高中數(shù)學第2講直線與圓的位置關系章末分層突破學案新人教A版.docx

第2講 直線與圓的位置關系章末分層突破自我校對圓心角定理圓內接四邊形性質定理圓的切線弦切角定理相交弦定理切線長定理與圓有關的角的計算與證明圓中的角有四類：圓心角、圓周角、弦切角和弧所對的角，與圓有關的角的計算與證明通常涉及這四類角，因此圓周角定理、圓心角定理、弦切角定理是解決此類問題的知識基礎，通常利用圓周角、弦切角、圓心角與弧的關系轉化，借助于圓內接四邊形的對角互補和圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑(獲得直角)來解決(2015湖南高考)如圖21，在O中，相交于點E的兩弦AB，CD的中點分別是M，N，直線MO與直線CD相交于點F，證明：圖21(1)MENNOM180；(2)FEFNFMFO.【精彩點撥】(1)在四邊形OMEN中，由OMAB，ONCD證明MENNOM180；(2)四邊形OMEN的對角互補，O，M，E，N四點共圓，利用割線定理證明【規(guī)范解答】(1)如圖所示，因為M，N分別是弦AB，CD的中點，所以OMAB，ONCD，即OME90，ENO90，因此OMEENO180.又四邊形的內角和等于360，故MENNOM180.(2)由(1)知，O，M，E，N四點共圓，故由割線定理即得FEFNFMFO.再練一題1如圖22所示，EB，EC是O的兩條切線，B，C是切點，A，D是O上兩點，如果E46，DCF32，求BAD.【導學號：07370049】圖22【解】法一：EB，EC是O的切線，ECEB.又E46，ECB67.DCF32，BCD180673281.BADBCD180，BAD1808199.法二：連接AC，如圖所示，EB，EC是O的切線，EBEC.又E46，ECB67.EF切O于點C，BACECB67，CADDCF32，BADBACDAC673299.圓內接四邊形的判定與性質圓內接四邊形是中學數(shù)學的主要研究問題之一，近幾年各地的高考選做題中涉及圓內接四邊形的判定和性質較多如圖23，已知ABC內接于O，AD平分BAC，交O于點D，過D作O的切線與AC的延長線交于點E.圖23(1)求證：BCDE；(2)若AB3，BD2，求CE的長(3)在題設條件下，為使BDEC是平行四邊形，ABC應滿足怎樣的條件？(不要求證明)【規(guī)范解答】(1)證明：連接CD.因為DE是O的切線，所以CDECBD.因為CBDDAC，所以CDEDAC.因為AD平分BAC，所以BADDAC.所以CDEBAD.因為BADBCD，所以CDEBCD.所以BCDE.(2)因為AD平分BAC，BCDCBD.所以BDCD2.因為BCDE，所以EACBADB.又由(1)中已證得CDEBAD，所以ABDDCE.所以.所以CE.(3)BAC2ACB.再練一題2如圖24，在正三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且BDBC，CECA，AD，BE相交于點P.圖24求證：(1)四點P，D，C，E共圓；(2)APCP.【證明】(1)在ABC中，由BDBC，CECA知，ABDBCE，即ADBBEC，即ADCBEC180，所以四點P，D，C，E共圓(2)如圖，連接DE.在CDE中，CD2CE，ACD60，由余弦定理知CED90.由四點P，D，C，E共圓知，DPCDEC，所以APCP.與圓有關的比例線段圓的切線、割線、相交弦可以構成許多相似三角形，結合相似三角形的性質，又可以得到一些比例式、乘積式，在解題過程中，多聯(lián)系這些知識，能夠計算或證明角、線段的有關結論如圖25，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAEDCAF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓圖25(1)證明：CA是ABC外接圓的直徑；(2)若DBBEEA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值【規(guī)范解答】(1)證明：因為CD為ABC外接圓的切線，所以DCBA.由題設知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以CFEDBC，故EFACFE90，所以CBA90.因此CA是ABC外接圓的直徑(2)連接CE，因為CBE90，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE.由DBBE，有CEDC.又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而CE2DC2DBDA3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.再練一題3ABC中，ABAC，以AB為直徑作圓，交BC于D，O是圓心，DM是O的切線交AC于M(如圖26)求證：DC2ACCM.圖26【證明】連接AD，OD.AB是直徑，ADBC.OAOD，BADODA.又ABAC，ADBC，BADCAD，則CADODA，ODAC.DM是O切線，ODDM.則DMAC，DC2ACCM.運動變化思想運動變化思想要求用運動變化的眼光去看問題，識別靜中的動、動中的靜的特殊情況，在解題時，抓住不變的規(guī)律去解決動中的結論如圖27(1)，已知O1，O2外切于點P，A是O1上一點，直線AC切O2于點C，交O1于點B，直線AP交O2于點D.圖27(1)求證：PC平分BPD；(2)如圖27(2)，將“O1，O2外切于點P”改為“O1，O2內切于點P”，其他條件不變，(1)中的結論是否仍然成立？并證明你的結論【規(guī)范解答】(1)證明：如圖(3)，可過點P作兩圓的公切線PM，交AC于點M，則BPMA，MPCMCP.BPCBPMMPCAMCPCPD，PC平分BPD.(2)(1)中的結論仍然成立證明如下：如圖(4)所示，過點P作兩圓的公切線PM，則MPBA，MPCBCP.BPCMPCMPBBCPACPA.PC平分BPD.再練一題4. (2015陜西高考)如圖28，AB切O于點B，直線AO交O于D，E兩點，BCDE，垂足為C.圖28(1)證明：CBDDBA；(2)若AD3DC，BC，求O的直徑【解】(1)證明：因為DE為O直徑，所以BEDEDB90.又BCDE，所以CBDEDB90，從而CBDBED.又AB切O于點B，得DBABED，所以CBDDBA.(2)由(1)知BD平分CBA，則3.又BC，從而AB3.所以AC4，所以AD3.由切割線定理得AB2ADAE，即AE6，故DEAEAD3，即O的直徑為3.1. (2015天津高考)如圖29，在圓O中，M，N是弦AB的三等分點，弦CD，CE分別經(jīng)過點M，N，若CM2，MD4，CN3，則線段NE的長為()圖29A.B3C.D.【解析】由題意可設AMMNNBx，由圓的相交弦定理得即解得x2，NE.【答案】A2. (2015重慶高考)如圖210，圓O的弦AB，CD相交于點E，過點A作圓O的切線與DC的延長線交于點P，若PA6，AE9，PC3，CEED21，則BE_.圖210【解析】由題意設EDx，則CE2x.PCPDPA2，3(33x)36，x3.AEEBCEED，EB2.【答案】23(2015廣東高考)如圖211，AB為圓O的直徑，E為AB延長線上一點，過E作圓O的切線，切點為C，過A作直線EC的垂線，垂足為D.若AB4，CE2，則AD_.圖211【解析】由CE2BEAE得(2)2BE(4BE)，解得BE2.連接OC(圖略)，則OC2，OCDE.又ADDE，ADOC，則，即AD3.【答案】34(2015湖北高考)如圖212，PA是圓的切線，A為切點，PBC是圓的割線，且BC3PB，則_.圖212【解析】由切割線定理，得PA2PBPC.由弦切角定理，得PABPCA.又APBCPA，故ABPCAP，則.【答案】5(2015全國卷)如圖213，O為等腰三角形ABC內一點，O與ABC的底邊BC交于M，N兩點，與底邊上的高AD交于點G，且與AB，AC分別相切于E，F(xiàn)兩點圖213(1)證明：EFBC；(2)若AG等于O的半徑，且AEMN2，求四邊形EBCF的面積【解】(1)證明：由于ABC是等腰三角形，ADBC，所以AD是CAB的平分線又因為O分別與AB，AC相切于點E，F(xiàn)，所以AEAF，故ADEF，從而EFBC.(2)由(1)知，AEAF，ADEF，故AD是EF的垂直平分線又EF為O的弦，所以O在AD上連接OE，OM，則OEAE.由AG等于O的半徑得AO2OE，所以OAE30.因此ABC和AEF都是等邊三角形因為AE2，所以AO4，OE2.因為OMOE2，DMMN，所以OD1.于是AD5，AB.所以四邊形EBCF的面積為2(2)2.章末綜合測評(二)(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1在O中，AOB84，則弦AB所對的圓周角是() 【導學號：07370050】A42B138C84D42或138【解析】弦AB所對的弧的度數(shù)為84或276，故其所對的圓周角為42或138.【答案】D2如圖1，一圓內切四邊形ABCD，且AB16，CD10，則四邊形的周長為()圖1A50 B52C54D56【解析】由切線長定理知CDABADBC.ABCD26，ABBCCDAD52.【答案】B3如圖2，O經(jīng)過O1的圓心，ADB，ACB，則與之間的關系是()圖2A B1802C(90) D(180)【解析】如圖所示，分別連接AO1，BO1.根據(jù)圓內接四邊形的性質定理，可得AO1BADB180，AO1B180ADB180.ACBAO1B，(180)，故選D.【答案】D4.如圖3所示，A50，ABC60，BD是O的直徑，則AEB等于()圖3A70 B110C90D120【解析】由題意知，DA50，BCD90，CBD905040，又ACB180506070，AEBCBDACB4070110.【答案】B5如圖4，ABC內接于O，ABAC，直線MN切O于點C，BEMN交AC于點E，若AB6，BC4，則AE()圖4A. B.C1D.【解析】MN為O的切線，BCMA.MNBE，BCMEBC，AEBC.又ACBBCE，ABCBEC，.ABAC，BEBC，.EC，AE6.【答案】A6如圖5，已知O是ABC的外接圓，I是ABC的內切圓，A80，則BIC等于()圖5A80B100C120D130【解析】A80，ABCACB100.IBCABC，ICBACB，IBCICB(ABCACB)50，BIC18050130.【答案】D7如圖6，已知O的直徑與弦AC的夾角為30，過C點的切線PC與AB的延長線交于P，PC5，則O的半徑為()圖6A. B.C10D5【解析】連接OC，則有COP60，OCPC，PO2CO，CO5，即CO.【答案】A8(2016焦作模擬)如圖7，已知AB是O的直徑，CDAB于P，EF是過點P的弦，已知AB10，PA2，PE5，則CD和EF分別為()圖7A8和7B7和C7和8D8和【解析】PAPBPC2，PC216，PC4，CD8.PEPFPC2，PF，EF5.【答案】D9如圖8，已知AT切O于T.若AT6，AE3，AD4，DE2，則BC()圖8A3 B4C6D8【解析】AT為O的切線，AT2ADAC.AT6，AD4，AC9.ADEB，EADCAB，EADCAB，即，BC6.【答案】C10如圖9，圓內接ABC的外角ACH的平分線與圓交于D點，DPAC，垂足是P，DHBH，垂足是H，下列結論：CHCP；APBH；DH為圓的切線其中一定成立的是()圖9A BCD【解析】顯然可由PCDHCD得到；因為四邊形ABCD為圓的內接四邊形，所以BADHCDACD，即，故成立；而，連接BD，則ADBD，DAPDBH，所以RtAPDRtBHD，得APBH，成立；對于，不能判定DH是圓的切線，故應選D.【答案】D11.如圖10，在O中，MN為直徑，點A在O上，且AON60，點B是的中點，點P是直徑MN上一動點，O的半徑為1，則APBP的最小值為()圖10A1 B.C.1D.【解析】如圖，過點B作BBMN，交O于點B，連接AB交MN于點P，即點P在點P處時，APBP最小易知B與B點關于MN對稱，依題意AON60，則BONBON30，所以AOB90，AB.故PAPB的最小值為，故選D.【答案】D12如圖11所示，PT與O切于T，CT是O的直徑，PBA是割線，與O的交點是A，B，與直線CT的交點D，已知CD2，AD3，BD4，那么PB()圖11A10 B20C5D8【解析】根據(jù)相交弦定理，可得ADDBCDDT，342DT，解得DT6，圓的半徑r4，AB7，不妨設PBx，則PAx7，根據(jù)切割線定理，可得PT2PBPA，PT2x(x7)，在RtPTD中，DT2PT2PD2，36PT2(x4)2，36x(x7)(x4)2，解得x20.【答案】B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，請把答案填在題中橫線上)13如圖12所示，在圓O中，直徑AB與弦CD垂直，垂足為E，EFDB，垂足為F，若AB6，AE1，則DFDB_.圖12【解析】由題意知，AB6，AE1，BE5.CEDEDE2AEBE5.在RtDEB中，EFDB，由射影定理得DFDBDE25.【答案】514如圖13，在半徑為的O中，弦AB，CD相交于點P，PAPB2，PD1，則圓心O到弦CD的距離為_圖13【解析】由相交弦定理得PAPBPCPD.又PAPB2，PD1，則PC4，CDPCPD5.過O作CD的垂線OE交CD于E，則E為CD中點，OE.【答案】15.如圖14，ABC為圓的內接三角形，BD為圓的弦，且BDAC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F.若ABAC，AE6，BD5，則線段CF的長為_【導學號：07370051】圖14【解析】因為ABAC，所以ABCC.因為AE與圓相切，所以EABC.所以ABCEAB，所以AEBC.又因為ACDE，所以四邊形AEBC是平行四邊形由切割線定理可得AE2EBED，于是62EB(EB5)，所以EB4(負值舍去)，因此AC4，BC6.又因為AFCDFB，所以，解得CF.【答案】16(2016北京朝陽區(qū)檢測)如圖15，PC切圓O于點C，割線PAB經(jīng)過圓心O，PC4，PB8，則tanCOP_，OBC的面積是_圖15【解析】因為PC切圓O于點C，根據(jù)切割線定理即可得出PC2PAPB，所以428PA，解得PA2.設圓的半徑為R，則22R8，解得R3.在直角OCP中，tanCOP，sinCOP.所以sinBOCsinCOP.所以OBC的面積是R2sinBOC32.【答案】三、解答題(本大題共6小題，共70分解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)如圖16，AB是O的直徑，弦BD，CA的延長線相交于點E，EF垂直BA的延長線于點F.求證：(1)BEDEACCECE2；(2)E，F(xiàn)，C，B四點共圓圖16【證明】(1)連接CD，由圓周角性質可知ECDEBA.故ABECDE，BECEAEDE，BEDEACCECE2.(2)AB是O的直徑，所以ECB90，CDBE.EFBF，F(xiàn)DBE，E，F(xiàn)，C，B四點與點D等距，E，F(xiàn)，C，B四點共圓18(本小題滿分12分)(2016全國卷)如圖17，O中的中點為P，弦PC，PD分別交AB于E，F(xiàn)兩點圖17(1)若PFB2PCD，求PCD的大小；(2)若EC的垂直平分線與FD的垂直平分線交于點G，證明：OGCD.【解】(1)連接PB，BC，則BFDPBABPD，PCDPCBBCD.因為，所以PBAPCB.又BPDBCD，所以BFDPCD.又PFBBFD180，PFB2PCD，所以3PCD180，因此PCD60.(2)證明：因為PCDBFD，所以EFDPCD180，由此知C，D，F(xiàn)，E四點共圓，其圓心既在CE的垂直平分線上，又在DF的垂直平分線上，故G就是過C，D，F(xiàn)，E四點的圓的圓心，所以G在CD的垂直平分線上又O也在CD的垂直平分線上，因此OGCD.19(本小題滿分12分)如圖18，已知PE切O于點E，割線PBA交O于A，B兩點，APE的平分線和AE，BE分別交于點C，D.求證：圖18(1)CEDE；(2).【證明】(1)PE切O于點E，ABEP.PC平分APE，ACPABEPDPE.ECDACPA，EDCBEPDPE，ECDEDC，CEDE.(2)PDBEDC，EDCECD，PDBPCE，BPDEPC，PBDPEC，.同理PDEPCA，.DECE，.20(本小題滿分12分)如圖19，D，E分別為ABC邊AB，AC的中點，直線DE交ABC的外接圓于F，G兩點