2019版高考數(shù)學第4章三角函數(shù)、解三角形8第8講正弦定理和余弦定理的應用舉例教案理.docx

第8講正弦定理和余弦定理的應用舉例1實際測量中的常見問題求AB圖形需要測量的元素解法求豎直高度底部可達ACBBCa解直角三角形ABatan 底部不可達ACBADBCDa解兩個直角三角形AB求水平距離山兩側ACBACbBCa用余弦定理AB河兩岸ACBABCCBa用正弦定理AB河對岸ADCBDCBCDACDCDa在ADC中，AC在BDC中，BC在ABC中，應用余弦定理求AB2.實際問題中的常用術語術語名稱術語意義圖形表示仰角與俯角在目標視線與水平視線所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的水平夾角叫做方位角方位角的范圍是0360方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)度3.解三角形應用題的一般步驟 判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)東北方向就是北偏東45的方向()(2)從A處望B處的仰角為，從B處望A處的俯角為，則，的關系為180.()(3)俯角是鉛垂線與視線所成的角，其范圍為.()(4)方位角與方向角其實質是一樣的，均是確定觀察點與目標點之間的位置關系()(5)方位角大小的范圍是0，2)，方向角大小的范圍一般是0，)()答案：(1)(2)(3)(4)(5) 若點A在點C的北偏東30，點B在點C的南偏東60，且ACBC，則點A在點B的()A北偏東15B北偏西15C北偏東10D北偏西10解析：選B.如圖所示，ACB90，又ACBC，所以CBA45，而30，所以90453015.所以點A在點B的北偏西15. (教材習題改編)如圖，一艘船上午9：30在A處測得燈塔S在它的北偏東30的方向，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達B處，此時又測得燈塔S在它的北偏東75的方向，且與它相距8 n mile.此船的航速是_n mile/h.解析：設航速為v n mile/h，在ABS中ABv，BS8，BSA45，由正弦定理得，則v32.答案：32 如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側，選定一點C，測出AC的距離為50 m，ACB45，CAB105，則A，B兩點間的距離為_解析：由正弦定理得AB50(m)答案：50 m 如圖所示，D，C，B三點在地面的同一直線上，DCa，從C，D兩點測得A點的仰角分別為60，30，則A點離地面的高度AB_解析：因為D30，ACB60，則CAD30，所以CACDa，所以ABasin 60a.答案：a測量距離 典例引領 如圖所示，某旅游景點有一座風景秀麗的山峰，山上有一條筆直的山路BC和一條索道AC，小王和小李打算不坐索道，而是花2個小時的時間進行徒步攀登，已知ABC120，ADC150，BD1 km，AC3 km.假設小王和小李徒步攀登的速度為每小時1 250米，請問：兩位登山愛好者能否在2個小時內徒步登上山峰？(即從B點出發(fā)到達C點)【解】在ABD中，由題意知，ADBBAD30，所以ABBD1，因為ABD120，由正弦定理得，解得AD，在ACD中，由AC2AD2CD22ADCDcos 150，得93CD22CD，即CD23CD60，解得CD，BCBDCD，2個小時小王和小李可徒步攀登1 25022 500米，即2.5千米，而2.5，所以兩位登山愛好者可以在2個小時內徒步登上山峰 若本例條件“BD1 km，AC3 km”變?yōu)椤癇D200 m，CD300 m”，其他條件不變，則這條索道AC長為_解析：在ABD中，BD200，ABD120.因為ADB30，所以DAB30.由正弦定理，得，所以.所以AD200 (m)在ADC中，DC300 m，ADC150，所以AC2AD2DC22ADDCcosADC(200 )230022200300cos 150390 000，所以AC100.故這條索道AC長為100 m.答案：100 m距離問題的類型及解法(1)測量距離問題分為三種類型：兩點間不可達又不可視、兩點間可視但不可達、兩點都不可達(2)解法：選擇合適的輔助測量點，構造三角形，將問題轉化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解 如圖，隔河看兩目標A與B，但不能到達，在岸邊先選取相距 km的C，D兩點，同時，測得ACB75，BCD45，ADC30，ADB45(A，B，C，D在同一平面內)，求兩目標A，B之間的距離解：在ACD中，ACD120，CADADC30，所以ACCD km.在BCD中，BCD45，BDC75，CBD60.所以BC.在ABC中，由余弦定理，得AB2()22cos 75325，所以AB km，所以A，B之間的距離為 km.測量高度 典例引領 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側一山頂D在西偏北30的方向上，行駛600 m后到達B處，測得此山頂在西偏北75的方向上，仰角為30，則此山的高度CD_m.【解析】由題意，在ABC中，BAC30，ABC18075105，故ACB45.又AB600 m，故由正弦定理得，解得BC300 m.在RtBCD中，CDBCtan 30300100(m)【答案】100求解高度問題的注意事項(1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內，視線與水平線的夾角；(2)準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖；(3)運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用 (2018湖北省七市(州)協(xié)作體聯(lián)考)如圖，為了估測某塔的高度，在同一水平面的A，B兩點處進行測量，在點A處測得塔頂C在西偏北20的方向上，仰角為60；在點B處測得塔頂C在東偏北40的方向上，仰角為30.若A，B兩點相距130 m，則塔的高度CD_m.解析：由題意可知，設CDh，則AD，BDh，在ADB中，ADB1802040120，所以由余弦定理AB2BD2AD22BDADcos 120，可得13023h22h，解得h10，故塔的高度為10 m.答案：10測量角度 典例引領 一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行(22)n mile到達海島B，然后從B出發(fā)，沿北偏東15的方向航行4 n mile到達海島C.(1)求AC的長；(2)如果下次航行直接從A出發(fā)到達C，求CAB的大小【解】(1)由題意，在ABC中，ABC1807515120，AB22，BC4，根據(jù)余弦定理得AC2AB2BC22ABBCcosABC(22)242(22)424，所以AC2.(2)根據(jù)正弦定理得，sinBAC，所以CAB45.解決測量角度問題的注意事項(1)首先應明確方位角或方向角的含義(2)分析題意，分清已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關鍵、最重要的一步(3)將實際問題轉化為可用數(shù)學方法解決的問題后，注意正、余弦定理的“聯(lián)袂”使用 通關練習1甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60的方向，相距a海里的B處，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，甲船為了盡快追上乙船，則應取北偏東_(填角度)的方向前進解析：設兩船在C處相遇，則由題意ABC18060120，且，由正弦定理得，所以sinBAC.又因為0BAC60，所以BAC30.所以甲船應沿北偏東30方向前進答案：302在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍方一艘小艇正以每小時10 n mile的速度沿南偏東75方向前進，若紅方偵察艇以每小時14 n mile的速度，沿北偏東45方向攔截藍方的小艇，若要在最短的時間內攔截住，求紅方偵察艇所需的時間和角的正弦值解：如圖，設紅方偵察艇經過x小時后在C處追上藍方的小艇，則AC14x，BC10x，ABC120.根據(jù)余弦定理得(14x)2122(10x)2240xcos 120，解得x2.故AC28，BC20.根據(jù)正弦定理得，解得sin .所以紅方偵察艇所需要的時間為2小時，角的正弦值為. 利用解三角形解決實際問題時：(1)要理解題意，整合題目條件，畫出示意圖，建立一個三角形模型；(2)要理解仰角、俯角、方位角、方向角等概念；(3)三角函數(shù)模型中，要確定相應參數(shù)和自變量范圍，最后還要檢驗問題的實際意義 易錯防范(1)易混淆方位角與方向角概念：方位角是指正北方向與目標方向線(按順時針)之間的夾角，而方向角是正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角(2)解三角形時，為避免誤差的積累，應盡可能用已知的數(shù)據(jù)(原始數(shù)據(jù))，少用間接求出的量 1兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站南偏西40，燈塔B在觀察站南偏東60，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10B北偏西10C南偏東80D南偏西80解析：選D.由條件及題圖可知，AB40，又BCD60，所以CBD30，所以DBA10，因此燈塔A在燈塔B南偏西80.2一艘船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到達B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為()A15 kmB30 kmC45 kmD60 km解析：選B.如圖所示，依題意有AB15460，DAC60，CBM15，所以MAB30，AMB45.在AMB中，由正弦定理，得，解得BM30，故選B.3如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d0.6 km，一艘客船從碼頭A出發(fā)勻速駛往河對岸的碼頭B.已知AB1 km，水的流速為2 km/h，若客船從碼頭A駛到碼頭B所用的最短時間為6 min，則客船在靜水中的速度為()A8 km/hB6 km/hC2 km/hD10 km/h解析：選B.設AB與河岸線所成的角為，客船在靜水中的速度為v km/h，由題意知，sin ，從而cos ，所以由余弦定理得12221，解得v6.4如圖，兩座相距60 m的建筑物AB，CD的高度分別為20 m、50 m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A30B45C60D75解析：選B.依題意可得AD20(m)，AC30(m)，又CD50(m)，所以在ACD中，由余弦定理得cosCAD，又0CAD180，所以CAD45，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45.5某船開始看見燈塔在南偏東30方向，后來船沿南偏東60的方向航行15 km后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離是()A5 kmB10 kmC5 kmD5 km解析：選C.作出示意圖(如圖)，點A為該船開始的位置，點B為燈塔的位置，點C為該船后來的位置，所以在ABC中，有BAC603030，B120，AC15，由正弦定理，得，即BC5，即這時船與燈塔的距離是5 km.6海上有A，B兩個小島相距10 n mile，從A島望C島和B島成60的視角，從B島望C島和A島成75的視角，那么B島和C島間的距離是_ n mile.解析：如圖，在ABC中，AB10，A60，B75，C45，由正弦定理，得，所以BC5(n mile)答案：57如圖，為了測量河的寬度，在一岸邊選定兩點A、B望對岸的標記物C，測得CAB30，CBA75，AB120 m，則這條河的寬度為_解析：如圖，在ABC中，過C作CDAB于D點，則CD為所求河的寬度在ABC中，因為CAB30，CBA75，所以ACB75，所以ACAB120 m.在RtACD中，CDACsinCAD120sin 3060(m)，因此這條河的寬度為60 m.答案：60 m8(2018福州市綜合質量檢測)在距離塔底分別為80 m，160 m，240 m的同一水平面上的A，B，C處，依次測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為，.若90，則塔高為_解析：設塔高為h m依題意得，tan ，tan ，tan .因為90，所以tan()tan tan(90)tan 1，所以tan 1，所以1，解得h80，所以塔高為80 m.答案：80 m9如圖，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點從A點測得M點的仰角MAN60，C點的仰角CAB45以及MAC75，從C點測得MCA60.已知山高BC100 m，求山高MN.解：根據(jù)圖示，AC100 m.在MAC中，CMA180756045.由正弦定理得AM100 m.在AMN中，sin 60，所以MN100150(m)10.如圖，在一條海防警戒線上的點A、B、C處各有一個水聲監(jiān)測點，B、C兩點到A的距離分別為20千米和50千米，某時刻，B收到發(fā)自靜止目標P的一個聲波信號，8秒后A、C同時接到該聲波信號，已知聲波在水中的傳播速度是1.5千米/秒(1)設A到P的距離為x千米，用x表示B、C到P的距離，并求x的值；(2)求P到海防警戒線AC的距離解：(1)依題意，有PAPCx，PBx1.58x12.在PAB中，AB20，cos PAB，同理，在PAC中，AC50，cos PAC.因為cos PABcos PAC，所以，解得x31.(2)作PDAC于點D(圖略)，在ADP中，由cos PAD，得sin PAD，所以PDPAsinPAD314.故靜止目標P到海防警戒線AC的距離為4千米)1如圖，為了測量A，C兩點間的距離，選取同一平面上B，D兩點，測出四邊形ABCD各邊的長度(單位：km)：AB5，BC8，CD3，DA5，且B與D互補，則AC的長為()A7kmB8 kmC9 kmD6 km解析：選A.在ABC及ACD中，由余弦定理得8252285cos(D)AC23252235cos D，解得cos D，所以AC7.2如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為120的扇形AOB，C是該小區(qū)的一個出入口，且小區(qū)里有一條平行于AO的小路CD. 已知某人從O沿OD走到D用了2分鐘，從D沿著DC走到C用了3分鐘若此人步行的速度為每分鐘50米，則該扇形的半徑的長度為()A50 米B50 米C50米D50 米解析：選B.設該扇形的半徑為r米，連接CO.由題意，得CD150(米)，OD100(米)，CDO60，在CDO中，CD2OD22CDODcos 60OC2，即150210022150100r2，解得r50 .3.(2018惠州市第三次調研考試)如圖所示，在一個坡度一定的山坡AC的頂上有一高度為25 m的建筑物CD，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的A處測得DAC15，沿山坡前進50 m到達B處，又測得DBC45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos _解析：由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由內角和定理可得DCB180(45)4590，根據(jù)正弦定理可得，即DB100sin 15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos 1.答案：14(2018山西省第二次四校聯(lián)考)在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且acos Bbcos Ac，當tan(AB)取最大值時，角B的值為_解析：由acos Bbcos Ac及正弦定理，得sin Acos Bsin Bcos Asin Csin(AB)(sin Acos Bcos Asin B)，整理得sin Acos B3cos Asin B，即tan A3tan B，易得tan A0，tan B0，所以tan(AB)，當且僅當3tan B，即tan B時，tan(AB)取得最大值，所以B.答案：5某港灣的平面示意圖如圖所示，O，A，B分別是海岸線l1，l2上的三個集鎮(zhèn)，A位于O的正南方向6 km處，B位于O的北偏東60方向10 km處(1)求集鎮(zhèn)A