉普拉斯中心極限定理得 2 由拉普拉斯中心極限定理得 14100 0 2100 0 230100 0 2 1430 100 0 2 0 8100 0 2 0 8100 0 2 0 8 X PXP 100 0 2 1 52 5 2 5 1 5 0 927 100 0 2 0 8 X P 五 某打靶場根據(jù)以往經(jīng)驗 得 10 分的概率為 0 4 得 9 分的概率為 0 3 得 8 分的概率為 0 2 得 7 分和 6 分的概率都為 0 05 現(xiàn)射擊 500 次 1 求總分多于 4500 分的概率 2 總分介于 4400 到 4500 分之間的概率 解 1 記 五 某打靶場根據(jù)以往經(jīng)驗 得 10 分的概率為 0 4 得 9 分的概率為 0 3 得 8 分的概率為 0 2 得 7 分和 6 分的概率都為 0 05 現(xiàn)射擊 500 次 1 求總分多于 4500 分的概率 2 總分介于 4400 到 4500 分之間的概率 解 1 記 i X為第為第i次打靶所得分 則次打靶所得分 則 i X的分布律為 的分布律為 05 005 02 03 04 0 678910 p Xi 10 0 49 0 38 0 27 0 056 0 05 i E X 95 8 22 iii D XE XEX 225 1 設總分為 設總分為X 則 則 225 1500 95 8500 NX 即 即 5 612 4475 NX 因此 因此 5 612 44754500 1 4500 1 4500 XPXP 1 1 01 10 84130 1587 2 2 45004400 XP 5 612 44754400 5 612 44754500 03 3 01 1 1 01 1 3 03 0 84 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 89 系別 系別 班級 班級 姓名 姓名 學號 學號 第五章 單元練習 第五章 單元練習 一 填空題 3 5 15 分 一 填空題 3 5 15 分 1 設隨機變量1 設隨機變量X的數(shù)學期望的數(shù)學期望 E X 方差 方差 2 D X 則由切比雪夫不等式 有 則由切比雪夫不等式 有 3 PX 2 設隨機變量 2 設隨機變量X和和Y的數(shù)學期望分別為 2 和 2 方差分別為 1 和 4 而相關系 數(shù)為 0 5 則根據(jù)切比雪夫不等式 的數(shù)學期望分別為 2 和 2 方差分別為 1 和 4 而相關系 數(shù)為 0 5 則根據(jù)切比雪夫不等式 6 PXY 3 在天平上重復稱量一質量為 3 在天平上重復稱量一質量為a的物品 假設各次稱量結果相互獨立且同服從 正 態(tài) 分 布 的物品 假設各次稱量結果相互獨立且同服從 正 態(tài) 分 布 2 0 2 N a 若 以 若 以 n X表 示 次 稱 量 結 果 的 算 術 平 均 值 則 為 使表 示 次 稱 量 結 果 的 算 術 平 均 值 則 為 使 0 1 0 95 n PXa 的的n的最小值應不小于自然數(shù) 的最小值應不小于自然數(shù) 4 4 設 隨 機 變 量設 隨 機 變 量X在在 3 1 上 均 勻 分 布 若 由 契 比 雪 夫 不 等 式 有上 均 勻 分 布 若 由 契 比 雪 夫 不 等 式 有 2 1 3 PX 有 A 有 A 1 1 lim 1 n k n k PX n B B 1 1 lim 0 n k n k PX n D A B C 都不正確 D A B C 都不正確 4 設隨機變量設隨機變量 12 n XXX 相互獨立 相互獨立 12nn SXXX 則根據(jù)列維 林 德伯格中心極限定理 當 則根據(jù)列維 林 德伯格中心極限定理 當n充分大時充分大時 n S近似服從正態(tài)分布 只要近似服從正態(tài)分布 只要 12 n XXX A 有相同期望和方差 B 服從同一離散型分布 C 服從同一指數(shù)分布 D 服從同一連續(xù)型分布 A 有相同期望和方差 B 服從同一離散型分布 C 服從同一指數(shù)分布 D 服從同一連續(xù)型分布 5 下列命題正確的是 A 由辛欽大數(shù)定律可以得出切比雪夫大數(shù)定律 B 由切比雪夫大數(shù)定律可以得出辛欽大數(shù)定律 C 由切比雪夫大數(shù)定律可以得出伯努利大數(shù)定律 D 由伯努利大數(shù)定律可以得出切比雪夫大數(shù)定律 下列命題正確的是 A 由辛欽大數(shù)定律可以得出切比雪夫大數(shù)定律 B 由切比雪夫大數(shù)定律可以得出辛欽大數(shù)定律 C 由切比雪夫大數(shù)定律可以得出伯努利大數(shù)定律 D 由伯努利大數(shù)定律可以得出切比雪夫大數(shù)定律 三 計算題 5 11 55 分 三 計算題 5 11 55 分 1 如果認為男嬰兒出生率為1 如果認為男嬰兒出生率為 22 43 某地區(qū)有 7000 名產婦 試估計她們的生育情 況 解 令 某地區(qū)有 7000 名產婦 試估計她們的生育情 況 解 令 1 0 i i X i 第 名產婦生男孩 第 名產婦生男孩 第 名產婦生女第 名產婦生女孩孩 1 2 7000i 顯然 顯然 12 n XXX 服從同一分布 由貝努力大數(shù)定理得服從同一分布 由貝努力大數(shù)定理得 1 22 43 n i P i X n 由于 由于 7000n 比較大 所以該地區(qū)大約有比較大 所以該地區(qū)大約有 22 70003581 43 名男嬰出生 2 若每次射擊擊中目標的概率為 0 1 不斷地對靶連續(xù)進行射擊 求在 500 次 射擊中 擊中目標的次數(shù)在區(qū)間 名男嬰出生 2 若每次射擊擊中目標的概率為 0 1 不斷地對靶連續(xù)進行射擊 求在 500 次 射擊中 擊中目標的次數(shù)在區(qū)間 49 55 內的概率 解 設 內的概率 解 設X表示 500 獨立射擊中擊中目標的次數(shù) 則表示 500 獨立射擊中擊中目標的次數(shù) 則 500 0 1 XB 那么由中心極 限定理得所求概率 那么由中心極 限定理得所求概率 49500 0 1500 0 155500 0 1 4955 500 0 1 0 9500 0 1 0 9500 0 1 0 9 X PXP 第五章 大數(shù)定律和中心極限定理 92 從而 500 0 99 250 m 即5002 33 250536 841m 因此 每個劇院應設有 537 個座位才能保證因缺少座位而使觀眾離去的概率小于 1 每個劇院應設有 537 個座位才能保證因缺少座位而使觀眾離去的概率小于 1 四 綜合題 1 15 15 分 四 綜合題 1 15 15 分 假設某單位交換臺有假設某單位交換臺有n部分機 部分機 k條外線 每部分機呼叫外線的概率為條外線 每部分機呼叫外線的概率為p 利用 中心極限定理 解下列問題 1 設 利用 中