初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座(四)有理數(shù)的有關(guān)知識(shí).doc

初一數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)一、 知識(shí)要點(diǎn)1、絕對(duì)值 x的絕對(duì)值的意義如下：= 是一個(gè)非負(fù)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，=0 絕對(duì)值的幾何意義是：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值表示這個(gè)數(shù)對(duì)應(yīng)的數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；由此可得：表示數(shù)軸上a點(diǎn)到b點(diǎn)的距離。2、倒數(shù) 1除以一個(gè)數(shù)(零除外)的商，叫做這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。如果兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積等于1。3、相反數(shù) 絕對(duì)值相同而符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)的和等于0。二、 例題精講例1 化簡(jiǎn) 分析：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0求出零點(diǎn)，然后用零點(diǎn)分段法將絕對(duì)值去掉，從而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的。解：由2x+1=0、x-3=0、x-6=0 分別求得：x= -1/2， x=3， x=6當(dāng)時(shí)，原式= -(2x+1)+(x-3) - (x-6)= -2x+2當(dāng)時(shí)，原式= (2x+1)+(x-3) - (x-6)= 2x+4當(dāng)時(shí)，原式= (2x+1)-(x-3) - (x-6)= 10當(dāng)x6時(shí)，原式= (2x+1)-(x-3) + (x-6)= 2x-2原式=評(píng)注：用零點(diǎn)分段法，通過(guò)零點(diǎn)分段將絕對(duì)值去掉，從而化簡(jiǎn)式子，解決問(wèn)題是解決含絕對(duì)值問(wèn)題的基本方法。例2 已知的最大值和最小值。(第六屆迎春杯決賽試題)分析：先解不等式，求出x的范圍，然后利用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)求最大值和最小值。解：解不等式 得： 的幾何意義是x到1的距離與x到-3的距離的差，從上圖中可以看出：當(dāng)x-3時(shí)這差取得最大值4，因，則當(dāng)時(shí)這差取得最小值.評(píng)注：1、本題是采用數(shù)形結(jié)合的思想，用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解題。2、本題求得x的范圍后，也可用零點(diǎn)分段法將化簡(jiǎn)，然后求出最大值和最小值。=由上式可以看出：當(dāng)x-3時(shí)取得最大值4，當(dāng)時(shí)取得最小值例3 解方程(第六屆華杯賽決賽初一試題)分析：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，這兩個(gè)非負(fù)數(shù)必須都是0。解：由原方程得 由(1)得： 從而 x=x-3.1415926或x=3.1415926-x，所以x=1.5707963 由(2)得： 從而 所以 y= 或 y= 于是，原方程的解是 評(píng)注：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和是0，這兩個(gè)非負(fù)數(shù)必須都是0是解題中常用的一個(gè)結(jié)論。本題中，求中的x值也可以用絕對(duì)值的幾何意義來(lái)解，表示x到原點(diǎn)與到3.1415926的距離相等，因而x是原點(diǎn)與點(diǎn)3.1415926連結(jié)線段的中點(diǎn)，即x=1.5707963例4 有理數(shù)均不為0，且設(shè)試求代數(shù)式2000之值。(第11屆希望杯培訓(xùn)題)分析：要求代數(shù)式2000的值，必須求出x的值。根據(jù) x的特征和已知條件，分析a與b+c,b與a+c，c與a+b的關(guān)系，從而求出x的值。解：由均不為0，知均不為0 即 又中不能全同號(hào)，故必一正二負(fù)或一負(fù)二正所以中必有兩個(gè)同號(hào)，即其值為兩個(gè)1，一個(gè)1或兩個(gè)1，一個(gè)1 因此，例5已知a、b、c為實(shí)數(shù)，且 求的值。(第8屆希望杯試題)分析：直接對(duì)已知條件式進(jìn)行處理有點(diǎn)困難，根據(jù)已知條件式的結(jié)構(gòu)特征，可以將它們兩邊取倒數(shù)。解：由已知條件可知a0，b0，c0，對(duì)已知三式取倒數(shù)得： 三式相加除以2得： 因?yàn)?，所? 例6 求方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)。(1991年祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題)分析：1可以化成：，于是 由絕對(duì)值的性質(zhì)：若ab0，則可得(x-2) (x-3)0 從而求得x解：原方程可化為： 則 (x-2) (x-3)0，所以，所以2x3 因此原方程有無(wú)數(shù)多個(gè)解。評(píng)注：本題很巧妙地將“1”代換成，然后可利用絕對(duì)值的性質(zhì)來(lái)解題。在解數(shù)學(xué)競(jìng)賽題時(shí)，常常要用到“1”的代換。例7 求關(guān)于x的方程的所有解的和。解：由原方程得 ， 0a1，即x-2=(1a), x=2(1a), 從而，x1=3+a， x2=3-a， x3=1+a， x4=1-a x1+x2+x3+x4=8，即原方程所有解的和為8例8 已知：。分析：直接求值有困難，但我們發(fā)現(xiàn)將已知式和待求式倒過(guò)來(lái)能產(chǎn)生，通過(guò)將整體處理來(lái)求值。解： 即 而 評(píng)注：本題通過(guò)將整體處理來(lái)解決問(wèn)題，整體處理思想是一種常用的數(shù)學(xué)思想。例9 解方程組 (1984年江蘇省蘇州市初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解：觀察得，x=y=z=0為方程組的一組解。當(dāng)xyz0時(shí)，將原方程組各方程兩邊取倒數(shù)得： (1)+(2)+(3)得： x=y=z=1 故原方程組的解為：評(píng)注：本題在對(duì)方程組中的方程兩邊取倒數(shù)時(shí)，不能忘了x=y=z=0這組解。否則就會(huì)產(chǎn)生漏解。三、 鞏固練習(xí)選擇題1、若( )A、1 B、-1 C、1或-1 D、以上都不對(duì) 2、方程的解的個(gè)數(shù)是( ) (第四屆祖沖之杯數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽試題) A、0 B、1 C、2 D、3 E、多于3個(gè)3、下面有4個(gè)命題：存在并且只存在一個(gè)正整數(shù)和它的相反數(shù)相同。存在并且只存在一個(gè)有理數(shù)和它的相反數(shù)相同。存在并且只存在一個(gè)正整數(shù)和它的倒數(shù)相同。存在并且只存在一個(gè)有理數(shù)和它的倒數(shù)相同。其中正確的命題是：（ ） （A）和 （B）和 （C）和 （D）和4、兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是49，則這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)和是( )A、 B、 C、 D、5、設(shè)y=ax15+bx13+cx11-5(a、b、c為常數(shù))，已知當(dāng)x=7時(shí)，y=7，則x= -7時(shí)，y的值等于( )A、-7 B、-17 C、17 D、不確定6、若a、c、d是整數(shù)，b是正整數(shù)，且滿足a+b=c，b+c=d，c+d=a，則a+b+c+d的最大值是( )A、-1 B、0 C、1 D、-5填空題7、設(shè)a0，且x= 8、a、b是數(shù)軸上兩個(gè)點(diǎn)，且滿足ab。點(diǎn)x到a的距離是x到b的距離的2倍，則x= 9、 若互為相反數(shù)，則 10、計(jì)算： 11、若a是有理數(shù)，則的最小值是.12、有理數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn) 解答題13、化簡(jiǎn)：14、已知15、若abc0，求的所有可能的值16、X是