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第12章二叉樹模型介紹 1 2 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)12 2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 3 二項(xiàng)式期權(quán)定價(jià)模型 要對(duì)期權(quán)進(jìn)行定價(jià) 我們需要知道標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格如何變動(dòng)簡(jiǎn)單但非常有力的一個(gè)模型是二項(xiàng)式模型 在每個(gè) 很短 的時(shí)間間隔期末 股票價(jià)格只能有兩個(gè)可能的取值 當(dāng)時(shí)間間隔足夠短 這是很好的近似 有利于解釋期權(quán)定價(jià)模型背后所包含的原理 可以用于對(duì)象美式期權(quán)這樣的衍生證券進(jìn)行定價(jià) 4 把期權(quán)的有效期分為很多很小的時(shí)間間隔 并假設(shè)在每一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)證券價(jià)格只有兩種運(yùn)動(dòng)的可能 1 從開始的上升到原先的倍 即到達(dá) 2 下降到原先的倍 即相應(yīng)地 期權(quán)價(jià)值也會(huì)有所不同 分別為和 5 相同期限下步長(zhǎng)越小 精確度越高 5 二叉樹模型的思想實(shí)際上是在用大量離散的小幅度二值運(yùn)動(dòng)來模擬連續(xù)的資產(chǎn)價(jià)格運(yùn)動(dòng) 6 此時(shí) 因?yàn)槭菬o風(fēng)險(xiǎn)組合 可用無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn) 得 將代入上式就可得到 其中 6 無套利定價(jià)法 構(gòu)造投資組合包括份股票多頭和1份看漲期權(quán)空頭當(dāng)時(shí) 股票價(jià)格的變動(dòng)對(duì)組合無影響則組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合 7 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)12 2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 8 假設(shè)一種股票當(dāng)前價(jià)格為 20 三個(gè)月后的價(jià)格將可能為 22或 18 假設(shè)股票三個(gè)月內(nèi)不付紅利 歐式看漲期權(quán)執(zhí)行價(jià)格 21 有效期為三個(gè)月后以買入股票的進(jìn)行估值 9 單步二叉樹模型 10 定價(jià)思路 構(gòu)造一個(gè)股票和期權(quán)的組合 使得在三個(gè)月末該組合的價(jià)值是確定的 它的收益率一定等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率 由此得出該期權(quán)的價(jià)格 構(gòu)造組合 該組合包含一個(gè) 股股票多頭頭寸和一個(gè)看漲期權(quán)的空頭頭寸 11 上升時(shí) 股票價(jià)格從 20上升到 22 期權(quán)的價(jià)值為 l 該證券組合的總價(jià)值為22 1 下降時(shí) 股票價(jià)格從 20下降到 18 期權(quán)的價(jià)值為零 該證券組合的總價(jià)值為18 如果選取某個(gè) 值 以使得該組合的終值對(duì)兩個(gè)股票價(jià)格都是相等的 則該組合就是無風(fēng)險(xiǎn)的 22 1 18 0 25 12 一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)的組合是 多頭 0 25股股票空頭 一個(gè)期權(quán)定價(jià) 如果股票價(jià)格上升到 22 該組合的價(jià)值為 22 0 25 1 4 5如果股票價(jià)格下跌到 18 該組合的價(jià)值為 18 0 25 4 5無論股票價(jià)格是上升還是下降 在期權(quán)有效期的末尾 該組合的價(jià)值總是 4 5 13 在無套利均衡的情況下 無風(fēng)險(xiǎn)證券組合的盈利必定為無風(fēng)險(xiǎn)利率 假設(shè)在這種情況下 無風(fēng)險(xiǎn)利率為年率12 該組合現(xiàn)在價(jià)值一定是 4 5的現(xiàn)值 即 4 5e 0 12 0 25 4 3674股票現(xiàn)在的價(jià)格已知為 20 假設(shè)期權(quán)的價(jià)格由f來表示 現(xiàn)在該組合的價(jià)值 20 0 25 f 5 f 4 3674即f 0 633 14 偏離均衡價(jià)格時(shí)的套利 如果期權(quán)的價(jià)值超過了 0 633 構(gòu)造該組合的成本就有可能低于 4 367 并將獲得超過無風(fēng)險(xiǎn)利率的額外收益 如果期權(quán)的價(jià)值低于 0 633 那么賣空該證券組合將獲得低于無風(fēng)險(xiǎn)利率的資金 15 單步二叉樹的一般結(jié)論 假設(shè) 期權(quán)的期限為T U 1 d 1股票上漲的比率為u 1股票下跌的比率為1 du d 2 16 組合 股股票多頭期權(quán)空頭當(dāng)股票上升 有效期末組合價(jià)值S0u fu當(dāng)股票下降 有效期末組合價(jià)值S0d fd得S0u fu S0d fd 17 T0成本S0 f組合現(xiàn)值得得 18 已知u 1 1 d 0 9 r 0 12 T 0 25 fu 1 fd 0 19 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)12 2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 20 風(fēng)險(xiǎn)中性 上述期權(quán)定價(jià)是根據(jù)標(biāo)的股票的價(jià)格估計(jì)期權(quán)的價(jià)值 未來上升和下降的概率已包括在股票價(jià)格中 說明 當(dāng)根據(jù)股票的價(jià)格為期權(quán)定價(jià)時(shí) 不需要股票價(jià)格上升和下降的概率 21 E f pfu 1 p fd 期權(quán)的預(yù)期收益根據(jù)p的解釋 p是上升的概率 1 p 下降的概率得 f的價(jià)值是其未來預(yù)期收益按照無風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)值 22 風(fēng)險(xiǎn)中性 變量p解釋為股票價(jià)格上升的概率 于是變量1 p 就是股票價(jià)格下降的概率 在T時(shí)刻預(yù)期的股票價(jià)格ST E ST pS0u 1 p S0d即E ST pS0 u d S0d 將代入上式 化簡(jiǎn)得 E ST S0erT即 平均來說 股票價(jià)格以無風(fēng)險(xiǎn)利率增長(zhǎng) 因此 設(shè)定上升運(yùn)動(dòng)的概率等于p就是等價(jià)于假設(shè)股票收益等于無風(fēng)險(xiǎn)利率 23 風(fēng)險(xiǎn)中性的例子 S0 20S0u 22 S0d 18K 21fu 1 fd 0r 0 12 T 0 25 E f pfu 1 p fd 24 12 2 用單步二叉樹圖說明無套利和風(fēng)險(xiǎn)中性估值方法如何為歐式期權(quán)估值解 在無套利方法中 我們通過期權(quán)及股票建立無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組合 使組合收益率等價(jià)于無風(fēng)險(xiǎn)利率 從而對(duì)期權(quán)估值 在風(fēng)險(xiǎn)中性估值方法中 我們選取二叉樹概率 以使股票的期望收益率等價(jià)于無風(fēng)險(xiǎn)利率 而后通過計(jì)算期權(quán)的期望收益并以無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)得到期權(quán)價(jià)值 25 12 4 某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為 50 已知6個(gè)月后將為 45或 55 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10 連續(xù)復(fù)利 執(zhí)行價(jià)格為 50 6個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少 f 50 26 16所以 f 50 0 5 26 16 1 16 看跌期權(quán)的價(jià)值f 0 0 7564 5 0 2436 e 0 1 0 5 1 16 26 12 16 某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為 50 已知在6個(gè)月后 股價(jià)將變?yōu)?60或 42 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為12 連續(xù)復(fù)利 計(jì)算執(zhí)行價(jià)格為 48 有效期為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少 證明無套利原理和風(fēng)險(xiǎn)中性估價(jià)原理得出相同的答案 27 12 16 28 12 16 29 12 1 股票現(xiàn)價(jià)為 40 已知在一個(gè)月后股價(jià)為 42或 38 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為8 連續(xù)復(fù)利 執(zhí)行價(jià)格為 39的1個(gè)月期歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少 解 考慮一資產(chǎn)組合 賣空1份看漲期權(quán) 買入 份股票 若股價(jià)為 42 組合價(jià)值則為42 3 若股價(jià)為 38 組合價(jià)值則為38 當(dāng)42 3 38 即 0 75時(shí) 組合價(jià)值在任何情況下均為 28 5 其現(xiàn)值為 28 5e 0 08 0 08333 28 31即 f 40 28 31其中f為看漲期權(quán)價(jià)格 所以 f 40 0 75 28 31 1 69另解 計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性概率p 42p 38 1 p 40erT 40e0 08 0 083334p 40e0 08 0 08333 38P 0 5669 期權(quán)的價(jià)值應(yīng)是其預(yù)期收益以無風(fēng)險(xiǎn)利率的貼現(xiàn)值 f 3 0 5669 0 0 4331 e 0 08 0 08333 1 69美元 30 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)12 2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 31 兩步二叉樹圖的例子1 條件 開始的股票價(jià)格為 20 并在兩步二叉樹圖的每個(gè)單步二叉樹圖中 股票價(jià)格可以上升10 或者下降10 我們假設(shè)在每個(gè)單步二叉樹的步長(zhǎng)是三個(gè)月 無風(fēng)險(xiǎn)利率是年率12 期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為 21 32 2020 1 15 33 34 35 36 計(jì)算在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)格 u 1 1 d 0 9 r 0 12 T 0 25 p 0 6523 節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)格為 e 0 12 0 25 0 6523 3 2十0 3477 0 2 0257同理求出節(jié)點(diǎn)C的期權(quán)價(jià)格為 0計(jì)算節(jié)點(diǎn)A的期權(quán)價(jià)格 知道在節(jié)點(diǎn)B的期權(quán)價(jià)值為2 0257 以及在節(jié)點(diǎn)C的期權(quán)價(jià)值為零 因此 節(jié)點(diǎn)A的期權(quán)價(jià)值 e 0 12 0 25 0 6523 2 0257十0 3477 0 1 2823于是期權(quán)的價(jià)格為 1 2823 37 二叉樹的一般結(jié)論 無風(fēng)險(xiǎn)利率是r 每個(gè)單步二叉樹的時(shí)間長(zhǎng)度 t 38 因?yàn)樗詫?式 2式 帶入3式 得到 39 p2 2p 1 p 1 p 2是達(dá)到最后上 中 下三個(gè)節(jié)點(diǎn)的概率 衍生證券的價(jià)格等于它在它在風(fēng)險(xiǎn)中性世界的預(yù)期收益按無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的值 40 12 5 某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為 100 有連續(xù)2個(gè)時(shí)間步 每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)為6個(gè)月 每個(gè)單步二叉樹預(yù)期上漲10 或下降10 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為8 連續(xù)復(fù)利 執(zhí)行價(jià)格為 100的一年期歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少 41 42 12 6 考慮習(xí)題12 5中的情況 執(zhí)行價(jià)格為 100的一年期歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少 證明歐式看漲期權(quán)和歐式看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)的平價(jià)關(guān)系 43 12 6 44 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)12 2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 45 看跌期權(quán)的例子P203 兩年歐式看跌期權(quán) K 52 S0 50 t 1 股票價(jià)格或者按比例 20 u 1 2 d 0 8 r 0 05 風(fēng)險(xiǎn)中性概率p 46 12 9 某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為 50 已知在兩個(gè)月后 股票價(jià)格為 53或 48 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為10 連續(xù)復(fù)利 請(qǐng)用無套利原理說明 執(zhí)行價(jià)格為 49的兩個(gè)月后到期的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少 47 12 9 u 1 d 1股票上漲的比率為u 1 0 06股票下跌的比率為1 d 0 04u d 23 50 0 06 2 50 0 04 48 12 10 某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為 80 已知在4個(gè)月后 股票價(jià)格為 75或 85 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5 連續(xù)復(fù)利 請(qǐng)用無套利原理說明 執(zhí)行價(jià)格為 80的4個(gè)月后到期的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少 49 12 10 50 12 12 某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為 50 有連續(xù)2個(gè)時(shí)間步 每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)為3個(gè)月 每個(gè)單步二叉樹的股價(jià)或者上漲6 或者下跌5 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為5 連續(xù)復(fù)利 執(zhí)行價(jià)格為 51 有效期為6個(gè)月的歐式看漲期權(quán)的價(jià)值為多少 51 12 13 考慮習(xí)題12 12中的情況 執(zhí)行價(jià)格為 51 有效期為6個(gè)月的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少 證明歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)滿足看漲看跌期權(quán)平價(jià)關(guān)系 如果看跌期權(quán)是美式期權(quán) 在樹圖上的任何節(jié)點(diǎn) 提前執(zhí)行期權(quán)是否會(huì)更優(yōu)呢 解 1 如上題u 1 06 d 0 95 p 0 5689計(jì)算二叉樹圖的結(jié)果如下 52 如上圖 當(dāng)?shù)竭_(dá)中間的終節(jié)點(diǎn)時(shí) 期權(quán)的損益為51 50 35 0 65 當(dāng)?shù)竭_(dá)最低的終節(jié)點(diǎn)時(shí) 期權(quán)的損益為51 45 125 5 875 因此 期權(quán)的價(jià)值為 3 為確定提前執(zhí)行是否會(huì)更優(yōu) 我們要計(jì)算比較每一節(jié)點(diǎn)處立即執(zhí)行期權(quán)的損益 在C節(jié)點(diǎn)處 立即執(zhí)行期權(quán)的損益為51 47 5 3 5 大于2 8664 因此 期權(quán)必須在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行 在A B節(jié)點(diǎn)處均不執(zhí)行 53 12 17 某個(gè)股票現(xiàn)價(jià)為 40 有連續(xù)2個(gè)時(shí)間步 每個(gè)時(shí)間步的步長(zhǎng)為3個(gè)月 每個(gè)單位二叉樹的股價(jià)或者上漲10 或者下跌10 無風(fēng)險(xiǎn)年利率為12 連續(xù)復(fù)利 A 執(zhí)行價(jià)格為 42的6個(gè)月期限的歐式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少 B 執(zhí)行價(jià)格為 42的6個(gè)月期限的美式看跌期權(quán)的價(jià)值為多少 54 55 12 17 56 12 18 用 試錯(cuò)法 來估算習(xí)題12 17中的期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為多高時(shí) 立即執(zhí)行期權(quán)是最佳的 在此C節(jié)點(diǎn)處 立即執(zhí)行期權(quán)的損益為37 36 1 小于1 552 因此美式看跌期權(quán)不會(huì)在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行 57 2 假設(shè)美式看跌期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為 38 計(jì)算股價(jià)二叉樹圖的結(jié)果如下 在此C節(jié)點(diǎn)處 立即執(zhí)行期權(quán)的損益為38 36 2 比1 890多0 11收益 因此 美式看跌期權(quán)必須在此節(jié)點(diǎn)處被執(zhí)行 從以上分析可得 當(dāng)執(zhí)行價(jià)格高于或等于 38時(shí) 提前執(zhí)行美式看跌期權(quán)都是更優(yōu)的選擇 58 本章主要內(nèi)容 二叉樹模型的基本思想12 1利用二叉樹給期權(quán)定價(jià)12 2風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)12 3兩步二叉樹12 4看跌期權(quán)12 5美式期權(quán)12 6Dalta12 7u和d的確定12 8二叉樹其他問題課堂練習(xí) 59 Dalta 期權(quán)價(jià)格變化與股票價(jià)格變化之間的比率 60 結(jié)論 隨著時(shí)間而變化Delta是為了構(gòu)造一個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖 對(duì)每一個(gè)賣空的期權(quán)頭寸我們應(yīng)該持有的