快樂(lè)課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“平面向量”-高中數(shù)學(xué)必修4.doc

9ebd70e6a3d45c50452083fb2a90b9fe.pdfPage 5 of 5快樂(lè)課堂學(xué)數(shù)學(xué)-多余老師趣講“平面向量”-高中數(shù)學(xué)必修4 一、本單元概述向量，最初被應(yīng)用于物理學(xué)。很多物理量如力、速度、位移以及將要學(xué)習(xí)到的電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等都是向量。大約公元前350年前，古希臘著名學(xué)者亞里士多德就知道了力可以表示成向量，兩個(gè)力的組合作用可用著名的平行四邊形法則來(lái)得到。“向量”一詞來(lái)自力學(xué)、解析幾何中的有向線段。最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓。從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看，歷史上很長(zhǎng)一段時(shí)間，空間的向量結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí)，直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初，人們才把空間的性質(zhì)與向量運(yùn)算聯(lián)系起來(lái)，使向量成為具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系。向量能夠進(jìn)入數(shù)學(xué)并得到發(fā)展，首先應(yīng)從復(fù)數(shù)的幾何表示談起。18世紀(jì)末期，挪威測(cè)量學(xué)家威塞爾首次利用坐標(biāo)平面上的點(diǎn)來(lái)表示復(fù)數(shù)a+bi，并利用具有幾何意義的復(fù)數(shù)運(yùn)算來(lái)定義向量的運(yùn)算。把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)用向量表示出來(lái)，并把向量的幾何表示用于研究幾何問(wèn)題與三角問(wèn)題。人們逐步接受了復(fù)數(shù)，也學(xué)會(huì)了利用復(fù)數(shù)來(lái)表示和研究平面中的向量，向量就這樣平靜地進(jìn)入了數(shù)學(xué)。但復(fù)數(shù)的利用是受限制的，因?yàn)樗鼉H能用于表示平面，若有不在同一平面上的力作用于同一物體，則需要尋找所謂三維“復(fù)數(shù)”以及相應(yīng)的運(yùn)算體系。向量的方法經(jīng)過(guò)逐步完善，成為了一套優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具。向量，是一個(gè)非常好的數(shù)學(xué)工具，使用向量解決問(wèn)題的方法稱(chēng)為“向量法”。向量法的數(shù)學(xué)思想，仍然是“數(shù)形結(jié)合思想”。要使用好這個(gè)工具，就要：1、知道工具的構(gòu)造原理。2、工具的操作規(guī)則。3、工具的使用范圍。二、向量的有關(guān)概念 在數(shù)學(xué)與物理中，既有大小又有方向且遵循平行四邊形法則的量叫做向量（亦稱(chēng)矢量），在數(shù)學(xué)中與之相對(duì)的是數(shù)量，在物理中與之相對(duì)的是標(biāo)量。向量有方向與大小，分為自由向量（可平移）與固定向量（不可平移）。數(shù)學(xué)中，把只有大小但沒(méi)有方向的量叫做數(shù)量，物理中常稱(chēng)為標(biāo)量。例如距離、質(zhì)量、密度、溫度等。向量的表示：1代數(shù)表示：一般印刷用黑體小寫(xiě)字母、或a、b、c 等來(lái)表示，手寫(xiě)用在a、b、c等字母上加一箭頭表示。2幾何表示：向量可以用有向線段來(lái)表示。具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的有向線段記作AB。（AB是印刷體，也就是粗體字母，書(shū)寫(xiě)體是上面加個(gè)）有向線段包含3個(gè)因素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度。有向線段AB的長(zhǎng)度叫做向量的模，記作|AB|。向量的大小也就是向量的長(zhǎng)度。長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0。長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量，叫做單位向量。箭頭所指的方向表示向量的方向。3坐標(biāo)表示（數(shù)形結(jié)合）：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為一組基底。a為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的任意向量，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為起點(diǎn)作向量OP=a。有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此把實(shí)數(shù)對(duì)（x，y）叫做向量a的坐標(biāo)，記作a=（x，y）。這就是向量a的坐標(biāo)表示。其中（x，y）就是點(diǎn)P的坐標(biāo)。向量OP稱(chēng)為點(diǎn)P的位置向量。在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，每一個(gè)平面向量都可以用一對(duì)實(shí)數(shù)唯一表示。注意：平面向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)不一樣，平面向量的坐標(biāo)是相對(duì)的。而點(diǎn)的坐標(biāo)是絕對(duì)的。若一向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，例如該向量為（1，2）那么該向量上的所有點(diǎn)都可以用（a，2a）表示。即，該向量上的任意一點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)比例關(guān)系與向量坐標(biāo)的比例關(guān)系是一樣的。模和數(shù)量向量的大小，也就是向量的長(zhǎng)度(或稱(chēng)模)。向量a的模記作|a|。注意：1向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，是可以比較大小的。向量a=(x,y)， |a|=根號(hào)下（x2+y2）。2因?yàn)榉较虿荒鼙容^大小，所以向量也就不能比較大小。對(duì)于向量來(lái)說(shuō)“大于”和“小于”的概念是沒(méi)有意義的。例如，“向量AB向量CD”是沒(méi)有意義的。各種向量零向量：長(zhǎng)度等于0的向量叫做零向量，記作0。（注意粗體格式，實(shí)數(shù)“0”和向量“0”是有區(qū)別的）零向量的方向是任意的；且零向量與任何向量都平行且垂直。單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位（即模為1）的向量，叫做單位向量。某方向上的單位向量：與向量a同向或反向，且長(zhǎng)度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作a0，a0=a/|a|。負(fù)向量：如果向量AB與向量CD的模相等且方向相反，那么我們把向量AB叫做向量CD的負(fù)向量零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記作0。零向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)重合，所以零向量沒(méi)有確定的方向，或說(shuō)零向量的方向是任意的。相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量向量a與b相等，記作a=b。特別規(guī)定：所有的零向量都相等。當(dāng)用有向線段表示向量時(shí)，起點(diǎn)可以任意選取。任意兩個(gè)相等的非零向量，都可用同一條有向線段來(lái)表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無(wú)關(guān)。同向且等長(zhǎng)的有向線段都表示同一向量。自由向量：始點(diǎn)不固定的向量，它可以任意的平行移動(dòng)，而且移動(dòng)后的向量仍然代表原來(lái)的向量。在自由向量的意義下，相等的向量都看作是同一個(gè)向量。數(shù)學(xué)中只研究自由向量?；瑒?dòng)向量：沿著直線作用的向量稱(chēng)為滑動(dòng)向量。固定向量：作用于一點(diǎn)的向量稱(chēng)為固定向量（亦稱(chēng)膠著向量）。位置向量：對(duì)于坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)P，我們把向量OP叫做點(diǎn)P的位置向量，記作：向量P。方向向量：直線l上的向量a以及與向量a共線的向量叫做直線l上的方向向量。相反向量：與a長(zhǎng)度相等、方向相反的向量叫做a的相反向量，記作-a。有 -（-a）=a，零向量的相反向量仍是零向量。平行（或共線）向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共線）向量。向量a、b平行（共線），記作ab。零向量長(zhǎng)度為零，是起點(diǎn)與終點(diǎn)重合的向量，其方向不確定，我們規(guī)定：零向量與任一向量平行，即0/a。平行于同一直線的一組向量是共線向量。若a=(x,y)b=(m，n)。a/b=ab=xn-ym=0。在向量中共線向量就是平行向量，（這和直線不同，直線共線就是同一條直線了，而向量共線就是指兩條是平行向量） 共面向量：平行于同一平面的三個(gè)（或多于三個(gè)）向量叫做共面向量?？臻g中的向量有且只有以下兩種位置關(guān)系：共面；不共面。注意：只有三個(gè)或三個(gè)以上向量才談共面不共面。法向量：直線l，取直線l的方向向量a，則向量a叫做平面的法向量。三、向量運(yùn)算1、向量的加法向量加法的定義已知向量a、b，在平面上任意取一點(diǎn)A，作AB=a，BC=b，再作向量AC，則向量AC叫做a與b的和，記做a+b，即a+b=AB+BC=AC。向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。AB+BC=AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。（首尾相連，連接首尾，指向終點(diǎn)） 同樣，作AB=a,且AD=BC,再作平行AD的BC=b，連接DC，因?yàn)锳DBC，且AD=BC，所以四邊形ABCD為平行四邊形，AC叫做a與b的和，表示為：AC=a+b.這種方法叫做向量加法的平行四邊形法則。（共起點(diǎn)，對(duì)角連）。對(duì)于零向量和任意向量a，有：0+a=a+0=a。|a|-|b|a+b|a|+|b|。（即：三角形中，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，當(dāng)共線時(shí)，取等號(hào)）向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。（加法交換律、加法結(jié)合律）2、向量的減法AB-AC=CB,這種計(jì)算法則叫做向量減法的三角形法則。（共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，指向被減） c=a-b以b的結(jié)束為起點(diǎn)，a的結(jié)束為終點(diǎn)。如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0，(a)=a，a+(a)=(a)+a=0，ab=a+(b)。0的反向量為0。3、向量的數(shù)乘實(shí)數(shù)和向量a的乘積是一個(gè)向量，記作a，且a=a。當(dāng)0時(shí)，a與a同方向；當(dāng)1時(shí)，表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上伸長(zhǎng)為原來(lái)的倍當(dāng)0）或反方向（0）上縮短為原來(lái)的倍。數(shù)與向量的乘法滿足乘法運(yùn)算定律：結(jié)合律：(a)b=(ab)=(ab)。向量對(duì)于數(shù)的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a.數(shù)對(duì)于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b.數(shù)乘向量的消去律： 如果實(shí)數(shù)0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。4、坐標(biāo)運(yùn)算已知a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a+b=（x1+x2,y1+y2）a-b=（x1-x2，y1-y2）這就是說(shuō)， 兩個(gè)向量和與差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和與差。由此可以得到：一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去始點(diǎn)的坐標(biāo)。根據(jù)上面的結(jié)論又可得若a=(x,y),則a=(x,y)這就是說(shuō)，實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo)。由坐標(biāo)運(yùn)算可知：向量的加法、減法、數(shù)乘，屬于“線性運(yùn)算”，即符合實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則。4、向量的數(shù)量積（1）向量a與向量b的夾角：已知兩個(gè)非零向量，過(guò)O點(diǎn)做向量OA=a，向量OB=b，則角AOB=叫做向量a與b的夾角。并規(guī)定0 （2）數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a|b|cos 叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，兩個(gè)向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點(diǎn)積）是一個(gè)數(shù)量（沒(méi)有方向），記作ab，是a與b的夾角，|a|cos （|b|cos ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。若a、b不共線，則ab=|a|b|cos（依定義有：cos=ab / |a|b|）；若a、b共線，則ab=ab。（3）數(shù)量積幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos 的乘積。兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。即：若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則ab=x1x2+y1y2（4）向量的數(shù)量積的性質(zhì)：aa=a20ab=ba（交換律）k(ab)=(ka)b=a(kb) (關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律)a(b+c)=ab+ac（分配律）ab=0aba=kba/be1e2=|e1|e2|cos| ab|a|b|。（該公式證明如下：|ab|=|a|b|cos| 因?yàn)?|cos|1，所以|ab|a|b|）向量的數(shù)量積與實(shí)數(shù)運(yùn)算的主要不同點(diǎn)1向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。2向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由ab=ac (a0)，推不出b=c。3|ab|與|a|b|不等價(jià)4由 |a|=|b| ，推不出a=b或a=-b。說(shuō)明：向量的數(shù)量積，是專(zhuān)為物理的矢量積定義的，物理中，兩個(gè)矢量的積，是標(biāo)量（即數(shù)量）。所以，向量的數(shù)量積與向量的其它運(yùn)算，不完全不同類(lèi)型的運(yùn)算，在做有關(guān)數(shù)量積的判斷時(shí)，要用物理的角度來(lái)進(jìn)行。相關(guān)練習(xí)1若a =0，則對(duì)任一向量b ，有a b=0. 2若a 0，則對(duì)任一非零向量b ,有a b0 錯(cuò)（當(dāng)ab時(shí)，a b=0）3若a 0，a b =0，則b=0錯(cuò)（當(dāng)a和b都不為零，且ab時(shí)，a b=0）4若a b=0，則a b中至少有一個(gè)為0. 錯(cuò)（可以都不為0，當(dāng)ab時(shí)，a b=0成立）5若a0，a b= b c，則a=c錯(cuò)（當(dāng)b=0時(shí)）6若a b = a c ,則bc,當(dāng)且僅當(dāng)a= 0時(shí)成立 錯(cuò)（a0且同時(shí)垂直于b，c時(shí)也成立）注：向量沒(méi)有除法，“向量AB/向量CD”是沒(méi)有意義的。四、向量的應(yīng)用三角形不等式1、a-ba+ba+b 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，左邊取等號(hào) 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，右邊取等號(hào)。2a-ba-ba+b。 當(dāng)且僅當(dāng)a、b同向時(shí)，左邊取等號(hào) 當(dāng)且僅當(dāng)a、b反向時(shí)，右邊取等號(hào)。定比分點(diǎn)定比分點(diǎn)公式（向量P1P=向量PP2）設(shè)P1、P2是直線上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1、P2的任意一點(diǎn)。則存在一個(gè)任意實(shí)數(shù)且不等于-1，使 向量P1P=向量PP2，叫做點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比。若P1（x1,y1），P2(x2,y2)，P(x,y)，則有OP=(OP1+OP2)/(1+)；（定比分點(diǎn)向量公式）x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。（定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式）我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點(diǎn)公式三點(diǎn)共線定理：已知0是AB所在直線外一點(diǎn),若OC=OA +OB ,且+=1 ,則A、B、C三點(diǎn)共線三角形重心判斷式：在ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為ABC的重心向量共線的條件若b0，則a/b的重要條件是存在唯一實(shí)數(shù)，使a=b。若設(shè)a=（x1，y1），b=（x2，y2），則有x1y2=x2y1。零向量0平行于任何向量。向量垂直的充要條件：ab的充要條件是ab=0，即x1x2+y1y2=0。平面向量分解定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不平行向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1，2使a=1e1+2e2我們把不平行向量e1、e2叫做這一平面內(nèi)所有向量的一基底五、向量法解題平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國(guó)使用新教材的高考試題逐漸加大了對(duì)這部分內(nèi)容的考查力度，主要是運(yùn)用向量法來(lái)分析，解決一些相關(guān)問(wèn)題.解決關(guān)于向量問(wèn)題時(shí)，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想.向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向