【志鴻全優(yōu)設(shè)計(jì)】高中數(shù)學(xué) 第三章§3模擬方法 概率的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修3.doc

3模擬方法概率的應(yīng)用1了解模擬方法估計(jì)概率的實(shí)際應(yīng)用，初步體會(huì)幾何概型的意義2初步學(xué)會(huì)求一些簡(jiǎn)單的幾何概型中事件的概率3能夠運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率幾何概型(1)定義：向平面上有限區(qū)域(集合)g內(nèi)隨機(jī)地投擲點(diǎn)m，若點(diǎn)m落在子區(qū)域g1g的概率與g1的面積成_，而與g的形狀、位置無關(guān)，即p(點(diǎn)m落在g1)_，則稱這種模型為幾何概型(2)說明：幾何概型中的g也可以是空間中或直線上的有限區(qū)域，相應(yīng)的概率是_之比或_之比幾何概型的兩個(gè)特點(diǎn)一是無限性，即在一次試驗(yàn)中，基本事件的個(gè)數(shù)可以是無限的；二是等可能性，即每一個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的【做一做1】判斷下列試驗(yàn)中事件發(fā)生的概率模型是古典概型還是幾何概型(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)”的概率；(2)如圖所示，圖中有一個(gè)轉(zhuǎn)盤，甲、乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向b區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否則乙獲勝，求甲獲勝的概率【做一做2】在兩根相距6 m的木桿上系一根繩子，并在繩子上掛上一盞燈，則燈與木桿兩端的距離都大于2 m的概率是()a b c d如何判斷一個(gè)概率模型屬于古典概型還是屬于幾何概型？剖析：幾何概型的特征：一是無限性，試驗(yàn)中所有出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限個(gè)，即有無限個(gè)不同的基本事件；二是等可能性，每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等的而古典概型的特征是：一是有限性，指在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件；二是等可能性，指每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性(概率)是均等的因此判斷一個(gè)概率模型屬于古典概型還是屬于幾何概型的步驟是：確定一次試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果(基本事件)出現(xiàn)的可能性(概率)是否均等，如果不均等，那么既不屬于古典概型又不屬于幾何概型；如果試驗(yàn)中每個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的可能性是均等時(shí)，再判斷試驗(yàn)結(jié)果的有限性，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有有限個(gè)時(shí)，這個(gè)概率模型屬于古典概型；當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果有無限個(gè)時(shí)，這個(gè)概率模型屬于幾何概型題型一 與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型【例題1】公共汽車在05 min內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)車站求汽車在13 min之間到達(dá)的概率反思：(1)求與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型的方法，是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為線段的長(zhǎng)度，然后求解，應(yīng)特別注意準(zhǔn)確表示所確定的線段的長(zhǎng)度(2)如果試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長(zhǎng)度表示，則其概率p(a).題型二 與面積有關(guān)的幾何概型【例題2】假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，送報(bào)人可能在早上6：307：30把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去工作的時(shí)間是7：008：00，問你父親在離開家前能拿到報(bào)紙(稱為事件a)的概率是多少？分析：利用直角坐標(biāo)系將題目中的條件轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積，然后利用幾何概型求解反思：解決本題的關(guān)鍵是將已知的兩個(gè)條件轉(zhuǎn)化為線性約束條件，從而轉(zhuǎn)化為平面圖形中的面積型幾何概型問題如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量能轉(zhuǎn)化為平面圖形的面積，這種概率模型稱為面積型的幾何概型，則可按下列公式來計(jì)算其概率：p(a).題型三 與體積有關(guān)的幾何概型【例題3】有一杯2升的水，其中含有一個(gè)細(xì)菌，用一個(gè)小杯從這杯水中取出0.1升水，求小杯水中含有這個(gè)細(xì)菌的概率分析：這個(gè)細(xì)菌所在的位置有無限個(gè)，屬于幾何概型反思：如果試驗(yàn)的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量能轉(zhuǎn)化為幾何體的體積，這種概率模型稱為體積型的幾何概型，則可按下列公式來計(jì)算其概率：p(a).題型四 與角度有關(guān)的幾何概型【例題4】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，射線ot落在60角的終邊上，任作一條射線oa，求射線oa落在xot內(nèi)的概率分析：以o為起點(diǎn)作射線oa是隨機(jī)的，因而射線oa落在任何位置都是等可能的，落在xot內(nèi)的概率只與xot的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件反思：解答此題的關(guān)鍵是弄清過o作射線oa可以在平面內(nèi)任意的位置上，而且是均勻的，因而基本事件的發(fā)生是等可能的題型五 易錯(cuò)辨析【例題5】在等腰直角abc中，過直角頂點(diǎn)c在acb內(nèi)部任作一條射線cm，與線段ab交于點(diǎn)m，求amac的概率錯(cuò)解：設(shè)“amac”為事件a.如圖，在ab邊上取acac.在 acb內(nèi)任作射線cm，可以看作在線段ab上任取一點(diǎn)m，以c為端點(diǎn)過m作射線故p(a).錯(cuò)因分析：雖然在線段上任取一點(diǎn)是等可能的，但以c為端點(diǎn)過任取的點(diǎn)所作的射線是不均勻的(反之，在角內(nèi)作的射線是均勻的，但射線與邊ab的交點(diǎn)是不均勻的)，因而不能把等可能取點(diǎn)看作等可能作射線因此在確定基本事件時(shí)，一定要注意選擇好觀察角度，注意判斷基本事件發(fā)生的等可能性本題的幾何度量應(yīng)為角度，而不是長(zhǎng)度1向如圖所示的方磚上隨機(jī)投擲一粒豆子，則該豆子落在陰影部分的概率是()a bc d2在數(shù)軸上的區(qū)間0,3上任取一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)大于1的概率為()a b c d3在面積為s的abc的邊ab上任取一點(diǎn)p，則pbc的面積不小于的概率是()a b c d4如圖所示，轉(zhuǎn)盤上有8個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤，則轉(zhuǎn)盤停止時(shí)指針落在陰影部分的概率是_5如圖，射箭比賽的箭靶上涂有5個(gè)彩色的分環(huán)，從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心為金色金色靶心叫“黃心”奧運(yùn)會(huì)的比賽中靶面直徑是122 cm，靶心直徑是12.2 cm，運(yùn)動(dòng)員在70米外射箭假設(shè)運(yùn)動(dòng)員射的箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任一點(diǎn)是等可能的，那么射中“黃心”的概率是多少？答案：基礎(chǔ)知識(shí)梳理(1)正比(2)體積長(zhǎng)度【做一做1】解：(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6636種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型(2)游戲中指針指向b區(qū)域時(shí)有無限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”的概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量，即與區(qū)域面積有關(guān)，因此屬于幾何概型【做一做2】a把繩子三等分，當(dāng)燈掛在中間一段繩子上時(shí)，燈與木桿兩端的距離都大于2 m，故所求概率為.典型例題領(lǐng)悟【例題1】解：將05 min這段時(shí)間看作是一段長(zhǎng)度為5個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，則13 min是這一線段中的2個(gè)單位長(zhǎng)度設(shè)“汽車在13 min之間到達(dá)”為事件a，則p(a)0.4.【例題2】解：如圖，送報(bào)人到達(dá)的時(shí)間是6：307：30的任一時(shí)刻，父親離開家去工作的時(shí)間是7：008：00的任一時(shí)刻，如果在直角坐標(biāo)系內(nèi)以x軸表示報(bào)紙送到的時(shí)間，y軸表示父親離開家的時(shí)間，因?yàn)閳?bào)紙送到的時(shí)間和父親離開家的時(shí)間都是隨機(jī)的，所以隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果(x，y)是圖中所示正方形中等可能的任意一點(diǎn)事件a(父親離開家前能拿到報(bào)紙)發(fā)生需xy，即正方形內(nèi)陰影部分，事件a發(fā)生的概率只與陰影部分的面積大小有關(guān)，這符合幾何概型的條件a12，1，所以p(a).【例題3】解：把判斷這個(gè)細(xì)菌所在的位置看成一次試驗(yàn)，設(shè)所取的0.1升水中含有這個(gè)細(xì)菌為事件a，則事件a構(gòu)成的區(qū)域體積是0.1升，全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域體積是2升，所以p(a)0.05.【例題4】解：記b表示“射線oa落在xot內(nèi)”，xot60，p(b).【例題5】正解：設(shè)“amac”為事件a.如錯(cuò)解中的圖，在ab邊上取acac.以c為端點(diǎn)作射線cm是隨機(jī)的，因而射線cm落在acb內(nèi)任何位置都是等可能的，落在acc內(nèi)的概率只與acb和acc的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域是90的角acb，構(gòu)成事件a的區(qū)域是acc，acc67.5，所以p(a)0.75.隨堂練習(xí)鞏