高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-第1講-橢圓教案.doc

第一講 橢圓一、考情分析解析幾何是用代數(shù)的方法解決幾何問(wèn)題，體現(xiàn)了形數(shù)結(jié)合的思想，因而這一部分的題目的綜合性比較強(qiáng)，它要求學(xué)生既能分析圖形，又能靈活地進(jìn)行各種代數(shù)式和三角函數(shù)式的變形，這對(duì)學(xué)生能力的要求較高“圓錐曲線”是解析幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，特別是在對(duì)學(xué)生掌握坐標(biāo)法的訓(xùn)練方面有著不可替代的作用本講主要是調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，注意交代知識(shí)的來(lái)龍去脈，教給學(xué)生解決問(wèn)題的思路，幫助考生培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力，掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)良好的個(gè)性品質(zhì)，以及勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神二、知識(shí)歸納（一）橢圓的定義（1）第一定義：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫作橢圓這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距特征式：注：若，則點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；若，則這樣的點(diǎn)不存在（2）第二定義：一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù)，那么這個(gè)點(diǎn)的軌跡叫做橢圓其中定點(diǎn)叫做焦點(diǎn)，定直線叫做準(zhǔn)線，常數(shù)就是離心率特征式：（二）橢圓的方程（1）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程：；（焦點(diǎn)在軸的平行線上，中心在的橢圓方程）（焦點(diǎn)在軸的平行線上，中心在的橢圓方程）（2）橢圓的參數(shù)方程：；注：角不是（3）橢圓的向量式方程：（三）性質(zhì)：對(duì)于橢圓而言，范圍：，橢圓落在組成的矩形中對(duì)稱性：圖象既關(guān)于軸對(duì)稱，又關(guān)于軸對(duì)稱，也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱原點(diǎn)叫橢圓的對(duì)稱中心，簡(jiǎn)稱中心軸、軸叫橢圓的對(duì)稱軸頂點(diǎn)：橢圓和對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)，；加兩焦點(diǎn)共有六個(gè)特殊點(diǎn)叫橢圓的長(zhǎng)軸，叫橢圓的短軸，長(zhǎng)分別為分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)離心率：橢圓焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)之比注：橢圓形狀與的關(guān)系：，橢圓變圓，直至成為極限位置的圓，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在時(shí)的特例；，橢圓變扁，直至成為極限位置線段，此時(shí)也可認(rèn)為圓為橢圓在時(shí)的特例橢圓的準(zhǔn)線方程：對(duì)于，左準(zhǔn)線；右準(zhǔn)線；對(duì)于，下準(zhǔn)線；上準(zhǔn)線焦準(zhǔn)距：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離（焦參數(shù)）通徑：經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且垂直于長(zhǎng)軸的弦稱之為通徑，長(zhǎng)度為 焦半徑公式：焦點(diǎn)在軸上的橢圓的焦半徑公式： （左焦半徑）；（右焦半徑）；焦點(diǎn)在y軸上的橢圓的焦半徑公式：（下焦半徑）；（上焦半徑）；（規(guī)律：左加右減，上減下加）焦點(diǎn)三角形：曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形稱焦點(diǎn)三角形；（如何證明？）（四）橢圓系方程（焦點(diǎn)在軸的上，中心在原點(diǎn)）（1）共焦點(diǎn)的橢圓系：注：若，則表示共焦點(diǎn)的雙曲線系（2）離心率相同的橢圓系：注：若，則表示共漸進(jìn)線的雙曲線系三、精典例析（一）活用定義例1：橢圓上有一點(diǎn)它到橢圓的左準(zhǔn)線距離為10，求點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離解析：橢圓的離心率為，根據(jù)橢圓的第二定義得，點(diǎn)到橢圓的左焦點(diǎn)距離為：；再根據(jù)橢圓的第一定義得，點(diǎn)到橢圓的右焦點(diǎn)的距離為20812 例2：方程表示什么曲線？解析：設(shè)，則原方程等價(jià)于：，即：到定點(diǎn)的距離與它到定直線的距離之比為，故原方程表示以定點(diǎn)為焦點(diǎn)，以定直線為準(zhǔn)線的橢圓例3：定點(diǎn)是的焦點(diǎn)，是曲線上的動(dòng)點(diǎn)DP（1）求的范圍；P1AH（2）求的最小值P212解析：是的焦點(diǎn)，（1）（2）引申：也適用于雙曲線、拋物線例4：求過(guò)定點(diǎn)，以軸為準(zhǔn)線、離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程解析：設(shè)，則：，且，故橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方程是（二）焦半徑公式例5：橢圓，其上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別是6.5和3.5，求橢圓方程解析：由橢圓的焦半徑公式，得：，解得： 故所求橢圓方程為：例6：已知為橢圓上的點(diǎn)，且與的連線互相垂直，求解析：由題意，得：64，的坐標(biāo)為例7：橢圓上能否找到一點(diǎn)，使得到左準(zhǔn)線的距離是它到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離的等比中項(xiàng)？ 解析：橢圓的左準(zhǔn)線是，若存在，設(shè)，則：或，故不存在符合條件的點(diǎn)例8：設(shè)是以為中心的橢圓上任意一點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，求證：以線段為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切解析：設(shè)橢圓方程為，焦半徑是圓的直徑，則：，兩圓半徑之差等于圓心距故以線段為直徑的圓與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切（三）焦點(diǎn)三角形P曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)連線構(gòu)成的三角形稱焦點(diǎn)三角形，與曲線三角形有關(guān)的問(wèn)題常常借助正（余）弦定理，借助比例性質(zhì)進(jìn)行處理例9：證明：橢圓的焦點(diǎn)三角形中，解析：在中，；在中，例10：已知橢圓的焦點(diǎn)是，為橢圓上一點(diǎn)，且是和的等差中項(xiàng)（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)在第三象限，且，求12P解析：（1）是和的等差中項(xiàng)， 橢圓的方程為（）設(shè)，則， ，故，（四）對(duì)稱問(wèn)題例11：在直線任取一點(diǎn)，過(guò)且以的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)作橢圓，問(wèn)在何處時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)最短？并求出此橢圓/2解析：法1：待求橢圓的，其焦點(diǎn)在直線的同側(cè)，關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則待求橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為：，12為直線與的焦點(diǎn)時(shí)，所作橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)最短；，此時(shí)，故待求橢圓為：法2：設(shè)待求橢圓為：，則與橢圓相切于點(diǎn)時(shí)，橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)最短， ，與橢圓相切，又，故待求橢圓為：，此時(shí)，即例12：已知橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，求的取值范圍解析：法1：點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，設(shè)，則：，；的中點(diǎn)在直線上，；故的取值范圍是法2：設(shè)，的中點(diǎn)，則：，的中點(diǎn)在上，則：，的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)，故的取值范圍是（五）范圍（最值）問(wèn)題例13：已知橢圓與軸的正半軸交于，是原點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)，使，求橢圓離心率的取值范圍解析：，設(shè)， ，故例14：已知是橢圓的上頂點(diǎn)，是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值解析：設(shè)，則：（1）若時(shí)，；（2）若時(shí)，綜上，若時(shí)，；若時(shí)，（六）直線與橢圓相交問(wèn)題例15：橢圓的中心是原點(diǎn)O，它的短軸長(zhǎng)為，相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的直線與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn) （1）求橢圓的方程及離心率；（2）若，求直線PQ的方程；（3）設(shè)，過(guò)點(diǎn)且平行于準(zhǔn)線的直線與橢圓相交于另一點(diǎn)M，證明：解析：（1）設(shè)橢圓的方程為，則：，故橢圓的方程為，離心率（2）解：，設(shè)直線PQ的方程為，則： ，；又 ，故直線PQ的方程為或 （3）證明：由已知得方程組 ，例16：橢圓E的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在軸上，離心率，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，且滿足（1）若為常數(shù)，試用直線的斜率表示三角形的面積；（2）若為常數(shù)，當(dāng)三角形的面積取得最大值時(shí)，求橢圓E的方程解析：設(shè)橢圓方程為：，故橢圓方程為： （1）直線交橢圓于，則： ，且； ；， ；，由知：，（2），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，S取得最大值當(dāng)時(shí)，代入中，得：，故所求為（七）定點(diǎn)（值）問(wèn)題例17：已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)）證明：滿足上述條件的橢圓