如何通過數(shù)學(xué)教學(xué)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.doc

_摘要：如何通過數(shù)學(xué)教學(xué)鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？這就要求教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力。本文從八個方面論述了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)推理論證能力的方法。 關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)教學(xué)；推理論證能力；學(xué)生 著名哲學(xué)家加里寧曾說過：“數(shù)學(xué)是思維的體操”，此話說得非常精辟，因為數(shù)學(xué)無時無處不體現(xiàn)思維，那么，如何通過數(shù)學(xué)教學(xué)去鍛煉思維呢？這就要求我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中有意識地去培養(yǎng)學(xué)生的推理論證能力。從教至今，筆者認(rèn)為應(yīng)從以下幾方面著手： 一、激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣 興趣是人們力求認(rèn)識事物和探求知識的心理傾向，它能激發(fā)和引導(dǎo)人們在思想感情和意志上去探索各種事物的底蘊(yùn)，直接影響一個人工作效力和智力的發(fā)揮?？茖W(xué)研究表明：一個人做好感興趣的工作，他的全部才能可發(fā)揮80%以上；做不感興趣的工作，能力發(fā)揮20%，由此可見濃厚興趣的重要性。愛因斯坦曾經(jīng)說過：“興趣是最好的老師?！蹦敲丛跀?shù)學(xué)教學(xué)中，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣呢？筆者結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，介紹數(shù)學(xué)在現(xiàn)代化建設(shè)中的地位和作用，介紹學(xué)好數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的巨大作用，讓學(xué)生認(rèn)識到學(xué)好數(shù)學(xué)既是發(fā)展的需要，又是現(xiàn)實(shí)的需要。 為了能更好地激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，筆者從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)，從情感育人、理實(shí)結(jié)合、激發(fā)興趣等方面入手，做了一些有益的嘗試，取得了令人滿意的效果，現(xiàn)陳述如下： 1.注重師生交流，強(qiáng)調(diào)情感育人 如果教師不注意與學(xué)生的感情交流，動不動就批評、指責(zé)，會導(dǎo)致他們對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的徹底絕望，那怎樣才能增進(jìn)師生的感情交流呢？筆者認(rèn)為，應(yīng)著力做好兩個方面的工作：一是交心。在教學(xué)中應(yīng)該熱愛自己的學(xué)生，用愛心去教化他們，縮短師生間的距離，讓學(xué)生感到你是他們的朋友。教學(xué)中注意“輕、親、清”，即輕松愉快、感情親近、條理清晰，使學(xué)生感到輕松愉快，感情親切，使師生感情進(jìn)一步融洽。二是引領(lǐng)。良好的師生關(guān)系是一堂課的關(guān)鍵，一位學(xué)生喜歡教師走進(jìn)課堂，課堂氣氛就會活躍愉快，這就有利于學(xué)生獲得最大限度的進(jìn)步和發(fā)展，師生之間的友誼就會發(fā)生教學(xué)的積極反饋。反之則形成教學(xué)的消極反饋，降低效果。 2.理論聯(lián)系實(shí)際，注重直觀教學(xué) 數(shù)學(xué)多為抽象、枯燥的數(shù)字符號，學(xué)生學(xué)起來感覺無味，這也會影響學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。因而在教學(xué)中，教師應(yīng)該盡量將書本上的知識加以研究使之變?yōu)樯鷦佑腥さ膯栴}。教學(xué)中要放手引導(dǎo)學(xué)生高度參與教學(xué)活動，讓他們“夠一夠”后能品嘗到擷取知識“果實(shí)”的樂趣和獲得成功的愉快，通過多提問、板演、討論等多種方法向?qū)W生提供體驗這種愉快心情的機(jī)會。 3.講究授課技巧，激發(fā)學(xué)生興趣 數(shù)學(xué)是一門非常嚴(yán)謹(jǐn)而又邏輯性十分強(qiáng)的學(xué)科，然而它又是豐富多彩、生動形象的學(xué)科。教學(xué)中除應(yīng)注重其嚴(yán)謹(jǐn)性，掌握比較詳實(shí)的數(shù)學(xué)史料外，同時還要把握教材內(nèi)容和學(xué)生心理特點(diǎn)，將數(shù)學(xué)史料適時溶于教學(xué)中，用生動的事例及故事激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣。 二、明確推理論證的重要性 在小學(xué)階段學(xué)數(shù)學(xué)，由于自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和年齡限制，采取觀察、測量、實(shí)驗等方法，到了初中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)光有觀察是不夠的，因為從觀察得到的認(rèn)識是初步的，往往不全面、不深入。例如：我們在小學(xué)數(shù)學(xué)里觀察過一些三角形三個內(nèi)角的和，得到“三角形的三個內(nèi)角的和等于180”的結(jié)論，那么是不是所有的三角形都是這樣呢？為什么每個三角形三個角的和就必然是180呢？只用觀察的方法就不夠了，而要在觀察的基礎(chǔ)上，一步一步有理有據(jù)地說明理由，這就是推理，從而說明了推理的重要性。只有經(jīng)過推理才能使我們從觀察試驗得到的知識更全面、更深入，而且還可以進(jìn)一步得到新的知識。 三、樹立學(xué)生學(xué)好證明的信心 因為推理論證的過程就是證明，在初中一提到證明，學(xué)生就聯(lián)系到幾何，對于證明，學(xué)生感到不知所措，因為在小學(xué)數(shù)學(xué)中，接觸的是計算題、問答題，好像沒有證明題。在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，筆者首先告訴學(xué)生，別擔(dān)心，其實(shí)你們小學(xué)計算題中也包括證明。例如：計算+學(xué)生都知道等于，具體過程是，筆者接著問學(xué)生，為什么=，=，及呢？學(xué)生答出利用分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)和同分母分?jǐn)?shù)相加所得，既然你們能說出其中的理由，就說明了你們在小學(xué)已經(jīng)具有一定的推理論證能力。另外，告訴學(xué)生，證明題有時比計算題更具一定的方向性，因為計算題只有條件沒有結(jié)果，而證明題既有條件，又有結(jié)論，只不過要你說出如何從條件到結(jié)論的理由罷了新修訂的九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)課標(biāo)中明確指出，要重視發(fā)展學(xué)生的推理能力，從而發(fā)展數(shù)學(xué)思維，用數(shù)學(xué)思想來解決生活中的實(shí)際問題，讓學(xué)生切實(shí)體驗到數(shù)學(xué)推理在生活實(shí)際中的作用。本人認(rèn)為應(yīng)從以下幾方面來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。 第一， 把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)地融合在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中 學(xué)生能力的發(fā)展，決不等同于知識與技能的獲得，能力的形成是一個緩慢的過程，有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律，它不是學(xué)生“懂”了，也不是學(xué)生“會”了，而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等，這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動中才能得以進(jìn)行，數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)更是如此。因而數(shù)學(xué)教學(xué)必須給學(xué)生提供探索交流的空間，組織引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程。”并把推理能力的培養(yǎng)有機(jī)的融合在這樣的“過程”之中，任何試圖把推理能力“傳授”給學(xué)生，試圖把推理能力培養(yǎng)“畢其功于一役”的做法，都不可能取得好的效果。 第二， 把推理能力的培養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域之中 “數(shù)學(xué)代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個領(lǐng)域的課程內(nèi)容，都為發(fā)展學(xué)生的推理能力提供了豐富的素材。所以數(shù)學(xué)教學(xué)必須改變以往培養(yǎng)學(xué)生推理能力的“載體”單一化（幾何）的狀況，要為學(xué)生提供自主探索、合作交流的時間和空間：要設(shè)置現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生參與“過程”；要恰當(dāng)?shù)慕M織、指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，并真正鼓勵學(xué)生、尊重學(xué)生，與學(xué)生交流合作，就能拓寬學(xué)生推理能力的渠道，從而有效的發(fā)展學(xué)生的推理能力。 第三，通過學(xué)生熟悉的生活實(shí)例發(fā)展學(xué)生的推理能力 要想推進(jìn)學(xué)生推理能力更好的發(fā)展，除了學(xué)校教育外，還有很多活動能有效的發(fā)展學(xué)生的推理能力。例如，人們在日常生活中經(jīng)常需要作出判斷和推理，許多游戲活動中也蘊(yùn)涵著推理的思想，所以要進(jìn)一步拓寬發(fā)展學(xué)生推理能力的渠道，使學(xué)生感受到生活活動中有“推理”，養(yǎng)成善于觀察、勤于思考的習(xí)慣。例如：若每兩個人握一次手，則三個人共握幾次手？n個人共握多少次手呢？（通過合情推理探索規(guī)律）這與“由北京開往上海途中，?？?3個站（不包括北京、上海）這次列車共發(fā)多少種不同的車票呢？”這樣的問題有什么聯(lián)系呢？（類比）第四，推理能力的培養(yǎng)要注意層次性和差異性 標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識水平來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，所以，必須充分考慮學(xué)生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知水平，注意層次性。一般來說，操作、實(shí)驗、觀察、猜想等活動的難易程度容易把握，因此，合情推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。但體會證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力一定要堅持循序漸進(jìn)的原則，不要急于求成。另外，還要關(guān)注學(xué)生的差異，要給不同的學(xué)生提出不同層次的要求，克服“為了證明而證明”的盲目性，還要注意推理論證“量”的控制以及要求的適度。只有這樣才能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信數(shù)學(xué)推理可以分為：歸納推理、演繹推理、類比推理和合情推理。（一）歸納推理歸納是由個別到一般的推理，小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念法則，公式都是運(yùn)用歸納推理，從特殊事實(shí)得到一般原理，即通過一些學(xué)生熟知的個別生活實(shí)例或數(shù)學(xué)問題，再進(jìn)行觀察，比較、分析、綜合中歸納出一般結(jié)論。歸納推理必須以概括為基礎(chǔ)，也就是首先要把個別事物或現(xiàn)象歸之于一類事物或現(xiàn)象，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)行歸納推理。（二）演繹推理演繹推理又稱為論證推理，是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論 ( 包括定義、公理、定理等 ) ，按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，是從一般到特殊的推理，它是以某類事物的一般判斷為前提作出這類事物的個別、特殊事物判斷的推理方法。演繹推理以形式邏輯或論證邏輯為依據(jù)，它的過程正好與歸納推理的過程相反，它的前提與結(jié)論之間有著必然的聯(lián)系，只要前提是真的，推理是合乎邏輯的，就一定能得到正確的結(jié)論。一般來說，演繹推理的每一步都是可靠的、無可置辯的，因而可以用來肯定數(shù)學(xué)知識，建立嚴(yán)格的數(shù)學(xué)體系。所以，演繹推理可以作為數(shù)學(xué)中的一種嚴(yán)格的論證方法，即是對數(shù)學(xué)的合情推理中由歸納、類比所得結(jié)論的邏輯證明，包括證真和證偽 ( 舉反例 ) 。演繹推理的基本方式是三段論證法，即“大前提、小前提、結(jié)論”。演繹推理的正確與否取決于兩個前提的正確性，只有當(dāng)大前提和小前提都正確時，才能得到正確的結(jié)論。（三）類比推理類比推理是從特殊到特殊的推理，它根據(jù)兩個對象的某些屬性相同或相似，推出它們的其他屬性也可能相同或相似，是一種橫向思維。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，常常利用新舊知識間的某些相似處進(jìn)行類比推理，以學(xué)習(xí)新的知識。（四）合情推理合情推理又稱似真推理，是一種合乎情理，結(jié)論好像為真的推理，它是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論 ( 包括定義、公理、定理等 ) 、實(shí)驗和實(shí)踐的結(jié)果，以及個人的經(jīng)驗和直覺等推測某些結(jié)果的推理過程。那我們在具體教學(xué)中，該如何培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力呢？我結(jié)合平時教學(xué)中的一些例子談?wù)勛约捍譁\的想法。一、示范，教給學(xué)生正確的推理方法。小學(xué)生學(xué)習(xí)摹仿性大，如何推理、需要提出范例，然后才有可能讓學(xué)生學(xué)會推理。小學(xué)數(shù)學(xué)中不少數(shù)學(xué)結(jié)論的得出是運(yùn)用了歸納推理，教學(xué)時就要有意識地結(jié)合數(shù)學(xué)內(nèi)容為學(xué)生示范如何進(jìn)行正確的推理。例如，教加法交換律時，可按如下步驟進(jìn)行：（1）計算多組算式：7+ 3=10，3 +7=10，所以：7+3=3 +7還有：25 +75=75 +2518 +40=40+ 18125+ 875=875+ 125（2）觀察、分析，找出這些算式的共同點(diǎn)：左、右兩邊加數(shù)相同，位置不同，和不變。（3）歸納出加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變。進(jìn)而用字母a、b分別表示兩個不同的加數(shù)，概括出一般的表達(dá)式：a +b=b+ a。這三步體現(xiàn)了從特殊到一般的思維過程。在學(xué)生學(xué)習(xí)了加法交換律后，還要注意讓學(xué)生小結(jié)一下推理思路，以幫助學(xué)生領(lǐng)會如何運(yùn)用歸納推理來探討問題的。二、操作，引導(dǎo)學(xué)生參與推理全過程?，F(xiàn)代教育論強(qiáng)調(diào)“要讓學(xué)生做科學(xué)，而不是用耳朵去聽科學(xué)?！薄安僮鲗W(xué)具學(xué)數(shù)學(xué)”有利于學(xué)生有動作思維表象抽象思維。因此在教學(xué)中，要組織學(xué)生實(shí)踐操作，讓學(xué)生參與推理的全過程，引導(dǎo)學(xué)生的思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化，使學(xué)生從個別特殊的事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行歸納。例如：教學(xué)三角形內(nèi)角和，要求學(xué)生分別準(zhǔn)備若干個直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形紙板，引導(dǎo)學(xué)生動手把各個三角形的三個角折拼、剪拼在一起，并用量角器量各種操作結(jié)果，再引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析操作結(jié)果并進(jìn)行歸納。由于直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形是三角形的全部，所以根據(jù)完全歸納法得出結(jié)論：三角形內(nèi)角和是180度。在教學(xué)中注重實(shí)踐操作，讓學(xué)生參與推理的全過程，不僅是給學(xué)生關(guān)于“三角形內(nèi)角和”的準(zhǔn)確完整的答案，而更重要的是使學(xué)生懂得了準(zhǔn)確完整的答案的是怎樣獲得的，學(xué)生就會從中受到科學(xué)思維方式的訓(xùn)練。三、說理，養(yǎng)成學(xué)生推理有據(jù)的好習(xí)慣。語言是思維的外殼，組織數(shù)學(xué)語言的過程，也就是教會學(xué)生如何判斷推理的過程，而與語言最密不可分的是演繹推理，小學(xué)生解題時大多是不自覺運(yùn)用了演繹推理，因此在教學(xué)中必須通過追問為什么，要求學(xué)生會想、會說推理的依據(jù)，養(yǎng)成推理有據(jù)的良好習(xí)慣。例如：判斷9和10是不是互質(zhì)數(shù)時，一定要求學(xué)生這樣回答：公約數(shù)只有1的兩個數(shù)叫互質(zhì)數(shù)，因為9和10只有公約數(shù)1，所以9和10是互質(zhì)數(shù)。這樣運(yùn)用演繹推理方法，經(jīng)常進(jìn)行說理訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生的演繹推理能力。“解決問題”是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)提出的四個課程目標(biāo)之一，從我國的數(shù)學(xué)教育實(shí)際來看，它是一個既非常重要又新穎而較難把握的目標(biāo)。在“新思維教育中心”培訓(xùn)學(xué)習(xí)期間，通過張?zhí)煨⒌闹笇?dǎo)，本人對數(shù)學(xué)“解決問題策略”的教學(xué)有了初步的整體思考。寫成綱要是為了簡明扼要，因此只對“問題”、“解決問題的活動”、“解決問題的策略”、“教策略的方法”四個基本觀點(diǎn)作簡要說明，而不展開論述，也盡量不引用理論依據(jù)，有關(guān)理論依據(jù)我將另行整理并發(fā)出。1關(guān)于什么是數(shù)學(xué)“問題”對“問題”應(yīng)作兩方面理解：一是教學(xué)任務(wù)，二是學(xué)生的一種心理狀態(tài)。作為教學(xué)任務(wù)，它應(yīng)該融“知識與技能”、“數(shù)學(xué)思考”、“解決問題”、“情感態(tài)度”所有四個數(shù)學(xué)課程目標(biāo)為一體，但以“解決問題”為核心，知識與技能是用來解決問題的工具。其次“問題”又是學(xué)生的一種心理狀態(tài)，我姑且稱之為“問題心態(tài)”，即“心里有個讓自己迷惑不解又急于想破解的問題”的求知狀態(tài)和情緒狀態(tài)。這個激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的根本原因。在小學(xué)里運(yùn)用數(shù)學(xué)去解決的問題分為“純數(shù)學(xué)問題”和“應(yīng)用數(shù)學(xué)問題”兩大類。第一大類“純數(shù)學(xué)問題”的具體目的是學(xué)習(xí)新數(shù)學(xué)知識。比如小學(xué)生學(xué)完自然數(shù)加法之后學(xué)習(xí)減法、學(xué)完自然數(shù)四則運(yùn)算之后學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)知識、學(xué)完三角形和長方形基礎(chǔ)知識之后學(xué)習(xí)平行四邊形知識等等。解決純數(shù)學(xué)問題的教學(xué)，所設(shè)計的問題情境是否需要包含實(shí)際生活背景？不必一概而論：包含已學(xué)數(shù)學(xué)知識是必須的，而要不要包含實(shí)際生活背景則“有用就用、沒用就不用”。第二大類“應(yīng)用數(shù)學(xué)問題”的具體目的是學(xué)習(xí)應(yīng)用數(shù)學(xué)知識與方法解決非數(shù)學(xué)問題。比如科學(xué)、體育、藝術(shù)等課程學(xué)習(xí)中的問題甚至文科課程學(xué)習(xí)中的問題（數(shù)學(xué)家就曾運(yùn)用概率方法證明出靜靜的頓河的確是肖霍洛夫自己寫的）、日常生活中的問題以及勞動或科技活動中的問題。總之我們的眼界應(yīng)該放開，不要只把“問題”局限于實(shí)際生活，也不要只局限于課堂。而且對這一點(diǎn)的了解還會讓我們明白一個極重要的道理：既然純數(shù)學(xué)問題和應(yīng)用數(shù)學(xué)問題都是待解決的問題，那么數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程處處都會面臨問題，除開極少量的課時以外（或許沒有這樣的課時），幾乎每堂數(shù)學(xué)課都可以并應(yīng)該設(shè)計為“解決問題”的過程所以人教社小學(xué)數(shù)學(xué)編輯周小川教授指出：“課程標(biāo)準(zhǔn)要求解決問題的教學(xué)應(yīng)貫穿于數(shù)學(xué)課程的全部內(nèi)容中。”2解決問題中的問題與傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題有何區(qū)別根據(jù)以上分析，不難了解“問題”與“應(yīng)用題”的區(qū)別：首先，應(yīng)用題只屬于“問題”中的第二大類，所以不能以為教了應(yīng)用題就實(shí)現(xiàn)了“解決問題”這一課程目標(biāo)。其次，“應(yīng)用題屬于應(yīng)用數(shù)學(xué)問題”也只是表面上的且常常是虛假的：因為大量應(yīng)用題里的生活情景都是隨便虛擬的，如“小明如何、小亮如何”、“某工廠如何、某工程如何”等等，實(shí)際都“查無此人、查無此事”，假透了，對學(xué)生一點(diǎn)吸引力都沒有。除了這兩個區(qū)別之外，還有一個區(qū)別：傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)方法并不是在教“解決問題的策略”，而是傾心于歸納類型、背誦公式以應(yīng)付考試。3什么是數(shù)學(xué)解決問題解決問題是一種活動，是一種多要素、多環(huán)節(jié)的活動過程解決問題對教師來說是“教”的活動，對學(xué)生來說是“學(xué)”的活動，這兩方面的活動又相互協(xié)調(diào)合作構(gòu)成完整的“教學(xué)活動”，而活動就必然體現(xiàn)為一種過程。首先，解決問題活動的多要素性。解決問題活動既是個體活動又是群體交往活動，既要自主探究又要教師組織、指導(dǎo)，還要與同學(xué)合作、交流；其次，對學(xué)生個體而言，解決問題活動既是認(rèn)知活動又是情感活動和意志活動。其次，解決問題認(rèn)知活動過程的多環(huán)節(jié)性。一般來說，解決問題的認(rèn)知活動過程會包含五個環(huán)節(jié)：觀察問題情境搜集或抽象出情境中的數(shù)學(xué)信息（對明顯的數(shù)學(xué)信息是搜集，對不明顯的或隱藏的數(shù)學(xué)信息則需抽象出來）找到合適的數(shù)學(xué)方法并依據(jù)它整理這些數(shù)學(xué)信息最后把這些信息聯(lián)結(jié)起來建構(gòu)出能解決該問題的數(shù)學(xué)模型對這一數(shù)學(xué)模型進(jìn)行運(yùn)算與推理并得出結(jié)論回到問題情境檢驗所得結(jié)論。實(shí)際上解決問題不會一帆風(fēng)順，于是這一過程中的每一環(huán)節(jié)都可能需要回溯，或者需要數(shù)次循環(huán)這一過程。再次，解決問題過程中認(rèn)知活動的多種方式。（1）個體活動。感知、觀察、回憶、聯(lián)想、想象、猜測、分析、推理、運(yùn)算、反思、評估（2）交往活動。師生之間的交往活動：提問與回答、咨詢與指導(dǎo)、匯報與點(diǎn)評、示范與模仿、管理與服從學(xué)生之間的交往活動：競爭與協(xié)作、討論與交流、資源共享、自評與互評（3）可外顯的認(rèn)知活動與只能內(nèi)隱的認(rèn)知活動。不論是個體的還是交往的認(rèn)知活動，從另一個角度來看又可分成“可外顯的”和“只能內(nèi)隱的”兩類。4解決問題的基本策略是什么解決問題的主體是學(xué)生而不是教師，因此學(xué)生所運(yùn)用的解決問題的策略十分重要。數(shù)學(xué)解決問題策略包含三個層次：數(shù)學(xué)基本思想方法、解題方法或解題技巧以及介于這兩者之間的“策略”本身。任何“策略”根本上都來源于數(shù)學(xué)基本思想方法（它包括量化方法、邏輯化方法、化歸方法和結(jié)構(gòu)化方法），策略不能違背數(shù)學(xué)基本思想方法。具體的解題方法或解題技巧則是微觀的、工具性的。問題解決策略是學(xué)習(xí)某一項數(shù)學(xué)內(nèi)容時所該運(yùn)用的“問題解決過程的計劃和整體思路”，在實(shí)施這一策略的過程中會用到若干個不同的解題方法或解題技巧。例如，讓學(xué)生自主探究解決“平行四邊形的面積”這一問題，該指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用怎樣的策略呢？策略是“把平行四邊形分割為學(xué)過的長方形與三角形”。這一中觀策略的宏觀依據(jù)是數(shù)學(xué)基本思想方法之一的“化歸思想方法”（把復(fù)合圖形化歸為基本圖形），但在具體的問題解決過程中，學(xué)生應(yīng)該會運(yùn)用“作底邊的高”、“求矩形面積”、“說明兩個分割出的三角形等積”以及“求直角三角形面積”等微觀的解題方法或解題技巧。不止于此，還要會觀察平行四邊形與已學(xué)基本圖形的差別和聯(lián)系、會搜尋已學(xué)基本圖形求面積的方法、會持續(xù)監(jiān)督與評價自己的思考和計算過程不至于犯錯誤這些都是策略的必要組成要素。解決應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的總策略是“建?！薄Ｕ莆账鼧O為重要，甚至可以說數(shù)學(xué)建模能力是中小學(xué)數(shù)學(xué)教育的核心能力目標(biāo)。運(yùn)用數(shù)學(xué)建模策略是一個過程，基本上分成三步：第一步，“數(shù)學(xué)化觀察”。仔細(xì)觀察、分析要解決的應(yīng)用問題，提取其中的數(shù)學(xué)信息或?qū)⒛承┓菙?shù)學(xué)信息抽象轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)信息。我們忽略真實(shí)鐵路的彎曲和火車的變速，抽象出勻速直線運(yùn)動作為兩輛火車的運(yùn)動狀態(tài)，提取出它們各自的出發(fā)時刻、速度、相隔距離等數(shù)據(jù)。完成這一步的具體方法與技巧可以是記錄、列表、畫圖、記在心里等等。此時主要運(yùn)用了“量化思想方法”。第二步，“建?！?。從頭腦里提取記憶信息，尋找學(xué)過的數(shù)學(xué)模型（包括數(shù)學(xué)的概念、原理、公式、方法、圖像等等都是數(shù)學(xué)模型），看其中的哪一個可以用來把上一步所提取的數(shù)學(xué)信息聯(lián)結(jié)起來組織成一個整體結(jié)構(gòu)。此時主要運(yùn)用了“結(jié)構(gòu)化思想方法”（因為任一個數(shù)學(xué)模型都是一種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，數(shù)學(xué)主要是研究某一結(jié)構(gòu)中各要素之間的關(guān)系，比如加法關(guān)系、乘法關(guān)系、函數(shù)關(guān)系等等）和“邏輯化思想方法”（因為思考過程中必須運(yùn)用邏輯推理）。不同學(xué)生所建的?？梢允菐缀文Ｐ停ㄟ\(yùn)動軌跡圖形）、算術(shù)模型或代數(shù)模型（如方程）等等中的某一個。第三步，“解?！保催\(yùn)用所建之模通過推理與計算得出所需的結(jié)果，具體方法與技巧可以是圖形分析、列綜合算式計算或解方程中的某一種。上述只是抽象的理論，老師們可以結(jié)合各類應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的思考過程去具體體會。5怎樣進(jìn)行解決問題策略的教學(xué)這是一個很大的、尚待細(xì)致研究的課題，我能說的想法不多，只提出后面的兩個注意事項。（1）教“策略”應(yīng)既重“言教”又重“身教”。不論解決學(xué)習(xí)、生活、工作中的哪種問題，策略都不是言教一種方式就可以教好的，離不開身教，甚至有時身教比言教更重要。原因在前文已經(jīng)提過：解決問題的活動很重要的包含著“內(nèi)隱性活動”，在這種活動中所運(yùn)用的知識多半是“隱性知識”，具體來說它們屬于“經(jīng)驗、直覺、感受、體驗、領(lǐng)悟、洞察”之類的知識，而區(qū)別于“語言、概念、判斷、推理”之類的“顯性知識”。也就是說，關(guān)于策略的知識是“顯性知識”與“隱性知識”的綜合體。策略知識中的顯性部分可以用“教授”即“言教”的方式傳遞，比如“講知識、講方法、講策略”等等。但這需要一個條件：你所講的東西必須是能用語言或圖象或符號來明白顯示的，所以能講授的策略知識只是其“顯性知識”的那一部分。而策略“隱性知識”那一部分就不能靠講授來傳遞了，因為它“只可意會、難以言傳”。隱性知識的部分只能靠學(xué)生自己經(jīng)歷模仿、感悟、體驗、實(shí)踐操作的長過程生成并積累，而且在這一過程中錯誤與失敗、正確與成功具有同等的價值，缺一不可。比如，在數(shù)學(xué)教學(xué)中常常提到“數(shù)感”、“符號感”、“空間感”等等，它們是構(gòu)成數(shù)學(xué)解決問題策略的重要基礎(chǔ)，離開了它們根本無法從問題情境中提取有效的數(shù)學(xué)信息。但這些東西本質(zhì)上是隱性存在的學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)時時要運(yùn)用它們，卻意識不到它們的存在，它們就是策略中的隱性知識。又比如，解決問題的經(jīng)驗、解決問題方式的個性化傾向或風(fēng)格等等，基本上也是隱性知識，運(yùn)用之際并沒有意識到它們的存在。但這兩種隱性知識在數(shù)學(xué)解決問題的每個環(huán)節(jié)都必不可少通過觀察收獲數(shù)學(xué)信息也好，搜索和選定合適的策略、選擇和應(yīng)用某些解題方法或解題技巧也好，完成運(yùn)算或推理并評價自己工作的效果與效率也好，沒有了“數(shù)感、符號感、空間感”能行嗎，沒有了實(shí)踐經(jīng)驗和對自己有效的風(fēng)格能行嗎？而形成和積累上面說的這些數(shù)學(xué)策略的隱性知識，靠講授是做不到的，它“說不清、道不明”，只能靠學(xué)生自己長期去模仿、練習(xí)、感悟、體驗，教師能發(fā)揮的作用則是示范也就是“身教”。教師實(shí)施身教時，要讓學(xué)生們看到老師自己也在經(jīng)常用數(shù)學(xué)去解決各類問題，而且善于選擇和使用合適的策略；課堂上不要急于用言語去“指揮”或“引導(dǎo)”，而要讓學(xué)生經(jīng)歷探索、爭論、反思，共同分享苦惱、挫折、頓悟、喜悅的過程。（2）要注意解決問題策略的選擇存在學(xué)生的個性傾向性。由于學(xué)生之間存在性格、氣質(zhì)、知識儲備、興趣愛好、智能結(jié)構(gòu)等方面的差異，他們對解決問題策略的選擇肯定會存在個性傾向的差異。對此我們應(yīng)該注意三點(diǎn)：尊重學(xué)生差異。盡量使每個問題能“一題多解”，讓每個學(xué)生都有展示自己能力并獲得成功的機(jī)會。引導(dǎo)學(xué)生追求解決問題策略的最優(yōu)化。一般來說，解決某類問題會有最優(yōu)化的策略，我們應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生比較不同策略的優(yōu)劣，克服自己的思維定勢，以求得解決問題能力的最大提高。允許學(xué)生保留自己的個性傾向，第一因為最優(yōu)化畢竟是相對的，對張三最優(yōu)化的對李四不一定是最優(yōu)化的；第二因為即使是普遍最優(yōu)化的，也應(yīng)該諒解學(xué)生需要一段時間來克服自己的思維定勢。 我教過小學(xué)也教過初中，教過初一也教過初二和初三，教過快班也教過慢班，通過多年來的教學(xué)實(shí)踐和認(rèn)真反思，本人認(rèn)為應(yīng)從以下幾方面來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力。 第一， 把推理能力的培養(yǎng)落實(shí)在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中 學(xué)生能力的發(fā)展，決不等同于知識與技能的獲得，能力的形成是一個緩慢的過程，有其自身的特點(diǎn)和規(guī)律，它不是學(xué)生“懂”了，也不是學(xué)生“會”了，而是學(xué)生自己“悟”出了道理、規(guī)律和思考方法等，這種“悟”只有在數(shù)學(xué)活動中才能得以進(jìn)行，數(shù)學(xué)推理能力的培養(yǎng)更是如此。因而數(shù)學(xué)教學(xué)必須給學(xué)生提供探索交流的空間，組織引導(dǎo)學(xué)生“經(jīng)歷觀察、實(shí)驗、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動過程?！辈淹评砟芰Φ呐囵B(yǎng)有機(jī)的融合在這樣的“過程”之中，任何試圖把推理能力“傳授”給學(xué)生，試圖把推理能力培養(yǎng)“畢其功于一役”的做法，都不可能取得好的效果。 第二， 把推理能力的培養(yǎng)落實(shí)到數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的四個學(xué)習(xí)領(lǐng)域之中 “數(shù)學(xué)代數(shù)”、“空間與圖形”、“統(tǒng)計與概率”、“實(shí)踐與綜合應(yīng)用”四個領(lǐng)域的課程內(nèi)容，都為發(fā)展學(xué)生的推理能力提供了豐富的素材。所以數(shù)學(xué)教學(xué)必須改變以往培養(yǎng)學(xué)生推理能力的“載體”單一化（幾何）的狀況，要為學(xué)生提供自主探索、合作交流的時間和空間：要設(shè)置現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的問題，引導(dǎo)學(xué)生參與“過程”；要恰當(dāng)?shù)慕M織、指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)活動，并真正鼓勵學(xué)生、尊重學(xué)生，與學(xué)生交流合作，就能拓寬學(xué)生推理能力的渠道，從而有效的發(fā)展學(xué)生的推理能力。 第三，通過學(xué)生熟悉的生活實(shí)例發(fā)展學(xué)生的推理能力 要想推進(jìn)學(xué)生推理能力更好的發(fā)展，除了學(xué)校教育外，還有很多活動能有效的發(fā)展學(xué)生的推理能力。例如，人們在日常生活中經(jīng)常需要作出判斷和推理，許多游戲活動中也蘊(yùn)涵著推理的思想，所以要進(jìn)一步拓寬發(fā)展學(xué)生推理能力的渠道，使學(xué)生感受到生活活動中有“推理”，養(yǎng)成善于觀察、勤于思考的習(xí)慣。例如：若每兩個人握一次手，則三個人共握幾次手？n個人共握多少次手呢？（通過合情推理探索規(guī)律）這與“由北京開往上海途中，停靠23個站（不包括北京、上海）這次列車共發(fā)多少種不同的車票呢？”這樣的問題有什么聯(lián)系呢？（類比） 第四，推理能力的培養(yǎng)要注意層次性和差異性 標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，從學(xué)生的生活經(jīng)驗和已有的知識水平來培養(yǎng)學(xué)生的推理能力，所以，必須充分考慮學(xué)生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知水平，注意層次性。一般來說，操作、實(shí)驗、觀察、猜想等活動的難易程度容易把握，因此，合情推理能力的培養(yǎng)應(yīng)貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。但體會證明的必要性，發(fā)展初步的演繹推理能力一定要堅持循序漸進(jìn)的原則，不要急于求成。另外，還要關(guān)注學(xué)生的差異，要給不同的學(xué)生提出不同層次的要求，克服“為了證明而證明”的盲目性，還要注意推理論證“量”的控制以及要求的適度。只有這樣才能激發(fā)學(xué)生的求知欲望，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心推理能力的培養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程的核心目標(biāo)之一.推理能力主要包括演繹推理和合情推理二種.而推理能力的培養(yǎng)途徑是多方面的,它不僅可以通過幾何的教學(xué)來實(shí)踐,在代數(shù)、統(tǒng)計等領(lǐng)域也可進(jìn)行推理的訓(xùn)練.在培養(yǎng)學(xué)生推理能力的過程中,要注重學(xué)生通過觀察、實(shí)驗、歸納、類比獲得猜想的能力;尋求證據(jù),給出證明或舉出反例的能力;以及有條理表達(dá)自己思考過程的能力和用數(shù)學(xué)語言合乎邏輯地進(jìn)行討論和質(zhì)疑的能力一個具有推理能力的人,無論遇到什么事情,都會自覺地尋求并弄清事情發(fā)生的本源,講道理,判明是非,從而采取公正、合理的措施來解決問題。具有較強(qiáng)的推理能力對學(xué)生成長以及智力發(fā)展都起著加速和促進(jìn)的作用,使其能夠應(yīng)對如今社會中大量紛繁復(fù)雜的信息,并對其進(jìn)行篩選,理出頭緒,。首先探討了推理、數(shù)學(xué)推理的基本概念,介紹了智能教育平臺的功能及作用,接著探討了利用智能教育平臺促進(jìn)中學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力提高的三段式教學(xué)策略,并在最后探討了利用三段式教學(xué)策略進(jìn)行數(shù)學(xué)推理能力培養(yǎng)的基本流程近些天通過網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)了小學(xué)數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力的教學(xué)策略，這一專題從專家和一線教師的視角對“如何在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生推理能力策略”進(jìn)行了深入的剖析，通過學(xué)習(xí)，我們基本了解了小學(xué)生數(shù)學(xué)推理的特點(diǎn)及規(guī)律，對于如何培養(yǎng)小學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力是我們教學(xué)和研究的重點(diǎn)?，F(xiàn)對培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的具體措施總結(jié)以下幾點(diǎn)。 （一）、觀察比較在知識學(xué)習(xí)過程中逐漸培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，數(shù)學(xué)知識是一個系統(tǒng)化的邏輯體系，而推理則是抽象邏輯思維的基礎(chǔ)。在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中，幾乎大部分定律、性質(zhì)、法則是由歸納推理得出的。根據(jù)特殊的前提作出一般性結(jié)論。在教學(xué)中，根據(jù)教材引導(dǎo)學(xué)生對這類結(jié)論的形成過程進(jìn)行歸納總結(jié)應(yīng)該循序漸進(jìn)。中年級學(xué)生對歸納推理積累了一些經(jīng)驗?？梢栽囍?dú)自進(jìn)行歸納。 （二）、做猜想 在初期，可以經(jīng)常要求觀察一些式子及它們之間的聯(lián)系。鼓勵學(xué)生從個別的例子出發(fā)提出他們的猜想。在這個過程中，他們可以自行設(shè)計適合一般性的證明。他們可以從一些簡單的問題出發(fā)，運(yùn)用概括和推理，得出更一般更抽象的結(jié)論。 （三）、創(chuàng)設(shè)情境，給學(xué)生提供足夠的思維材料 根據(jù)學(xué)生和所學(xué)知識內(nèi)容的特點(diǎn)，教師可以創(chuàng)設(shè)各種各樣不同的學(xué)習(xí)情境來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)推理能力。選取一定數(shù)量的具有代表性的個例、特例進(jìn)行集中而形成學(xué)習(xí)的情境。人們認(rèn)識事物一般是通過認(rèn)識具體的、個別的對象或現(xiàn)象開始的。因此，學(xué)生會對情境中的個例、特例進(jìn)行觀察、分析，經(jīng)驗性地憑借不完全歸納的方法進(jìn)行推理，從特殊性的前提推出一般性的結(jié)論并能運(yùn)用演繹推理進(jìn)行一定的檢驗證明。數(shù)學(xué)源于生活，又高于生活，所以要從學(xué)生的生活經(jīng)驗或已有的知識基礎(chǔ)出發(fā)，可以創(chuàng)設(shè)以學(xué)生熟悉的生活事例或現(xiàn)象為背景的一種學(xué)習(xí)情境，即生活情境，便于學(xué)生動手實(shí)踐、自主探索和合作交流。并讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)的思維方法觀察、分析現(xiàn)實(shí)生活，對結(jié)果作出符合生活實(shí)際和客觀規(guī)律的預(yù)測，體會數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系和數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值。學(xué)生借助具體的生活情境，經(jīng)歷觀察、猜想、證明等數(shù)學(xué)活動，合理地闡述自己的觀點(diǎn)，提高他們的數(shù)學(xué)推理能力。 （四）、加強(qiáng)學(xué)生的空間思維能力的訓(xùn)練 新課標(biāo)中規(guī)定了： 掌握空間與圖形的基礎(chǔ)知識和基本技能，并能解決簡單的問題。對空間思維能力的訓(xùn)練也是小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個重要部分。對于學(xué)生空間思維能力的訓(xùn)練對于他們推理能力的鍛煉也起到了巨大的推動作用，空間思維是一種抽象程度更高的思維能力，需要學(xué)生更高的思維水平，對小學(xué)生進(jìn)行空間思維訓(xùn)練，能夠促進(jìn)其抽象思維水平的發(fā)展，從而有利于邏輯推理能力的發(fā)展，使他們具有更高的推理能力。 （五）、自主探究，養(yǎng)成良好的思維 教學(xué)觀強(qiáng)調(diào)重視學(xué)生的自主探究過程，通過學(xué)生自主探索，動手，動腦，養(yǎng)成學(xué)生良好的學(xué)習(xí)和思維習(xí)慣。使學(xué)生不僅在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，而且在日常生活中，遇到問題都要運(yùn)用已有的知識、經(jīng)驗進(jìn)行推理，不盲目的地下結(jié)論，形成實(shí)事求是的態(tài)度，養(yǎng)成進(jìn)行質(zhì)疑和獨(dú)立思考的習(xí)慣。因此，教學(xué)中課題學(xué)習(xí)不應(yīng)該設(shè)計得太死。教學(xué)步驟嚴(yán)謹(jǐn)、指導(dǎo)細(xì)致，雖然便于操作，但學(xué)生的活動及思維會受到一定的限制，不利于學(xué)生思維的發(fā)展及個性品質(zhì)的形成?；诖?，新課改倡導(dǎo)發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)、研究性學(xué)習(xí)，關(guān)注學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中獲得的體驗和個性化的創(chuàng)造性表現(xiàn)，使學(xué)生通過推理體驗數(shù)學(xué)活動充滿著探索與創(chuàng)造感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性。 （六）、重視學(xué)生數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力的培養(yǎng) 思維能力與數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力有密切關(guān)系。學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)意識和數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力有助于學(xué)生推理能力的提高。 數(shù)學(xué)意識包括對數(shù)學(xué)的敏感程度，數(shù)感，對數(shù)學(xué)信息的捕捉等方面，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)意識，能促進(jìn)學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)行為和習(xí)慣，促進(jìn)其數(shù)學(xué)能力的提高，其中就包括數(shù)學(xué)推理能力的發(fā)展。 數(shù)學(xué)語言包括書面語言和口頭語言，數(shù)學(xué)符號、圖例等是數(shù)學(xué)書面語言，大、小、加、減、倍、商等是口頭語言。數(shù)學(xué)語言具有準(zhǔn)確、簡練、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)奶攸c(diǎn)，在培養(yǎng)學(xué)生的推理能力時，必須訓(xùn)練數(shù)學(xué)語言的表達(dá)。分不同年級進(jìn)行不同要求的語言練習(xí)，如在小學(xué)低年級要求學(xué)生先想后說，能用完整的句子進(jìn)行表述。培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和運(yùn)用過程中能與他人交流思維和數(shù)學(xué)思想，在解決問題的活動過程中發(fā)展學(xué)生的思考與交流能力。 從數(shù)學(xué)的發(fā)展過程我們知道，推理始于對具體問題或具體素材的觀察、實(shí)驗、合情推理，但從不滿足于也不停留于觀察、試驗、直觀活動，而總是在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步通過比較分析綜合概括，去揭示事物本質(zhì)，進(jìn)行逐級抽象，不斷用新的數(shù)學(xué)思想方法去處理和解決問題；它從不滿足于特殊情況的結(jié)果，而總是通過歸納、類比去探索、研究各種對象的本質(zhì)特征，解釋一類事物的一般規(guī)律，給出解決問題的一般方法；也不不滿足于局