基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別研究述評_于文華.pdf

第 21 卷第 3 期 數(shù) 學(xué) 教 育 學(xué) 報 Vol 21 No 3 2012 年 6 月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Jun 2012 收稿日期 2011 12 20 基金項目 教育部人文社會科學(xué)研究青年基金項目 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別的認知機理與實驗研究 10YJCXLX054 作者簡介 于文華 1978 女 山東乳山人 講師 博士生 主要從事數(shù)學(xué)教育心理 數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別研究述評基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別研究述評 于文華 山東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 山東 濟南 250014 摘要 數(shù)學(xué)問題解決中的模式識別的研究視角 可以分為基于數(shù)學(xué)解題認知過程與解題策略角度 基于 歸類 的視角 基于數(shù)學(xué)問題解決中模式識別與其他因素的關(guān)系的視角等 具體研究領(lǐng)域涉及幾何解題中的視覺模式識別 幾何問題解決中 的模式識別 解代數(shù)應(yīng)用題的認知模式 數(shù)學(xué)建模中的模式識別等 由于在知覺領(lǐng)域與問題解決領(lǐng)域 模式識別 的表述存 在一定的混亂性 將基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別界定為 當主體接觸到數(shù)學(xué)問題后 與自己認知結(jié)構(gòu)中的某數(shù)學(xué)問題圖式 相匹配的思維與認知過程 并進一步通過其與 歸類 的區(qū)別與聯(lián)系 與 化歸 的區(qū)別與聯(lián)系使 基于數(shù)學(xué)問題解決的模 式識別 的概念得以澄清 在范圍上 把問題解決中的模式識別界定為一種思維過程的階段或者思維策略 認為它是解題的 重要組成部分 但并不是解題的全部 對于未來的展望 期望系統(tǒng)的理論研究 期望對學(xué)生問題解決中模式識別的認知過程 與機理的實質(zhì)性的研究以及對學(xué)生問題解決中模式識別的教學(xué)實驗研究 關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué)模式 模式識別 數(shù)學(xué)問題解決 歸類 化歸 中圖分類號 G420 文獻標識碼 A 文章編號 1004 9894 2012 03 0011 06 1 數(shù)學(xué)模式與基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別 1 1 數(shù)學(xué)模式 關(guān)于數(shù)學(xué)是一門研究模式的科學(xué) 目前已經(jīng)得到了普遍 的認可 許多著名數(shù)學(xué)家均同意這一觀點 如 數(shù)學(xué)原理 的作者之一懷特海 Alfred North Whitehead 曾說 數(shù)學(xué) 是研究模式最具力量的工具 數(shù)學(xué)是 關(guān)于關(guān)系系統(tǒng)的科 學(xué) 亞歷山大洛夫 1 關(guān)系系統(tǒng)即模式或結(jié)構(gòu) 結(jié)構(gòu) 就是數(shù)學(xué)家的工具 布爾巴基 2 使數(shù)學(xué)成為諸科學(xué)的 基礎(chǔ)的 正是純粹數(shù)學(xué)的這種結(jié)構(gòu)化能力 近日數(shù)學(xué) 和 明日數(shù)學(xué) 的主編斯蒂恩 Steen 指出人類的數(shù)學(xué)語言就 是用來描述模式的 美國 NCTM 早在 1989 年出版的 學(xué)校 數(shù) 學(xué) 課 程 與 評 價 標 準 Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics 中就確認了模式的重要 性 特別指出 模式在我們所處的世界中無處不在 數(shù)學(xué) 課程應(yīng)幫助學(xué)生敏銳地覺察出日常生活所接觸得到的模式 并能對這些模式關(guān)系作出數(shù)學(xué)的表述 美國 NCTM 在 2000 年更是將模式列入 學(xué)校數(shù)學(xué)的原則與標準 Principles and Standards for School Mathematics 中 將表征 理解 擴展 建構(gòu)模式視為重要的能力 對各階段的學(xué)生都明確列 出了關(guān)于模式學(xué)習(xí)的期望水平 有關(guān)數(shù)學(xué)模式的說法 源于對數(shù)學(xué)本質(zhì)的探究 鄭毓 信 3 指出對于數(shù)學(xué)學(xué)科來講 模式對于數(shù)學(xué)具有特殊的意 義 可以說 數(shù)學(xué)的本質(zhì)即是關(guān)于數(shù)學(xué)模式的科學(xué) 喻平 4 進一步解釋說數(shù)學(xué)模式是指形式化的采用數(shù)學(xué)語言 概括的 或近似的表述某種事物系統(tǒng)的特征或數(shù)量關(guān)系的一種數(shù)學(xué) 結(jié)構(gòu) 各種基本概念 理論體系 定理 法則 公式 算法 命題 方法都是數(shù)學(xué)模式 在問題解決中 具有共同結(jié)構(gòu)或 相同解法的一類問題也稱為一種模式 由于數(shù)學(xué)抽象的層次性 這種模式是有層次性的 即可 以有基本的數(shù)學(xué)模式 也有可能幾種基本模式符合或疊加成 一種新的數(shù)學(xué)模式 各種模式之間又有著內(nèi)容或方法的千絲 萬縷的關(guān)系 可以構(gòu)成一種網(wǎng)狀的模式結(jié)構(gòu) 可見 這里的 數(shù)學(xué)模式屬于一種寬泛的關(guān)于數(shù)學(xué)對象的范疇 是社會建構(gòu) 的產(chǎn)物 是社會約定的產(chǎn)物 從這樣廣泛的意義上來說 數(shù) 學(xué)模式屬于人類文化的范疇 可以約定為一種 知識 1 2 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別 基于上述數(shù)學(xué)模式的觀點 從廣義上說 數(shù)學(xué)無非是各 種模式的集合 而學(xué)生對于各種數(shù)學(xué)模式的習(xí)得 使得頭腦 記憶 中形成自己的獨特的數(shù)學(xué)模式 由于兩者在現(xiàn)實實 在性上的本質(zhì)的不同 可稱前者為 作為知識的數(shù)學(xué)模式 后者稱為 存于記憶的數(shù)學(xué)模式 學(xué)生在面對一道問題 一種作為知識的數(shù)學(xué)模式或多種 模式的復(fù)合或疊加 時 這道問題顯然是教師認為學(xué)生基于 之前所學(xué)過的知識基礎(chǔ)之上就可以解決的 即是說 教師認 為學(xué)生應(yīng)該形成相應(yīng)的一種記憶的數(shù)學(xué)模式或多種模式的 復(fù)合或疊加 那么 如果學(xué)生拿到這道問題立刻表現(xiàn)出會做 或者經(jīng)過一定的思考與轉(zhuǎn)化之后認為會做或者只得半解或 者經(jīng)過半天而毫無頭緒 都意味著對記憶中的一種思維的模 式或多種模式的各種水平上的匹配或識別 12 數(shù) 學(xué) 教 育 學(xué) 報 第 21 卷 2 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別的研究視角 2 1 知覺領(lǐng)域的模式識別研究簡述 2 1 1 知覺領(lǐng)域的模式識別的概念 認知心理學(xué)對模式識別的研究是在知覺領(lǐng)域展開的 尤 其對視覺的模式識別研究的最多 王甦 汪安圣 5 認為 模 式識別 pattern recognition 過程就是感覺信息與長時記憶 中的有關(guān)信息進行比較 再決定它與哪個長時記憶中的項目 有著最佳匹配的過程 類似地 林崇德等 6 認為 模式識別 是知覺的一種形式 人將某種特定的感覺信息與長時記憶中 的有關(guān)信息進行比較 再決定它與長時記憶中哪個項目有最 佳匹配的信息加工過程 喻平 4 認為 一般地 模式識別是 一種知覺過程 是感覺信息與長時記憶中的有關(guān)信息進行比 較 再決定它與哪個信息有著最佳匹配的過程 彭耽齡 張必隱 7 認為 模式識別是認知心理學(xué)知覺研 究的一個重要概念 模式傳遞著外部世界的信息 當一個模 式作用于人的感覺器官時 便在人腦中引起了一系列復(fù)雜的 活動 人能夠覺察 detection 到模式的存在 將一個模式 與另一個模式加以分辨 discrimination 并進而確認 identification 它是什么或代表什么 這就是對模式的識 別 因此 模式識別可定義為對模式的覺察 分辨和確認的 過程 是主體運用記憶中己經(jīng)儲存的信息 對當前出現(xiàn)的刺 激模式作出有效解釋的過程 2 1 2 知覺領(lǐng)域模式識別的匹配假說 按照心理學(xué)的觀點 在知覺領(lǐng)域 模式識別過程就是感 覺信息與長時記憶中的項目有著最佳匹配的過程 其匹配方 式有以下幾種說法 1 模板說 Template Matching 人在長時記憶中貯存了由過去經(jīng)驗形成的外部模式的 袖珍復(fù)本 模板 當一個外界模式與記憶中己貯存的某個 模板重疊時 就達到了模式識別的目的 2 原型說 Prototype Theory 人在記憶中貯存的并非與外部模式一一對應(yīng)的模板 而 是原型 prototype 此處的原型是指一個類別或范疇的所 有個體的概括表征 它反映一類客體所具有的基本特征 原 型說對模式識別的解釋意味著只要存在相應(yīng)的原型 模式識 別即可實現(xiàn) 3 特征分析說 Feature Analysis 模式可以分解為諸特征 外部刺激在人的長時記憶中 是以各種特征來表征的 在模式識別過程中 首先要對刺激 的特征進行分析 抽取刺激的有關(guān)特征 然后將這些抽取的 特征加以合并 再與長時記憶中各種刺激的特征進行比較 一旦獲得最佳匹配 外部刺激即被識別 2 2 數(shù)學(xué)問題解決領(lǐng)域的模式識別研究視角 2 2 1 基于數(shù)學(xué)解題認知過程與解題策略角度 波利亞 Polya 8 提出了解決數(shù)學(xué)問題的 4 個步驟 弄 清問題 擬定計劃 實現(xiàn)計劃 回顧 其中 擬定計劃環(huán)節(jié) 中提出了 你以前見過它嗎 你是否見過相同的問題而形式 稍有不同 你是否知道與此有關(guān)的問題 你是否知道一個 可能用得上的定理 試想出一個具有相同未知數(shù)或相似未 知數(shù)的問題 這里有一個與你現(xiàn)在的問題有關(guān) 且早已解決 的問題 你能不能利用它 你能利用它的結(jié)果嗎 你能利用 它的方法嗎 為了利用它 你是否應(yīng)該引入某些輔助元 素 其中尤以 你以前見過它嗎 而著名 其中的 它 實際上就是記憶中的 模式 或者 換句話可以說 你能 識別出這種模式嗎 波利亞明確指出 一些 定型的 問 題和建議可被看成教學(xué)啟發(fā)法的核心 這也就是說 只要運 用得當 這些問題和建議就能起到 思想指南 的作用 即 能夠給解題者以一定的啟示 從而幫助他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)好的或正 確的解題方法與解答 在這里 如此之多的這些問題實際上 都是關(guān)于 模式識別 的 盡管波利亞并沒有給出確切的名 稱 但其中蘊涵了模式識別的思想 匈菲爾德 Schoenfeld A H 9 在波利亞的基礎(chǔ)上發(fā)展 起來一個問題解決模型 分為 6 個階段 讀題 reading 分析 analysis 探索 exploration 計劃 planning 執(zhí) 行 implementation 驗證 verification 其中 在探索階 段 列出了若干與模式識別有關(guān)的解題策略 準備 你以 前見過它嗎 如果你解決過一個類似的問題 考慮使用相同 的方法 如果你知道一個類似的問題 你能用類比的方法得 出結(jié)論嗎 你適應(yīng)用來解決這個問題的技術(shù)嗎 陷入困 境 檢驗任何相關(guān)的問題 你能想到任何條件相似或者結(jié) 論相似的問題嗎 你是用什么方法解的 這些方法現(xiàn)在能 用嗎 喻平 4 建立了一個數(shù)學(xué)解題認知模式的 循環(huán)系統(tǒng) 認為 解決數(shù)學(xué)問題分為 4 個過程 理解問題 選擇算子 應(yīng)用算子 結(jié)果評價 與此對應(yīng) 其認知過程分別為 問題 表征 模式識別 解題遷移 解題監(jiān)控 并進一步指出 對 于數(shù)學(xué)解題中的模式識別與知覺中的模式識別的概念是有 差異的 解題過程中有知覺成分 因而包含知覺模式識別因 素 但解題過程中 思維是主要成分 解題中的模式識別是 在知覺和思維的交互作用中完成 因而認知加工更為復(fù)雜 羅增儒 10 認為數(shù)學(xué)問題的解題策略可分為 模式識別 映射化歸 差異分析 分合并用 進退互化 正反相輔 動 靜轉(zhuǎn)換 數(shù)形結(jié)合 有效增設(shè) 以美啟真 前蘇聯(lián)學(xué)者奧加涅相 11 把解題分為 4 個階段 理解習(xí) 題的條件 制定解題計劃 實行解題計劃 研究所得的解 并 且給出了在第一 第二個階段常用的有關(guān) 模式識別 的解 題策略 具體來說 在 理解習(xí)題的條件 階段 盡可能從 整體上理解題的條件 找出它的特點 想想以前是否遇到過 和這個題有些類似的題目 在 制定解題計劃 階段 想方 設(shè)法將所給的題同你會解的某一類題聯(lián)系起來 如果連這一 點也做不到 就盡可能找出你熟悉的 最適合于已知條件的 第 3 期 于文華 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別研究述評 13 一種解題方法 試試看能不能用你熟悉的某種方法去解出題 目 如果所給題解不出來 你可以從課本或者科普書籍中找 一個與所給題目相似的 但已經(jīng)給出解答的題 2 2 2 基于 歸類 的視角 鄭毓信 3 認為 模式的識別 即對問題的歸類 在問題 求解中 特別是對于問題的表征 有著十分重要的作用 鄭毓信進一步指出 抽象分析包括一個 歸類 模式 識別 的過程 成功的模式識別無非是將新的問題納入到了 適當?shù)膱D式之中 直接依賴于對新的問題與記憶中各個范例 或一般模式的比較 通過歸類得以建構(gòu)的 問題空間 事實 上就是外部輸入的新的信息和來自已有圖式的信息的一種 綜合 2 2 3 基于數(shù)學(xué)問題解決中模式識別與其他因素的關(guān)系的 視角 喻平 4 建立了數(shù)學(xué)問題解決認知模型 反映了模式識別 與其他因素的內(nèi)在關(guān)系 如圖 1 并進一步剖析了模式識別 與元認知 遷移 問題表征的關(guān)系 具體如下 模式識別與元認知 在模式識別的過程中貫穿著自我監(jiān) 控的成分 模式識別與遷移 模式識別是知識遷移的前提 遷移是 指對模式的遷移 能否對模式進行識別 是能否產(chǎn)生遷移的 先決條件 模式識別與問題表征 模式識別以問題表征為基礎(chǔ) 模式識別作為問題解決過程中的第二環(huán) 以問題表征為 基礎(chǔ) 又是實現(xiàn)解題遷移的前提條件 可見模式識別在問題 解決過程中的地位 在模式識別的過程中又貫穿著自我監(jiān)控 的成分 在模式識別階段 如果不能找到合適的模式與已表 征的問題匹配 或找到的模式不能用于磨合已表征的問題 那么需要重新表征問題 圖 1 數(shù)學(xué)問題解決認知模型 2 2 4 基于特定數(shù)學(xué)領(lǐng)域的問題解決中的模式識別探索 1 基于幾何解題中的視覺模式識別 格里諾 J Greeno 12 進行了一個幾何解題的研究 即 關(guān)于利用各個角之間相互關(guān)系 如互為同位角補角和對頂角 等 來求其他角的度數(shù) 并通過此問題的具體研究 得出解 題需要的 3 種基本能力或一般的知識成分 即模式識別的知 識 定理推理的知識與策略知識 最后發(fā)展出了一個稱為 Perdix 的計算機程序 在此研究中 解題者關(guān)于各個角之間 相互關(guān)系 如互為同位角補角和對頂角等 的分析事實上就 是一個模式識別的過程 不過 與其他識別例如關(guān)于文字應(yīng) 用題類型的辨別不同 這里所說的模式識別主要依賴于視 覺 而不是問題中所包括的文字信息 因此 可把它稱為 視 覺模式識別 對此 鄭毓信 3 指出 由圖形對于幾何解題的特殊重要 性 就可清楚地看出視覺模式識別在這一活動中的重要作 用 從而 這也就從另一側(cè)面表明了模式識別能力確實應(yīng)當 被看成決定數(shù)學(xué)解題活動成功與否的一個重要因素 針對視 覺模式識別的教學(xué) 鄭毓信進一步指出 幾何教學(xué)中應(yīng)當高 度重視對于學(xué)生視覺模式識別能力的培養(yǎng) 特別是 必須十 分注意 圖形的變式 例如 應(yīng)當防止將一種幾何圖形 模 式 與某一特定的 視覺位置 固定地連接起來 而應(yīng)經(jīng)常 變換圖形的 視覺位置 2 基于幾何問題解決中的模式識別 朱新明 13 探討了初中學(xué)生解幾何題的思維過程 運用 出聲思維方法 收集他們證題時的口語材料 并對這些材料 作了初步的分析 結(jié)果表明 其一 幾何問題解決過程往往 包含有假設(shè)驗證的過程 其中 被試如果能從問題的情境中 正確地辨認出某種模式 就能喚起與解題有關(guān)的知識 其二 兩組被試在解題的時間和過程方面有一些差異 甲組被試 解題經(jīng)驗較多 解題的平均時間是乙組被試的 1 3 甲組被 試能很快地把他原來熟悉的模式辨認出來 乙組被試 相當 于初學(xué)者 多半要作一些無效的嘗試才有可能正確地認出模 式 甲組被試比乙組被試善于交替運用逆推和順推的搜索策 略以及其他有效的策略和辦法 3 基于解代數(shù)應(yīng)用題的認知模式 施鐵如 14 運用出聲思維方法 探討了初中學(xué)生解代數(shù) 應(yīng)用題中認知模式的作用和特點 在解代數(shù)應(yīng)用題中 認知 模式主要表現(xiàn)為識別應(yīng)用題的類型 結(jié)果表明 其一 被試 能否識別類型在很大程度上決定他能否迅速 準確地解答課 題 其二 要正確識別應(yīng)用題類型 需要從課題的具體語義 情境中分出確定的 一般的關(guān)系或結(jié)構(gòu) 其三 這種能力可 以通過訓(xùn)練加以提高 訓(xùn)練所使用的材料應(yīng)具有多種變式 4 基于文字應(yīng)用題求解中的模式識別 Hinsley 15 作了如下實驗 要求被試 第一 對一些 標 準的 文字題進行分類 第二 在僅僅聽到部分內(nèi)容的情況 下 指出問題的類別 第三 同時求解一些 標準的 和 非 標準 的問題 后者是按其 事實內(nèi)容 與內(nèi)在的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu) 并不相符 第四 求解 無意義的 問題 這是用某些不相 干的內(nèi)容取代 標準問題 中的部分內(nèi)容所得出的 第五 求解包含有多余的不相干內(nèi)容的問題 工作記憶 知識基礎(chǔ) 解題策略 長時記憶 理解問題 選擇算子 應(yīng)用算子 結(jié)果評價 問題表征 模式識別 解題遷移 解題監(jiān)控 14 數(shù) 學(xué) 教 育 學(xué) 報 第 21 卷 研究發(fā)現(xiàn) 學(xué)生確實具有關(guān)于標準問題的若干模式 即 如工程問題 水流問題 相遇問題 比例分配問題等 而且 這些知識在新問題的表征過程中發(fā)揮了十分重要的作用 例 如 被試往往常常只是聽到了問題的開頭部分 一艘船順 流而下 就已立即意識到其所面臨的是一個 水流問 題 并預(yù)計到必須對逆流而上和順流而下所花費的時間 或 者 在時間為常數(shù)的情況下 對所通過的路程 進行比較 以求得水速及船在靜水中的速度 這也使得被試在遇到某些 無意義問題 例如不包含 問題 的問題 時 根本沒有 注意問題的不存在 而直接投入了所謂的解題工作 再如 面對所謂的 非標準問題 時 由于歸類方法的不同 如或 者把它歸為 工程問題 或者把它歸結(jié)為 相遇問題 解題者對問題中有關(guān)數(shù)據(jù)的注意往往表現(xiàn)出很大的差異 即 只注意到其中的某些方面 而完全忽視其他方面 5 數(shù)學(xué)建模中的模式識別 李明振 16 指出 數(shù)學(xué)建模過程不僅僅包含知覺成分 更多的是思維成分 是在知覺成分與思維成分交互作用中完 成的 因此 其加工過程更加復(fù)雜 往往需要調(diào)動建模者已 有的問題圖式 而且往往需要對當前數(shù)學(xué)建模問題與原有數(shù) 學(xué)建模問題圖式從問題的深層結(jié)構(gòu)層面上進行識別匹配 其 測試表明 進行過大量數(shù)學(xué)建模訓(xùn)練的被試在解決數(shù)學(xué)建模 問題時習(xí)慣于將當前建模問題與其所學(xué) 或所建 數(shù)學(xué)建模 問題相匹配 對數(shù)學(xué)建模問題模式的識別受多種認知與非認 知因素的影響 問題情境 在數(shù)學(xué)建模問題模式的識別中 問題情 境對問題模式識別具有重要作用 對問題模式的識別依賴于 其與問題情境是否具有一致的關(guān)系 當問題情境與要識別的 問題模式的關(guān)系一致時 問題情境能促進對問題模式的識 別 相反 當兩者關(guān)系不一致時 情境也能干擾模式的識別 知識經(jīng)驗 模式識別是將刺激模式與頭腦中己有的 模式互相匹配的過程 或者是運用頭腦中已經(jīng)建構(gòu)的模式對 刺激模式作出解釋的過程 在這個過程中 主體已有的知識 經(jīng)驗起著重要的作用 主要表現(xiàn)在知識經(jīng)驗對模式識別的催 化作用 補充作用和期待作用 催化作用是指知識經(jīng)驗?zāi)芗?快主體對模式的識別速度 提高識別的準確性 主體對熟悉 的模式的識別過程表現(xiàn)為一種自動化的 壓縮的形式 因而 速度快 準確性高 對不熟悉的模式 識別過程則受注意控 制 具有展開的形式 因而速度慢 準確性差 補充作用是 指知識經(jīng)驗?zāi)苎a充或填補感覺信息的缺失 幫助人們對模式 作出恰當?shù)慕忉?期待作用是指知識經(jīng)驗?zāi)墚a(chǎn)生知覺期待 根據(jù)頭腦中已建構(gòu)的模式 預(yù)測環(huán)境中將出現(xiàn)的信息 并積 極探索所需要的信息 當實際的數(shù)學(xué)建模問題模式與期待一 致時 知識經(jīng)驗起促進作用 當兩者不一致時 知識經(jīng)驗起 干擾作用 此外 需要 動機 情緒 態(tài)度 人格等非認知因素也 對數(shù)學(xué)建模的模式識別產(chǎn)生一定影響 3 評述與展望 3 1 在知覺與問題解決領(lǐng)域 模式識別 的表述存在一定 的混亂性 不難看出 在知覺領(lǐng)域中 王甦 林崇德等一派的觀點 認為 模式識別是知覺的一種形式 人將某種特定的感覺信 息與長時記憶中的有關(guān)信息進行比較 再決定它與長時記憶 中哪個項目有最佳匹配的信息加工過程 另一派如彭聊齡等 認為 模式識別可定義為對模式的覺察 分辨和確認的過程 是主體運用記憶中己經(jīng)儲存的信息 對當前出現(xiàn)的刺激模式 作出有效解釋的過程 在數(shù)學(xué)問題解決領(lǐng)域中 波利亞 匈菲爾德 奧加涅相 等是基于解題策略角度來研究模式識別 喻平是把模式識別 作為問題解決的認知過程的 4 個階段之一來看待的 羅增儒 把它看作有效的解題策略之一 鄭毓信把模式的識別視為對 問題的歸類 劉電芝認為模式識別就是問題解決的實質(zhì) 因此 在兩大研究領(lǐng)域以及各領(lǐng)域內(nèi)部對 模式識別 的表述是存在一定的混亂性的 3 2 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別 概念的界定與澄清 3 2 1 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別 概念界定 知覺領(lǐng)域內(nèi) 模式識別是 人將某種特定的感覺信息與 長時記憶中的某項目最佳匹配的信息加工過程 由此可見 模式是 長時記憶中的某項目 即模式是存在于記憶中的 自然是人的頭腦中的事物 是對現(xiàn)實的某種反映 對于數(shù)學(xué)問題解決領(lǐng)域中的模式識別來講 這個 模式 當然也是 長時記憶中的某項目 只不過這個 項目 更 為具體 即限制為 存于記憶的數(shù)學(xué)模式 是個體對 作 為知識的數(shù)學(xué)模式 的反映 這種反映可能是正確的反映 也有可能是部分正確的反映甚至是錯誤的反映 這種模式是 存在于個體頭腦中的 對同一個 作為知識的數(shù)學(xué)模式 也很有可能存在很大的個體差異 因此 這種模式與個體的 記憶 密切相關(guān) 由于 作為知識的數(shù)學(xué)模式 的層次性 與網(wǎng)狀結(jié)構(gòu) 存于記憶的數(shù)學(xué)模式 也就具有層次性與網(wǎng) 狀結(jié)構(gòu) 基于此 可以將基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別界定為 當主體接觸到數(shù)學(xué)問題后 與自己認知結(jié)構(gòu)中的某數(shù)學(xué)問題 圖式相匹配的思維與認知過程 3 2 2 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別 與 歸類 的區(qū)別 與聯(lián)系 1 歸類表現(xiàn)于教與學(xué)實踐層面 教 歸類 在教學(xué)中 每個教師都會善于歸納總結(jié) 例如廣泛運用的例題教學(xué) 一元二次方程求解 中會有各 種例題 教師會說 例一是 0 的情況 例 2 是 0 的情 況 例 3 是首項系數(shù)為負數(shù)的情況 如此種種 這是教材 編寫者與教師的 實踐行為 層面上的分類 主旨在于希望 通過對各種題目類型的 歸類 引導(dǎo)學(xué)生在具體解題過程中 第 3 期 于文華 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別研究述評 15 根據(jù)各種類別選擇相應(yīng)的解決對策 學(xué) 歸類 學(xué)生在梳理自己的所學(xué)內(nèi)容時也往往采用 歸類 的思想方法 主旨在于 分類 儲存自身的所學(xué) 使之合理高效地內(nèi)化 最終為了在解決問題時按類提取 由 此 對學(xué)生來說 歸類 是儲存知識 記憶的前提或方 法 歸類 了才得以記憶 歸類 才得以更好的記憶 因此 歸類 強調(diào)行為 強調(diào)方法 強調(diào)儲存 2 模式識別表現(xiàn)于學(xué)習(xí)者思維層面 認知心理學(xué)認為 模式識別 pattern recognition 是一 種知覺過程 與長時記憶中某項目最佳匹配的過程 喻平指 出 解題中的模式識別與知覺中的模式識別的概念是有差異 的 解題過程中有知覺成分 因而包含知覺模式識別因素 但解題過程中 思維是主要成分 解題中的模式識別是在知 覺和思維的交互作用中完成 因而更復(fù)雜 由此 模式識別是對 記憶 的匹配與提取 顯然是一 種思維層面的東西 因此 模式識別強調(diào)思維 強調(diào)過程 強調(diào)提取 3 模式識別與歸類的聯(lián)系 如果說 歸類是教師或?qū)W生把 知識內(nèi)容 這一物品有 序組合地放到學(xué)生的 記憶 置物架上的話 那么模式識別 就是學(xué)生按照解題任務(wù)的要求 從 記憶 架上拿取 知識 內(nèi)容 之物的過程 顯然 這種過程重點在于如何去達到適 合任務(wù)的匹配 由此 兩者相輔相成 可以說 歸類是模式識別的前提 如果沒有合理歸類 記憶 架上之物品雜亂無章 又何談 匹配及最佳匹配 從這樣的意義上說 教學(xué)中對于 歸類 的強調(diào)必然是提高模式識別的有效手段之一 3 2 3 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別 與 化歸 的區(qū)別 與聯(lián)系 化歸是數(shù)學(xué)解題的精髓 正如波利亞關(guān)于數(shù)學(xué)家與物理 學(xué)家燒第二壺水的經(jīng)典論述所言 數(shù)學(xué)家解題的過程就是把 新問題通過某種途徑轉(zhuǎn)換 化歸 為已經(jīng)解決的問題 即使 原問題與新問題比較 層次顯得更高也無所謂 如燒水問 題 只要轉(zhuǎn)換成功 我的目標就達到了 或者說新問題就 解決了 難怪原蘇聯(lián)著名女數(shù)學(xué)家 莫斯科大學(xué)教授 C A 雅 諾夫斯卡婭有一次向奧林匹克數(shù)學(xué)競賽參加者發(fā)表了 什么 叫解題 的演講 她的答案顯得驚人的簡單 完全出乎聽 眾的意料 解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解過的題 17 因而 在這樣的意義上 數(shù)學(xué)解題就是化歸 可以看出 化歸 強 調(diào)的是轉(zhuǎn)換 即新問題向已解決的問題的轉(zhuǎn)換 這種轉(zhuǎn)換可 以看成是一種解決問題的思路或思想或方法 所以有人稱之 為 化歸方法 但由于它較之具體方法如代換法等更為宏 觀與抽象 所以更多的人稱之為 化歸思想 由此 化歸是一種思想 是諸多解題方法的升華 是數(shù) 學(xué)解題的精髓 更多是一種思想層面的概念 模式識別也含有思想層面的內(nèi)涵 即解決新問題時 要 尋找匹配于當前任務(wù)的 記憶 但更多的是思維層面的 即尋找合適的匹配的心理與思維過程 3 2 4 基于數(shù)學(xué)問題解決的模式識別 概念范圍的澄清 如前所述 問題解決中模式識別表述的不清使得很多研 究者在此三者上幾乎是混為一談的 對于前兩者 都強調(diào)思 維 這里認為其既是解題中一種不可或缺的解題策略 又是 一種必然的思維階段 關(guān)于解題的全部 難免言過其實 這只是某些研究者對 其重要性的強調(diào)抑或?qū)δＪ阶R別概念的泛化 而在研究中對 概念的無限制的泛化只能使得問題無限擴大 并不利于實質(zhì) 性問題的研究 鑒于此 無時無刻不在影響著解題進程的元 認知的成分 問題的表征 解題的遷移 解題的回顧與反思 則是問題解決中另外的重要組成部分 因此 這里把問題解決中的模式識別界定為一種思維過 程的階段或者思維策略 認為它是解題的重要組成部分 但 并不是解題的全部 3 3 研究展望 在數(shù)學(xué)問題解決領(lǐng)域 對模式識別的研究已取得多方面 的進展 但整體上仍處于起步階段 仍有許多問題有待于進 一步研究深入 3 3 1 期望系統(tǒng)的理論研究 對學(xué)生問題解決中模式識別的認知過程僅限于些許的 領(lǐng)域的研究 例如文字應(yīng)用題 某些簡單的代數(shù)題 幾何題 研究方法上 傾向于半實驗室研究 即編制測試題以驗證模 式的存在 各研究散落于各文獻中 缺乏系統(tǒng)性的理論研究 特別是對于問題解決領(lǐng)域中的模式識別的分類 認知過程 水平等關(guān)鍵性的理論問題 期待系統(tǒng)的實質(zhì)性的研究 3 3 2 對學(xué)生問題解決中模式識別的認知過程與機理期待 實質(zhì)性的研究 現(xiàn)代認知心理學(xué)中 知覺領(lǐng)域?qū)τ谀Ｊ阶R別有一定的研 究 但僅限于純心理學(xué)的模型建構(gòu) 一旦滲透到數(shù)學(xué)學(xué)科教 學(xué)的領(lǐng)域中 往往變得生搬硬套 給數(shù)學(xué)教學(xué)披上了心理學(xué) 的外衣 但那僅僅是一張皮而已 在問題解決領(lǐng)域 又往往有波利亞的 你以前見過它 嗎 能利用它嗎 舍費爾德的 你能想到任何條件相 似或者結(jié)論相似的問題嗎 你是用什么方法解的 這些方 法現(xiàn)在能用嗎 這樣的引導(dǎo)性的語言 旨在指導(dǎo)學(xué)生解題 時注意與記憶中的模式相匹配 而對于學(xué)生匹配的認知過 程 如何做到多種模式的符合與疊加 期待在以后的研究中 給予實質(zhì)性的關(guān)注 3 3 3 對學(xué)生問題解決中模式識別的教學(xué)期待實驗研究 正由于缺乏系統(tǒng)的理論指導(dǎo) 對學(xué)生問題解決中模式識 別的教學(xué)僅限于點滴的經(jīng)驗性的探討之言 例如經(jīng)驗性的籠 統(tǒng)的 歸類 思想 要求學(xué)生集中于問題的結(jié)構(gòu)特征 而 非表面特征 等限于探討性的只言片語 缺乏教學(xué)的實驗性 研究 16 數(shù) 學(xué) 教 育 學(xué) 報 第 21 卷 利用實證研究 出聲思維與訪談相結(jié)合的方法 尋求影 響問題解決中模式識別的影響因素 探討其與其他因素如自 我監(jiān)控能力 思維品質(zhì) 學(xué)業(yè)成績等的關(guān)系 并在教學(xué)中加 以驗證等問題成為研究的必要 參 考 文 獻 1 亞歷山大洛夫 數(shù)學(xué) A 見 林夏水 數(shù)學(xué)哲學(xué)譯文集 C 北京 知識出版社 1986 2 布爾巴基 數(shù)學(xué)的建造 A 見 林夏水 數(shù)學(xué)哲學(xué)譯文集 C 北京 知識出版社 1986 3 鄭毓信 認知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的現(xiàn)代研究 M 上海 上海教育出版社 1998 4 喻平 數(shù)學(xué)教育心理學(xué) M 南寧 廣西教育出版社 2004 5 王甦 汪安圣 認知心理學(xué) M 北京 北京大學(xué)出版社 1992 6 林崇德 楊治良 黃希庭 心理學(xué)大辭典 M 上海 上海教育出版社 2003 7 彭耽齡 張必隱 認知心理學(xué) M 杭州 浙江教育出版社 2004 8 波利亞 怎樣解題 M 北京 科學(xué)出版社 1982 9 Schoenfeld A H Mathematical Problem Solving M Orlando Fl Academic Press 1985 10 羅增儒 數(shù)學(xué)解題學(xué)引論 M 西安 陜西師范大學(xué)出版社 1997 11 奧加涅相 中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)法 M 劉遠圖譯 北京 測繪出版社 1983 12 Greeno J G Advance in Instructional Psychology M Lawrence Erebaum Associates 1978 13 朱新明 解決幾何問題的思維過程 J 心理學(xué)報 1983 1 9 18 14 施鐵如 解代數(shù)應(yīng)用題的認知模式 J 心理學(xué)報 1985 3 296 303 15 Hinsley 文字應(yīng)用題求解中的模式識別 A 見 鄭毓信 認知科學(xué)建構(gòu)主義與數(shù)學(xué)教育 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)的現(xiàn) 代研究 C 上海 上海教育出版社 1998 16 李明振 數(shù)學(xué)建模的認知機制及其教學(xué)策略研究 D 西南大學(xué) 2007 17 弗里德曼 怎樣學(xué)會解數(shù)學(xué)題 M 陳淑敏 嚴世超譯 哈爾濱 黑龍江科學(xué)技術(shù)出版社 1981 Comments on Researches of Pattern Recognition Based on Mathematical Problem Solving YU Wen hua School of Mathematics Science Shandong Normal University Shandong Jinan 250000 China Abstract Studies about pattern recognition based on mathematical problem solving can be in divided into the following angles of views in the view of mathematical problem solving cogni