淺談分塊矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用.doc

淺談分塊矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用 摘要：本文主要談及分快矩陣的思想在線性代數(shù)的證明。解線性方程組，矩陣得知逆及矩陣的逆，和初等變換中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：分塊矩陣；線性方程組；矩陣的秩及矩陣的逆；初等變換On the nature of block matrix and its applicationAbstract: this thesis uses the blocking matrix method into proving and applying the linear algebra, tries to solve the linear equations, and the proof of other relative matrix rank and elementary matrix. Key words: Block matrix; Linear algebra; rank of matrix; elementary matrix.前言：矩陣得分快是處理問(wèn)題的一重要方法，把一個(gè)告誡矩陣分成若干個(gè)地界矩陣，在運(yùn)算中把低階矩陣當(dāng)作數(shù)一樣處理，這樣高階矩陣就化作低階矩陣，長(zhǎng)能使我們迅速接近問(wèn)題的本質(zhì)，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的，使解題更簡(jiǎn)潔，思路更開(kāi)闊，因此本文主要談及分塊矩陣再求行列式的值，解線性方程組，求矩陣的秩及逆等方面的應(yīng)用。1. 預(yù)備知識(shí)：1.1分塊矩陣的定義：將分塊矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣，每一個(gè)小矩陣稱為 A的子塊，一子塊為元素的形式上的矩陣成為分塊矩陣。1.2分塊矩陣的運(yùn)算：1.2.1分塊矩陣的加法：設(shè)分塊矩陣 A與 B的行數(shù)相同，列數(shù)相同，采用相同的得分塊法，有A=，其中與的行數(shù)相同，列數(shù)相同，那么A+B=1.2.2分塊矩陣與數(shù)的乘法：A=,1.2.3設(shè)A為矩陣，B為矩陣，分塊成 其中，的列數(shù)分別等于，的行數(shù)，那么，其中(i=1s；j=1，r)1.2.4設(shè)，則2. 分塊矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用：2.1 分塊矩陣的性質(zhì)：設(shè)A為n階矩陣，若A的分塊矩陣只有在對(duì)角線上有非零子塊，其余子塊都為零矩陣，且在對(duì)角線上的子塊都是方陣，即A=，其中（i=1，2，s）都是方陣，那么稱A為分塊對(duì)角矩陣，分塊矩陣的行列式一般據(jù)有下列性質(zhì)，由此性質(zhì)可知，若0()則，并有例：設(shè)A= 求解：=，其中，所以2.2 將分塊矩陣與初等變換結(jié)合在矩陣運(yùn)算及球逆矩陣中具有重要作用：現(xiàn)將某個(gè)單位矩陣如下進(jìn)行分塊：對(duì)其進(jìn)行行（列）對(duì)換等作用，可得到如下類型一些矩陣：用這些矩陣左乘或右乘任一個(gè)分塊矩陣，只要分塊乘法能夠進(jìn)行，其結(jié)果就是對(duì)它進(jìn)行相應(yīng)的變換，如，適當(dāng)選擇P可使=0，例如A可逆時(shí)，選則，于是上式的右端可成為，其在求逆矩陣方面是非常有用的，例1：，A D可逆，求解：由及易知=例2：，設(shè)可逆，D可逆，試證存在，并求解：由，而又端仍可逆故存在再由上題例1可知=23分塊矩陣在證明關(guān)于矩陣乘積的秩的定理中的作用：例：設(shè)A是數(shù)域P上矩陣，B是數(shù)域P上矩陣，于是秩（）秩（），秩（），即乘積的秩不超過(guò)各因子的秩證明：只需證明秩秩，同時(shí)秩秩，分別證明這兩個(gè)不等式設(shè)，令表示的行向量（即對(duì)進(jìn)行分塊）表示AB的行向量，由計(jì)算可知，的第個(gè)分量和的第的分量都等于，因而即矩陣的行向量組可經(jīng)由B的行向量組線性表示出所以的秩不能超過(guò)B的秩，即秩秩同樣，令表示的列向量，表示的列向量，由計(jì)算可知，這個(gè)式子表明，矩陣的列向量組可由矩陣的列向量組線性表示出，因而前者的秩不僅可能超過(guò)后者的秩，這就是說(shuō)秩秩（注：在此證明中用分塊矩陣的方法，即這就是的一種分塊，按分塊相乘就有很容易看出的行向量是的行向量的線性組合）.分塊矩陣在線性方程組方面的應(yīng)用對(duì)于線性方程組記，為系數(shù)矩陣，為未知向量，為常數(shù)項(xiàng)向量，為增廣矩陣按分塊矩陣記法可記為或此方程也可記為，把系數(shù)矩陣按行分成塊，則可記做 把系數(shù)矩陣按列分成塊，則與相乘的對(duì)應(yīng)按行分成塊，記作 ，即，其都為線性方程組的各種變形形式，在求解過(guò)程中變形以更方便快捷例：利用分塊矩陣證明克拉默法則：對(duì)于個(gè)變量個(gè)方程線性方程組如果他的系數(shù)行列式，則它有唯一解，即證明把方程組改寫(xiě)成矩陣方程，這里為階矩陣，因，故存在，令，有表明是方程組的解向量，由 ，有 ，即，根據(jù)逆矩陣的唯一性，知是方程的唯一解向量，由逆矩陣公式，有即即結(jié)束語(yǔ)：矩陣得分快不算是