【步步高】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 2.9函數(shù)的應(yīng)用配套文檔 理 新人教A版 (1).DOC

2.9函數(shù)的應(yīng)用1幾類函數(shù)模型及其增長差異(1)幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)axb (a、b為常數(shù)，a0)反比例函數(shù)模型f(x)b (k，b為常數(shù)且k0)二次函數(shù)模型f(x)ax2bxc(a，b，c為常數(shù)，a0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)baxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)blogaxc(a，b，c為常數(shù)，b0，a0且a1)冪函數(shù)模型f(x)axnb (a，b為常數(shù)，a0)(2)三種函數(shù)模型的性質(zhì)yax(a1)ylogax(a1)yxn(n0)在(0，)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)xx0時(shí)，有l(wèi)ogaxxnax2.解函數(shù)應(yīng)用問題的步驟(四步八字)(1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系，初步選擇數(shù)學(xué)模型；(2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號(hào)語言，利用數(shù)學(xué)知識(shí)，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；(3)解模：求解數(shù)學(xué)模型，得出數(shù)學(xué)結(jié)論；(4)還原：將數(shù)學(xué)問題還原為實(shí)際問題的意義以上過程用框圖表示如下：1判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)函數(shù)y2x的函數(shù)值比yx2的函數(shù)值大()(2)冪函數(shù)增長比直線增長更快()(3)不存在x0，使ax0xlogax0.()(4)美緣公司2010年新上市的一種化妝品，由于脫銷，在2011年曾提價(jià)25%,2014年想要恢復(fù)成原價(jià)，則應(yīng)降價(jià)25%.()(5)某種商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加25%出售，后因庫存積壓降價(jià)，若按九折出售，則每件還能獲利()(6)f(x)x2，g(x)2x，h(x)log2x，當(dāng)x(4，)時(shí)，恒有h(x)f(x)0，當(dāng)x10時(shí)，代入兩項(xiàng)費(fèi)用y1，y2分別是2萬元和8萬元，可得k120，k2，y1y2x28，當(dāng)且僅當(dāng)x，即x5時(shí)取等號(hào)，故選a.3汽車經(jīng)過啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù)，其圖象可能是()答案a解析汽車加速行駛時(shí)，速度變化越來越快，而汽車勻速行駛時(shí)，速度保持不變，體現(xiàn)在s與t的函數(shù)圖象上是一條直線，減速行駛時(shí)，速度變化越來越慢，但路程仍是增加的4某家具的標(biāo)價(jià)為132元，若降價(jià)以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對(duì)進(jìn)貨價(jià))，則該家具的進(jìn)貨價(jià)是()a118元 b105元 c106元 d108元答案d解析設(shè)進(jìn)貨價(jià)為a元，由題意知132(110%)a10%a，解得a108，故選d.5某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為yekt(其中k為常數(shù)，t表示時(shí)間，單位：小時(shí)，y表示病毒個(gè)數(shù))，則k_，經(jīng)過5小時(shí)，1個(gè)病毒能繁殖為_個(gè)答案2ln 21 024解析當(dāng)t0.5時(shí)，y2，2ek，k2ln 2，ye2tln 2，當(dāng)t5時(shí)，ye10ln 22101 024.題型一二次函數(shù)模型例1某跳水運(yùn)動(dòng)員在一次跳水訓(xùn)練時(shí)的跳水曲線為如圖所示的拋物線的一段，已知跳水板ab長為2 m，跳水板距水面cd的高bc為3 m，ce5 m，cf6 m，為安全和空中姿態(tài)優(yōu)美，訓(xùn)練時(shí)跳水曲線應(yīng)在離起跳點(diǎn)h m(h1)時(shí)達(dá)到距水面最大高度4 m，規(guī)定：以cd為橫軸，cb為縱軸建立直角坐標(biāo)系(1)當(dāng)h1時(shí)，求跳水曲線所在的拋物線方程；(2)若跳水運(yùn)動(dòng)員在區(qū)域ef內(nèi)入水時(shí)才能達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求，求達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求時(shí)h的取值范圍思維啟迪(1)可根據(jù)拋物線方程的頂點(diǎn)式求跳水曲線所在的拋物線方程；(2)利用x5，x6時(shí)函數(shù)值的符號(hào)求h范圍解(1)由題意知最高點(diǎn)為(2h,4)，h1，設(shè)拋物線方程為yax(2h)24，當(dāng)h1時(shí)，最高點(diǎn)為(3,4)，方程為ya(x3)24，將a(2,3)代入，得3a(23)24，解得a1.當(dāng)h1時(shí)，跳水曲線所在的拋物線方程為y(x3)24.(2)將點(diǎn)a(2,3)代入yax(2h)24得ah21，所以a.由題意，得方程ax(2h)240在區(qū)間5,6內(nèi)有一解令f(x)ax(2h)24x(2h)24，則f(5)(3h)240，且f(6)(4h)240.解得1h.達(dá)到壓水花的訓(xùn)練要求時(shí)h的取值范圍為1，思維升華實(shí)際生活中的二次函數(shù)問題(如面積、利潤、產(chǎn)量等)，可根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)模型，結(jié)合二次函數(shù)的圖象、單調(diào)性、零點(diǎn)解決，解題中一定注意函數(shù)的定義域某產(chǎn)品的總成本y(萬元)與產(chǎn)量x(臺(tái))之間的函數(shù)關(guān)系是y3 00020x0.1x2 (0x240，xn*)，若每臺(tái)產(chǎn)品的售價(jià)為25萬元，則生產(chǎn)者不虧本時(shí)(銷售收入不小于總成本)的最低產(chǎn)量是()a100臺(tái) b120臺(tái)c150臺(tái) d180臺(tái)答案c解析設(shè)利潤為f(x)萬元，則f(x)25x(3 00020x0.1x2)0.1x25x3 000 (0x0)(1)如果m2，求經(jīng)過多少時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度；(2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍解(1)若m2，則22t21t2，當(dāng)5時(shí)，2t，令2tx1，則x，即2x25x20，解得x2或x(舍去)，此時(shí)t1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度(2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即2恒成立，亦m2t2恒成立，亦即m2恒成立令x，則04時(shí)，y41.83x1.83(5x4)20.4x4.8.當(dāng)乙的用水量超過4噸，即3x4時(shí)，y241.83(3x4)(5x4)24x9.6.所以y(2)由于yf(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增；當(dāng)x0，時(shí)，yf()26.4；當(dāng)x(，時(shí)，yf()10(其中n是任課教師所在班級(jí)學(xué)生參加高考該任課教師所任學(xué)科的平均成績與該科省平均分之差，f(n)的單位為元)，而k(n)現(xiàn)有甲、乙兩位數(shù)學(xué)任課教師，甲所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分18分，而乙所教的學(xué)生高考數(shù)學(xué)平均分超出省平均分21分則乙所得獎(jiǎng)勵(lì)比甲所得獎(jiǎng)勵(lì)多()a600元 b900元 c1 600元 d1 700元答案d解析k(18)200(元)，f(18)200(1810)1 600(元)又k(21)300(元)，f(21)300(2110)3 300(元)，f(21)f(18)3 3001 6001 700(元)故選d.函數(shù)應(yīng)用問題典例：(12分)在扶貧活動(dòng)中，為了盡快脫貧(無債務(wù))致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費(fèi)品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價(jià)格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費(fèi)的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(fèi)(不計(jì)息)在甲提供的資料中：這種消費(fèi)品的進(jìn)價(jià)為每件14元；該店月銷量q(百件)與銷售價(jià)格p(元)的關(guān)系如圖所示；每月需各種開支2 000元(1)當(dāng)商品的價(jià)格為每件多少元時(shí)，月利潤扣除職工最低生活費(fèi)的余額最大？并求最大余額；(2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？思維啟迪(1)認(rèn)真閱讀題干內(nèi)容，理清數(shù)量關(guān)系(2)分析圖形提供的信息，從圖形可看出函數(shù)是分段的(3)建立函數(shù)模型，確定解決模型的方法規(guī)范解答解設(shè)該店月利潤余額為l，則由題設(shè)得lq(p14)1003 6002 000，由銷量圖易得q2分代入式得l4分(1)當(dāng)14p20時(shí)，lmax450元，此時(shí)p19.5元；當(dāng)20p26時(shí)，lmax元，此時(shí)p元故當(dāng)p19.5元時(shí)，月利潤余額最大，為450元8分(2)設(shè)可在n年后脫貧，依題意有12n45050 00058 0000，解得n20.即最早可望在20年后脫貧12分解函數(shù)應(yīng)用題的一般程序：第一步：審題弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關(guān)系；第二步：建模將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；第三步：解模求解數(shù)學(xué)模型，得到數(shù)學(xué)結(jié)論；第四步：還原將用數(shù)學(xué)方法得到的結(jié)論還原為實(shí)際問題的意義第五步：反思回顧對(duì)于數(shù)學(xué)模型得到的數(shù)學(xué)結(jié)果，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)果對(duì)實(shí)際問題的合理性溫馨提醒(1)本題經(jīng)過了三次建模：根據(jù)月銷量圖建立q與p的函數(shù)關(guān)系；建立利潤余額函數(shù)；建立脫貧不等式(2)本題的函數(shù)模型是分段的一次函數(shù)和二次函數(shù)，在實(shí)際問題中，由于在不同的背景下解決的問題發(fā)生了變化，因此在不同范圍中，建立函數(shù)模型也不一樣，所以現(xiàn)實(shí)生活中分段函數(shù)的應(yīng)用非常廣泛(3)在構(gòu)造分段函數(shù)時(shí)，分段不合理、不準(zhǔn)確，是易出現(xiàn)的錯(cuò)誤.方法與技巧1認(rèn)真分析題意，合理選擇數(shù)學(xué)模型是解決應(yīng)用問題的基礎(chǔ)；2實(shí)際問題中往往解決一些最值問題，我們可以利用二次函數(shù)的最值、函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式等求得最值3解函數(shù)應(yīng)用題的四個(gè)步驟：審題；建模；解模；還原失誤與防范1函數(shù)模型應(yīng)用不當(dāng)，是常見的解題錯(cuò)誤所以，要正確理解題意，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型2要特別關(guān)注實(shí)際問題的自變量的取值范圍，合理確定函數(shù)的定義域3注意問題反饋在解決函數(shù)模型后，必須驗(yàn)證這個(gè)數(shù)學(xué)解對(duì)實(shí)際問題的合理性.a組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練一、選擇題1若一根蠟燭長20 cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5 cm，則燃燒剩下的高度h(cm)與燃燒時(shí)間t(小時(shí))的函數(shù)關(guān)系用圖象表示為()答案b解析根據(jù)題意得解析式為h205t(0t4)，其圖象為b.2利民工廠某產(chǎn)品的年產(chǎn)量在150噸至250噸之間，年生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的關(guān)系可近似地表示為y30x4 000，則每噸的成本最低時(shí)的年產(chǎn)量(噸)為()a240 b200 c180 d160答案b解析依題意，得每噸的成本為30，則2 3010，當(dāng)且僅當(dāng)，即x200時(shí)取等號(hào)，因此，當(dāng)每噸成本最低時(shí)，年產(chǎn)量為200噸，故選b.3某工廠采用高科技改革，在兩年內(nèi)產(chǎn)值的月增長率都是a，則這兩年內(nèi)第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長率為()aa121 b(1a)121ca da1答案b解析不妨設(shè)第一年8月份的產(chǎn)值為b，則9月份的產(chǎn)值為b(1a)，10月份的產(chǎn)值為b(1a)2，依次類推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12個(gè)月，即一個(gè)時(shí)間間隔是1個(gè)月，這里跨過了12個(gè)月，故第二年8月份產(chǎn)值是b(1a)12.又由增長率的概念知，這兩年內(nèi)的第二年某月的產(chǎn)值比第一年相應(yīng)月產(chǎn)值的增長率為(1a)121.4. 某電信公司推出兩種手機(jī)收費(fèi)方式：a種方式是月租20元，b種方式是月租0元一個(gè)月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時(shí)間t(分鐘)與打出電話費(fèi)s(元)的函數(shù)關(guān)系如圖，當(dāng)打出電話150分鐘時(shí)，這兩種方式電話費(fèi)相差()a10元 b20元c30元 d.元答案a解析設(shè)a種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為sk1t20，b種方式對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為sk2t，當(dāng)t100時(shí)，100k120100k2，k2k1，t150時(shí)，150k2150k1201502010.5. 某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當(dāng)截取的矩形面積最大時(shí)，矩形兩邊長x、y應(yīng)為()ax15，y12 bx12，y15cx14，y10 dx10，y14答案a解析由三角形相似得，得x(24y)，sxy(y12)2180，當(dāng)y12時(shí)，s有最大值，此時(shí)x15.二、填空題6一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為yaebt(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過_ min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一答案16解析當(dāng)t0時(shí)，ya，當(dāng)t8時(shí)，yae8ba，e8b，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)，即yaebta，ebt(e8b)3e24b，則t24，所以再經(jīng)過16 min.7. a、b兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開出a 從甲地自東向西行駛b從乙地自北向南行駛，a的速度是40 km/h，b的速度是16 km/h，經(jīng)過_小時(shí)，ab間的距離最短答案解析設(shè)經(jīng)過x h，a、b相距為y km，則y(0x)，求得函數(shù)的最小值時(shí)x的值為.8某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：起步價(jià)為8元，起步里程為3 km(不超過3 km按起步價(jià)付費(fèi))；超過3 km但不超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2.15元收費(fèi)；超過8 km時(shí)，超過部分按每千米2.85元收費(fèi)，另每次乘坐需付燃油附加費(fèi)1元現(xiàn)某人乘坐一次出租車付費(fèi)22.6元，則此次出租車行駛了_ km.答案9解析設(shè)出租車行駛x km時(shí)，付費(fèi)y元，則y，由y22.6，解得x9.三、解答題9某地上年度電價(jià)為0.8元，年用電量為1億千瓦時(shí)本年度計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至0.55元0.75元之間，經(jīng)測(cè)算，若電價(jià)調(diào)至x元，則本年度新增用電量y(億千瓦時(shí))與(x0.4)元成反比例又當(dāng)x0.65時(shí)，y0.8.(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)若每千瓦時(shí)電的成本價(jià)為0.3元，則電價(jià)調(diào)至多少時(shí)，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%？收益用電量(實(shí)際電價(jià)成本價(jià))解(1)y與(x0.4)成反比例，設(shè)y(k0)把x0.65，y0.8代入上式，得0.8，k0.2.y，即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y.(2)根據(jù)題意，得(1)(x0.3)1(0.80.3)(120%)整理，得x21.1x0.30，解得x10.5，x20.6.經(jīng)檢驗(yàn)x10.5，x20.6都是所列方程的根x的取值范圍是0.550.75，故x0.5不符合題意，應(yīng)舍去x0.6.當(dāng)電價(jià)調(diào)至0.6元時(shí)，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%.10提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個(gè)城市的交通狀況在一般情況下，大橋上的車流速度v(單位：千米/時(shí))是車流密度x(單位：輛/千米)的函數(shù)當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時(shí)，造成堵塞，此時(shí)車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時(shí)，車流速度為60千米/時(shí)研究表明：當(dāng)20x200時(shí)，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)(1)當(dāng)0x200時(shí)，求函數(shù)v(x)的表達(dá)式；(2)當(dāng)車流密度x為多大時(shí)，車流量(單位時(shí)間內(nèi)通過橋上某觀測(cè)點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時(shí))f(x)xv(x)可以達(dá)到最大，并求出最大值(精確到1輛/時(shí))解(1)由題意，當(dāng)0x20時(shí)，v(x)60；當(dāng)20x200時(shí)，設(shè)v(x)axb，再由已知得解得故函數(shù)v(x)的表達(dá)式為v(x)(2)依題意并由(1)可得f(x)當(dāng)0x20時(shí)，f(x)為增函數(shù)，故當(dāng)x20時(shí)，其最大值為60201 200；當(dāng)20x200時(shí)，f(x)x(200x)2，當(dāng)且僅當(dāng)x200x，即x100時(shí)，等號(hào)成立所以當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間(20,200上取得最大值.綜上，當(dāng)x100時(shí)，f(x)在區(qū)間0,200上取得最大值3 333，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時(shí)，車流量可以達(dá)到最大，最大值約為3 333輛/時(shí)b組專項(xiàng)能力提升1某位股民購進(jìn)某支股票，在接下來的交易時(shí)間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費(fèi)用)為()a略有盈利 b略有虧損c沒有盈利也沒有虧損 d無法判斷盈虧情況答案b解析設(shè)該股民購這支股票的價(jià)格為a，則經(jīng)歷n次漲停后的價(jià)格為a(110%)na1.1n，經(jīng)歷n次跌停后的價(jià)格為a1.1n(110%)na1.1n0.9na(1.10.9)n0.99naa，故該股民這支股票略有虧損2某建材商場(chǎng)國慶期間搞促銷活動(dòng)，規(guī)定：顧客購物總金額不超過800元，不享受任何折扣，如果顧客購物總金額超過800元，則超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計(jì)計(jì)算.可以享受折扣優(yōu)惠金額折扣率不超過500元的部分5%超過500元的部分10%某人在此商場(chǎng)購物總金額為x元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關(guān)于x的解析式為y若y30元，則他購物實(shí)際所付金額為_元答案1 350解析若x1 300元，則y5%(1 300800)25(元)1 300.由10%(x1 300)2530，得x1 350(元)3某醫(yī)院為了提高服務(wù)質(zhì)量，對(duì)掛號(hào)處的排隊(duì)人數(shù)進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)：當(dāng)還未開始掛號(hào)時(shí)，有n個(gè)人已經(jīng)在排隊(duì)等候掛號(hào)；開始掛號(hào)后排隊(duì)的人數(shù)平均每分鐘增加m人假定掛號(hào)的速度是每個(gè)窗口每分鐘k個(gè)人，當(dāng)開放一個(gè)窗口時(shí)，40分鐘后恰好不會(huì)出現(xiàn)排隊(duì)現(xiàn)象；若同時(shí)開放兩個(gè)窗口時(shí)，則