（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 概率、隨機(jī)變量及其分布 11.4 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用教師用書.doc

（浙江專用）2018版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 概率、隨機(jī)變量及其分布 11.4 二項(xiàng)分布及其應(yīng)用教師用書1相互獨(dú)立事件(1)設(shè)a，b為兩個(gè)事件，若p(ab)p(a)p(b)，則稱事件a與事件b相互獨(dú)立(2)若a與b相互獨(dú)立，則p(b|a)p(b)，p(ab)p(a)p(b|a)p(a)p(b)(3)若a與b相互獨(dú)立，則a與，與b，與也都相互獨(dú)立2二項(xiàng)分布(1)一般地，在相同條件下重復(fù)做的幾次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)(2)一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用x表示事件a發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件a發(fā)生的概率為p，則p(xk)cpk(1p)nk，k0,1,2，n.此時(shí)稱隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布，記為xb(n，p)，并稱p為成功概率3兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的均值、方差(1)若隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布，則e(x)p，d(x)p(1p)(2)若xb(n，p)，則e(x)np，d(x)np(1p)【思考辨析】判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊被颉啊?(1)“互斥”與“相互獨(dú)立”都是描述的兩個(gè)事件間的關(guān)系()(2)相互獨(dú)立事件就是互斥事件()(3)對于任意兩個(gè)事件，公式p(ab)p(a)p(b)都成立()(4)二項(xiàng)分布是一個(gè)概率分布，其公式相當(dāng)于(ab)n二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，其中ap，b1p.()1甲、乙兩個(gè)實(shí)習(xí)生每人加工一個(gè)零件，加工為一等品的概率分別為和，兩個(gè)零件是否加工為一等品相互獨(dú)立，則這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為()a. b. c. d.答案b解析設(shè)事件a：甲實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品；事件b：乙實(shí)習(xí)生加工的零件為一等品，則p(a)，p(b)，所以這兩個(gè)零件中恰有一個(gè)一等品的概率為p(a)p(b)p(a)p()p()p(b)(1)(1).2(教材改編)小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是()a. b. c. d.答案a解析所求概率pc()1(1)31.3(教材改編)國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為，假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為_答案解析記在國慶期間“甲去北京旅游”為事件a，“乙去北京旅游”為事件b，又p( )p()p()1p(a)1p(b)(1)(1)，“甲、乙二人至少有一人去北京旅游”的對立事件為“甲、乙二人都不去北京旅游”，故所求概率為1p( )1.4(教材改編)拋擲兩枚骰子，當(dāng)至少一枚5點(diǎn)或一枚6點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在10次試驗(yàn)中成功次數(shù)的均值為_答案解析拋擲兩枚骰子，當(dāng)兩枚骰子不出現(xiàn)5點(diǎn)和6點(diǎn)時(shí)的概率為，所以至少有一次出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)的概率為1，用x表示10次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則xb(10，)，e(x)10.題型一相互獨(dú)立事件的概率例1(2016青島模擬)為了分流地鐵高峰的壓力，某市發(fā)改委通過聽眾會，決定實(shí)施低峰優(yōu)惠票價(jià)制度不超過22千米的地鐵票價(jià)如下表：乘坐里程x(單位：km)0x66x1212x22票價(jià)(單位：元)345現(xiàn)有甲、乙兩位乘客，他們乘坐的里程都不超過22千米已知甲、乙乘車不超過6千米的概率分別為，甲、乙乘車超過6千米且不超過12千米的概率分別為，.求甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用不相同的概率解由題意可知，甲、乙乘車超過12千米且不超過22千米的概率分別為，則甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用相同的概率p1，所以甲、乙兩人所付乘車費(fèi)用不相同的概率p1p11.思維升華求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法(1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有：利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對立事件入手計(jì)算甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行排球決賽現(xiàn)在的情形是甲隊(duì)只要再贏一局就獲冠軍，乙隊(duì)需要再贏兩局才能得冠軍若兩隊(duì)勝每局的概率相同，則甲隊(duì)獲得冠軍的概率為()a. b.c. d.答案d解析設(shè)ai (i1,2)表示繼續(xù)比賽時(shí)，甲在第i局獲勝；b事件表示甲隊(duì)獲得冠軍，則ba1a2，p(b)p(a1)p(a2).題型二獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)例2甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是.假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立分別求甲隊(duì)以30,31,32勝利的概率解設(shè)“甲隊(duì)以30,31,32勝利”分別為事件a，b，c，則p(a)，p(b)c2，p(c)c22.思維升華在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且每次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過測試的概率為()a0.648 b0.432c0.36 d0.312答案a解析所求概率為c0.620.40.630.648.題型三二項(xiàng)分布的均值、方差例3某居民小區(qū)有兩個(gè)相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))a和b，系統(tǒng)a和系統(tǒng)b在任意時(shí)刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時(shí)刻至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)a在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及均值e()解(1)設(shè)“至少有一個(gè)系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件c，那么1p()1p，解得p.(2)由題意，得隨機(jī)變量可能的取值為0,1,2,3，則p(0)3，p(1)c2，p(2)c2，p(3)3.隨機(jī)變量的分布列為0123p故隨機(jī)變量的均值e()0123.(或b(3，)，e()3.)思維升華在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，求得概率，列出分布列某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為x，則x的均值為()a100 b200 c300 d400答案b解析記不發(fā)芽的種子數(shù)為y，則yb(1 000,0.1)，e(y)1 0000.1100.又x2y，e(x)e(2y)2e(y)200.16獨(dú)立事件與互斥事件典例(1)中國乒乓球隊(duì)甲、乙兩名運(yùn)動員參加奧運(yùn)乒乓球女子單打比賽，甲奪得冠軍的概率是，乙奪得冠軍的概率是，那么中國隊(duì)奪得女子乒乓球單打冠軍的概率為_(2)某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率都是，這名射手射擊5次，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外兩次未擊中目標(biāo)的概率是_錯(cuò)解展示解析(1)設(shè)“甲奪得冠軍”為事件a，“乙奪得冠軍”為事件b，則p(a)，p(b)，由a、b是相互獨(dú)立事件，得所求概率為p(a)p(b)p(ab).(2)所求概率pc()3()2.答案(1)(2)現(xiàn)場糾錯(cuò)解析(1)設(shè)“甲奪得冠軍”為事件a，“乙奪得冠軍”為事件b，則p(a)，p(b).a、b是互斥事件，p(ab)p(a)p(b).(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件ai(i1,2,3,4,5)，“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件a，則p(a)p(a1a2a345)p(1a2a3a45)p(12a3a4a5)32323.答案(1)(2)糾錯(cuò)心得(1)搞清事件之間的關(guān)系，不要混淆“互斥”與“獨(dú)立”(2)區(qū)分獨(dú)立事件與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).1(2016寧波模擬)一射手對同一目標(biāo)進(jìn)行4次射擊，且射擊結(jié)果之間互不影響已知至少命中一次的概率為，則此射手的命中率為()a. b. c. d.答案c解析設(shè)此射手未命中目標(biāo)的概率為p，則1p4，所以p，故1p.2已知a，b是兩個(gè)相互獨(dú)立事件，p(a)，p(b)分別表示它們發(fā)生的概率，則1p(a)p(b)是下列哪個(gè)事件的概率()a事件a，b同時(shí)發(fā)生b事件a，b至少有一個(gè)發(fā)生c事件a，b至多有一個(gè)發(fā)生d事件a，b都不發(fā)生答案c解析p(a)p(b)是指a，b同時(shí)發(fā)生的概率，1p(a)p(b)是a，b不同時(shí)發(fā)生的概率，即事件a，b至多有一個(gè)發(fā)生的概率3甲射擊命中目標(biāo)的概率是，乙命中目標(biāo)的概率是，丙命中目標(biāo)的概率是.現(xiàn)在三人同時(shí)射擊目標(biāo)，則目標(biāo)被擊中的概率為()a. b.c. d.答案a解析設(shè)“甲命中目標(biāo)”為事件a，“乙命中目標(biāo)”為事件b，“丙命中目標(biāo)”為事件c，則擊中目標(biāo)表示事件a，b，c中至少有一個(gè)發(fā)生又p( )p()p()p()1p(a)1p(b)1p(c).故目標(biāo)被擊中的概率p1p( ).4(2016長春模擬)一袋中有5個(gè)白球，3個(gè)紅球，現(xiàn)從袋中往外取球，每次任取一個(gè)記下顏色后放回，直到紅球出現(xiàn)10次時(shí)停止，設(shè)停止時(shí)共取了x次球，則p(x12)等于()ac()10()2 bc()9()2cc()9()2 dc()10()2答案d解析“x12”表示第12次取到紅球，前11次有9次取到紅球，2次取到白球，因此p(x12)c()9()2c()10()2.5(2017南昌質(zhì)檢)設(shè)隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布xb(5，)，則函數(shù)f(x)x24xx存在零點(diǎn)的概率是()a. b. c. d.答案c解析函數(shù)f(x)x24xx存在零點(diǎn)，164x0，x4.x服從xb(5，)，p(x4)1p(x5)1.6已知隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布，且e(x)2.4，d(x)1.44，則二項(xiàng)分布的參數(shù)n，p的值分別為()a4,0.6 b6,0.4c8,0.3 d24,0.1答案b解析由二項(xiàng)分布xb(n，p)及e(x)np，d(x)np(1p)得2.4np，且1.44np(1p)，解得n6，p0.4.故選b.7如圖所示的電路有a，b，c三個(gè)開關(guān)，每個(gè)開關(guān)開或關(guān)的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為_答案解析燈泡甲亮滿足的條件是a，c兩個(gè)開關(guān)都開，b開關(guān)必須斷開，否則短路設(shè)“a閉合”為事件a，“b閉合”為事件b，“c閉合”為事件c，則甲燈亮應(yīng)為事件ac，且a，b，c之間彼此獨(dú)立，且p(a)p(b)p(c)，由獨(dú)立事件概率公式知p(ac)p(a)p()p(c).8設(shè)隨機(jī)變量xb(2，p)，隨機(jī)變量yb(3，p)，若p(x1)，則p(y1)_.答案解析xb(2，p)，p(x1)1p(x0)1c(1p)2，解得p.又yb(3，p)，p(y1)1p(y0)1c(1p)3.9(2016臺州模擬)設(shè)事件a在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同，且在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，若事件a至少發(fā)生一次的概率為，則事件a恰好發(fā)生一次的概率為_答案解析設(shè)事件a發(fā)生的概率為p，由題意知(1p)31，解得p，則事件a恰好發(fā)生一次的概率為c()2.10國慶節(jié)放假，甲去北京旅游的概率為，乙、丙去北京旅游的概率分別為、.假定三人的行動相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為_答案解析用a、b、c分別表示甲、乙、丙三人去北京旅游這一事件，三人均不去的概率為p( )p()p()p().故至少有一人去北京旅游的概率為1.11(2016四川)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)x的均值是_答案解析由題意可知，在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功(即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為p1，2次獨(dú)立試驗(yàn)成功次數(shù)x滿足二項(xiàng)分布xb，則e(x)2.12某同學(xué)手里有三個(gè)球，依次投向編號為的三個(gè)盒子，每次投一個(gè)球假定該同學(xué)將球投進(jìn)號盒子的概率為，投進(jìn)號和號盒子的概率均為p(0p1)，且三個(gè)球是否投進(jìn)是相互獨(dú)立的記為該同學(xué)將球投進(jìn)盒子的個(gè)數(shù)若p(0)，則隨機(jī)變量的均值e()_，方差d()_.答案解析由p(0)(1)(1p)(1p)，0p1，得p，從而p(1)()2(1)c()2，p(2)c()2(1)()2，p(3)()2，所以e()0123，d()(0)2(1)2(2)2(3)2.13(2016西安模擬)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場價(jià)格(元/kg)610概率0.40.6(1)設(shè)x表示在這塊地上種植1季此作物的利潤，求x的分布列；(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤不少于2 000元的概率解(1)設(shè)a表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，b表示事件“作物市場價(jià)格為6 元/kg”，由題設(shè)知p(a)0.5，p(b)0.4，因?yàn)槔麧櫘a(chǎn)量市場價(jià)格成本所以x所有可能的取值為500101 0004 000,50061 0002 000，300101 0002 000,30061 000800.p(x4 000)p()p()(10.5)(10.4)0.3，p(x2 000)p()p(b)p(a)p()(10.5)0.40.5(10.4)0.5，p(x800)p(a)p(b)0.50.40.2，故x的分布列為x4 0002 00