【志鴻優(yōu)化設計】（湖南專用）高考數(shù)學一輪復習 第九章解析幾何9.9曲線與方程教學案 理.doc

9.9曲線與方程了解方程的曲線與曲線的方程的對應關系1一般地，在平面直角坐標系中，如果曲線c上的點與一個二元方程f(x，y)0的實數(shù)解建立了如下關系：(1)曲線上的點的坐標都是這個方程的_；(2)以這個方程的解為坐標的點都是_那么，這個方程叫做曲線的方程；這條曲線叫做方程的曲線曲線可以看作是符合某條件的點的集合，也可看作是滿足某種條件的動點的軌跡，因此，此類問題也叫軌跡問題2求曲線方程的基本步驟：(1)建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序實?shù)對(x，y)表示曲線上任意一點m的坐標；(2)寫出適合條件p的點m的集合pm|p(m)；(3)用坐標表示條件p(m)，列出方程f(x，y)0；(4)化方程f(x，y)0為最簡形式；(5)說明以化簡后的方程的解為坐標的點都在曲線上1方程y表示的曲線是()a拋物線的一部分 b雙曲線的一部分c圓 d半圓2若m，n為兩個定點，且|mn|6，動點p滿足0，則p點的軌跡是()a圓 b橢圓 c雙曲線 d拋物線3方程(2x3y1)(1)0表示的曲線是()a兩條直線b兩條射線c兩條線段d一條直線和一條射線4已知點a(2,0)，b(3,0)，動點p(x，y)滿足x26，則p點的軌跡方程是_5過圓x2y24上任一點p作x軸的垂線pn，n為垂足，則線段pn中點m的軌跡方程為_一、直接法求軌跡方程【例11】已知直角坐標平面上點q(2,0)和圓o：x2y21，動點m到圓o的切線長與|mq|的比等于常數(shù)(0)，求動點m的軌跡方程，并說明它表示什么曲線【例12】已知點m(4,0)，n(1,0)，若動點p滿足6|.(1)求動點p的軌跡c的方程；(2)設q是曲線c上任意一點，求q到直線l：x2y120的距離的最小值方法提煉建立適當?shù)淖鴺讼?，設出曲線上任意一點的坐標，找出動點滿足的等量關系，化簡即得所求曲線方程請做演練鞏固提升1二、用定義法求軌跡方程【例2】已知點a，點b是圓f：2y24(f為圓心)上一動點，線段ab的垂直平分線交bf于點p，求動點p的軌跡方程方法提煉若由題意能判斷出動點的運動軌跡能滿足某種曲線的定義，則只需設出標準方程并確定出方程中的基本量即可，這也是求軌跡方程的首選方法請做演練鞏固提升2三、代入法求點的軌跡方程【例3】 已知abc的兩個頂點為a(2,0)，b(0，2)，第三個頂點c在曲線y3x21上移動，求abc重心的軌跡方程方法提煉若a點的運動與b點的運動相關，且b點的運動有規(guī)律，則找出兩點坐標間的關系，用a點坐標表示出b點坐標，代入b點所滿足的方程，整理即得a點的軌跡方程請做演練鞏固提升4曲線軌跡方程的求解【典例】 (14分)(2012湖北高考)設a是單位圓x2y21上的任意一點，l是過點a與x軸垂直的直線，d是直線l與x軸的交點，點m在直線l上，且滿足|dm|m|da|(m0，且m1)當點a在圓上運動時，記點m的軌跡為曲線c.(1)求曲線c的方程，判斷曲線c為何種圓錐曲線，并求其焦點坐標；(2)過原點且斜率為k的直線交曲線c于p，q兩點，其中p在第一象限，它在y軸上的射影為點n，直線qn交曲線c于另一點h.是否存在m，使得對任意的k0，都有pqph？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由規(guī)范解答：(1)如圖1，設m(x，y)，a(x0，y0)，則由|dm|m|da|(m0，且m1)，可得xx0，|y|m|y0|，所以x0x，|y0|y|.因為a點在單位圓上運動，所以xy1.將式代入式即得所求曲線c的方程為x21(m0，且m1)(4分)因為m(0,1)(1，)，所以當0m1時，曲線c是焦點在x軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為(，0)，(，0)；(6分)當m1時，曲線c是焦點在y軸上的橢圓，兩焦點坐標分別為(0，)，(0，)(8分)(2)方法一：如圖2,3，k0，設p(x1，kx1)，h(x2，y2)，則q(x1，kx1)，n(0，kx1)，直線qn的方程為y2kxkx1，將其代入橢圓c的方程并整理可得(m24k2)x24k2x1xk2xm20.依題意可知此方程的兩根為x1，x2，于是由韋達定理可得x1x2，即x2.(10分)因為點h在直線qn上，所以y2kx12kx2.于是(2x1，2kx1)，(x2x1，y2kx1).而pqph等價于0，(13分)即2m20.又m0，得m，故存在m，使得在其對應的橢圓x21上，對任意的k0，都有pqph.(14分) 圖1 圖2(0m1) 圖3(m1)方法二：如圖2,3，x1(0,1)，設p(x1，y1)，h(x2，y2)，則q(x1，y1)，n(0，y1)因為p，h兩點在橢圓c上，所以兩式相減可得m2(xx)(yy)0.(10分)依題意，由點p在第一象限可知，點h也在第一象限，且p，h不重合故(x1x2)(x1x2)0，于是由式可得m2.(12分)又q，n，h三點共線，所以kqnkqh，即.于是由式可得kpqkph.而pqph等價于kpqkph1，即1.又m0，得m.故存在m， 使得在其對應的橢圓x21上，對任意的k0，都有pqph.(14分)答題指導：解決軌跡的問題時，要注意以下幾點：(1)當動點(或動直線)的位置不確定時，要注意對它們所有可能的情形進行必要的分類討論，以防以偏概全或遺漏一種或幾種情況；(2)解決直線與曲線的交點問題，不僅僅要考慮方程解的個數(shù)，還要注意數(shù)形結合1在平面直角坐標系xoy中，若定點a(1,2)與動點p(x，y)滿足4，則點p的軌跡方程是_2設f1，f2是雙曲線x2y24的兩焦點，q是雙曲線上任意一點，從f1引f1qf2平分線的垂線，垂足為p，則p點的軌跡方程是_3如圖，已知點a在x軸上，點b在y軸上，且|ab|2，點m分有向線段的比為，求點m的軌跡方程，并說明曲線的類型4已知點m是拋物線y2x上一動點，以om為一邊(o為原點)作正方形mnpo，求動點p的軌跡方程參考答案基礎梳理自測知識梳理1(1)解(2)曲線上的點基礎自測1d解析：由y得x2y29，因為x2y29表示一個圓，所以y表示一個半圓2a解析：以mn的中點為原點建立直角坐標系，并設m(3,0)，n(3,0)，p(x，y)，則(3x，y)(3x，y)(x29)y20，即x2y29，故p點的軌跡是圓3d解析：由(2x3y1)(1)0可得2x3y10或1，即2x3y10或x4(x3)4y2x解析：(x2，y)，(x3，y)，(x2)(x3)y2x26，整理得y2x.5.y21解析：設點m(x，y)，p(x0，y0)，則n(x0,0)，又點p(x0，y0)在圓x2y24上，x02y024.x24y24，即y21.考點探究突破【例11】 解：如圖所示，設直線mn切圓于n點，則動點m組成的集合是：pm|mn|mq|(0)因為圓的半徑|on|1，所以|mn|2|mo|2|on|2|mo|21.設點m的坐標為(x，y)，則，整理，得(21)(x2y2)42x(142)0，當1時，方程化為x，它表示一條直線；當1時，方程化為2y2，它表示圓心為，半徑為的圓【例12】 解：(1)設動點p(x，y)，則(x4，y)，(3,0)，(1x，y)，由已知得3(x4)6，化簡得：3x24y212，即1.點p的軌跡c的方程是：1.(2)設橢圓c的與直線l平行的切線l：x2yd0，將其代入橢圓方程消去x，化簡得16y212dy3(d24)0.144d2192(d24)0，解得d4.l和l的距離最小值為.點q到直線l的距離的最小值為.【例2】 解：如圖，連接pa，依題意可知|pa|pb|.|pa|pf|pb|pf|bf|21.p點軌跡為以a，f為焦點，長半軸長為1的橢圓其方程可設為1.又c，a1，b2a2c2.故p點的軌跡方程為x2y21.【例3】 解：設abc的重心g(x，y)，c(x0，y0)，則即點c在y3x21上，y03x021.3y23(3x2)21，整理得y9x212x3.abc重心的軌跡方程為y9x212x3.演練鞏固提升1x2y40解析：(x，y)，(1,2)，則x2y4.點p的軌跡方程為x2y40.2x2y24解析：如圖，延長f1p交qf2于f1點，連接po.則在f1f2f1中，|po|f2f1|(|qf1|qf2|)(|qf1|qf2|)2，即|po|2，p點的軌跡方程為x2y24.3解：設m點坐標為(x，y)，a，b兩點的坐標分別為(a,0)，(0，b)，則a2b24，又當0時，即(1)2x22y24.(1)若1，則x2y21表示以原點為圓心半徑為1的圓；(2)若1或1，則1表示中心在原點，焦點在y軸上的橢圓；(3)若01或10