線性方程組的解空間.doc

第六章 向量空間6.1 定義和例子6.2 子空間6.3 向量的線性相關(guān)性6.4 基和維數(shù)6.5 坐標(biāo)6.6 向量空間的同構(gòu)6.7 矩陣的秩齊次線性方程組的解空間返回教案總目錄6.7矩陣的秩，齊次線性方程組的解空間一、教學(xué)思考 1、矩陣的秩與線性方程組解的理論在前面已經(jīng)有過(guò)討論，本節(jié)運(yùn)用向量空間的有關(guān)理論重新認(rèn)識(shí)矩陣的秩的幾何意義，討論線性方程組解的結(jié)構(gòu)。2、注意：齊次線性方程組（含個(gè)未知量）的解的集合構(gòu)成的子空間，而非齊次線性方程組的解的集合非也。3、注意具體方法：1）證矩陣的行空間與列空間的維數(shù)相等；2）求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系。二、內(nèi)容要求1、內(nèi)容：矩陣的秩的幾何意義，齊次線性方程組的解空間。2、要求：理解掌握矩陣的秩的幾何意義，齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的求法。三、教學(xué)過(guò)程 1、矩陣的秩的幾何意義幾個(gè)術(shù)語(yǔ)：設(shè)，的每一行看作的一個(gè)元素，叫做的行向量，用表示；由生成的的子空間叫做矩陣的行空間。類(lèi)似地，的每一列看作的一個(gè)元素，叫做的列向量；由的個(gè)列向量生成的的子空間叫做矩陣的列空間。注：的行空間與列空間一般不同，分別是與的子空間；下證其維數(shù)相同。引理6.7.1設(shè)，1）若，是一個(gè)階可逆矩陣，則與有相同的行空間；2）若，是一個(gè)階可逆矩陣，則與有相同的列空間。分析：設(shè)，是的行向量，是的行向量；只需證這兩組向量等價(jià)。由題述關(guān)系得： =即的每個(gè)行向量都可以由的行向量線性表示；因?yàn)榭赡妫?，同上得每個(gè)行向量都可以由的行向量線性表示，這樣這兩組向量等價(jià)。定理6.7.2矩陣的行空間的維數(shù)等于列空間的維數(shù)，等于這個(gè)矩陣的秩。證法：設(shè)，分別證行、列空間的維數(shù)為。由維數(shù)的定義及行空間的概念，只需證行（列）空間的生成元的極大無(wú)關(guān)組含個(gè)向量；為此不直接討論，由引理討論討論與有相同行空間的一個(gè)矩陣，可結(jié)合有關(guān)矩陣的結(jié)論：存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得。證明：設(shè)，則存在階可逆矩陣和階可逆矩陣，使得 （1），兩邊右乘得，上式右端中后行全為0，而前行即為的前行；由于可逆，所以它的行向量線性無(wú)關(guān)，因而它的前行也線性無(wú)關(guān)，由此得上式右端乘積矩陣的行空間的維數(shù)為，由引理的行空間的維數(shù)為。由（1）類(lèi)似得，可得的列空間的維數(shù)也為。定義：矩陣的行（列）向量組的極大無(wú)關(guān)組所含（行（列）空間的維數(shù)）向量的個(gè)數(shù)，叫做矩陣的秩。2、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)1）再證線性方程組有解的判定定理：“數(shù)域上線性方程組有解的充要條件是它的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩相同?！弊C明：設(shè)線性方程組 （1）令表示（1）的系數(shù)矩陣的列向量，則（1）可寫(xiě)為： （2）必要性）若（1）有解，即存在使（2）成立，即可由線性表示，從而與等價(jià)，進(jìn)而（）=（），即與的列空間相同，由定理。 充分性）若，由定理2即與的列空間維數(shù)相同，又因的極大無(wú)關(guān)組一定是的線性無(wú)關(guān)組，所以，即，因而可由線性表示，所以（1）有解。2）齊次線性方程組的解空間設(shè) （3）是數(shù)域上一個(gè)齊次線性方程組，令為其系數(shù)矩陣，則（3）可寫(xiě)為 （4）或；（3）的每一個(gè)解都可以看作的一個(gè)向量，叫做（3）的一個(gè)解向量。令表示（3）的全體解向量構(gòu)成的集合；首先：因，所以；其次：，有，即。因此作成的一個(gè)子空間，這個(gè)子空間叫做齊次線性方程組（3）的解空間。注：當(dāng)僅有零解時(shí)，；當(dāng)有非零解時(shí)，上述討論反映了齊次線性方程組的解的兩個(gè)重要性質(zhì)：1）兩解之和為解；2）一解之倍數(shù)仍為解。從而有無(wú)窮多解，那么這些解是否可用有限個(gè)解表出，上知（3）的解集是的一個(gè)子空間，從而說(shuō)明這是可以的，只需求出的一個(gè)基即可。下面就來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題，即求（3）的解空間的一個(gè)基。重新回顧解線性方程組的過(guò)程：設(shè)（3）的系數(shù)矩陣的秩為，則可經(jīng)過(guò)一系列（行）初等變換化為，與此相應(yīng)的齊次線性方程組為：（5），這里是的重新編號(hào)。（5）有個(gè)自由未知量，依次讓它們?nèi)。傻茫?）的個(gè)解向量：。下面證其是（5）的解空間的一個(gè)基。首先：線性無(wú)關(guān)。事實(shí)上設(shè)，由下面?zhèn)€分量易得。其次：設(shè)是（5）的任一解，代入（5）得：又有恒等式：此個(gè)等式即為，即（5）的每個(gè)解向量都可以由線性表示，故為（5）的解空間的一個(gè)基。注意到（5）與（4）在未知量重新編號(hào)后同解，所以重新編排的次序可得（4）的解空間的一個(gè)基，從而解決了齊次線性方程組的解的構(gòu)造問(wèn)題。并且上述討論也給出了求解空間的具體方法：即通過(guò)解方程組的允許變換得到等價(jià)組，在等價(jià)組中自由未知量是清楚的，給其一組線性無(wú)關(guān)值，便得等價(jià)組的一組解向量，其構(gòu)成等價(jià)組的解空間的一個(gè)基，再調(diào)整解向量的次序便得。上述討論得：定理6.7.3數(shù)域上一個(gè)元齊次線性方程組的一切解作成的一個(gè)子空間，稱(chēng)之為這個(gè)線性方程組的解空間。若所給方程組的系數(shù)矩陣的秩為，則解空間的維數(shù)為。定義：一個(gè)齊次線性方程組的解空間的一個(gè)基，叫做這個(gè)方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。注：上述討論給出了齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的存在性及求法；其中自由未知量取值時(shí)，只需保證線性無(wú)關(guān)即可。（例略）3）非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)設(shè) （6）是數(shù)域上一個(gè)元線性方程組。問(wèn)題當(dāng)（6）有無(wú)窮解時(shí)，解的結(jié)構(gòu)如何？為此先引入：把（6）的常數(shù)項(xiàng)都換成0，便得一個(gè)齊次線性方程組 （7），齊次線性方程組（7）叫做方程組（6）的導(dǎo)出齊次線性方程組。注：任一線性方程組都有唯一的導(dǎo)出齊次線性方程組。為討論上述問(wèn)題，先討論（6）與其導(dǎo)出齊次線性方程組（7）的解之間的關(guān)系。1）（6）的兩個(gè)解的差是（7）似的解；事實(shí)上，設(shè)是（6）的兩個(gè)解，有，所以。2）（6）的一個(gè)解與（7）的一個(gè)解的和是（6）的一個(gè)解。（同上）（6）的解的構(gòu)造：定理6.7.4若（6）有解，則（6）的任一解都可以表示為（6）的一個(gè)固定解與（7）的一個(gè)解的和。證明：設(shè)是（6）的一個(gè)固定解，是（