線性代數(shù)與解析幾何復習題.doc

線性代數(shù)與解析幾何復習題一、矩陣部分(一)填空題.1設，則.提示：A3=2設方陣滿足，.提示：A2+A-4I=0A2+A-2I-2I=0(A-I)(A+2I)=2I(A-I)(A+2I)/2=I3設方陣滿足，則_.提示：A2-2A-3I=0 A(A-2A)=3I4設，則 . 提示：對矩陣A施行初等行變換，非零行的行數(shù)即為矩陣A的秩。5設，則當滿足條件 時，可逆.提示：矩陣A的行列式detA0時，矩陣可逆。 (二)選擇題1設階矩陣，則必有 （ ）（A） （B） （C） （D）提示：A的逆矩陣為BC2 （ ）提示：P的列為齊次線性方程組Qx=0的解，P非零，Qx=0有非零解，故Q的行列式detQ=03 （ ）提示：矩陣B由矩陣A經初等行變換得到，故在C或D中選擇，P1、P2為初等矩陣，P1為交換第1、2行，P2為將第一行的1倍加到第三行，故選C4設維向量,矩陣,其中為階單位矩陣,則 ( )提示：AB (I-aTa)(I+2aTa)=I+aTa-2 aTa aTa= I+aTa-2 aT(a aT)a=I5A、B （ ）（A） B=E （B） A=E （C）A=B （D）AB=BA提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB6矩陣 ( )A、1 B、2 C、3 D、4提示：A=(a1,a2,a3,a4)T(b1,b2,b3,b4) (三)計算題1提示：AB-B=A2-I(A-I)B=A2-IB=(A-I)-1(A2-I)也可使用矩陣初等行變換。2利用矩陣的初等變換解線性方程組.提示：對方程組增廣矩陣進行初等行變換。3設矩陣，.提示：AX=2X+BAX-2X =B(A-2I)X =B使用矩陣初等行變換。4若 則X = .提示：使用矩陣初等列變換。 (四)證明題1設都是一個n階對稱矩陣，證明：對稱的充要條件是。提示：參見作業(yè)上相關內容：AB=BAAB對稱：AB對稱AB=BA2證明：任何一個n階方陣都可表示為一對稱矩陣與一反對稱矩陣之和.提示：參見書上的例子。對稱矩陣為B=(A+AT)/2反對稱矩陣為C=(A-AT)/23設n階方陣不是單位方陣，且，試證明(1)是不可逆矩陣 (2)均為可逆矩陣，并求逆矩陣.提示：(1)反證法：假設A可逆，則存在A-1，有A-1A=I。因為A2=A，故A-1A2=A-1A，由此得A=I，與題設矛盾.(2)根據A2=A湊出A+I與A-2I的乘積為單位陣I的倍數(shù)即可。4設同階方陣，其中可逆，且滿足，證明可逆.提示：A2+AB+B2=0A(A+B)+B2=0A(A+B)+B2 B-1 B-1=0A(A+B)( B-1) 2+I=0A(A+B)( B-1) 2 =-IA可逆，其逆矩陣為-(A+B)( B-1) 2A2+AB+B2=0A(A+B)+B2=0B-1 B-1 A(A+B)+B2 =0( B-1) 2A(A+B) +I=0( B-1) 2A(A+B) =-IA+B可逆，其逆矩陣為-( B-1) 2A 二、行列式部分(一)填空題1行列式= 。提示：4(-1)1+44(-1)1+32(-1)1+252若44階矩陣A的行列式是A的伴隨矩陣則= 提示：detA*=(detA)n-13已知是奇異陣，則_.提示：奇異矩陣行列式為零。4設是階可逆方矩陣且, 則 1/5 , 56 , 52n , 5k .提示：利用矩陣行列式的性質。5設是四階單位矩陣的第列，則 .提示：4階單位矩陣行列式在進行初等列變換時其系數(shù)及符號的變化規(guī)律。參見作業(yè)。6已知，則，其中是元素的代數(shù)余子式.提示：注意是伴隨矩陣轉置后的行列式，等于伴隨矩陣行列式，故其值為37n-1，此處n=3。表示行列式第2行元素與第三行元素相應代數(shù)余子式之和，故為0.（二）選擇題1提示：A2+AB+2I=0A(A+B)=-2I|A(A+B)|=|-2I|A|A+B|=(-2)3|I|A+B|=-42（A） （B）（C） （D）提示：|AB|=|A|B|=|BA|3設階矩陣 ,若矩陣的秩為,則必為( )提示：參見書本及作業(yè)上的例子。4提示：參見前面的內容。5 ( )提示：(AB)2=IABAB=IA(BAB)=IA-1=BAB(AB)2=IABAB=I(ABA)B=IB-1=ABA(BA)2= BABA = (BAB)A= A-1 A= I6設為階方陣。下列命題中正確的是（ ）提示：AB=0|AB|=0|A|B|=0(三)計算題計算行列式 . 2、計算行列式提示：第一題：按行或列展開，或將第一行的y/x倍加到第4行，但要討論x為0時的情形。第二題：利用初等變換。3當為何值時, 齊次線性方程組有非零解.提示：系數(shù)矩陣行列式為0。（四）證明題1設是階方陣，且滿足, 試證明不可逆或者.提示：假設A可逆，即A-1存在，則根據A2=AA-1A2= A-1AA=I2設是階方陣，證明 (1)若，則不可逆 (2)若，則。提示：(1)假設B可逆，即B-1存在，則根據AB=0AB B-1= 0B-1A= 0矛盾(2)detA0A可逆齊次線性方程組Ax=0只有零解AB=0B的列向量是齊次線性方程組Ax=0的解B=0或：A可逆，即A-1存在根據AB=0A-1A B= A-10B= A-1三、空間解析幾何部分（一）填空題1已知，則提示：a0=a/|a|2設則提示：|ab|=|a|b|sinqcosq=?a.b=|a|b|cosq已知四點，則 提示：向量乘法（向量積、混合積）的幾何意義4點.提示：點到平面的距離公式5 .提示：先求直線的方向向量，然后帶入公式即可。6.提示：Y軸的方向向量（0，1，0）與直線的方向向量（1，2，1）取向量積。(二)選擇題1 ( )提示：參見練習。向量和與向量差的幾何意義，向量垂直的充要條件。2設向量 ( ) 提示：Prjba=|a|cosj=1，|a|3cosj=1/3cosj=(a.b)/(|a|b|)3 ( ) 提示：向量平行，對應坐標分量成比例。4設向量且( ) 提示：向量混合積的計算方法。5 ( ) 提示：根據向量乘法運算律展開，并考察向量積的方向特性。6設三個向量矩陣的行列式，而其伴隨矩陣的充要條件是 ( ) (A) 三向量互相平行 (B) 存在不共線兩向量 (C) 三向量共面 (D) 三向量共面，有兩向量不共線提示：參見練習有關內容(三)計算題1、求點到直線的距離提示：參見課本內容。2、提示：該平面的法向量垂直于平面x+y+x=1的法向量，也垂直于向量AB.根據向量積得到所求平面法向量。提示：先求交點。提示：求出兩直線的方向向量是平行的（各坐標分量成比例），然后在2直線上各任取一點構造一個向量，與直線方向向量取向量積得到所求平面的法向量。（1）證明方程組有唯一解即可（2）根據兩直線方向向量可得過兩直線平面之法向量。、說出下列曲面的名稱（1） 雙曲柱面 （2）橢圓柱面 （3）圓錐面（軸線平行于z軸）（4）圓形拋物面（5）馬鞍面（6）單葉雙曲面（7）雙葉雙曲面、 (1)求曲線在面上的投影.消去變量x (2)求曲線在面上的投影.第二個方程y2代如第一個方程即可消去變量y 、將下列曲線的一般方程化為參數(shù)方程(1) (2) 太簡單了四、向量空間與線性方程組部分(一)填空題1、已知向量組的秩為2，則.對矩陣A=(a1,a2,a3)進行初等行變換，其非零行數(shù)為2。2、設階矩陣的各行元素之和均為零，且的秩為，則線性方程組的通解為_.參見練習冊相關題。3、向量.對矩陣進行初等行變換，前3列變?yōu)閱挝魂嚂r，第四列即為坐標。4、設= .參見練習有關題目。B為滿秩矩陣。5、設向量組可由線性表示，且，則線性關 .提示：相關。6、兩個同維向量組的秩相等是它們等價的 必要 條件.7、若齊次線性方程組有非零解，且,則的值為 .系數(shù)矩陣行列式等于0。 (二)選擇題、 若向量組線性無關；線性相關，則 （ ） 必可由線性表示 必不可由線性表示 必可由線性表示 必不可由線性表示 參見練習冊相應題目。、 設是矩陣，秩為為階單位方陣，則 （ ）的任意個列向量線性無關 的任意個子式不等于零經過初等行變換可化為 （D）若矩陣滿足，則參見練習冊相應題目。矩陣A經有限次初等行變換可化為，顯然答案應該為D。 、設是矩陣，則齊次線性方程組僅有零解的充要條件是 （ ） 的列向量組線性無關 的列向量組線性相關 的行向量組線性無關 的行向量組線性相關系數(shù)矩陣列向量線性無關Ax=0僅有零解、 非齊次線性方程組中未知量個數(shù)為，方程個數(shù)為，系數(shù)矩陣的秩為，則 （ ）時，方程組有解 時，方程組有唯一解時，方程組有唯一解 時，方程組有無窮多解考察增廣矩陣經有限次初等行變換后得到得行階梯矩陣：R=n、r0，因此，只要二次型矩陣A的行列式detA0，二次型即為正定二次型。10、 設是正定矩陣，則方法同上。 (二)選擇題1、 設是階方陣，滿足，為階單位方陣，則 （ ） 的特征值是1 A2=I（detA2）=1（detA）2=1detA=10A可逆R(A)=n2、設是階實方陣，且相似，則下列結論不正確的是 （ ）(A) (B) (C) (D) D3、設矩陣是奇數(shù)階的反對稱矩陣，則一定有 （ ） 可逆矩陣 有零特征值 A是奇數(shù)階反對稱矩陣AT=-AdetAT=detA=det(-A)=(-1)ndetA=detA(因為n為奇數(shù)) detA=0detA=l1 l2lnA有0特征值。4、階方陣與對角矩陣相似的充分必要條件是 （ ）(A) (B) (C) (D) B5、設階方陣滿，則矩陣 是 （ ）(A) (B) (C) (D) A2=A(A+I)(2I-A)=2I(2I-A)可逆6、 若是矩陣的對應的特征向量，則矩陣對應的特征向量 （ ） 參見作業(yè)。(P-1AP)P-1a=P-1Aa= P-1 l0a= l0P-1a7、 設階矩陣與具有完全相同的特征值，則 ( )(A) 與相似 (B) 與對合(C) (D) 與有相同的特征向量detB=detA=l1 l2ln 8、 下列三個矩陣中不能對角化的是 ( ) (A) (B) (C) (D) A是實對稱矩陣，一定可對角化；D有3個不同的特征值，一定可對角化只要計算B、C是否有3個線性無關的特征向量即可。9、 設，是的一個基礎解系，則 ( ) 不是的特征向量.(A) (B) (C) (D) A(a1+ a2)=0=0(a1+ a2)A(a1-2a2)=0=0(a1-2a2)A(a1+3a3)= 3Aa3 =3a3A(2a3)= 2Aa3 =2a3故選C。 ,10、已知 （ ）(A) 1或2 (B) -1或-2 (C)1或-2 (D) -1或2根據特征值與特征向量的定義Aa=la，可求得k及a對應的特征值l為1或-2。(三)計算題1、設是階方陣，是階單位陣，求.依題意：|lI-A|=0 (l=2,4,6,2n) |( l-3)I-(A-3I)|=0A-3I的特征值為l-3，即-1,1,3,5,2n-3det(A-3I)=-1*3*5*(2n-3)2、設，（1）求A的特征值；（2）求其特征值所對應的特征向量.根據特征值與特征向量的定義求取即可。3、 ，.（1）方法一：利用相似矩陣的性質：相似矩陣具有相同的特征值求取a,b。B為對角陣，因此，A、B的特征值為1、2、b。使用|lI-A|=0得到A的特征多項式為(l-2)(l2-3l-la+3a-4)=0，顯然2為A的特征值，因為1是A、B的特征值，將l1帶入上述等式，求得a=3。將a=3帶入上面的等式，可得(l-2)( l- 1)( l-5)=0，即l5是A、B的特征值，因此b=5。（1）方法二：相似矩陣行列式相等、矩陣的行列式等于其特征值的乘積，矩陣特征值的和等于其主對角線上的元素和：2a312bdetA=2(3a-4)=2b=detB可求得a、b。(2)利用特征向量的一般求法即可4、已知三階實對稱方陣的特征值為，且對應的特征向量為與，求方陣.矩陣A為實對稱矩陣存在正交矩陣C，使得CTAC=L,其中為L以特征值-1,-1,8為對角元素的對角陣。矩陣A為實對稱矩陣A的屬于不同特征值的特征向量是正交的屬于特征值8的特征向量與屬于1的兩個特征向量正交(1,-2,0)T與(1,0,-1)T的向量積即為屬于特征值8的特征向量采用施密特正交化方法，將A的3個特征向量單位化后，得到正交矩陣C.A=C L CT5、確定實數(shù)的取值范圍，使二次型正定.二次型的矩陣為，可以根據3個順序主子式全部大于0，或求得3個特征值全部大于0確定l的范圍。6、用正交變換把二次型化成標準形，并求出正交變換矩陣. 二次型的矩陣為，按實對稱矩陣對角化一般方法求取。7、設是三階方陣，已知，其中,又，試計算 。(i=1,2,3)Aai=iai(i=1,2,3) A的3個特征值為1，2，3，對應特征向量分別為a1、a2、a3。Aa1=1a1Ana1=1na1=a1。a1、a2、a3線性無關可求取線性相關系數(shù)k1 、k2 、k3，使得b=k1 a1+k2 a2+k3 a3Anb=An(k1 a1+k2 a2+k3 a3)= k1 An a1+k2 An a2+k3 An a3= k1a1+k22na2+k33na38、設：(1) 求一個與都正交的向量.(2) 利用施密特正交化方法，把向量組化為標準正交基（正交規(guī)范基）。所求向量為a、b的向量積。9、設實對稱矩陣，為的特征值. (1) 求，的值； (2) 求正交矩陣及對角矩陣，使得；A為實對稱矩陣b=4|lI-A|=0，2是一個特征值可求得a。其余內容按實對稱矩陣對角化一般方法求取。 (四)證明題1、實對稱矩陣滿足，證明為正定矩陣.設A的特征值為l，對應的特征向量為x(x0)A3-6A2+11A-6I=0 (A3-6A2+11A-6) x=0 x(l3-6l2+11l-6) x=0x0l3-6l2+11l-6=0(l -1) (l -2) (l -3)=0矩陣A的特征值為1，2，3，全部大于0，故矩陣A為正定矩陣。2、已知是階實反對稱矩陣，證明為可逆矩陣.A是n階實反對稱陣AT=-A(A2-I)T=(