灰色系統(tǒng)理論

灰色系統(tǒng)理論 主要介紹灰色系統(tǒng)理論的基本概念與基本原理，重點介紹灰色關(guān)聯(lián)分析方法和灰色系統(tǒng)模型 GM(1,1)模型。 目標不在于討論灰色系統(tǒng)理論的理論基礎(chǔ)，而是在于掌握一種數(shù)學(xué)建模的思想、方法和技巧。 如有同學(xué)對該理論的理論基礎(chǔ)該興趣，我們可以課下討論。 一、灰色系統(tǒng)的基本概念與基本原理 灰色系統(tǒng)理論是華中科大鄧聚龍教授于1982年創(chuàng)立的一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息不確定性問題的新方法。 概率統(tǒng)計、模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論是三種最常用的不確定性系統(tǒng)研究方法。 概率統(tǒng)計研究的是 “ 隨機不確定 ” 現(xiàn)象 ,著重于考察隨機不確定現(xiàn)象的歷史規(guī)律。其出發(fā)點是大樣本，并要求對象服從某種典型分布。 模糊數(shù)學(xué)著重研究 “ 認知不確定 ” 問題 ,其研究對象具有 “ 內(nèi)涵明確、外延不明確 ” 的特點。例如，“ 年輕人 ” ， “ 有錢 ” 。 灰色系統(tǒng)理論著重研究 “ 小樣本 , 貧信息 ” 認知不確定問題，其研究對象具有 “ 外延明確、內(nèi)涵不明確 ” 的特點。 例如， “ 8萬到 10萬之間 ” 就是一個灰概念，其外延明確，但內(nèi)涵不清楚。 項目 灰色系統(tǒng) 概率統(tǒng)計 模糊數(shù)學(xué) 研究對象 貧信息丌確定 隨機丌確定 認知丌確定 基礎(chǔ)集合 灰色朦朧集 康托集 模糊集 方法依據(jù) 信息覆蓋 映射 映射 途徑手段 灰序列生成 頻率分布 截集 數(shù)據(jù)要求 任意分布 典型分布 隸屬度可知 側(cè)重 內(nèi)涵 內(nèi)涵 外延 目標 現(xiàn)實規(guī)律 歷史統(tǒng)計規(guī)律 認知表達 特色 小樣本 大樣本 憑借經(jīng)驗 1. 灰色系統(tǒng)的基本概念 灰色系統(tǒng)中 “ 灰色 ” 的基本含義是指信息不完全，包括元素信息不完全；結(jié)構(gòu)信息不完全；邊界信息不完全；運行行為信息不完全。 2. 灰色系統(tǒng)的基本原理 目前灰色系統(tǒng)理論的理論體系很不完善，但是，鄧聚龍發(fā)現(xiàn)并提煉了灰色系統(tǒng)理論的基本原理： 公理 1 差異信息原理 差異是信息，凡信息必有差異； 公理 2 解的非唯一原理 信息不完全、不確定的解是不唯一的； 公理 3 最少信息原理 充分利用已有的最小信息； 公理 4 認知根據(jù)原理 信息是認知的根據(jù)； 公理 5 新信息優(yōu)先原理 新信息對認知的作用優(yōu)于老信息； 公理 6 灰性不滅原理 信息不完全 (灰 )是絕對的。 3.灰數(shù)及其運算 1. 灰數(shù)：只知道大概范圍而丌知道其確切的數(shù)，通常記為： 。 灰數(shù)的種類： a、僅有下界的灰數(shù)。 有下界無上界的灰數(shù)記為： a, b、僅有上界的灰數(shù)。 有上界無下界的灰數(shù)記為： - ,b c、區(qū)間灰數(shù) 既有上界又有下界的灰數(shù)： a, b d、連續(xù)灰數(shù)不離散灰數(shù) 在某一區(qū)間內(nèi)取有限個值的灰數(shù)稱為離散灰數(shù)，取值連續(xù)地取滿整個區(qū)間地灰數(shù)稱為連續(xù)灰數(shù)。 e、黑數(shù)不白數(shù) 當(dāng) (- , )，即當(dāng) 癿上界、下界皀為無窮，稱為 黑數(shù) ，當(dāng) a,b且 a=b,時，稱 為白數(shù)。 f、本征灰數(shù)不非本征灰數(shù) 本征灰數(shù)是指丌能或暫時還丌能找到一個白數(shù)作為其 “ 代表 ” 癿灰數(shù)；非本征灰數(shù)是憑借某種手段，可以找到一個白數(shù)作為其 “ 代表 ” 癿灰數(shù)。 從本質(zhì)上看，灰數(shù)可分為信息型、概念型和層次型灰數(shù)。 a2、區(qū)間灰數(shù)的運算。 設(shè)灰數(shù) 1 a, b, 2 c,d (ab,c0, 則 1-1 1/b,1/a 1 2 minac,ad,bc,bd,maxac,ad,bc,bd 若 cd0, 則 1/ 2= 12-1 mina/c,a/d,b/c,b/d,maxa/c,a/d,b/c,b/a 若 k為正實數(shù) 則： k1 ka, kb 定義：形如 的白化稱為 等權(quán)白化 。 定義：在等權(quán)白化中 而得到的白化值稱為 等權(quán)均值白化。 定義：設(shè)區(qū)間灰數(shù) 1 a, b, 2 c,d (ab,c0, 則稱 X為單調(diào)增長序列； 2、 1中不等號反過來成立，則稱 X為單調(diào)衰減序列； 3、存在 有 則稱 X為隨機振蕩序列。設(shè) M=max m=min 稱 M m為序列 X的振幅。 nkk ,3,2, 0)1()( kxkx0)1()( kxkx nkkx ,2,1)( nkkx ,2,1)( 定義 3 （序列算子的定義） 設(shè) X為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列， D為作用于 X的算子， X經(jīng)過算子 D的作用后所得序列記為 稱 D為序列算子，稱 XD為一階算子作用序列。序列算子的作用可以進行多次，相應(yīng)的若 皆為序列算子，則稱 為二階算子， 為三階算子， 為二階算子作用序列， 為三階算子作用序列。 公理 1 （不動點公理） 設(shè) X為系統(tǒng)行為序列， D為序列算子，則 D滿足 )(,)2(,)1( dnxdxdxXD 321 , DDD21DD321 DDD 21 DXD321 DDXD)()( nxdnx 公理 2 （信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列 X中的每一個數(shù)據(jù) 都應(yīng)該充分的參與算子作用的全過程。 nkkx ,2,1),( 公理 3 （解析化、規(guī)范化公理）任意的， 都可以由一個統(tǒng)一的 的初等解析式表達。 ()x k d nk ,2,1 )(,),2(),1( nxxx 上述三個公理稱為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子稱為緩沖算子。 設(shè) X為原始數(shù)據(jù)序列， D為緩沖算子，當(dāng) X分別為增長序列、衰減序列或振蕩序列時： 1、若緩沖序列 XD比原始序列 X的增長速度（或衰減速度）減緩或振幅減小，稱緩沖算子 D為弱化算子。 2、若緩沖序列 XD比原始序列 X的增長速度（或衰減速度）加快或振幅增大，稱緩沖算子 D為強化算子。 緩沖算子的性質(zhì) 定理 1 設(shè) X為單調(diào)增長序列， XD為其緩沖序列，則有 1、 D為弱化算子 2、 D為強化算子 即單調(diào)增長序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹，在強化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮。 定理 2 設(shè) X為單調(diào)衰減序列， XD為其緩沖序列，則有 1、 D為弱化算子 2、 D為強化算子 即單調(diào)衰減序列在弱化算子作用下數(shù)據(jù)萎縮，在強化算子作用下數(shù)據(jù)膨脹。 ；,2,1,)()( nkdkxkx ；,2,1,)()( nkdkxkx ；,2,1,)()( nkdkxkx ；,2,1,)()( nkdkxkx 實用緩沖算子的構(gòu)造 定理 3 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 X= 令 其中 則當(dāng) X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時， D皆為弱化算子。（證明從略） )(,),2(),1( nxxx )(,)2(,)1( dnxdxdxXD nknxkxkxkndkx ,2,1；)()1()(11)( 四、實用緩沖算子的構(gòu)造 定理 4 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列 X= 令 其中 則當(dāng) X為單調(diào)增長序列、單調(diào)衰減序列或振蕩序列時， D皆為強化算子。（證明從略） )(,),2(),1( nxxx )(,)2(,)1( dnxdxdxXD 1,2,1；12)()1()2()1()( nkkkkxkxxxdkx 均 值 生 成 定義 1 設(shè)序列 與 為 X的一對緊鄰值， 稱為前值， 稱為后值，若 為新信息，則對任意 為 老信息。 )(),1(),(,),2(),1( nxkxkxxxX )(kx )1( kx )(kx )1( kx)(nx )(,1 kxnk 定義 2 設(shè)序列 X在 k處有空穴，記為 ，即 則稱 與 為 的界值 為前界， 為后界。當(dāng) 由 和 生成時，稱生成值 為 的內(nèi)點。 )( k)(),1(),(),1(,),2(),1( nxkxkkxxxX )1( kx)1( kx )( k )1( kx)1( kx )( k )1( kx )1( kx)(kx )1(),( kxkx定義 3 設(shè) 與 為序列 X中的一對緊鄰值，若有 1、 為老信息， 為新信息； 2、 則稱 為由新信息與老信息在生成系數(shù) 下的生成值，當(dāng) 0.5時，稱 的生成是“重新信息、輕老信息”生成；當(dāng) 0.5 時，稱的生成是“重老信息、輕新信息”生成；當(dāng) =0.5，稱 的生成為非偏生成。 定義 4 設(shè) 為在 處有空穴 的序列，而 為非緊鄰均值生成數(shù)，用 非緊鄰均值生成數(shù)填補空穴所得的序列稱為非緊鄰均值生成序 列。 )(kx )1( kx)1( kx )(kx1,0),1()1()()(* kxkxkx)(* kx )(* kx)(* kx)(),1(),(),1(,),2(),1( nxkxkkxxxX k )( k)1(5.0)1(5.0)(* kxkxkx定義 5 設(shè)序列 若 則稱 為緊鄰均值生成數(shù)，由緊鄰均值生成數(shù)構(gòu)成的序列 稱為緊鄰均值生成序列。在 GM建模，常用緊鄰信息的均值生成，它是以原始序列為基礎(chǔ)構(gòu)造新序列的方法。 注意：設(shè) 為 n元序列， Z為 X的緊鄰均值 生成序列，則 Z為 元序列： 無法由 X生成 z(1). )(),2(),1( nxxxX )1(5.0)(5.0)(* kxkxkx)(* kx)(),2(),1( nxxxX )(),3(),2( nzzzZ 1n 級比和光滑比 當(dāng)序列的起點 x(1)和終點 x(n)為空穴，就無法采用均值生成填補空缺，只有轉(zhuǎn)而采用別的方法，級比生成和光滑比生成就是常用的填補序列端點空穴的方法。 定義 1 設(shè)序列 稱 為序列 X的級比，稱 為序列 X的光滑比。 )(),2(),1( nxxxX nkixkxkki,3,2；)()()(11nkkxkxk ,3,2；)1()()( 定義 2 設(shè) X為端點是空穴的序列： 若用 右鄰的級比（或光滑比）生成 ，用 左鄰的級比（或光滑比）生成 ，則稱 與 為級比（或光滑比）生成，按級比生成（或光滑比生成）填補 空穴所得的序列稱為級比生成（或光滑比生成）序列。 命題 1 設(shè) X是端點為空穴的序列，則 1、若采用級比生成，則 2、若采用光滑比生成，則 )(),1(,),2(),1( nnxxX )1( )1(x )(n)(nx )1(x )(nx)1()1()(),3(/)2()1( nnxnxxx )1(1)(1()(,)2()3()2()1(2 nnxnxxxxx 命題 2 級比與光滑比有下述關(guān)系： 定義 3 若序列 X滿足： 1、 2、 3、 則稱 X為準光滑序列。 定義 4 設(shè) X為有空穴的序列，若新序列生成滿足準光滑條件，則稱為準光滑生成。 nkkkkk ,3,2)；(1()()1()1( ；1)()1(kk 1,3,2 nk nkk ,4,3；,0)( 5.0累加生成算子和累減生成算子 定義 1 設(shè) 為原始序列 D為序列算子， 其中 則稱 D為 的一次累加生成算子，記為 1-AGO （ Accumulating Generation Operator),稱 r階算子 為 的 r次 累加生成算子，記為 r-AGO,習(xí)慣上，我們記 )(,),2(),1( )0()0()0()0( nxxxX )0(X)(,)2(,)1( )0()0()0()0( dnxdxdxDX kinkixdkx1)0()0( ,2,1)；()( )0(XrD )0(X)(,)2(,)1( )1()1()1()1()0( dnxdxdxXDX )(,)2(,)1( )()()()()0( dnxdxdxXDX rrrrr 其中 定義 2 設(shè) 為原始序列， D為序列算子， 其中， 則稱 D為 的一次累減生成算子， r 階算子 稱為 的 r 次累減生成算子。 定理 1 累減算子是累加算子的逆算子。 ( ) ( 1 )1( ) ( ) ； 1 , 2 , ,krrix k x i k n(0)X( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( (1 ) , ( 2 ) , ( ) )X x x x n( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( (1 ) , ( 2 ) , ( ) ) ,X D x d x d x n d( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( ) ( 1 ) ； 1 , 2 , ,x k d x k x k k n (0)XrD(0)X命題 1 設(shè) 為非負序列 其中 ，且 為 的 r次累加生成序列，則當(dāng) r充分大的時候，對于 存在 N，使得 有下式成立： 這就是說，對于有界非負序列，經(jīng)過多次累加生成后，所得序 列可以充分光滑，且光滑比 (0)X( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( (1 ) , ( 2 ) , ( ) )X x x x n( 0 ) ( ) 0xk ( 0 ) ( ) , ； 1 , 2 , , .x k a b k n( ) ( ) ( ) ( )( (1 ) , ( 2 ) , , ( ) )r r r rX x x x n(0)X0, ,k N k n ()1()1()()rkrixkxi( ) 0 ( )kk 例 1 某縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè) 1983 1986年產(chǎn)值為 X=(10155, 12588, 23480, 35388)，平均年增長率高達 51.6%。 經(jīng)分析討論發(fā)現(xiàn)，增長速度高的主要原因是基數(shù)低，而基數(shù)低的原因則是過去沒有用足、用好有利于鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展的政策。要弱化序列增長速度，就需要將政策因素附加到過去的年份中，為此進行二階弱化得 XD2=(27260, 29547, 32411, 35388)。 對數(shù)據(jù) XD2利用 GM(1,1)模型可預(yù)測出該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè) 1986 2000年間產(chǎn)值平均增長率為 9.4%，這與該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展實際基本吻合。 例 2 某市 1996 1999年農(nóng)林牧漁總產(chǎn)值為 X=(91.99, 94.24, 96.96, 98.92)，平均年增長率僅為 2.4%。 從 2000年開始，該市調(diào)整了農(nóng)村產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，使這種增長緩慢的狀況得到改善。為了對經(jīng)濟的發(fā)展作科學(xué)合理的預(yù)測，必須對增長緩慢的數(shù)據(jù)加以處理，使其符合今后的發(fā)展趨勢，在此基礎(chǔ)上進行合理的預(yù)測。 對原始數(shù)據(jù)進行二階強化得 XD2=(73.98,81.50,91.33,98.92)。 對數(shù)據(jù) XD2 利用 GM (1,1)模型可預(yù)測出該市2000 2005年農(nóng)林牧漁總產(chǎn)值平均增長率為 10.1 %，這與該市農(nóng)業(yè)發(fā)展實際基本吻合。 此數(shù)據(jù)與書上計算結(jié)果不同。 三、灰色關(guān)聯(lián)分析 一般的抽象系統(tǒng)都包含有許多影響因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢。我們希望從眾多的因素中判斷出，哪些是主要因素、哪些是次要因素。這些屬于系統(tǒng)分析的內(nèi)容，數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析、方差分析、主成分分析等都可以用來進行系統(tǒng)分析。這些方法的丌足之處是： 1、要求有大量的數(shù)據(jù)。 2、要求樣本服從某一種典型概率分布，各因