固體物理第四章.doc

Chapter 4 能帶理論（energy band theory） 一、簡(jiǎn)要回答下列問題（answer the following questions） 1、波矢空間與倒格子空間有何關(guān)系？為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)是準(zhǔn)連續(xù)的？ 答波矢空間與倒格子空間處于統(tǒng)一空間，倒格子空間的基矢分別為，而波矢空間的基矢分別為分別是沿正格子基矢方向晶體的原胞數(shù)目。倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為 波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為 即波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積, 是倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積的1/N 。由于N是晶體的原胞數(shù)目，數(shù)目巨大，所以一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積與一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積相比是極其微小的。也就是說，波矢點(diǎn)在倒格子空間是極其稠密的。因此，在波矢空間內(nèi)作求和處理時(shí)，可以把波矢空間的狀態(tài)點(diǎn)看成是準(zhǔn)連續(xù)的。 2、在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點(diǎn)？答電子的能帶依賴波矢的方向，在任一方向上，在布里淵區(qū)的邊界上，近自由電子的能帶一般會(huì)出現(xiàn)禁帶。若電子所處的邊界與倒格矢Gh正交，邊界是Gh的中垂面，則禁帶的寬度Eg=2|Vn|，Vn是周期勢(shì)場(chǎng)的付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。 不論何種電子，在布里淵區(qū)的邊界上，其等能面在垂直于在布里淵區(qū)的邊界上的斜率為零，即電子的等能面與布里淵區(qū)的邊界正交。 3、帶頂和帶底的電子與晶格的作用各有什么特點(diǎn)？答能帶頂部是能帶的極大值的位置，所以 其有效質(zhì)量 ；說明此時(shí)晶格對(duì)電子作負(fù)功，即電子要供給晶格能量，而且電子供給晶格的能量大于外場(chǎng)對(duì)電子所作的功。原因是：有效質(zhì)量概括了晶格對(duì)電子的作用，因此有 將上式分子上變成能量的形式，則有 能帶頂部是能帶的極小值的位置，所以 ，晶格對(duì)電子作正功，有效質(zhì)量大于零。 4、單電子理論是怎樣將多體問題簡(jiǎn)化為周期場(chǎng)中的單電子問題的？答單電子理論是在經(jīng)過幾步近似之后，將多體問題轉(zhuǎn)化為單電子問題，以單電子在周期場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的特征表述晶體電子的特征。第一步: 絕熱近似（adiabatic approximation）。這是考慮到原子核的質(zhì)量比電子大得多，運(yùn)動(dòng)速度慢，在討論電子問題時(shí)可認(rèn)為原子核是固定在瞬時(shí)的位置上，從而把多種粒子的多體問題化成多電子問題； 第二步：自洽場(chǎng)近似 (self-consistent field approximation)。把要討論的電子，視為在離子勢(shì)場(chǎng)和其它電子的平均勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，即哈特利?？俗郧?chǎng)近似(Hartree-Fock self-consistent field approximation) ，把多電子問題簡(jiǎn)化為單電子問題； 第三步：周期場(chǎng)近似 (periodic potential approximation)。 把所有離子勢(shì)場(chǎng)和其它電子的平均勢(shì)場(chǎng)簡(jiǎn)化為周期場(chǎng)。 能帶理論就是周期場(chǎng)中的單電子理論. 5、旺尼爾函數(shù)可用孤立原子波函數(shù)來近似的根據(jù)是什么？答 旺尼爾函數(shù)可以表示為緊束縛模型適用于原子間距較大的晶體。在這類晶體中的電子有兩大特點(diǎn)：（1）電子被束縛在原子附近的幾率較大，在原子附近它的行為同孤立原子的行為相近。（2）它遠(yuǎn)離原子的幾率很小。再利用旺尼爾函數(shù)的正交性，即可得到旺尼爾函數(shù)可用孤立原子波函數(shù)來近似是由緊束縛電子的性質(zhì)來決定的。 6、緊束縛模型下，內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較，哪一個(gè)寬？為什么？答緊束縛模型下，內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較，外層電子的能帶比內(nèi)層電子的能帶寬。由于能量最低的帶對(duì)應(yīng)于最內(nèi)層的電子，它的電子軌道很小，在不同原子間很少相互重疊，因此，能帶較窄。能量較高的外層電子軌道，在不同的原子間將有較多的重疊。從而形成較寬的帶。而且內(nèi)層電子，能帶寬度較小，能級(jí)與能帶之間一一對(duì)應(yīng)；外層電子，能帶較寬能級(jí)與能帶之間的對(duì)應(yīng)比較復(fù)雜。 8、能態(tài)密度函數(shù)是如何定義的？ 答能態(tài)密度函數(shù)是指單位能量間隔的狀態(tài)數(shù)?？紤]能量在 EEE 間的能態(tài)數(shù)目，假定Z表示能態(tài)數(shù)目，則能態(tài)密度函數(shù)定義為 在波矢空間，根據(jù) E(k)常數(shù) 作出等能面，則在等能面E和EE之間的狀態(tài)的數(shù)目就是Z。所以 ZV（2）3（兩等能面EE+E之間的體積）得到能態(tài)密度的一般表達(dá)式為 9、簡(jiǎn)約布里淵區(qū)、周期布里淵區(qū)以及擴(kuò)展布里淵區(qū)的圖象有什么區(qū)別？答三種圖象表示的差別為： 簡(jiǎn)約布里淵區(qū)圖象(reduced zone scheme)：所有能帶都描繪于第一布里淵區(qū)內(nèi)，能帶是波矢k的多值函數(shù)，在簡(jiǎn)約區(qū)給出能帶的全貌。 周期布里淵區(qū)圖象(repeated zone scheme)：在每一個(gè)布里淵區(qū)中描繪出所有的能帶?？梢员憩F(xiàn)出能帶是周期函數(shù)的特點(diǎn)。 擴(kuò)展布里淵區(qū)圖象(extended zone scheme)：按照能量由低到高的順序，將各能帶的k值分別限定在不同不同的布里淵區(qū)的區(qū)域。這種情況下，能帶是k 的單值函數(shù)。 10、晶體中能帶 En(k) 函數(shù)的對(duì)稱性有哪些？答晶體中能帶En(k)函數(shù)的對(duì)稱性有 En ( k)=En(k) En(k)=En(-k) En(k)=En(kGn)二、填空題(fill in the blanks)(并用英語表達(dá)) 1、在離子實(shí)內(nèi)部，用假想的勢(shì)能取代真實(shí)的勢(shì)能，求解波動(dòng)方程時(shí)，若不改變其能量本征值及離子實(shí)之間的區(qū)域的波函數(shù)，則這個(gè)假想的勢(shì)能就叫做 贗勢(shì)（pseudo-potential）。 2、Wannier函數(shù)有兩個(gè)特點(diǎn)，它們分別是 定域性 和 正交性 。 3、電子填充能帶時(shí)，若恰好填滿最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的。最高的滿帶稱為價(jià)帶(valence band)，最低的空帶成為 導(dǎo)帶(conduction band) 。帶隙是指 價(jià)帶最高能級(jí)與導(dǎo)帶最低能級(jí)之間的范圍 。 4、在狀態(tài)空間中，單位體積含有的狀態(tài)數(shù)，稱為 狀態(tài)密度 。在狀態(tài)空間中，狀態(tài)的分布是均勻的，在周期性邊界條件的情況下，狀態(tài)密度 。三、電子周期場(chǎng)的勢(shì)能函數(shù)為 ，當(dāng)na-bxna+b ，當(dāng)(n-1)a+bxna-b其中a=4b,為常數(shù) 1）試畫出此勢(shì)能曲線，并求其平均值。2）用近自由電子近似模型求出晶體的第一輯第二個(gè)帶隙寬度。解 1）如圖所示是勢(shì)能曲線 x V(x)V(x)由于勢(shì)能具有周期性，因此只在一個(gè)周期內(nèi)求平均即可，于是得2) 已知禁帶的寬度為 Eg=2|Vn|, 其中Vn 是周期勢(shì)場(chǎng)V(X) 付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)，該系數(shù)表示為所以，第一禁帶為同樣可以求得第二禁帶寬度為四、有一一維單原子鏈，間距為a ，總長度為Na 。 1）用緊束縛方法求出與原子s態(tài)能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶的E(k) 函數(shù)； 2）求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式； 3）如每個(gè)原子s態(tài)上只有一個(gè)電子，求T=0K時(shí)的費(fèi)米能級(jí)EF0及EF0 處的能態(tài)密度。解1、在緊束縛近似下，晶體電子的能量可以寫為一維單原子鏈只有兩個(gè)最近鄰，分別為Rm=a,-a，a為原子間距。J(Rm) 對(duì)于兩個(gè)最近鄰是相等的，記為J，所以，2）能態(tài)密度的函數(shù)表達(dá)式: 對(duì)于一維情況,狀態(tài)密度為L/2,，計(jì)其自旋,dk 間的能級(jí)數(shù)為而能態(tài)密度函數(shù)為 3）如每個(gè)原子的s態(tài)只有一個(gè)電子能態(tài)密度T=0K的費(fèi)米能級(jí)：五、 1、證明一個(gè)簡(jiǎn)單正方晶格在第一布里淵區(qū)頂角上一個(gè)自由電子的動(dòng)能比該區(qū)一邊中點(diǎn)大2倍。 2、對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單立方晶格，在第一布里淵區(qū)頂角上一個(gè)自由電子的動(dòng)能比該區(qū)面心上大多少？證明1、自由電子的動(dòng)能為 簡(jiǎn)立方的第一布里淵區(qū)仍為簡(jiǎn)立方，設(shè)其邊長為a ，則對(duì)角線的長度為a，布區(qū)頂角上的動(dòng)能為 面心 k=a/2 ，2、頂角上 六、用緊束縛方法導(dǎo)出體心立方晶體s 態(tài)電子的能帶 ，并畫出沿kx 方向的曲線。七、證明在任何