函數(shù)模型及其應(yīng)用PPT課件.pptVIP

3 2 1幾類不同增長的函數(shù)模型 1 人民教育出版社A版必修1樊成河蒲世吉 返回導(dǎo)航 一 實(shí)例分析投資回報(bào)和選擇獎勵模型兩個實(shí)例 讓學(xué)生對直線上升 指數(shù)爆炸與對數(shù)增長有一個感性的認(rèn)識 初步發(fā)現(xiàn)當(dāng)自變量變得很大時 指數(shù)函數(shù)比一次函數(shù)增長得快 一次函數(shù)比對數(shù)函數(shù)增長得快 底數(shù)a 0 2 例1 假設(shè)你有一筆資金用于投資 現(xiàn)有三種投資方案供你選擇 這三種方案的回報(bào)如下 方案一 每天回報(bào)40元 方案二 第一天回報(bào)10元 以后每天比前一天多回報(bào)10元 方案三 第一天回報(bào)0 4元 以后每天的回報(bào)比前一天翻一番 請問 你會選擇哪種投資方案 3 問1 在例1中 涉及哪些數(shù)量關(guān)系 如何用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系 問2 根據(jù)例1表格中所提供的數(shù)據(jù) 你對三種方案分別表現(xiàn)出的回報(bào)資金的增長差異有什么認(rèn)識 問3 你能借助計(jì)算器做出函數(shù)圖象 并通過圖象描述一下三個方案的特點(diǎn)嗎 問4 由以上的分析 你認(rèn)為應(yīng)當(dāng)如何做出選擇 4 分析 我們可以先建立三種投資方案所對應(yīng)的函數(shù)模型 再通過比較它們的增長情況 為選擇投資方案提供依據(jù) 5 解 設(shè)第x天所得回報(bào)是y元 則方案一可以用函數(shù)y 40 x N 進(jìn)行描述 方案二可以用函數(shù)y 10 x x N 進(jìn)行描述 方案三可以用函數(shù)y 0 4 2x 1 x N 進(jìn)行描述 三個模型中 第一個是常數(shù)函數(shù) 后兩個都是遞增函數(shù)模型 要對三個方案作出選擇 就要對它們的增長情況進(jìn)行分析 6 我們先用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)計(jì)算一下三種方案所得回報(bào)的增長情況 表3 4 7 8 再作出三個函數(shù)的圖象 圖3 2 1 9 由表3 4和圖3 2 1可知 方案一的函數(shù)是常數(shù)函數(shù) 方案二 方案三的函數(shù)都是增函數(shù) 但方案三的函數(shù)與方案二的函數(shù)的增長情況很不同 可以看到 盡管方案一 方案二在第1天所得回報(bào)分別是方案三的100倍和25倍 但它們的增長量固定不變 而方案三是 指數(shù)增長 其 增長量 是成倍增加的 從第7天開始 方案三比其他兩個方案增長得快得多 這種增長速度是方案一 方案二所無法企及的 10 從每天所得回報(bào)看 在第1 3天 方案一最多 在第4天 方案一和方案二一樣多 方案三最少 在第5 8天 方案二最多 第9天開始 方案三比其他兩個方案所得回報(bào)多得多 到第30天 所得回報(bào)已超過2億元 11 下面再看累計(jì)的回報(bào)數(shù) 通過計(jì)算器或計(jì)算機(jī)列表如下 12 13 因此 投資1 6天 應(yīng)選擇方案一 投資7天 應(yīng)選擇方案一或方案二 投資8 10天 應(yīng)選擇方案二 投資11天 含11天 以上 則應(yīng)選擇方案三 14 例2 某公司為了實(shí)現(xiàn)1000萬元利潤的目標(biāo) 準(zhǔn)備制定一個激勵銷售人員的獎勵方案 在銷售利潤達(dá)到10萬元時 按銷售利潤進(jìn)行獎勵 且獎金y 單位 萬元 隨銷售利潤x 單位 萬元 的增加而增加 但獎金總數(shù)不超過5萬元 同時獎金不超過利潤的25 現(xiàn)有三個獎勵模型 y 0 25x y log7x 1 y 1 002x 其中哪個模型能符合公司的要求 15 問1 例2涉及了哪幾類函數(shù)模型 本例的本質(zhì)是什么 問2 你能根據(jù)問題中的數(shù)據(jù) 判定所給的獎勵模型是否符合公司要求嗎 問3 通過對三個函數(shù)模型增長差異的比較 你能寫出例2的解答嗎 16 分析 某個獎勵模型符合公司要求 就是依據(jù)這個模型進(jìn)行獎勵時 獎金總數(shù)不超過5萬元 同時獎金不超過利潤的25 由于公司的總的利潤目標(biāo)為1000萬元 所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤 于是 只需在區(qū)間 10 1000 上 檢驗(yàn)三個模型是否符合公司要求即可 不妨先作出函數(shù)圖象 通過觀察函數(shù)的圖象 得到初步的結(jié)論 再通過具體計(jì)算 確認(rèn)結(jié)果 17 解 借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)y 0 25x y log7x 1 y 1 002x的圖象 圖3 2 2 18 觀察圖象發(fā)現(xiàn) 在區(qū)間 10 1000 上 模型y 0 25x y 1 002x的圖象都有一部分在直線y 5的上方 只有模型y log7x 1的圖象始終在y 5的下方 這說明只有按模型y log7x 1進(jìn)行獎勵時才符合公司的要求 下面通過計(jì)算確認(rèn)上述判斷 19 首先計(jì)算哪個模型的獎金總數(shù)不超過5萬 對于模型y 0 25x 它在區(qū)間 10 1000 上遞增 而且當(dāng)x 20時 y 5 因此 當(dāng)x 20時 y 5 所以該模型不符合要求 對于模型y 1 002x 由函數(shù)圖象 并利用計(jì)算器 可知在區(qū)間 805 806 內(nèi)有一個點(diǎn)x0滿足 由于它在區(qū)間 10 1000 上遞增 因此當(dāng)x x0時 y 5 所以該模型也不符合要求 20 對于模型y log7x 1 它在區(qū)間 10 1000 上遞增 而且當(dāng)x 1000時 y log71000 1 4 55 5 所以它符合獎金總數(shù)不超過5萬元的要求 再計(jì)算按模型y log7x 1獎勵時 獎金是否不超過利潤的25 即當(dāng)x 10 1000 時 是否有 成立 21 令f x log7x 1 0 25x x 10 1000 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)作出函數(shù)f x 的圖象 圖3 2 3 22 由圖象可知它是遞減的 因此f x f 10 0 3167 0即log7x 1 0 25x 所以當(dāng)x 10 1000 時 說明按模型y log7x 1獎勵 獎金不會超過利潤的25 綜上所述 模型y log7x 1確實(shí)能符合公司要求 23 課堂小結(jié) 通過師生交流進(jìn)行小結(jié) 確定函數(shù)的模型 利用數(shù)據(jù)表格 函數(shù)圖象討論模型 體會直線上升 指數(shù)爆炸 對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義 24 3 2 1幾類不同增長的函數(shù)模型 2 新課 1 通過圖 表比較y x2 y 2x兩個函數(shù)的增長速度 26 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī) 先列出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表 表1 27 再在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象 圖1 28 從表1和圖1可以看到 y 2x和y x2的圖象有兩個交點(diǎn) 這表明2x與x2在自變量不同的區(qū)間內(nèi)有不同的大小關(guān)系 有時2x x2 有時2x x2 29 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī) 先列出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表 表2 30 再在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象 圖2 31 從表2和圖2可以看出 當(dāng)自變量x越來越大時 y 2x的圖象就像與x軸垂直一樣 2x的值快速增長 x2比起2x來 幾乎有些微不足道 32 2 探究y x2 y log2x兩個函數(shù)的增長速度 33 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī) 先列出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表 表3 34 再在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象 圖3 35 從表3和圖3可以看到 在區(qū)間 0 上 總有x2 log2x 36 3 說說函數(shù)y 2x y x2 y log2x的增長差異 在區(qū)間 0 上 總有x2 log2x 當(dāng)x 4時 總有2x x2 所以當(dāng)x 4時 總有2x x2 log2x 37 4 一般的 在區(qū)間 0 上 盡管函數(shù)y ax a 1 y logax a 1 和y xn n 0 都是增函數(shù) 但它們的增長速度不同 而且不在同一個 檔次 上 隨著x的增大 y ax a 1 的增長速度越來越快 會超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y xn n 0 的增長速度 而y logax a 1 的增長速度則會越來越慢 因此 總會存在一個x0 當(dāng)x x0時 就有l(wèi)ogax xn ax 38 探究 39 利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī) 先列出自變量與函數(shù)值的對應(yīng)值表 表4 40 再在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這兩個函數(shù)的圖象 圖4 41 從表4和圖4可以看到 在區(qū)間 0 上 存在一個x0 當(dāng)x x0時 總有 43 在區(qū)間 0 上 總存在一個x0 當(dāng)x x0時 總有xn ax logax n 0 0 a 1 44 3 2 2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例 1 復(fù)習(xí)導(dǎo)入 問 對冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 你是否注意到函數(shù)變化的速度有什么不同 46 課堂例題 例1 一輛汽車在某段路程中的行駛速率與時間的關(guān)系如圖3 2 7所示 47 1 求圖3 2 7中陰影部分的面積 并說明所求面積的實(shí)際含義 2 假設(shè)這輛汽車行駛這段路程前的讀數(shù)為2004km 試建立行駛這段路程時汽車?yán)锍瘫碜x數(shù)skm與時間th的函數(shù)關(guān)系式 并作出相應(yīng)的圖象 48 解 1 陰影部分的面積為50 1 80 1 90 1 75 1 65 1 360陰影部分的面積表示汽車在這5小時內(nèi)行駛的路程為360km 49 2 根據(jù)圖3 2 7 有 50 這個函數(shù)的圖象如圖3 2 8所示 51 例2 人口問題是當(dāng)今世界各國普遍關(guān)注的問題 認(rèn)識人口數(shù)量的變化規(guī)律 可以為有效控制人口增長提供依據(jù) 早在1798年 英國經(jīng)濟(jì)學(xué)家馬爾薩斯 T R Malthus 1766 1834 就提出了自然狀態(tài)下的人口增長模型 y y0ert 其中t表示經(jīng)過的時間 y0表示t 0時的人口數(shù) r表示人口的年平均增長率 52 表3 8是1950 1959年我國人口數(shù)據(jù)資料 53 1 如果以各年人口增長率的平均值作為我國這一時期的人口增長率 精確到0 0001 用馬爾薩斯人口增長模型建立我國在這一時期的具體人口增長模型 并檢驗(yàn)所得模型與實(shí)際人口數(shù)據(jù)是否相符 2 如果按表3 8的增長趨勢 大約在哪一年我國的人口達(dá)到13億 54 解 1 設(shè)1951 1959年的人口增長率分別為r1 r2 r9 由55196 1 r1 56300 可得1951年的人口增長率r1 0 0200 同理可得 r2 0 0210 r3 0 0229 r4 0 0250 r5 0 0197 r6 0 0223 r7 0 0276 r8 0 0222 r9 0 0184 55 于是 1951 1959年期間 我國人口的年均增長率為r r1 r2 r9 9 0 0221 令y0 55196 則我國在1950 1959年期間的人口增長模型為y 55196e0 0221t t N 56 根據(jù)表3 8中的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖 并作出函數(shù)y 55196e0 0221t t N 的圖象 圖3 2 9 由圖3 2 9可以看出 所得模型與1950 1959年的實(shí)際人口數(shù)據(jù)基本吻合 57 2 將y 130000代入y 55196e0 0221t t N 由計(jì)算器可得t 38 76 58 所以 如果按表3 8的增長趨勢 那么大約在1950年后的第39年 即1989年 我國的人口就已達(dá)到13億 由此可以看到如果不實(shí)行計(jì)劃生育 而是讓人口自然增長 今天我國將面臨難以承受的人口壓力 59 課堂練習(xí) 1 四個變量y1 y2 y3 y4隨變量x變化的數(shù)據(jù)如下表 關(guān)于x呈指數(shù)函數(shù)變化的變量是 60 2 某種計(jì)算機(jī)病毒是通過電子郵件進(jìn)行傳播的 如果某臺計(jì)算機(jī)感染上這種病毒 那么它就會在下一輪病毒發(fā)作時傳播一次病毒 并感染其他20臺未感染病毒的計(jì)算機(jī) 現(xiàn)有10臺計(jì)算機(jī)被第1輪病毒感染 問被第5輪病毒感染的計(jì)算機(jī)有多少臺 61 解 設(shè)第一輪病毒發(fā)作時有a1 10臺被感染 第2輪 第3輪 依次有a2臺 a3臺 被感染 依題意有a5 10 204 1600000答 在第5輪病毒發(fā)作時會有160萬臺被感染 62 課后作業(yè) 課本第107頁習(xí)題3 2A組第1 2 3題 63 3 2 2函數(shù)模型的應(yīng)用舉例 2 例1 某桶裝水經(jīng)營部每天的房租 人員工資等固定成本為200元 每桶水的進(jìn)價是5元 銷售單價與日均銷售量的關(guān)系如表3 9所示 課堂例題 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析 這個經(jīng)營部怎樣定價才能獲得最大利潤 65 解 根據(jù)表3 9 銷售單價每增加1元 日均銷售量就減少40桶 設(shè)在進(jìn)價基礎(chǔ)上增加x元后 日均銷售利潤為y元 而在此情況下的日均銷售量就為480 40 x 1 520 40 x 桶 66 由于x 0 且520 40 x 0 即0 x 13 于是可得y 520 40 x x 200 40 x2 520 x 200 0 x 13 易知 當(dāng)x 6 5時 y有最大值 所以 只需將價格單價定為11 5元 就可獲得最大的利潤 67 例2 某地區(qū)不同身高的未成年男性的體重平均值如表3 10 68 1 根據(jù)表3 10提供的數(shù)據(jù) 能否建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型 使它能比較近似地反映這個地區(qū)未成年男性體重ykg與身高xcm的函數(shù)關(guān)系 試寫出這個函數(shù)模型的解析式 2 若體重超過相同身高男性體重平均值的1 2倍為偏胖 低于0 8倍為偏瘦 那么這個地區(qū)一名身高為175cm 體重為78kg的在校男生的體重是否正常 69 分析 根據(jù)表3 10的數(shù)據(jù)畫出散點(diǎn)圖 圖3 2 10 70 觀察發(fā)現(xiàn) 這些點(diǎn)的連線是一條向上彎曲的曲線 根據(jù)這些點(diǎn)的分布情況 可以考慮用y a bx這一函數(shù)模型來近似刻畫這個地區(qū)未成年男性體重y與身高x的函數(shù)關(guān)系 思考 散點(diǎn)圖與已知的哪個函數(shù)圖象最接近 從而選擇這個函數(shù)模型 71 解 1 以身高為橫坐標(biāo) 體重為縱坐標(biāo) 畫出散點(diǎn)圖3 2 10 72 根據(jù)點(diǎn)的分布特征 可考慮以y a bx作為刻畫這個地區(qū)未成年男性體重與身高關(guān)系的函數(shù)模型 如果取其中的兩組數(shù)據(jù) 70 7 90 160 47 25 代入y a bx得 73 用計(jì)算器算得 這樣 我們就得到一個函數(shù)模型 74 將已知數(shù)據(jù)代入上述函數(shù)解析式 或作出上述函數(shù)的圖象 圖3 2 11 可以發(fā)現(xiàn) 這個函數(shù)模型與已知數(shù)據(jù)的擬合程度較好 這說明它能較好地反映這個地區(qū)未成年男性體重與身高的關(guān)系 75 2 將x 175代入y 2 1 02x 得y 2 1 02175 由計(jì)算器算得y 63 98 由于78 63 98 1 22 1 2 所以 這個男生偏胖 76 建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本過程 收集數(shù)據(jù) 畫散點(diǎn)圖 選擇函數(shù)模型 求函數(shù)模型 用函數(shù)模型解釋實(shí)際問題 檢驗(yàn) 不符合實(shí)際 符合實(shí)際 77 課堂練習(xí) 1 某公司生產(chǎn)某種產(chǎn)品的固定成本為150萬元 而每件產(chǎn)品的可變成本為2500元 每件產(chǎn)品的售價為3500元 1 分別求出總成本y