10 03 隨機(jī)變量的數(shù)字特征.doc

10 03 隨機(jī)變量的數(shù)字特征1、概念網(wǎng)絡(luò)圖第四章一、 數(shù)學(xué)期望（一）一維隨機(jī)變量1.離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)的和為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望（簡稱期望或均2、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，若積分絕對(duì)收斂，則稱積分的值為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，記為，即：=（二）二維隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望對(duì)二維隨機(jī)變量.，定義它的數(shù)學(xué)期望為1.二維離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布律為：則 =， =2. 二維連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望設(shè)二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，則 =，=（三）隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為，是實(shí)值連續(xù)函數(shù)，且級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.2. 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度為，是實(shí)值連續(xù)函數(shù)，且廣義積分絕對(duì)收斂，則隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望為.（四）數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)：（1） 設(shè)是常數(shù)，則有（2） 設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是常數(shù)，則有.（3） 設(shè)是兩個(gè)隨機(jī)變量，則有.（可推廣到維）（4） 設(shè)是兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有二、方差1.定義式：D(X)=EX-E(X)2，標(biāo)準(zhǔn)差：離散型：連續(xù)型：2.方差常用計(jì)算公式.3. 方差的性質(zhì)（1）設(shè)是常數(shù)，則有，（2）設(shè)是一個(gè)隨機(jī)變量，是常數(shù)，則有.（3）設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有.（可推廣到維）一般地，設(shè)是任意兩個(gè)隨機(jī)變量，則有（4） =0的充分必要條件是一概率1取常數(shù)，即，顯然，這里常見分布的期望和方差期望方差0-1分布p二項(xiàng)分布np泊松分布幾何分布超幾何分布均勻分布指數(shù)分布正態(tài)分布n2nt分布0(n2)三、協(xié)方差1.定義1：稱為隨機(jī)變量的協(xié)方差記為，即 =2.協(xié)方差的常用公式：=（按定義展開即得）3.協(xié)方差的性質(zhì)（1）；（2）=；（3）=為任意常數(shù)；（4）=+；（5）如果是相互獨(dú)立的，則=0。四、相關(guān)系數(shù)1.定義2：設(shè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差都存在，稱為隨機(jī)變量的相關(guān)系數(shù)。2.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：（1）（2）的充分必要條件為，存在常數(shù)使得。當(dāng)，稱與不相關(guān)；當(dāng)時(shí)，稱X與Y完全相關(guān)：完全相關(guān)五、矩對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階原點(diǎn)矩，記為vk,即k=E(Xk), k=1,2, .對(duì)于正整數(shù)k，稱隨機(jī)變量X與E（X）差的k次冪的數(shù)學(xué)期望為X的k階中心矩，記為，即， k=1,2, .六、二維正態(tài)分布及其邊緣分布1.定義：若二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度為：其中都是常數(shù)，且，我們稱為服從參數(shù)為的二維正態(tài)分布記為2.說明：參數(shù)分別是和的數(shù)學(xué)期望，參數(shù)分別是它們的標(biāo)準(zhǔn)差，參數(shù)是它們的相關(guān)系數(shù)。3. 二維正態(tài)分布的邊緣概率密度4. 二維正態(tài)分布的聯(lián)合概率密度與邊緣概率密度的關(guān)系二維隨機(jī)變量服從二維正態(tài)分布，則隨機(jī)變量和相互獨(dú)立的充分必要條件是。即二維正態(tài)隨機(jī)變量，和不相關(guān)與和相互獨(dú)立是等價(jià)的。常見題型1、一維隨機(jī)變量及其函數(shù)的數(shù)字特征1. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為試求：（1）常數(shù)c；（2）E（X），D（X）；（3）P|X-E（X）| 0. 試求U，V的相關(guān)系數(shù)。 7. （01，3分）將一枚硬幣重復(fù)擲n次，以X和Y分別表示正面向上或反面向上的次數(shù)，則X和Y的相關(guān)系數(shù)等于（A） -1 （B）0（C）（D）18.今有兩封信欲投入編號(hào)為I、II、III的3個(gè)郵筒，設(shè)X，Y分別表示投入第I號(hào)和第II號(hào)郵箱的信的數(shù)目，試求（1）（X，Y）的聯(lián)合分布；（2）X與Y是否獨(dú)立；（3）令U=max (X,Y), V=min(X,Y)，求E（U）和E（V）。9.假設(shè)二維隨機(jī)變量（X，Y）在矩形G=（X,Y）|0x2, 0y1上服從均勻分布，記（1） 求U和V的聯(lián)合分布；（2）求U和V的相關(guān)系數(shù).10.（98，7分）某箱裝有100件產(chǎn)品，其中一、二和三等品分別為80、10和10件?，F(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件，記試求：（1）（X1，X2）的聯(lián)合分布；（2）（X1，X2）的相關(guān)系數(shù)。3、獨(dú)立和不相關(guān)11.已知隨機(jī)變量X和Y分別服從正態(tài)分布N（1，32）和N（0，42），且X與Y的相關(guān)系數(shù)，設(shè)（1） 求Z的數(shù)學(xué)期望E（Z）和方差D（Z）；（2）求X與Z的相關(guān)系數(shù)；（3）問X與Z是否相互獨(dú)立？為什么？12設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，則。13.（93，6分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為（1） 求EX和DX；（2）求X與|X|的協(xié)方差，并問X與|X|是否不相關(guān)？（2） 問X與|X|是否相互獨(dú)立？為什么？14.如果X與Y滿足D（X+y）=D（X-Y），則必有（A）X與Y獨(dú)立。（B）X與Y不相關(guān)。（C）D（Y）=0。（D）D(X)D(Y)=0.15.設(shè)A，B是二隨機(jī)事件，隨機(jī)變量證明X,Y不相關(guān)與A,B獨(dú)立互為充分且必要條件。4、應(yīng)用題1