邊界元與有限元.doc

邊界元與有限元邊界元法boundary element method定義：將力學(xué)中的微分方程的定解問題化為邊界積分方程的定解問題，再通過邊界的離散化與待定函數(shù)的分片插值求解的數(shù)值方法。 所屬學(xué)科：水利科技(一級(jí)學(xué)科) ；工程力學(xué)、工程結(jié)構(gòu)、建筑材料(二級(jí)學(xué)科) ；工程力學(xué)（水利）(三級(jí)學(xué)科) 邊界元法（boundary element method）是一種繼有限元法之后發(fā)展起來的一種新數(shù)值方法，與有限元法在連續(xù)體域內(nèi)劃分單元的基本思想不同，邊界元法是只在定義域的邊界上劃分單元,用滿足控制方程的函數(shù)去逼近邊界條件。所以邊界元法與有限元相比，具有單元個(gè)數(shù)少,數(shù)據(jù)準(zhǔn)備簡單等優(yōu)點(diǎn).但用邊界元法解非線性問題時(shí)，遇到同非線性項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的區(qū)域積分，這種積分在奇異點(diǎn)附近有強(qiáng)烈的奇異性，使求解遇到困難。 簡介邊界元法是在有限元法之后發(fā)展起來的一種較精確有效的工程數(shù)值分析方法。又稱邊界積分方程-邊界元法。它以定義在邊界上的邊界積分方程為控制方程，通過對(duì)邊界分元插值離散，化為代數(shù)方程組求解。它與基于偏微分方程的區(qū)域解法相比，由于降低了問題的維數(shù)，而顯著降低了自由度數(shù)，邊界的離散也比區(qū)域的離散方便得多，可用較簡單的單元準(zhǔn)確地模擬邊界形狀，最終得到階數(shù)較低的線性代數(shù)方程組。又由于它利用微分算子的解析的基本解作為邊界積分方程的核函數(shù)，而具有解析與數(shù)值相結(jié)合的特點(diǎn)，通常具有較高的精度。特別是對(duì)于邊界變量變化梯度較大的問題，如應(yīng)力集中問題，或邊界變量出現(xiàn)奇異性的裂紋問題，邊界元法被公認(rèn)為比有限元法更加精確高效。由于邊界元法所利用的微分算子基本解能自動(dòng)滿足無限遠(yuǎn)處的條件，因而邊界元法特別便于處理無限域以及半無限域問題。邊界元法的主要缺點(diǎn)是它的應(yīng)用范圍以存在相應(yīng)微分算子的基本解為前提，對(duì)于非均勻介質(zhì)等問題難以應(yīng)用，故其適用范圍遠(yuǎn)不如有限元法廣泛，而且通常由它建立的求解代數(shù)方程組的系數(shù)陣是非對(duì)稱滿陣，對(duì)解題規(guī)模產(chǎn)生較大限制。對(duì)一般的非線性問題，由于在方程中會(huì)出現(xiàn)域內(nèi)積分項(xiàng)，從而部分抵消了邊界元法只要離散邊界的優(yōu)點(diǎn)。 邊界元法的基礎(chǔ)邊界元法是基于控制微分方程的基本解來建立相應(yīng)的邊界積分方程，再結(jié)合邊界的剖分而得到的離散算式。Jaswon和Symm于1963年用間接邊界元法求解了位勢問題；Rizzo3于1967年用直接邊界元法求解了二維線彈性問題；Cruse4于1969年將此法推廣到三維彈性力學(xué)問題。1978年，Brebbia用加權(quán)余量法推導(dǎo)出了邊界積分方程，他指出加權(quán)余量法是最普遍的數(shù)值方法，如果以Kelvin解作為加權(quán)函數(shù)，從加權(quán)余量法中導(dǎo)出的將是邊界積分方程邊界元法，從而初步形成了邊界元法的理論體系，標(biāo)志著邊界元法進(jìn)入系統(tǒng)性研究時(shí)期。 邊界元法的發(fā)展經(jīng)過近40年的研究和發(fā)展，邊界元法已經(jīng)成為一種精確高效的工程數(shù)值分析方法。在數(shù)學(xué)方面，不僅在一定程度上克服了由于積分奇異性造成的困難，同時(shí)又對(duì)收斂性、誤差分析以及各種不同的邊界元法形式進(jìn)行了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)分析，為邊界元法的可行性和可靠性提供了理論基礎(chǔ)。在方法與應(yīng)用方面，現(xiàn)在，邊界元法已應(yīng)用到工程和科學(xué)的很多領(lǐng)域，對(duì)線性問題，邊界元法的應(yīng)用已經(jīng)規(guī)范化；對(duì)非線性問題，其方法亦趨于成熟。在軟件應(yīng)用方面，邊界元法應(yīng)用軟件已由原來的解決單一問題的計(jì)算程序向具有前后處理功能、可以解決多種問題的邊界元法程序包發(fā)展。我國約在1978年開始進(jìn)行邊界元法的研究，目前，我國的學(xué)者在求解各種問題的邊界元法的研究方面做了很多的工作，并且發(fā)展了相應(yīng)的計(jì)算軟件，有些已經(jīng)應(yīng)用于工程實(shí)際問題，并收到了良好的效果。有限單元法有限單元法，是一種有效解決數(shù)學(xué)問題的解題方法。其基礎(chǔ)是變分原理和加權(quán)余量法，其基本求解思想是把計(jì)算域劃分為有限個(gè)互不重疊的單元，在每個(gè)單元內(nèi)，選擇一些合適的節(jié)點(diǎn)作為求解函數(shù)的插值點(diǎn)，將微分方程中的變量改寫成由各變量或其導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)值與所選用的插值函數(shù)組成的線性表達(dá)式，借助于變分原理或加權(quán)余量法，將微分方程離散求解。采用不同的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)形式，便構(gòu)成不同的有限元方法。有限元方法最早應(yīng)用于結(jié)構(gòu)力學(xué)，后來隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展慢慢用于流體力學(xué)的數(shù)值模擬。簡介在有限元方法中，把計(jì)算域離散剖分為有限個(gè)互不重疊且相互連接的單元，在每個(gè)單元內(nèi)選擇基函數(shù)，用單元基函數(shù)的線形組合來逼近單元中的真解，整個(gè)計(jì)算域上總體的基函數(shù)可以看為由每個(gè)單元基函數(shù)組成的，則整個(gè)計(jì)算域內(nèi)的解可以看作是由所有單元上的近似解構(gòu)成。在河道數(shù)值模擬中，常見的有限元計(jì)算方法是由變分法和加權(quán)余量法發(fā)展而來的里茲法和伽遼金法、最小二乘法等。根據(jù)所采用的權(quán)函數(shù)和插值函數(shù)的不同，有限元方法也分為多種計(jì)算格式。從權(quán)函數(shù)的選擇來說，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽遼金法，從計(jì)算單元網(wǎng)格的形狀來劃分，有三角形網(wǎng)格、四邊形網(wǎng)格和多邊形網(wǎng)格，從插值函數(shù)的精度來劃分，又分為線性插值函數(shù)和高次插值函數(shù)等。不同的組合同樣構(gòu)成不同的有限元計(jì)算格式。對(duì)于權(quán)函數(shù)，伽遼金(Galerkin)法是將權(quán)函數(shù)取為逼近函數(shù)中的基函數(shù)；最小二乘法是令權(quán)函數(shù)等于余量本身，而內(nèi)積的極小值則為對(duì)代求系數(shù)的平方誤差最??；在配置法中，先在計(jì)算域內(nèi)選取N個(gè)配置點(diǎn)。令近似解在選定的N個(gè)配置點(diǎn)上嚴(yán)格滿足微分方程，即在配置點(diǎn)上令方程余量為0。插值函數(shù)一般由不同次冪的多項(xiàng)式組成，但也有采用三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)組成的乘積表示，但最常用的多項(xiàng)式插值函數(shù)。有限元插值函數(shù)分為兩大類，一類只要求插值多項(xiàng)式本身在插值點(diǎn)取已知值，稱為拉格朗日(Lagrange)多項(xiàng)式插值；另一種不僅要求插值多項(xiàng)式本身，還要求它的導(dǎo)數(shù)值在插值點(diǎn)取已知值，稱為哈密特(Hermite)多項(xiàng)式插值。單元坐標(biāo)有笛卡爾直角坐標(biāo)系和無因次自然坐標(biāo)，有對(duì)稱和不對(duì)稱等。常采用的無因次坐標(biāo)是一種局部坐標(biāo)系，它的定義取決于單元的幾何形狀，一維看作長度比，二維看作面積比，三維看作體積比。在二維有限元中，三角形單元應(yīng)用的最早，近來四邊形等參元的應(yīng)用也越來越廣。對(duì)于二維三角形和四邊形電源單元，常采用的插值函數(shù)為有Lagrange插值直角坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)及二階或更高階插值函數(shù)、面積坐標(biāo)系中的線性插值函數(shù)、二階或更高階插值函數(shù)等。 其基本思路和解題步驟(1)建立積分方程，根據(jù)變分原理或方程余量與權(quán)函數(shù)正交化原理，建立與微分方程初邊值問題等價(jià)的積分表達(dá)式，這是有限元法的出發(fā)點(diǎn)。 (2)區(qū)域單元剖分，根據(jù)求解區(qū)域的形狀及實(shí)際問題的物理特點(diǎn)，將區(qū)域剖分為若干相互連接、不重疊的單元。區(qū)域單元?jiǎng)澐质遣捎糜邢拊椒ǖ那捌跍?zhǔn)備工作，這部分工作量比較大，除了給計(jì)算單元和節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)和確定相互之間的關(guān)系之外，還要表示節(jié)點(diǎn)的位置坐標(biāo)，同時(shí)還需要列出自然邊界和本質(zhì)邊界的節(jié)點(diǎn)序號(hào)和相應(yīng)的邊界值。 (3)確定單元基函數(shù)，根據(jù)單元中節(jié)點(diǎn)數(shù)目及對(duì)近似解精度的要求，選擇滿足一定插值條件的插值函數(shù)作為單元基函數(shù)。有限元方法中的基函數(shù)是在單元中選取的，由于各單元具有規(guī)則的幾何形狀，在選取基函數(shù)時(shí)可遵循一定的法則。 (4)單元分析：將各個(gè)單元中的求解函數(shù)用單元基函數(shù)的線性組合表達(dá)式進(jìn)行逼近；再將近似函數(shù)代入積分方程，并對(duì)單元區(qū)域進(jìn)行積分，可獲得含有待定系數(shù)(即單元中各節(jié)點(diǎn)的參數(shù)值)的代數(shù)方程組，稱為單元有限元方程。 (5)總體合成：在得出單元有限元方程之后，將區(qū)域中所有單元有限元方程按一定法則進(jìn)行累加，形成總體有限元方程。 (6)邊界條件的處理：一般邊界條件有三種形式，分為本質(zhì)邊界條件(狄里克雷邊界條件 )、自然邊界條件(黎曼邊界條件)、混合邊界條件(柯西邊界條件)。對(duì)于自然邊界條件，一般在積分表達(dá)式中可自動(dòng)得到滿足。對(duì)于本質(zhì)邊界條件和混合邊界條件，需按一定法則對(duì)總體有限元方程進(jìn)行修正滿足。 (7)解有限元方程：根據(jù)邊界條件修正的總體有限元方程組，是含所有待定未知量的封閉方程組，采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值計(jì)算方法求解，可求得各節(jié)點(diǎn)的函數(shù)值。有限元有限元法（FEA，F(xiàn)inite Element Analysis）的基本概念是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的(較簡單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。 簡介Finite Element有限單元法是隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展而迅速發(fā)展起來的一種現(xiàn)代計(jì)算方法。它是50年代首先在連續(xù)體力學(xué)領(lǐng)域-飛機(jī)結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)態(tài)特性分析中應(yīng)用的一種有效的數(shù)值分析方法，隨后很快廣泛的應(yīng)用于求解熱傳導(dǎo)、電磁場、流體力學(xué)等連續(xù)性問題。有限元法分析計(jì)算的思路和做法可歸納如下： 1） 物體離散化將某個(gè)工程結(jié)構(gòu)離散為由各種單元組成的計(jì)算模型，這一步稱作單元剖分。離散后單元與單元之間利用單元的節(jié)點(diǎn)相互連接起來；單元節(jié)點(diǎn)的設(shè)置、性質(zhì)、數(shù)目等應(yīng)視問題的性質(zhì)，描述變形形態(tài)的需要和計(jì)算進(jìn)度而定（一般情況單元?jiǎng)澐衷郊?xì)則描述變形情況越精確，即越接近實(shí)際變形，但計(jì)算量越大）。所以有限元中分析的結(jié)構(gòu)已不是原有的物體或結(jié)構(gòu)物，而是同新材料的由眾多單元以一定方式連接成的離散物體。這樣，用有限元分析計(jì)算所獲得的結(jié)果只是近似的。如果劃分單元數(shù)目非常多而又合理，則所獲得的結(jié)果就與實(shí)際情況相符合。 2） 單元特性分析A、選擇位移模式在有限單元法中，選擇節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為位移法；選擇節(jié)點(diǎn)力作為基本未知量時(shí)稱為力法；取一部分節(jié)點(diǎn)力和一部分節(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量時(shí)稱為混合法。位移法易于實(shí)現(xiàn)計(jì)算自動(dòng)化，所以，在有限單元法中位移法應(yīng)用范圍最廣。當(dāng)采用位移法時(shí)，物體或結(jié)構(gòu)物離散化之后，就可把單元總的一些物理量如位移，應(yīng)變和應(yīng)力等由節(jié)點(diǎn)位移來表示。這時(shí)可以對(duì)單元中位移的分布采用一些能逼近原函數(shù)的近似函數(shù)予以描述。通常，有限元法我們就將位移表示為坐標(biāo)變量的簡單函數(shù)。這種函數(shù)稱為位移模式或位移函數(shù)。B、分析單元的力學(xué)性質(zhì)根據(jù)單元的材料性質(zhì)、形狀、尺寸、節(jié)點(diǎn)數(shù)目、位置及其含義等，找出單元節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，這是單元分析中的關(guān)鍵一步。此時(shí)需要應(yīng)用彈性力學(xué)中的幾何方程和物理方程來建立力和位移的方程式，從而導(dǎo)出單元?jiǎng)偠染仃?，這是有限元法的基本步驟之一。C、計(jì)算等效節(jié)點(diǎn)力物體離散化后，假定力是通過節(jié)點(diǎn)從一個(gè)單元傳遞到另一個(gè)單元。但是，對(duì)于實(shí)際的連續(xù)體，力是從單元的公共邊傳遞到另一個(gè)單元中去的。因而，這種作用在單元邊界上的表面力、體積力和集中力都需要等效的移到節(jié)點(diǎn)上去，也就是用等效的節(jié)點(diǎn)力來代替所有作用在單元上的力。 3） 單元組集利用結(jié)構(gòu)力的平衡條件和邊界條件把各個(gè)單元按原來的結(jié)構(gòu)重新連接起來，形成整體的有限元方程（1-1）式中，K是整體結(jié)構(gòu)的剛度矩陣；q是節(jié)點(diǎn)位移列陣；f是載荷列陣。 4）求解未知節(jié)點(diǎn)位移解有限元方程式（1-1）得出位移。這里，可以根據(jù)方程組的具體特點(diǎn)來選擇合適的計(jì)算方法。通過上述分析，可以看出，有限單元法的基本思想是一分一合，分是為了就進(jìn)行單元分析，合則為了對(duì)整體結(jié)構(gòu)進(jìn)行綜合分析。有限元的發(fā)展概況1943年 courant在論文中取定義在三角形域上分片連續(xù)函數(shù)，利用最小勢能原理研究St.Venant的扭轉(zhuǎn)問題。1960年 clough的平面彈性論文中用“有限元法”這個(gè)名稱。 1965年 馮康發(fā)表了論文“基于變分原理的差分格式”，這篇論文是國際學(xué)術(shù)界承認(rèn)我國獨(dú)立發(fā)展有限元方法的主要依據(jù)。1970年隨著計(jì)算機(jī)和軟件的發(fā)展，有限元發(fā)展起來。涉及的內(nèi)容：有限元所依據(jù)的理論，單元的劃分原則，形狀函數(shù)的選取及協(xié)調(diào)性。有限元法涉及：數(shù)值計(jì)算方法及其誤差、收斂性和穩(wěn)定性。應(yīng)用范圍：固體力學(xué)、流體力學(xué)、熱傳導(dǎo)、電磁學(xué)、聲學(xué)、生物力學(xué)求解的情況：桿、梁、板、殼、塊體等各類單元構(gòu)成的彈性（線性和非線性）、彈塑性或塑性問題（包括靜力和動(dòng)力問題）。能求解各類場分布問題（流體場、溫度場、電磁場等的穩(wěn)態(tài)和瞬態(tài)問題），水流管路、電路、潤滑、噪聲以及固體、流體、溫度相互作用的問題。有限元法有限元法英文名稱：finite element method 定義：一種將連續(xù)體離散化為若干個(gè)有限大小的單元體的集合，以求解連續(xù)體力學(xué)問題的數(shù)值方法。 所屬學(xué)科：水利科技(一級(jí)學(xué)科) ；工程力學(xué)、工程結(jié)構(gòu)、建筑材料(二級(jí)學(xué)科) ；工程力學(xué)（水利）(三級(jí)學(xué)科) 有限元法（finite element method）是一種高效能、常用的計(jì)算方法。有限元法在早期是以變分原理為基礎(chǔ)發(fā)展起來的，所以它廣泛地應(yīng)用于以拉普拉斯方程和泊松方程所描述的各類物理場中（這類場與泛函的極值問題有著緊密的聯(lián)系）。自從1969年以來，某些學(xué)者在流體力學(xué)中應(yīng)用加權(quán)余數(shù)法中的迦遼金法(Galerkin)或最小二乘法等同樣獲得了有限元方程，因而有限元法可應(yīng)用于以任何微分方程所描述的各類物理場中，而不再要求這類物理場和泛函的極值問題有所聯(lián)系?；舅枷耄河山饨o定的泊松方程化為求解泛函的極值問題。 原理將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來分片的表示求解域上待求的未知場函數(shù)，近似函數(shù)通常由未知場函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在單元各節(jié)點(diǎn)的數(shù)值插值函數(shù)來表達(dá)。從而使一個(gè)連續(xù)的無限自由度問題變成離散的有限自由度問題。 運(yùn)用步驟步驟1：剖分: 將待解區(qū)域進(jìn)行分割，離散成有限個(gè)元素的集合元素（單元）的形狀原則上是任意的二維問題一般采用三角形單元或矩形單元，三維空間可采用四面體或多面體等每個(gè)單元的頂點(diǎn)稱為節(jié)點(diǎn)（或結(jié)點(diǎn)）步驟2：單元分析: 進(jìn)行分片插值，即將分割單元中任意點(diǎn)的未知函數(shù)用該分割單元中形狀函數(shù)及離散網(wǎng)格點(diǎn)上的函數(shù)值展開，即建立一個(gè)線性插值函數(shù)步驟3：求解近似變分方程用有限個(gè)單元將連續(xù)體離散化，通過對(duì)有限個(gè)單元作分片插值求解各種力學(xué)、物理問題的一種數(shù)值方法。有限元法把連續(xù)體離散成有限個(gè)單元：桿系結(jié)構(gòu)的單元是每一個(gè)桿件；連續(xù)體的單元是各種形狀（如三角形、四邊形、六面體等）的單元體。每個(gè)單元的場函數(shù)是只包含有限個(gè)待定節(jié)點(diǎn)參量的簡單場函數(shù)，這些單元場函數(shù)的集合就能近似代表整個(gè)連續(xù)體的場函數(shù)。根據(jù)能量方程或加權(quán)殘量方程可建立有限個(gè)待定參量的代數(shù)方程組，求解此離散方程組就得到有限元法的數(shù)值解。有限元法已被用于求解線性和非線性問題，并建立了各種有限元模型，如協(xié)調(diào)、不協(xié)調(diào)、混合、雜交、擬協(xié)調(diào)元等。有限元法十分有效、通用性強(qiáng)、應(yīng)用廣泛，已有許多大型或?qū)Ｓ贸绦蛳到y(tǒng)供工程設(shè)計(jì)使用。結(jié)合計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)技術(shù)，有限元法也被用于計(jì)算機(jī)輔助制造中。有限單元法最早可上溯到20世紀(jì)40年代。Courant第一次應(yīng)用定義在三角區(qū)域上的分片連續(xù)函數(shù)和最小位能原理來求解St.Venant扭轉(zhuǎn)問題。現(xiàn)代有限單元法的第一個(gè)成功的嘗試是在 1956年，Turner、Clough等人在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時(shí)，將鋼架位移法推廣應(yīng)用于彈性力學(xué)平面問題，給出了用三角形單元求得平面應(yīng)力問題的正確答案。1960年，Clough進(jìn)一步處理了平面彈性問題，并第一次提出了有限單元法，使人們認(rèn)識(shí)到它的功效。我國著名力學(xué)家，教育家徐芝綸院士（河海大學(xué)教授）首次將有限元法引入我國，對(duì)它的應(yīng)用起了很大的推動(dòng)作用。 派生從有限元的基本方法派生出來的方法很多，則稱為三維單元。如有限條法、邊界元法、雜交元法、非協(xié)調(diào)元法和擬協(xié)調(diào)元法等，用以解決特殊的問題。有限元分析有限元分析（FEA，F(xiàn)inite Element Analysis）利用數(shù)學(xué)近似的方法對(duì)真實(shí)物理系統(tǒng)（幾何和載荷工況）進(jìn)行模擬。還利用簡單而又相互作用的元素，即單元，就可以用有限數(shù)量的未知量去逼近無限未知量的真實(shí)系統(tǒng)。 簡介有限元分析是用較簡單的問題代替復(fù)雜問題后再求解。它將求解域看成是由許多稱為有限元的小的互連子域組成，對(duì)每一單元假定一個(gè)合適的(較簡單的）近似解，然后推導(dǎo)求解這個(gè)域總的滿足條件(如結(jié)構(gòu)的平衡條件），從而得到問題的解。這個(gè)解不是準(zhǔn)確解，而是近似解，因?yàn)閷?shí)際問題被較簡單的問題所代替。由于大多數(shù)實(shí)際問題難以得到準(zhǔn)確解，而有限元不僅計(jì)算精度高，而且能適應(yīng)各種復(fù)雜形狀，因而成為行之有效的工程分析手段。有限元是那些集合在一起能夠表示實(shí)際連續(xù)域的離散單元。有限元的概念早在幾個(gè)世紀(jì)前就已產(chǎn)生并得到了應(yīng)用，例如用多邊形（有限個(gè)直線單元）逼近圓來求得圓的周長，但作為一種方法而被提出，則是最近的事。有限元法最初被稱為矩陣近似方法，應(yīng)用于航空器的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度計(jì)算，并由于其方便性、實(shí)用性和有效性而引起從事力學(xué)研究的科學(xué)家的濃厚興趣。經(jīng)過短短數(shù)十年的努力，隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的快速發(fā)展和普及，有限元方法迅速從結(jié)構(gòu)工程強(qiáng)度分析計(jì)算擴(kuò)展到幾乎所有的科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域，成為一種豐富多彩、應(yīng)用廣泛并且實(shí)用高效的數(shù)值分析方法。 特點(diǎn)有限元方法與其他求解邊值問題近似方法的根本區(qū)別在于它的近似性僅限于相對(duì)小的子域中。20世紀(jì)60年代初首次提出結(jié)構(gòu)力學(xué)計(jì)算有限元概念的克拉夫（Clough）教授形象地將其描繪為：“有限元法=Rayleigh Ritz法分片函數(shù)”，即有限元法是Rayleigh Ritz法的一種局部化情況。不同于求解（往往是困難的）滿足整個(gè)定義域邊界條件的允許函數(shù)的Rayleigh Ritz法，有限元法將函數(shù)定義在簡單幾何形狀（如二維問題中的三角形或任意四邊形）的單元域上（分片函數(shù)），且不考慮整個(gè)定義域的復(fù)雜邊界條件，這是有限元法優(yōu)于其他近似方法的原因之一。 步驟對(duì)于不同物理性質(zhì)和數(shù)學(xué)模型的問題，有限元求解法的基本步驟是相同的，只是具體公式推導(dǎo)和運(yùn)算求解不同。有限元求解問題的基本步驟通常為：第一步：問題及求解域定義：根據(jù)實(shí)際問題近似確定求解域的物理性質(zhì)和幾何區(qū)域。第二步：求解域離散化：將求解域近似為具有不同有限大小和形狀且彼此相連的有限個(gè)單元組成的離散域，習(xí)慣上稱為有限元網(wǎng)絡(luò)劃分。顯然單元越小（網(wǎng)絡(luò)越細(xì)）則離散域的近似程度越好，計(jì)算結(jié)果也越精確，但計(jì)算量及誤差都將增大，因此求解域的離散化是有限元法的核心技術(shù)之一。第三步：確定狀態(tài)變量及控制方法：一個(gè)具體的物理問題通常可以用一組包含問題狀態(tài)變量邊界條件的微分方程式表示，為適合有限元求解，通常將微分方程化為等價(jià)的泛函形式。第四步：單元推導(dǎo)：對(duì)單元構(gòu)造一個(gè)適合的近似解，即推導(dǎo)有限單元的列式，其中包括選擇合理的單元坐標(biāo)系，建立單元試函數(shù)，以某種方法給出單元各狀態(tài)變量的離散關(guān)系，從而形成單元矩陣（結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱剛度陣或柔度陣）。為保證問題求解的收斂性，單元推導(dǎo)有許多原則要遵循。對(duì)工程應(yīng)用而言，重要的是應(yīng)注意每一種單元的解題性能與約束。例如，單元形狀應(yīng)以規(guī)則為好，畸形時(shí)不僅精度低，而且有缺秩的危險(xiǎn)，將導(dǎo)致無法求解。第五步：總裝求解：將單元總裝形成離散域的總矩陣方程（聯(lián)合方程組），反映對(duì)近似求解域的離散域的要求，即單元函數(shù)的連續(xù)性要滿足一定的連續(xù)條件?？傃b是在相鄰單元結(jié)點(diǎn)進(jìn)行，狀態(tài)變量及其導(dǎo)數(shù)（可能的話）連續(xù)性建立在結(jié)點(diǎn)處。第六步：聯(lián)立方程組求解和結(jié)果解釋：有限元法最終導(dǎo)致聯(lián)立方程組。聯(lián)立方程組的求解可用直接法、選代法和隨機(jī)法。求解結(jié)果是單元結(jié)點(diǎn)處狀態(tài)變量的近似值。對(duì)于計(jì)算結(jié)果的質(zhì)量，將通過與設(shè)計(jì)準(zhǔn)則提供的允許值比較來評(píng)價(jià)并確定是否需要重復(fù)計(jì)算。簡言之，有限元分析可分成三個(gè)階段，前處理、處理和后處理。前處理是建立有限元模型，完成單元網(wǎng)格劃分；后處理則是采集處理分析結(jié)果，使用戶能簡便提取信息，了解計(jì)算結(jié)果。 常用軟件大型通用有限元商業(yè)軟件：NASTRAN,ASKA,SAP,ANSYS,MARC,ABAQUS,JIFEX等。有限單元法是當(dāng)前工程技術(shù)領(lǐng)域中最常用最有效的數(shù)值計(jì)算方法，本書共有7章，依次介紹了有限單元法的理論基礎(chǔ)、桿系結(jié)構(gòu)單元、平面三角形單元、平面四邊形等參數(shù)單元，并對(duì)有限元線性方程組的求解方法進(jìn)行了介紹。為了增強(qiáng)本書的實(shí)用性，最后用一章的篇幅介紹了在使用有限元時(shí)的相關(guān)注意問題。本書可作為巖土工程、采礦工程、工程力學(xué)、機(jī)械工程、水利工程等工科專業(yè)碩士研究生和本科生教材，也可供從事相關(guān)專業(yè)工程人員參考。目錄1緒論1.1概述1.2有限元法的分析過程1.3有限元法的發(fā)展歷程1.4習(xí)題2有限單元法理論基礎(chǔ)2.1有限元原理與變分原理的關(guān)系2.2彈性力學(xué)基本方程2.2.1平衡方程2.2.2幾何方程2.2.3物理方程2.3虛功原理2.3.1虛位移2.3.2外力虛功與內(nèi)力虛功2.3.3實(shí)功與虛功2.3.4虛應(yīng)變能2.3.5虛功原理2.4位移模式與形函數(shù)2.4.1位移模式2.4.2形函數(shù)2.5剛度與剛度矩陣2.6習(xí)題3桿系結(jié)構(gòu)單元3.1引言3.2簡單桿系結(jié)構(gòu)有限元分析3.3平面桿單元?jiǎng)偠染仃?.4整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?.5結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)平衡方程3.6算例分析及程序3.6.1算例分析3.6.2總框圖及程序3.7習(xí)題4平面三角形單元4.1簡單三角形單元的位移模式4.1.1位移模式與形函數(shù)4.1.2位移函數(shù)的收斂條件4.2應(yīng)變矩陣、應(yīng)力矩陣與單元?jiǎng)偠染仃?.2.1單元應(yīng)變，應(yīng)變矩陣4.2.2應(yīng)力矩陣4.2.3單元?jiǎng)偠染仃?.2.4單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)4.3等效結(jié)點(diǎn)載荷4.3.1集中力的移置4.3.2體力的移置4.3.3面力的移置4.3.4線性位移模式下的載荷移置4.4整體分析4.4.1總體剛度方程4.4.2總體剛度矩陣的性質(zhì)4.5位移邊界條件的處理4.5.1對(duì)角元素改1法4.5.2乘大數(shù)法4.5.3降階法4.6計(jì)算步驟與算例分析4.6.1求解過程及步驟4.6.2算例分析4.7計(jì)算成果的整理4.7.1繞結(jié)點(diǎn)平均法4.7.2兩單元平均法4.8平面問題高次單元5平面四邊形等參數(shù)單元6線性方程組的解法7劃分單元網(wǎng)格的注意事項(xiàng)主要符號(hào)表參考文獻(xiàn)韓厚德教授是國內(nèi)有限元領(lǐng)域的知名專家，在有限元方法、無限元方法、邊界元方法及無界區(qū)域上偏微分方程的數(shù)值解等領(lǐng)域中取得了一系列重要研究成果有限差分法雖然歷史久遠(yuǎn)，但由于理論比較完整，在目前的教科書中仍占有重要地位。它直接從微分方程出發(fā)，將求解區(qū)域劃分成網(wǎng)格，近似地用差分、差商代替微分、微商，于是無限自由度的問題化成了有限自由度的問題。這種方法在解決規(guī)則邊界的問題時(shí)極為方便，但也正是由于這種限制而增加了它的局限性，即對(duì)于非規(guī)則邊界的問題適用性較差。有限元法的重要?dú)w化途徑是從微分方程所對(duì)應(yīng)的泛函出發(fā)，用變分原理結(jié)合區(qū)域剖分得到離散算式-代數(shù)方程組。它克服了有限差分法對(duì)區(qū)域形狀的限制，對(duì)于各種形狀的邊界都能靈活處理，有限元法是目前工程計(jì)算的主要手段，這種方法的主要困難有兩個(gè)：一是要找出微分方程對(duì)應(yīng)的變分式，二是由于區(qū)域的剖分隨著網(wǎng)格的加細(xì)而使方程組的維數(shù)增大，盡管使用電子計(jì)算機(jī)仍不能達(dá)到快速、精確的要求。工程師們正在期待著新一代計(jì)算方法的出現(xiàn)。目錄:第一章邊界元方法基礎(chǔ)1. 1 定解問題1. 2 加權(quán)余量法1. 3 變分法概述1. 4 位勢問題的加權(quán)余量法1. 5 Dirac- 函數(shù)1. 6 基本解1. 7 積分方程1. 8 邊界積分方程1. 9 格林公式及其應(yīng)用1. 10 廣義傅里葉展開1. 11 特征函數(shù)及基本解1. 12 積分的算術(shù)化1. 13 二重積分的離散計(jì)算第二章 位勢問題的邊界元方法2. 1 積分方程的離散2. 2 邊界積分的計(jì)算2. 3 一維數(shù)值積分2. 4 多表面問題與無窮域問題2. 5 泊松方程2. 6 二維數(shù)值積分2. 7 線性單元2. 8 高次單元2. 9 角點(diǎn)問題第三章 流體力學(xué)的邊界元方法3. 1 流體力學(xué)基本方程組3. 2 不可壓粘性流體定常運(yùn)動(dòng)的邊界元方法3. 3 二維粘性流動(dòng)的內(nèi)流問題3. 4 多體內(nèi)流問題3. 5 二維低雷諾數(shù)無界粘性繞流問題3. 6 三維粘性流動(dòng)的內(nèi)流問題3. 7 三維無界粘性繞流問題3. 8 非線性問題3. 9 用邊界元方法對(duì)潤滑問題的研究3. 10 生物力學(xué)中片流問題3. 11 正交各向異性問題3. 12 變系數(shù)滲流場問題第四章 彈性問題的邊界元方法4. 1 張量符號(hào)4. 2 彈性力學(xué)的基本方程4. 3 平面問題4. 4 平面問題的基本解4. 5 彈性問題的加權(quán)余量法4. 6 積分方程4. 7 邊界積分方程4. 8 積分方程的離散4. 9 邊界積分的計(jì)算4. 10 應(yīng)力4. 11 三維問題的基本解, 開爾文問題4. 12 三維問題的基本公式第五章 邊界元方法在工程中的應(yīng)用5. 1 亥姆霍茲方程5. 2 電磁問題5. 3 彈性柱體的扭轉(zhuǎn)5. 4 梁的彎曲5. 5 非齊次亥姆霍茲方程5. 6 變系數(shù)非齊次亥姆霍茲方程5. 7 熱彈性問題5. 8 區(qū)域劃分法5. 9 邊界元與有限元的耦合5. 10 具有線性算子非線性問題的邊界元計(jì)算5. 11 非線性問題示例5. 12 非線性擴(kuò)散問題的迭代法5. 13 復(fù)數(shù)域上的耦合方法參考文獻(xiàn)求解偏微分方程邊值問題、初邊值問題的邊界元方法的數(shù)學(xué)理論及數(shù)值算法，系統(tǒng)地介紹了把幾種常見的數(shù)學(xué)物理方程的邊值或初邊值問題轉(zhuǎn)化為邊界積分方程求解的各種途徑，以及離散化求解邊界積分方程的數(shù)值計(jì)算方法，包括配點(diǎn)法、Galerkin方法、基于邊界積分方程的無網(wǎng)絡(luò)算法等。書中簡要論述了必備的泛函分析及微分算子基礎(chǔ)知識(shí)，著重論證了在帶權(quán)的Sobolev空間中利用與邊界積分方程等價(jià)的變分形式來分析邊界元近似解的收斂性和估計(jì)誤差的方法。有限差分法雖然歷史久遠(yuǎn)，但由于理論比較完整，在目前的教科書中仍占有重要地位。它