山東省鄆城縣實驗中學高中數(shù)學 一絕對值不等式學案 新人教A版必修4.doc

學案76不等式選講絕對值不等式導學目標：1.理解絕對值的幾何意義，并能利用含絕對值不等式的幾何意義證明以下不等式：(1)|ab|a|b|，(2)|ab|ac|cb|.2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.自主梳理1含_的不等式叫做絕對值不等式2解含有絕對值的不等式的方法關鍵是去掉絕對值符號，基本方法有如下幾種：(1)分段討論：根據(jù)|f(x)|去掉絕對值符號(2)利用等價不等式：|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)；|f(x)|g(x)f(x)g(x)或f(x)g(x)(3)兩端同時平方：即運用移項法則，使不等式兩邊都變?yōu)榉秦摂?shù)，再平方，從而去掉絕對值符號3形如|xa|xb|c (ab)與|xa|xb|c (ab)的絕對值不等式的解法主要有三種：(1)運用絕對值的幾何意義；(2)_；(3)構造分段函數(shù)，結合函數(shù)圖象求解4(1)定理：如果a，b，c是實數(shù)，則|ac|ab|bc|，當且僅當_時，等號成立(2)重要絕對值不等式|a|b|ab|a|b|.使用時(特別是求最值時)要注意等號成立的條件，即|ab|a|b|ab0；|ab|a|b|ab0；|a|b|ab|b(ab)0；|a|b|ab|b(ab)0；注：|a|b|ab|a|ab|b|(ab)b|ab|b|b(ab)0.同理可得|a|b|ab|b(ab)0.自我檢測1(2010江西)不等式的解集是()a(0,2) b(，0)c(2，) d(，0)(0，)2(2011天津)已知集合axr|x3|x4|9，bxr|x4t6，t(0，)，則集合ab_.3(2011濰坊模擬)已知不等式|x2|x3|a的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是()aa5 da54若不等式|x1|x2|a無實數(shù)解，則a的取值范圍是_5(2009福建)解不等式|2x1|x|1.探究點一解絕對值不等式例1 解下列不等式：(1)17x；(3)|x1|2x1|2.變式遷移1 (2011江蘇)解不等式x|2x1|m.(1)若不等式有解；(2)若不等式解集為r；(3)若不等式解集為.分別求出實數(shù)m的取值范圍變式遷移2設函數(shù)f(x)|x1|x2|，若f(x)a對xr恒成立，求實數(shù)a的取值范圍探究點三絕對值三角不等式定理的應用例3“|xa|，且|ya|”是“|xy|”(x，y，a，r)的()a充分而不必要條件b必要而不充分條件c充要條件 d既不充分也不必要條件變式遷移3(1)求函數(shù)y|x2|x2|的最大值；(2)求函數(shù)y|x3|x2|的最小值轉化與化歸思想的應用例(10分)設ar，函數(shù)f(x)ax2xa (1x1)，(1)若|a|1，求證：|f(x)|；(2)求a的值，使函數(shù)f(x)有最大值.多角度審題第(1)問|f(x)|f(x)，因此證明方法有兩種，一是利用放縮法直接證出|f(x)|；二是證明f(x)亦可第(2)問實質(zhì)上是已知f(x)的最大值為，求a的值由于x1,1，f(x)是關于x的二次函數(shù)，那么就需判斷對稱軸對應的x值在不在區(qū)間1,1上【答題模板】證明(1)方法一1x1，|x|1.又|a|1，|f(x)|a(x21)x|a(x21)|x|x21|x|1|x|2|x|2.3分若|a|1，則|f(x)|.5分方法二設g(a)f(x)ax2xa(x21)ax.1x1，當x1，即x210時，|f(x)|g(a)|1；1分當1x1即x210時，g(a)(x21)ax是單調(diào)遞減函數(shù)2分|a|1，1a1，g(a)maxg(1)x2x12；3分g(a)ming(1)x2x12.4分|f(x)|g(a)|.5分(2)當a0時，f(x)x，當1x1時，f(x)的最大值為f(1)1，不滿足題設條件，a0.6分又f(1)a1a1，f(1)a1a1.故f(1)和f(1)均不是最大值，7分f(x)的最大值應在其對稱軸上的頂點位置取得，命題等價于，9分解得，a2.即當a2時，函數(shù)f(x)有最大值.10分【突破思維障礙】由于|a|1，f(x)的表達式中有兩項含有a，要想利用條件|a|1，必須合并含a的項，從而找到解題思路；另外，由于x的最高次數(shù)為2，而a的最高次數(shù)為1，把ax2xa看作關于a的函數(shù)更簡單，這兩種方法中，對a的合并都是很關鍵的一步【易錯點剖析】在第(1)問中的方法一中，如果不合并含a的項，就無法正確應用條件|a|1，從而導致出錯或證不出；方法二也需要先合并含a的項后，才容易把f(x)看作g(a)解含有絕對值不等式時，去掉絕對值符號的方法主要有：公式法、分段討論法、平方法、幾何法等這幾種方法應用時各有利弊，在解只含有一個絕對值的不等式時，用公式法較為簡便；但是若不等式含有多個絕對值時，則應采用分段討論法；應用平方法時，要注意只有在不等式兩邊均為正的情況下才能運用因此，在去絕對值符號時，用何種方法需視具體情況而定(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1不等式|x2x|2的解集為()a(1,2) b(1,1)c(2,1) d(2,2)2(2011鄭州期末)設|a|1，|b|2 b|ab|ab|2c|ab|ab|2 d不能比較大小3不等式|x3|x1|a23a對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()a(，14，) b(，25，)c1,2 d(，12，)4若不等式|8x9|2的解集相等，則實數(shù)a、b的值分別為()aa8，b10 ba4，b9ca1，b9 da1，b25若關于x的不等式|x1|x3|a22a1在r上的解集為，則實數(shù)a的取值范圍是()aa3 b1a3c1a2 d1a3二、填空題(每小題4分，共12分)6給出以下三個命題：若|ab|1，則|a|b|1；若a、br，則|ab|2|a|ab|；若|x|3，則.其中所有正確命題的序號是_7(2010陜西)不等式|x3|x2|3的解集為_8(2011深圳模擬)若不等式|x1|x3|a對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_三、解答題(共38分)9(12分)(2010福建)已知函數(shù)f(x)|xa|.(1)若不等式f(x)3的解集為x|1x5，求實數(shù)a的值；(2)在(1)的條件下，若f(x)f(x5)m對一切實數(shù)x恒成立，求實數(shù)m的取值范圍10(12分)(2009遼寧)設函數(shù)f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xr，f(x)2，求a的取值范圍11(14分)對于任意實數(shù)a(a0)和b，不等式|ab|ab|a|(|x1|x2|)恒成立，試求實數(shù)x的取值范圍學案76不等式選講(一)絕對值不等式自主梳理1絕對值符號3.(2)零點分區(qū)間討論法4(1)(ab)(bc)0自我檢測1a，0，0x2.2x|2x5解析|x3|x4|9，當x3時，x3(x4)9，即4x4時，x3x49，即4x5.綜上所述，ax|4x5又x4t6，t(0，)，x262，當t時取等號bx|x2，abx|2x53d由絕對值的幾何意義知|x2|x3|5，)，因此要使|x2|x3|a有解集，需a5.4a3解析由絕對值的幾何意義知|x1|x2|的最小值為3，而|x1|x2|a無解，知a3.5解當x0時，原不等式可化為2x10，又x0，x不存在；當0x時，原不等式可化為2x10，又0x，0x；當x時，原不等式可化為2x1x1，解得x2，又x，x2.綜上，原不等式的解集為x|0x2課堂活動區(qū)例1 解題導引(1)絕對值不等式的關鍵是去掉絕對值符號其方法主要有：利用絕對值的意義；利用公式；平方、分區(qū)間討論等(2)利用平方法去絕對值符號時，應注意不等式兩邊非負才可進行(3)零點分段法解絕對值不等式的步驟：求零點；劃區(qū)間、去絕對值號；分別解去掉絕對值的不等式；取每個結果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值解(1)原不等式等價于不等式組，即，解得1x1或3x5，所以原不等式的解集為x|1x1，或37x，可得2x57x或2x52，或x4.原不等式的解集是x|x2(3)由題意x1時，|x1|0，x時，2x10(以下分類討論)所以當x時，原不等式等價于得x.當x1時，原不等式等價于得x1時，原不等式等價于得x無解由得原不等式的解集為x|x0變式遷移1 解原不等式可化為或解得x或2x.所以原不等式的解集是x|2x例2解題導引恒成立問題的解決方法(1)f(x)m恒成立，須有f(x)maxm恒成立，須有f(x)minm；(3)不等式的解集為r，即不等式恒成立；(4)不等式的解集為，即不等式無解解因為|x2|x3|的幾何意義為數(shù)軸上任意一點p(x)與兩定點a(2)、b(3)距離的差即|x2|x3|pa|pb|.易知(|pa|pb|)max1，(|pa|pb|)min1.即|x2|x3|1,1(1)若不等式有解，m只要比|x2|x3|的最大值小即可，即m1.(2)若不等式的解集為r，即不等式恒成立，m小于|x2|x3|的最小值即可，所以ma恒成立，只須1a.即實數(shù)a的取值范圍為(，1)例3解題導引對絕對值三角不等式|a|b|ab|a|b|.(1)當ab0時，|ab|a|b|；當ab0時，|ab|a|b|.(2)該定理可以推廣為|abc|a|b|c|，也可強化為|a|b|ab|a|b|，它們經(jīng)常用于含絕對值的不等式的推證(3)利用“”成立的條件可求函數(shù)的最值a|xy|xa(ya)|，由三角不等式定理|a|b|ab|a|b|得：|xy|xa|ya|.反過來由|xy|，得不出|xa|且|ya|2時，“”成立故函數(shù)y|x2|x2|的最大值為4.(2)|x3|x2|(x3)(x2)|5.當2x3時，取“”故y|x3|x2|的最小值為5.課后練習區(qū)1a|x2x|2，2x2x2，即，.1x0 (b0時同理)(1)當1ab時，|ab|ab|abab2a2，(2)當bab時，|ab|ab|abab2b2，(3)當ba1時，|ab|ab|abab2a2.綜上可知|ab|ab|2.方法二(|ab|ab|)22a22b22|a2b2|ab|ab|2.3a由|x3|x1|的幾何意義知，|x3|x1|4,4，即|x3|x1|的最大值是4，要使|x3|x1|a23a對任意實數(shù)x恒成立，只需a23a4恒成立即可所以a(，14，)4b由|8x9|7，得78x97，即168x2，2x.由題意知2，為方程ax2bx20的兩根，.5b由|x1|x3|的幾何意義知|x1|x3|2，即|x1|x3|的最小值為2.當a22a12時滿足題意，a22a30，即(a1)(a3)0，1a3.6解析|a|b|ab|1，|a|3，即|.故、都正確7x|x1解析原不等式可化為：或或x或1x0時，a4，當且僅當a2時，取等號，當a0，顯然符合題意9解方法一(1)由f(x)3得|xa|3，解得a3xa3.(3分)又已知不等式f(x)3的解集為x|1x5，所以解得a2.(6分)(2)當a2時，f(x)|x2|，設g(x)f(x)f(x5)，于是g(x)|x2|x3|(8分)所以當x5；當3x2時，g(x)5；當x2時，g(x)5.綜上可得，g(x)的最小值為5.(10分)從而若f(x)f(x5)m，即g(x)minm對一切實數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(，5(12分)方法二(1)同方法一(6分)(2)當a2時，f(x)|x2|.設g(x)f(x)f(x5)|x2|x3|.由|x2|x3|(x2)(x3)|5(當且僅當3x2時等號成立)得，g(x)的最小值為5.(10分)從而，若f(x)f(x5)m，即g(x)minm對一切實數(shù)x恒成立，則m的取值范圍為(，5(12分)10解(1)當a1時，f(x)|x1|x1|.由f(x)3得|x1|x1|3.當x1時，不等式化為1x1x3，即2x3.不等式組的解集為.(2分)當1