自考經(jīng)管類(lèi) 線性代數(shù) (2).doc

高等教育自學(xué)考試網(wǎng)上輔導(dǎo) 線性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）第一部分行列式本章概述 行列式在線性代數(shù)的考試中占很大的比例。從考試大綱來(lái)看。雖然只占13%左右。但在其他章。的試題中都有必須用到行列式計(jì)算的內(nèi)容。故這部分試題在試卷中所占比例遠(yuǎn)大于13%。大綱中規(guī)定的比例07.4全國(guó)統(tǒng)考試題07.7全國(guó)統(tǒng)考試題07.10全國(guó)統(tǒng)考試題直接考行列式這一章的13%左右11%11%15%再加上其余各章中必須應(yīng)用行列式計(jì)算的34%29%21%1.1行列式的定義1.1.1二階行列式與三階行列式的定義一、二元一次方程組和二階行列式例1.求二元一次方程組的解?！敬鹨删幪?hào)12010101】解：應(yīng)用消元法得當(dāng)時(shí)。得同理得定義 稱(chēng)為二階行列式。稱(chēng)為二階行列式的值。記為。于是 由此可知。若。則二元一次方程組的解可表示為：例2【答疑編號(hào)12010102】二階行列式的結(jié)果是一個(gè)數(shù)。我們稱(chēng)它為該二階行列式的值。二、三元一次方程組和三階行列式考慮三元一次方程組希望適當(dāng)選擇。使得當(dāng)后將消去。得一元一次方程若，能解出其中要滿(mǎn)足為解出。在（6），（7）的兩邊都除以得這是以為未知數(shù)的二元一次方程組。 定義1.1.1 在三階行列式中，稱(chēng)于是原方程組的解為;類(lèi)似地得 這就將二元一次方程組解的公式推廣到了三元一次方程組。例3 計(jì)算【答疑編號(hào)12010103】例4 （1）【答疑編號(hào)12010104】（2）【答疑編號(hào)12010105】例5 當(dāng)x取何值時(shí)，？【答疑編號(hào)12010106】為將此結(jié)果推廣到n元一次方程組。需先將二階、三階行列式推廣到n階行列式。1.1.2階行列式的定義定義1.1.2 當(dāng)n時(shí)，一階行列式就是一個(gè)數(shù)。當(dāng)時(shí)，稱(chēng)為n階行列式。定義（其所在的位置可記為的余子式的代數(shù)余子式。定義 為該n階行列式的值。即。容易看出，第j列元素的余子式和代數(shù)余子式都與第j列元素?zé)o關(guān)；類(lèi)似地，第i行元素的余子式和代數(shù)余子式都與第i行元素?zé)o關(guān)。n階行列式為一個(gè)數(shù)。例6 求出行列式第三列各元素的代數(shù)余子式?！敬鹨删幪?hào)12010107】例7 （上三角行列式）【答疑編號(hào)12010108】1.2行列式按行（列）展開(kāi)定理1.2.1（行列式按行（列）展開(kāi)定理）例1 下三角行列式主對(duì)角線元素的乘積?！敬鹨删幪?hào)12010201】例2 計(jì)算行列式【答疑編號(hào)12010202】例3 求n階行列式【答疑編號(hào)12010203】小結(jié) 1.行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式的定義。2.二階行列式的定義。3.階行列式的定義。即。4.行列式按行（列）展開(kāi)的定理和應(yīng)用這個(gè)定理將行列式降階的方法。作業(yè)p8 習(xí)題1.1 1（1）（2）（3）（5）（6），3作業(yè) p11習(xí)題1.2 1，2，3（1），（2），41.3行列式的性質(zhì)及計(jì)算1.3.1行列式的性質(zhì)給定行列式將它的行列互換所得的新行列式稱(chēng)為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為或。性質(zhì)1 轉(zhuǎn)置的行列式與原行列式相等。即性質(zhì)2 用數(shù)k乘行列式D的某一行（列）的每個(gè)元素所得的新行列式等于kD。推論1 若行列式中某一行（列）的元素有公因數(shù)，則可將公因數(shù)提到行列式之外。推論2 若行列式中某一行（列）的元素全為零，則行列式的值為0。性質(zhì)3 行列式的兩行（列）互換，行列式的值改變符號(hào)。以二階為例設(shè)推論3 若行列式某兩行（列），完全相同，則行列式的值為零。證 設(shè)中，第i行與第j行元素完全相同，則所以，D=0。性質(zhì)4 若行列式某兩行（列）的對(duì)應(yīng)元素成比例，則行列式的值為零。性質(zhì)5 若行列式中某一行（列）元素可分解為兩個(gè)元素的和，則行列式可分解為兩個(gè)行列式的和，即只要看注意 性質(zhì)中是指某一行（列）而不是每一行?？梢?jiàn)性質(zhì)6 把行列式的某一行（列）的每個(gè)元素都乘以 加到另一行（列），所得的行列式的值不變。證.1.3.2行列式的計(jì)算人們認(rèn)識(shí)事物的基本方法是化未知為已知。對(duì)行列式，先看何為已知，（1）二，三階行列式的計(jì)算；（2）三角形行列式的計(jì)算。因此，我們計(jì)算行列式的基本方法是利用行列式的性質(zhì)把行列式化為三角形，或降階。例1 計(jì)算【答疑編號(hào)12010204】在行列式計(jì)算中如何造零是個(gè)重要技巧，主要是應(yīng)用性質(zhì)6。例2 計(jì)算【答疑編號(hào)12010205】例3 計(jì)算【答疑編號(hào)12010206】例4 計(jì)算【答疑編號(hào)12010207】例5 計(jì)算【答疑編號(hào)12010208】擴(kuò)展計(jì)算【答疑編號(hào)12010209】例6 計(jì)算【答疑編號(hào)12010301】方法1方法2擴(kuò)展：計(jì)算【答疑編號(hào)12010302】例7 計(jì)算【答疑編號(hào)12010303】例8 計(jì)算【答疑編號(hào)12010304】擴(kuò)展：計(jì)算【答疑編號(hào)12010305】例9 計(jì)算n階行列式 【答疑編號(hào)12010306】解 按第一列展開(kāi)，得例10 范德蒙行列式【答疑編號(hào)12010307】.【答疑編號(hào)12010308】例11 計(jì)算【答疑編號(hào)12010309】例12 證明【答疑編號(hào)12010310】小結(jié)1.準(zhǔn)確敘述行列式的性質(zhì)；2.應(yīng)用行列式的性質(zhì)計(jì)算行列式的方法（1）低階的數(shù)字行列式和簡(jiǎn)單的文字行列式；（2）各行元素之和為相同的值的情況（3）有一行（列）只有一個(gè)或兩個(gè)非零元的情況作業(yè) p22 習(xí)題1.3 1（1）（3），2，5，6（1）（3）（4）（5）（10）（11）（12） 1.4克拉默法則這一節(jié)將把二元一次方程組解的公式推廣到n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程的線性方程組。為此先介紹下面的定理。定理1.4.1 對(duì)于n階行列式證 由定理1.2.1知 ，注意改變第二列的元素，并不改變第二列元素的代數(shù)余子式類(lèi)似地，可證明該定理的剩余部分。定理1.4.2 如果n個(gè)未知數(shù)，n個(gè)方程的線性方程組 的系數(shù)行列式 則方程組有惟一的解: 其中 證明從略例1.求解【答疑編號(hào)12010401】把克拉默法則應(yīng)用到下面的齊次方程組有定理1.4.3 如果n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次方程組的系數(shù)行列式D0，則該方程組只有零解，沒(méi)有非零解。推論如果齊次方程組有非零解，則必有系數(shù)行列式D=0。事實(shí)上，以后我們將證明對(duì)于由n個(gè)未知數(shù)n個(gè)方程的齊次方程組，系數(shù)行列式D=0，不僅是該齊次方程組有非零解的必要條件，也是充分條件,即若系數(shù)行列式D=0,則齊次方程組必有非零解。例2判斷線性方程組是否只有零解【答疑編號(hào)12010402】例3當(dāng)k為何值時(shí)，齊次方程組沒(méi)有非零解？【答疑編號(hào)12010403】例4問(wèn)當(dāng) 取何值時(shí),齊次方程組有非零解?【答疑編號(hào)12010404】1.定理1.4.1 對(duì)于，有2.n個(gè)未知數(shù),n個(gè)方程的線性方程組的克拉默法則。以及n個(gè)未知數(shù), n個(gè)方程的齊次線性方程組有非零解的充分必要條件。作業(yè) p28 習(xí)題1.4 1（1）（2）（3）3第一章小結(jié)基本概念1.行列式中元素的余子式和代數(shù)余子式。2.行列式的定義基本公式1.行列式按一行(一列)展開(kāi)的定理；2.行列式的性質(zhì)；3.行列式中任一行(列)與另一行(列)的代數(shù)余子式乘積的和=0；4.克拉默法則5.n個(gè)未知數(shù),n個(gè)方程的齊次方程組有非零解的充分必要條件是它的系