【三維設(shè)計(jì)】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)（基礎(chǔ)知識(shí)+高頻考點(diǎn)+解題訓(xùn)練）第五章 數(shù)列求和教學(xué)案（含解析）新人教A版.doc

第四節(jié)數(shù)_列_求_和知識(shí)能否憶起一、公式法1如果一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則求和時(shí)直接利用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，注意等比數(shù)列公比q的取值情況要分q1或q1.2一些常見數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：(1)1234n；(2)13572n1n2；(3)24682nn2n.二、非等差、等比數(shù)列求和的常用方法1倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和即是用此法推導(dǎo)的2分組轉(zhuǎn)化求和法若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組轉(zhuǎn)化法，分別求和而后相加減3錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和就是用此法推導(dǎo)的4裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和小題能否全取1(2012沈陽六校聯(lián)考)設(shè)數(shù)列(1)n的前n項(xiàng)和為sn，則對(duì)任意正整數(shù)n，sn()a.b.c. d.解析：選d因?yàn)閿?shù)列(1)n是首項(xiàng)與公比均為1的等比數(shù)列，所以sn.2等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n1，其前n項(xiàng)的和為sn，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和為()a120 b70c75 d100解析：選csnn(n2)，n2.故75.3數(shù)列a12，ak2k，a1020共有十項(xiàng)，且其和為240，則a1aka10的值為()a31 b120c130 d185解析：選ca1aka10240(22k20)240240110130.4若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an2n2n1，則數(shù)列an的前n項(xiàng)和為_解析：sn2n12n2.答案：2n1n225數(shù)列，的前n項(xiàng)和為_解析：因an則sn.答案：數(shù)列求和的方法(1)一般的數(shù)列求和，應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無通項(xiàng)，先求通項(xiàng)，然后通過對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為與特殊數(shù)列有關(guān)或具備某種方法適用特點(diǎn)的形式，從而選擇合適的方法求和(2)解決非等差、等比數(shù)列的求和，主要有兩種思路：轉(zhuǎn)化的思想，即將一般數(shù)列設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列，這一思想方法往往通過通項(xiàng)分解或錯(cuò)位相減來完成不能轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法等來求和分組轉(zhuǎn)化法求和典題導(dǎo)入例1(2011山東高考)等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的某一個(gè)數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足：bnan(1)nln an，求數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和s2n.自主解答(1)當(dāng)a13時(shí)，不合題意；當(dāng)a12時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時(shí)，符合題意；當(dāng)a110時(shí)，不合題意因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an23n1.(2)因?yàn)閎nan(1)nln an23n1(1)nln(23n1)23n1(1)n(ln 2ln 3)(1)nnln 3，所以s2nb1b2b2n2(1332n1)111(1)2n(ln 2ln 3)123(1)2n2nln 32nln 332nnln 31.由題悟法分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型(1)若anbncn，且bn，cn為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和(2)通項(xiàng)公式為an的數(shù)列，其中數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求和.以題試法1已知數(shù)列xn的首項(xiàng)x13，通項(xiàng)xn2npnq(nn*，p，q為常數(shù))，且x1，x4，x5成等差數(shù)列求：(1)p，q的值；(2)數(shù)列xn前n項(xiàng)和sn的公式解：(1)由x13，得2pq3，又因?yàn)閤424p4q，x525p5q，且x1x52x4，得325p5q25p8q，解得p1，q1.(2)由(1)，知xn2nn，所以sn(2222n)(12n)2n12.錯(cuò)位相減法求和典題導(dǎo)入例2(2012江西高考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和snkcnk(其中c，k為常數(shù))，且a24，a68a3.(1)求an；(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和tn.自主解答(1)由snkcnk，得ansnsn1kcnkcn1(n2)由a24，a68a3 ，得kc(c1)4，kc5(c1)8kc2(c1)，解得所以a1s12，ankcnkcn12n(n2)，于是an2n.(2)tnai2i，即tn2222323424n2n.tn2tntn22223242nn2n12n12n2n1(n1)2n12.由題悟法用錯(cuò)位相減法求和應(yīng)注意：(1)要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫出“sn”與“qsn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“snqsn”的表達(dá)式(3)在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解以題試法2(2012濟(jì)南模擬)已知等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且滿足sn3nk.(1)求k的值及數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若數(shù)列bn滿足(4k)anbn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解：(1)當(dāng)n2時(shí)，由ansnsn13nk3n1k23n1，得等比數(shù)列an的公比q3，首項(xiàng)為2.a1s13k2，k1，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an23n1.(2)由(4k)anbn，可得bn，即bn.tn，tn，tn，tn.裂項(xiàng)相消法求和典題導(dǎo)入例3已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，a11，snnann(n1)(nn*)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.自主解答(1)snnann(n1)，當(dāng)n2時(shí)，sn1(n1)an1(n1)(n2)，ansnsn1nann(n1)(n1)an1(n1)(n2)，即anan12.數(shù)列an是首項(xiàng)a11，公差d2的等差數(shù)列，故an1(n1)22n1，nn*.(2)由(1)知bn，故tnb1b2bn1.本例條件不變，若數(shù)列bn滿足bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.解：snnann(n1)n(2n1)n(n1)n2.bn，tn1.由題悟法利用裂項(xiàng)相消法求和應(yīng)注意(1)抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)；(2)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等如：若an是等差數(shù)列，則，.以題試法3(2012“江南十校”聯(lián)考)在等比數(shù)列an中，a10，nn*，且a3a28，又a1、a5的等比中項(xiàng)為16.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog4an，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為sn，是否存在正整數(shù)k，使得k對(duì)任意nn*恒成立若存在，求出正整數(shù)k的最小值；不存在，請(qǐng)說明理由解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q，由題意可得a316，a3a28，則a28，q2.an2n1.(2)bnlog42n1，snb1b2bn.，0)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn.解：(1)設(shè)數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公差為d，則由a59，a2a614，得解得所以an的通項(xiàng)an2n1.(2)由an2n1得bn2n1q2n1.當(dāng)q0且q1時(shí)，sn135(2n1)(q1q3q5q2n1)n2；當(dāng)q1時(shí)，bn2n，則snn(n1)所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和sn12(2012“江南十?！甭?lián)考)若數(shù)列an滿足：a1，a22,3(an12anan1)2.(1)證明：數(shù)列an1an是等差數(shù)列；(2)求使成立的最小的正整數(shù)n.解：(1)由3(an12anan1)2可得：an12anan1，即(an1an)(anan1)，故數(shù)列an1an是以a2a1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列(2)由(1)知an1an(n1)(n1)，于是累加求和得ana1(23n)n(n1)，3，3，n5，最小的正整數(shù)n為6.1已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和snn26n，則|an|的前n項(xiàng)和tn()a6nn2bn26n18c. d.解析：選c由snn26n得an是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為5，公差為2.an5(n1)22n7，n3時(shí)，an3時(shí)，an0，tn2(2012成都二模)若數(shù)列an滿足a12且anan12n2n1，sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則log2(s2 0122)_.解析：因?yàn)閍1a2222，a3a42423，a5a62625，.所以s2 012a1a2a3a4a2 011a2 0122122232422 01122 01222 0132.故log2(s2 0122)log222 0132 013.答案：2 0133已知遞增的等比數(shù)列an滿足：a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanlogan，snb1b2bn，求sn.解：(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q.依題意，有2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.a2a420.解得或又an為遞增數(shù)列，an2n.(2)bn2nlog2nn2n，sn12222323n2n.2sn122223324(n1)2nn2n1.得sn222232nn2n1n2n12n1n2n12.sn2n1n2n12.1已知an是公差不為零的等差數(shù)列，a11，且a1，a3，a9成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)；(2)求數(shù)列2an的前n項(xiàng)和sn.解：(1)由題設(shè)知公差d0，由a11，a1，a3，a9成等比數(shù)列得，解得d1或d0(舍去)，故an的通項(xiàng)an1(n1)1n.(2)由(1)知2an2n，由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得sn222232n2n12.2設(shè)函數(shù)f(x)x3，在等差數(shù)列an中，a37，a1a2a312，記snf()，令bnansn，數(shù)列的前n項(xiàng)和為tn.(1)求an的通項(xiàng)公式和sn；(2)求證：tn.解：(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a3a12d7，a1a2a33a13d12，解得a11，d3，則an3n2.f(x)x3，snf()an13n1.(2)證明：bnansn(3n2)(3n1)，.tn.tn.3已知二次函數(shù)f(x)x25x10，當(dāng)x(n，n1(nn*)時(shí)，把f(x)在此區(qū)間內(nèi)的整數(shù)值的個(gè)數(shù)表示為an.(1)求a1和a2