2三角形輔助線總結及口訣.doc

三角形作輔助性方法大全口訣：總則：3標注等線和等角，對頂角不要忘，相等邊角要避開。31、等腰三線合；過腰上一點做另腰平行或底平行線。等腰頂角是腰高和底夾角二倍，等腰三角形一腰延長線和另一腰構建新等腰三角形，原頂角是新底角的二倍，新底邊垂直原底邊。42、求角大小，需構造出有數(shù)值的角；兩角做比較，連點延邊構三角，大外小內找中介；相等角，等腰、對頂、平行、同余和同補；給出二倍角，構等腰二倍角變外角,分大擴小也可以。33、兩線做比較，截長補短可求證。特殊角求三邊，帶平方都要用直角三角形。三角形內構四邊，四邊周長小于三角形周長；。34、角分線，到邊距離相等經(jīng)常用，也可兩邊截等段；三角形相鄰外交角角分線交點到兩邊距離相等，三角形內角平分線交予一點，且到三邊距離相等。平行線間角分線的交點一定是中點(見后)25、中線，倍長中線、或倍長以中點為端點線利用對頂和相等線段；16垂分線上點連線段端點有幫助；3 7、多邊變身三角形，延兩邊、連對角、連頂點；如圖，AEAD是角分線，AB/DC.E一定是bc中點Bc為任意線段一、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”。1、三線合一例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，D為BC中點，DEAB于E，DFAC于F，求證：DE = DF證明：連結AD.D為BC中點，BD = CD又AB =ACAD平分BACDEAB，DFACDE = DF例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，在BA延長線和AC上各取一點E、F，使AE = AF，求證：EFBC2、常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線和底平行線例：已知，如圖，在ABC中，AB = AC，D在AB上，E在AC延長線上，且BD = CE，連結DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過D作DNAE，交BC于N，則DNB = ACB，NDE = E，AB = AC，B = ACBB =DNBBD = DN又BD = CE DN = EC在DNF和ECF中1 = 2NDF =EDN = EC DNFECFDF = EF（證法二）過E作EMAB交BC延長線于M,則EMB =B（過程略）引入：如圖是一個等邊三角形木框,甲蟲在邊框上爬行(,端點除外),設甲蟲到另外兩邊的距離之和為,等邊三角形的高為,則與的大小關系是( )A、dhB、dhC、dhD、無法確定三種方法1.過點P做底邊的平行線 利用等邊三角形三條高相等2.連接B、P，將大三角形轉換為兩個小三角形，并利用三角形面積公式。3.考試中規(guī)范畫圖量出答案注意取整值3、常將等腰三角形轉化成特殊的等腰三角形-等邊三角形例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 80o ,P為形內一點，若PBC = 10o PCB = 30o 求PAB的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結CE則BAE =ABE = 60oAE = AB = BEAB = ACAE = AC ABC =ACBAEC =ACEEAC =BACBAE = 80o 60o = 20oACE = (180oEAC)= 80oACB= (180oBAC)= 50oBCE =ACEACB = 80o50o = 30oPCB = 30oPCB = BCEABC =ACB = 50o, ABE = 60oEBC =ABEABC = 60o50o =10oPBC = 10oPBC = EBC在PBC和EBC中PBC = EBCBC = BCPCB = BCEPBCEBCBP = BEAB = BEAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP)= 70o解法二：以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。解法三：以BC為一邊作等邊三角形BCE，連結AE,則EB = EC = BC，BEC =EBC = 60oEB = ECE在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上EA所在的直線是BC的中垂線EABCAEB = BEC = 30o =PCB由解法一知：ABC = 50oABE = EBCABC = 10o =PBCABE =PBC,BE = BC,AEB =PCBABEPBCAB = BPBAP =BPAABP =ABCPBC = 50o10o = 40oPAB = (180oABP) = (180o40o)= 70o二、角比較1、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內角證明角的不等關系時，如果直接證不出來，可連結兩點或延長某邊，構造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位置上，小角處在內角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為ABC內任一點，求證：BDCBAC證法（一）：延長BD交AC于E，BDC是EDC 的外角，BDCDEC同理：DECBACBDCBAC證法（二）：連結AD，并延長交BC于FBDF是ABD的外角，BDFBAD同理CDFCADBDFCDFBADCAD即：BDCBAC1.有二倍角時常用的輔助線構造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，如圖，在ABC中，1 = 2，ABC = 2C，求證：ABBD = AC證明：延長AB到E，使BE = BD，連結DE則BED = BDEABD =EBDEABC =2EABC = 2CE = C 在AED和ACD中E = C1 = 2AD = ADAEDACDAC = AEAE = ABBEAC = ABBE即ABBD = AC平分二倍角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB證明：作BAC的平分線AE交BC于E，則BAE = CAE = DBCBDACCBD C = 90oCAEC= 90o AEC= 180oCAEC= 90oAEBCABCBAE = 90oCAEC= 90oBAE = CAEABC = ACB例：已知，如圖，AB = AC，BDAC于D，求證：BAC = 2DBC證明：（方法一）作BAC的平分線AE，交BC于E，則1 = 2 = BAC又AB = ACAEBC2ACB = 90oBDACDBCACB = 90o2 = DBCBAC = 2DBC（方法二）過A作AEBC于E（過程略）（方法三）取BC中點E，連結AE（過程略）加倍小角例：已知，如圖，在ABC中，BDAC于D，BAC = 2DBC求證：ABC = ACB證明：作FBD =DBC,BF交AC于F（過程略）三、兩線做比較1、截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.當已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法：abab = cab = cd例：已知，如圖，在ABC中，ABAC，1 = 2，P為AD上任一點，求證：ABACPBPC證明：截長法：在AB上截取AN = AC，連結PN在APN和APC中，AN = AC1 = 2AP = APAPNAPCPC = PNBPN中有PBPCBNPBPCABAC補短法：延長AC至M，使AM = AB，連結PM在ABP和AMP中AB = AM 1 = 2AP = APABPAMPPB = PM又在PCM中有CM PMPCABACPBPC2、利用三角形三邊關系。n3、當涉及到線段平方的關系式時常構造直角三角形，利用勾股定理證題.例：已知，如圖，在ABC中，A = 90o，DE為BC的垂直平分線求證：BE2AE2 = AC2證明：連結CE，則BE = CEA = 90o AE2AC2 = EC2AE2AC2= BE2BE2AE2 = AC2練習：已知，如圖，在ABC中，BAC = 90o，AB = AC，P為BC上一點求證：PB2PC2= 2PA24條件中出現(xiàn)特殊角時常作高把特殊角放在直角三角形中.例：已知，如圖，在ABC中，B = 45o，C = 30o，AB =，求AC的長. 解：過A作ADBC于DBBAD = 90o，B = 45o，B = BAD = 45o，AD = BDAB2 = AD2BD2，AB =AD = 1C = 30o，ADBCAC = 2AD = 2四、角平分線1、有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線且1 = 2，3 = 4，求證：BECFEF證明：在DA上截取DN = DB，連結NE、NF，則DN = DC 在BDE和NDE中，DN = DB1 = 2ED = EDBDENDEBE = NE同理可證：CF = NF在EFN中，ENFNEFBECFEF2、 可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理。例 已知，如圖，AC平分BAD，CD=CB，ABAD。求證：B+ADC=180。有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角兩邊距離相等證題.例：已知，如圖，1 = 2 ，P為BN上一點，且PDBC于D，ABBC = 2BD，求證：BAPBCP = 180o證明：過P作PEBA于EPDBC，1 = 2 PE = PD在RtBPE和RtBPD中BP = BPPE = PDRtBPERtBPDBE = BDABBC = 2BD，BC = CDBD，AB = BEAEAE = CDPEBE，PDBCPEB =PDC = 90o在PEA和PDC中PE = PDPEB =PDCAE =CDPEAPDCPCB = EAPBAPEAP = 180oBAPBCP = 180o練習：1.已知，如圖，PA、PC分別是ABC外角MAC與NCA的平分線，它們交于P，PDBM于M，PFBN于F，求證：BP為MBN的平分線2. 已知，如圖，在ABC中，ABC =100o，ACB = 20o，CE是ACB的平分線，D是AC上一點，若CBD = 20o，求CED的度數(shù)。解：ACB=20，CBD=20，BD=CD，又BD=ED，ED=CD，CED=DCE，CE平分ACB，CED=DCE=10五、 中線1、有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，且1 = 2，3 = 4，求證：BECFEF證明：延長ED到M，使DM = DE，連結CM、FMBDE和CDM中， BD = CD1 = 5ED = MDBDECDMCM = BE又1 = 2，3 = 4 123 4 = 180o3 2 = 90o即EDF = 90oFDM = EDF = 90oEDF和MDF中ED = MDFDM = EDFDF = DFEDFMDFEF = MF在CMF中，CFCM MFBECFEF（此題也可加倍FD，證法同上）2、在三角形中有中線時，常加倍延長中線構造全等三角形.例：已知，如圖，AD為ABC的中線，求證：ABAC2AD證明：延長AD至E，使DE = AD，連結BEAD為ABC的中線BD = CD在ACD和EBD中BD = CD 1 = 2AD = EDACDEBDABE中有ABBEAEABAC2AD3、.三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為ABC的中線，且CFAD于F，BEAD的延長線于E求證：BE = CF 證明：（略）4.有中點時常構造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，BC = 2AB, ABC = 2C,BD = CD求證：ABC為直角三角形證明：過D作DEBC，交AC于E，連結BE，則BE = CE，C =EBCABC = 2CABE =EBCBC = 2AB，BD = CDBD = AB在ABE和DBE中AB = BDABE =EBCBE = BEABEDBEBAE = BDEBDE = 90oBAE = 90o即ABC為直角三角形六、高1、有垂直時常構造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，B =2C，ADBC于D求證：CD = ABBD證明：（一）在CD上截取DE = DB，連結AE，則AB = AEB =AEBB = 2CAEB = 2C又AEB = CEACC =EACAE = CE又CD = DECECD = BDAB（2） 延長CB到F，使DF = DC，連結AF則AF =AC（過程略）2有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結起來.例：已知，如圖，ABC中，AB = AC，BAC = 120o，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E求證：BF =FC證明：連結AF，則AF = BFB =FABAB = ACB =CBAC = 120oB =CBAC =(180oBAC) = 30oFAB = 30oFAC =BACFAB = 120o30o =90o又C = 30oAF = FCBF =FC練習：已知，如圖，在ABC中，CAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D，DMAB于M，DNAC延長線于N求證：BM = CN七、四邊形構三角形1、條件不足時延長已知邊構造三角形.例：已知AC = BD，ADAC于A，BCBD于B求證：AD = BC證明：分別延長DA、CB交于點EADAC BCBDCAE = DBE = 90o在DBE和CAE中DBE =CAEBD = ACE =EDBECAEED = EC，EB = EAEDEA = EC EBAD = BC2、連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉化成三角形來解決問題.例：已知，如圖，ABCD，ADBC 求證：AB = CD 證明：連結A