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文檔簡介
2.9函數(shù)的應(yīng)用1幾類函數(shù)模型及其增長差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb (a、b為常數(shù),a0)反比例函數(shù)模型f(x)b (k,b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a,b,c為常數(shù),a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a,b,c為常數(shù),b0,a0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a,b,c為常數(shù),b0,a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a,b為常數(shù),a0)(2)三種函數(shù)模型的性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0,)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0,當(dāng)xx0時(shí),有l(wèi)ogaxxnax2.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題:弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系,初步選擇數(shù)學(xué)模型;(2)建模:將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言,利用數(shù)學(xué)知識(shí),建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)解模:求解數(shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)結(jié)論;(4)還原:將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義以上過程用框圖表示如下:1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快()(3)不存在x0,使ax0xlogax0.()(4)美緣公司2010年新上市的一種化妝品,由于脫銷,在2011年曾提價(jià)25%,2014年想要恢復(fù)成原價(jià),則應(yīng)降價(jià)25%.()(5)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元,按進(jìn)價(jià)增加25%出售,后因庫存積壓降價(jià),若按九折出售,則每件還能獲利()(6)f(x)x2,g(x)2x,h(x)log2x,當(dāng)x(4,)時(shí),恒有h(x)f(x)0,當(dāng)x10時(shí),代入兩項(xiàng)費(fèi)用y1,y2分別是2萬元和8萬元,可得k120,k2,y1y2x28,當(dāng)且僅當(dāng)x,即x5時(shí)取等號(hào),故選a.3汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車,若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù),其圖象可能是()答案a解析汽車加速行駛時(shí),速度變化越來越快,而汽車勻速行駛時(shí),速度保持不變,體現(xiàn)在s與t的函數(shù)圖象上是一條直線,減速行駛時(shí),速度變化越來越慢,但路程仍是增加的4某家具的標(biāo)價(jià)為132元,若降價(jià)以九折出售(即優(yōu)惠10%),仍可獲利10%(相對(duì)進(jìn)貨價(jià)),則該家具的進(jìn)貨價(jià)是()a118元 b105元 c106元 d108元答案d解析設(shè)進(jìn)貨價(jià)為a元,由題意知132(110%)a10%a,解得a108,故選d.5某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍,且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù),t表示時(shí)間,單位:小時(shí),y表示病毒個(gè)數(shù)),則k_,經(jīng)過5小時(shí),1個(gè)病毒能繁殖為_個(gè)答案2ln 21 024解析當(dāng)t0.5時(shí),y2,2ek,k2ln 2,ye2tln 2,當(dāng)t5時(shí),ye10ln 22101 024.題型一二次函數(shù)模型例1某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖所示的拋物線的一段,已知跳水板ab長為2 m,跳水板距水面cd的高bc為3 m,ce5 m,cf6 m,為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美,訓(xùn)練時(shí)跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)h m(h1)時(shí)達(dá)到距水面最大高度4 m,規(guī)定:以cd為橫軸,cb為縱軸建立直角坐標(biāo)系(1)當(dāng)h1時(shí),求跳水曲線所在的拋物線方程;(2)若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域ef內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求,求達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求時(shí)h的取值范圍思維啟迪(1)可根據(jù)拋物線方程的頂點(diǎn)式求跳水曲線所在的拋物線方程;(2)利用x5,x6時(shí)函數(shù)值的符號(hào)求h范圍解(1)由題意知最高點(diǎn)為(2h,4),h1,設(shè)拋物線方程為yax(2h)24,當(dāng)h1時(shí),最高點(diǎn)為(3,4),方程為ya(x3)24,將a(2,3)代入,得3a(23)24,解得a1.當(dāng)h1時(shí),跳水曲線所在的拋物線方程為y(x3)24.(2)將點(diǎn)a(2,3)代入yax(2h)24得ah21,所以a.由題意,得方程ax(2h)240在區(qū)間5,6內(nèi)有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24,則f(5)(3h)240,且f(6)(4h)240.解得1h.達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求時(shí)h的取值范圍為1,思維升華實(shí)際生活中的二次函數(shù)問題(如面積、利潤、產(chǎn)量等),可根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)模型,結(jié)合二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、零點(diǎn)解決,解題中一定注意函數(shù)的定義域某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y3 00020x0.1x2 (0x240,xn*),若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()a100臺(tái) b120臺(tái)c150臺(tái) d180臺(tái)答案c解析設(shè)利潤為f(x)萬元,則f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 000 (0x0)(1)如果m2,求經(jīng)過多少時(shí)間,物體的溫度為5攝氏度;(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度,求m的取值范圍解(1)若m2,則22t21t2,當(dāng)5時(shí),2t,令2tx1,則x,即2x25x20,解得x2或x(舍去),此時(shí)t1.所以經(jīng)過1分鐘,物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度,即2恒成立,亦m2t2恒成立,亦即m2恒成立令x,則04時(shí),y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當(dāng)乙的用水量超過4噸,即3x4時(shí),y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增;當(dāng)x0,時(shí),yf()26.4;當(dāng)x(,時(shí),yf()10(其中n是任課教師所在班級(jí)學(xué)生參加高考該任課教師所任學(xué)科的平均成績與該科省平均分之差,f(n)的單位為元),而k(n)現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學(xué)任課教師,甲所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分18分,而乙所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分21分則乙所得獎(jiǎng)勵(lì)比甲所得獎(jiǎng)勵(lì)多()a600元 b900元 c1 600元 d1 700元答案d解析k(18)200(元),f(18)200(1810)1 600(元)又k(21)300(元),f(21)300(2110)3 300(元),f(21)f(18)3 3001 6001 700(元)故選d.函數(shù)應(yīng)用問題典例:(12分)在扶貧活動(dòng)中,為了盡快脫貧(無債務(wù))致富,企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙,并約定從該店經(jīng)營的利潤中,首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3 600元后,逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)在甲提供的資料中:這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元;該店月銷量q(百件)與銷售價(jià)格p(元)的關(guān)系如圖所示;每月需各種開支2 000元(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí),月利潤扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大?并求最大余額;(2)企業(yè)乙只依靠該店,最早可望在幾年后脫貧?思維啟迪(1)認(rèn)真閱讀題干內(nèi)容,理清數(shù)量關(guān)系(2)分析圖形提供的信息,從圖形可看出函數(shù)是分段的(3)建立函數(shù)模型,確定解決模型的方法規(guī)范解答解設(shè)該店月利潤余額為l,則由題設(shè)得lq(p14)1003 6002 000,由銷量圖易得q2分代入式得l4分(1)當(dāng)14p20時(shí),lmax450元,此時(shí)p19.5元;當(dāng)20p26時(shí),lmax元,此時(shí)p元故當(dāng)p19.5元時(shí),月利潤余額最大,為450元8分(2)設(shè)可在n年后脫貧,依題意有12n45050 00058 0000,解得n20.即最早可望在20年后脫貧12分解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序:第一步:審題弄清題意,分清條件和結(jié)論,理順數(shù)量關(guān)系;第二步:建模將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言,用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;第三步:解模求解數(shù)學(xué)模型,得到數(shù)學(xué)結(jié)論;第四步:還原將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義第五步:反思回顧對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果,必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性溫馨提醒(1)本題經(jīng)過了三次建模:根據(jù)月銷量圖建立q與p的函數(shù)關(guān)系;建立利潤余額函數(shù);建立脫貧不等式(2)本題的函數(shù)模型是分段的一次函數(shù)和二次函數(shù),在實(shí)際問題中,由于在不同的背景下解決的問題發(fā)生了變化,因此在不同范圍中,建立函數(shù)模型也不一樣,所以現(xiàn)實(shí)生活中分段函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛(3)在構(gòu)造分段函數(shù)時(shí),分段不合理、不準(zhǔn)確,是易出現(xiàn)的錯(cuò)誤.方法與技巧1認(rèn)真分析題意,合理選擇數(shù)學(xué)模型是解決應(yīng)用問題的基礎(chǔ);2實(shí)際問題中往往解決一些最值問題,我們可以利用二次函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求得最值3解函數(shù)應(yīng)用題的四個(gè)步驟:審題;建模;解模;還原失誤與防范1函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng),是常見的解題錯(cuò)誤所以,要正確理解題意,選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型2要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍,合理確定函數(shù)的定義域3注意問題反饋在解決函數(shù)模型后,必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對(duì)實(shí)際問題的合理性.a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1若一根蠟燭長20 cm,點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm,則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為()答案b解析根據(jù)題意得解析式為h205t(0t4),其圖象為b.2利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間,年生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系可近似地表示為y30x4 000,則每噸的成本最低時(shí)的年產(chǎn)量(噸)為()a240 b200 c180 d160答案b解析依題意,得每噸的成本為30,則2 3010,當(dāng)且僅當(dāng),即x200時(shí)取等號(hào),因此,當(dāng)每噸成本最低時(shí),年產(chǎn)量為200噸,故選b.3某工廠采用高科技改革,在兩年內(nèi)產(chǎn)值的月增長率都是a,則這兩年內(nèi)第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長率為()aa121 b(1a)121ca da1答案b解析不妨設(shè)第一年8月份的產(chǎn)值為b,則9月份的產(chǎn)值為b(1a),10月份的產(chǎn)值為b(1a)2,依次類推,到第二年8月份是第一年8月份后的第12個(gè)月,即一個(gè)時(shí)間間隔是1個(gè)月,這里跨過了12個(gè)月,故第二年8月份產(chǎn)值是b(1a)12.又由增長率的概念知,這兩年內(nèi)的第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長率為(1a)121.4. 某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式:a種方式是月租20元,b種方式是月租0元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖,當(dāng)打出電話150分鐘時(shí),這兩種方式電話費(fèi)相差()a10元 b20元c30元 d.元答案a解析設(shè)a種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為sk1t20,b種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為sk2t,當(dāng)t100時(shí),100k120100k2,k2k1,t150時(shí),150k2150k1201502010.5. 某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料,如圖,為降低消耗,開源節(jié)流,現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用,當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí),矩形兩邊長x、y應(yīng)為()ax15,y12 bx12,y15cx14,y10 dx10,y14答案a解析由三角形相似得,得x(24y),sxy(y12)2180,當(dāng)y12時(shí),s有最大值,此時(shí)x15.二、填空題6一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3,細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出,t min后剩余的細(xì)沙量為yaebt(cm3),經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子,則再經(jīng)過_ min,容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一答案16解析當(dāng)t0時(shí),ya,當(dāng)t8時(shí),yae8ba,e8b,容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí),即yaebta,ebt(e8b)3e24b,則t24,所以再經(jīng)過16 min.7. a、b兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開出a 從甲地自東向西行駛b從乙地自北向南行駛,a的速度是40 km/h,b的速度是16 km/h,經(jīng)過_小時(shí),ab間的距離最短答案解析設(shè)經(jīng)過x h,a、b相距為y km,則y(0x),求得函數(shù)的最小值時(shí)x的值為.8某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:起步價(jià)為8元,起步里程為3 km(不超過3 km按起步價(jià)付費(fèi));超過3 km但不超過8 km時(shí),超過部分按每千米2.15元收費(fèi);超過8 km時(shí),超過部分按每千米2.85元收費(fèi),另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元,則此次出租車行駛了_ km.答案9解析設(shè)出租車行駛x km時(shí),付費(fèi)y元,則y,由y22.6,解得x9.三、解答題9某地上年度電價(jià)為0.8元,年用電量為1億千瓦時(shí)本年度計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至0.55元0.75元之間,經(jīng)測(cè)算,若電價(jià)調(diào)至x元,則本年度新增用電量y(億千瓦時(shí))與(x0.4)元成反比例又當(dāng)x0.65時(shí),y0.8.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)若每千瓦時(shí)電的成本價(jià)為0.3元,則電價(jià)調(diào)至多少時(shí),本年度電力部門的收益將比上年度增加20%?收益用電量(實(shí)際電價(jià)成本價(jià))解(1)y與(x0.4)成反比例,設(shè)y(k0)把x0.65,y0.8代入上式,得0.8,k0.2.y,即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y.(2)根據(jù)題意,得(1)(x0.3)1(0.80.3)(120%)整理,得x21.1x0.30,解得x10.5,x20.6.經(jīng)檢驗(yàn)x10.5,x20.6都是所列方程的根x的取值范圍是0.550.75,故x0.5不符合題意,應(yīng)舍去x0.6.當(dāng)電價(jià)調(diào)至0.6元時(shí),本年度電力部門的收益將比上年度增加20%.10提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下,大橋上的車流速度v(單位:千米/時(shí))是車流密度x(單位:輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí),造成堵塞,此時(shí)車流速度為0;當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí),車流速度為60千米/時(shí)研究表明:當(dāng)20x200時(shí),車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí),求函數(shù)v(x)的表達(dá)式;(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí),車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù),單位:輛/時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大,并求出最大值(精確到1輛/時(shí))解(1)由題意,當(dāng)0x20時(shí),v(x)60;當(dāng)20x200時(shí),設(shè)v(x)axb,再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí),f(x)為增函數(shù),故當(dāng)x20時(shí),其最大值為60201 200;當(dāng)20x200時(shí),f(x)x(200x)2,當(dāng)且僅當(dāng)x200x,即x100時(shí),等號(hào)成立所以當(dāng)x100時(shí),f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值.綜上,當(dāng)x100時(shí),f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333,即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí),車流量可以達(dá)到最大,最大值約為3 333輛/時(shí)b組專項(xiàng)能力提升1某位股民購進(jìn)某支股票,在接下來的交易時(shí)間內(nèi),他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%),又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為()a略有盈利 b略有虧損c沒有盈利也沒有虧損 d無法判斷盈虧情況答案b解析設(shè)該股民購這支股票的價(jià)格為a,則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(110%)na1.1n,經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa,故該股民這支股票略有虧損2某建材商場(chǎng)國慶期間搞促銷活動(dòng),規(guī)定:顧客購物總金額不超過800元,不享受任何折扣,如果顧客購物總金額超過800元,則超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠,按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算.可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%某人在此商場(chǎng)購物總金額為x元,可以獲得的折扣金額為y元,則y關(guān)于x的解析式為y若y30元,則他購物實(shí)際所付金額為_元答案1 350解析若x1 300元,則y5%(1 300800)25(元)1 300.由10%(x1 300)2530,得x1 350(元)3某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量,對(duì)掛號(hào)處的排隊(duì)人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查,發(fā)現(xiàn):當(dāng)還未開始掛號(hào)時(shí),有n個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候掛號(hào);開始掛號(hào)后排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加m人假定掛號(hào)的速度是每個(gè)窗口每分鐘k個(gè)人,當(dāng)開放一個(gè)窗口時(shí),40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象;若同時(shí)開放兩個(gè)窗口時(shí),則
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