【步步高】高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 函數(shù)與方程學(xué)案 理 新人教A版 (1).doc

學(xué)案11函數(shù)與方程導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系，會判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù).2.根據(jù)具體函數(shù)的圖象，能夠用二分法求相應(yīng)方程的近似值自主梳理1函數(shù)零點的定義(1)對于函數(shù)yf(x) (xd)，把使_成立的實數(shù)x叫做函數(shù)yf(x) (xd)的零點(2)方程f(x)0有實根函數(shù)yf(x)的圖象與_有交點函數(shù)yf(x)有_2函數(shù)零點的判定如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有_，那么函數(shù)yf(x)在區(qū)間_內(nèi)有零點，即存在c(a，b)，使得_，這個_也就是f(x)0的根我們不妨把這一結(jié)論稱為零點存在性定理3二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象與零點的關(guān)系000)的圖象與x軸的交點_，_無交點零點個數(shù)_4.用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟第一步，確定區(qū)間a，b，驗證_，給定精確度；第二步，求區(qū)間(a，b)的中點c；第三步，計算_：若_，則c就是函數(shù)的零點；若_，則令bc此時零點x0(a，c)；若_，則令ac此時零點x0(c，b)；第四步，判斷是否達到精確度：即若|ab|，則得到零點近似值a(或b)；否則重復(fù)第二、三、四步自我檢測1(2010福建)f(x)的零點個數(shù)為 ()a0b1c2d32若函數(shù)yf(x)在r上遞增，則函數(shù)yf(x)的零點()a至少有一個b至多有一個c有且只有一個d可能有無數(shù)個3如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交點橫坐標(biāo)的是()abcd4設(shè)f(x)3x3x8，用二分法求方程3x3x80在x(1,2)內(nèi)近似解的過程中得f(1)0，f(1.25)0，則方程的根所在的區(qū)間是()a(1,1.25)b(1.25,1.5)c(1.5,2)d不能確定5(2011福州模擬)若函數(shù)f(x)的零點與g(x)4x2x2的零點之差的絕對值不超過0.25，則f(x)可以是()af(x)4x1bf(x)(x1)2cf(x)ex1df(x)ln(x0.5)探究點一函數(shù)零點的判斷例1判斷函數(shù)yln x2x6的零點個數(shù)變式遷移1(2011煙臺模擬)若定義在r上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x2)f(x)，且當(dāng)x0,1時，f(x)x，則函數(shù)yf(x)log3|x|的零點個數(shù)是()a多于4個b4個c3個d2個探究點二用二分法求方程的近似解例2求方程2x33x30的一個近似解(精確度0.1)變式遷移2(2011淮北模擬)用二分法研究函數(shù)f(x)x3ln的零點時，第一次經(jīng)計算f(0)0，可得其中一個零點x0_，第二次應(yīng)計算_以上橫線上應(yīng)填的內(nèi)容為()a. b(0,1)fc. d. 探究點三利用函數(shù)的零點確定參數(shù)例3已知a是實數(shù)，函數(shù)f(x)2ax22x3a，如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間1,1上有零點，求a的取值范圍變式遷移3若函數(shù)f(x)4xa2xa1在(，)上存在零點，求實數(shù)a的取值范圍1全面認(rèn)識深刻理解函數(shù)零點：(1)從“數(shù)”的角度看：即是使f(x)0的實數(shù)x；(2)從“形”的角度看：即是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標(biāo)；(3)若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相切，則零點x0通常稱為不變號零點；(4)若函數(shù)f(x)的圖象在xx0處與x軸相交，則零點x0通常稱為變號零點2求函數(shù)yf(x)的零點的方法：(1)(代數(shù)法)求方程f(x)0的實數(shù)根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)；(2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點；(3)(二分法)主要用于求函數(shù)零點的近似值，二分法的條件f(a)f(b)0表明：用二分法求函數(shù)的近似零點都是指變號零點3有關(guān)函數(shù)零點的重要結(jié)論：(1)若連續(xù)不間斷的函數(shù)f(x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則f(x)至多有一個零點；(2)連續(xù)不間斷的函數(shù)，其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號；(3)連續(xù)不間斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值符號可能不變(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2010天津)函數(shù)f(x)2x3x的零點所在的一個區(qū)間是 ()a(2，1)b(1,0)c(0,1)d(1,2)2(2011福州質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)log2xx，若實數(shù)x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，則f(x1)的值 ()a恒為負b等于零c恒為正d不小于零3下列函數(shù)圖象與x軸均有公共點，其中能用二分法求零點的是 ()4函數(shù)f(x)(x2)(x5)1有兩個零點x1、x2，且x1x2，則 ()ax12,2x22，x25cx15d2x155(2011廈門月考)設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)log2x，則函數(shù)h(x)f(x)g(x)的零點個數(shù)是 ()a4b3c2d1題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足：當(dāng)x0時，f(x)2 006xlog2 006x，則在r上，函數(shù)f(x)零點的個數(shù)為_7(2011深圳模擬)已知函數(shù)f(x)x2x，g(x)xln x，h(x)x1的零點分別為x1，x2，x3，則x1，x2，x3的大小關(guān)系是_8(2009山東)若函數(shù)f(x)axxa(a0，且a1)有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是_三、解答題(共38分)9(12分)已知函數(shù)f(x)x3x2.證明：存在x0(0，)，使f(x0)x0.10(12分)已知二次函數(shù)f(x)4x22(p2)x2p2p1在區(qū)間1,1內(nèi)至少存在一個實數(shù)c，使f(c)0，求實數(shù)p的取值范圍11(14分)(2011杭州調(diào)研)設(shè)函數(shù)f(x)ax2bxc，且f(1)，3a2c2b，求證：(1)a0且3；(2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)至少有一個零點；(3)設(shè)x1，x2是函數(shù)f(x)的兩個零點，則|x1x2|.答案 自主梳理1(1)f(x)0(2)x軸零點2.f(a)f(b)0(a，b)f(c)0c3.(x1,0)(x2,0)(x1,0)兩個一個無4.f(a)f(b)0f(c)f(c)0f(a)f(c)0f(c)f(b)0時，令2ln x0，解得xe2，所以已知函數(shù)有兩個零點2b3.b4.b5.a課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引判斷函數(shù)零點個數(shù)最常用的方法是令f(x)0，轉(zhuǎn)化為方程根的個數(shù)，解出方程有幾個根，函數(shù)yf(x)就有幾個零點，如果方程的根解不出，還有兩種方法判斷：方法一是基本方法，是利用零點的存在性原理，要注意參考單調(diào)性可判定零點的唯一性；方法二是數(shù)形結(jié)合法，要注意作圖技巧解方法一設(shè)f(x)ln x2x6，yln x和y2x6均為增函數(shù)，f(x)也是增函數(shù)又f(1)02640，f(x)在(1,3)上存在零點又f(x)為增函數(shù)，函數(shù)在(1,3)上存在唯一零點方法二在同一坐標(biāo)系畫出yln x與y62x的圖象，由圖可知兩圖象只有一個交點，故函數(shù)yln x2x6只有一個零點變式遷移1b由題意知f(x)是偶函數(shù)并且周期為2.由f(x)log3|x|0，得f(x)log3|x|，令yf(x)，ylog3|x|，這兩個函數(shù)都是偶函數(shù)，畫兩函數(shù)y軸右邊的圖象如圖，兩函數(shù)有兩個交點，因此零點個數(shù)在x0，xr的范圍內(nèi)共4個例2解題導(dǎo)引用二分法求函數(shù)的零點時，最好是利用表格，將計算過程所得的各個區(qū)間、中點坐標(biāo)、區(qū)間中點的函數(shù)值等置于表格中，可清楚地表示出逐步縮小零點所在區(qū)間的過程，有時也可利用數(shù)軸來表示這一過程；在確定方程近似解所在的區(qū)間時，轉(zhuǎn)化為求方程對應(yīng)函數(shù)的零點所在的區(qū)間，找出的區(qū)間a，b長度盡可能小，且滿足f(a)f(b)0；求方程的近似解，所要求的精確度不同得到的結(jié)果也不同，精確度，是指在計算過程中得到某個區(qū)間(a，b)后，直到|ab|時，可停止計算，其結(jié)果可以是滿足精確度的最后小區(qū)間的端點或區(qū)間內(nèi)的任一實數(shù)，結(jié)果不唯一解設(shè)f(x)2x33x3.經(jīng)計算，f(0)30，所以函數(shù)在(0,1)內(nèi)存在零點，即方程2x33x30在(0,1)內(nèi)有解取(0,1)的中點0.5，經(jīng)計算f(0.5)0，所以方程2x33x30在(0.5,1)內(nèi)有解，如此繼續(xù)下去，得到方程的一個實數(shù)解所在的區(qū)間，如下表.(a，b)(a，b)的中點f(0,1)0.5f(0.5)0(0.5,0.75)0.625f(0.625)0(0.625,0.75)0.687 5f(0.687 5)0(0.687 5,0.75)|0.687 50.75|0.062 50.1至此，可以看出方程的根落在區(qū)間長度小于0.1的區(qū)間(0.687 5,0.75)內(nèi)，可以將區(qū)間端點0.687 5作為函數(shù)f(x)零點的近似值因此0.687 5是方程2x33x30精確度0.1的一個近似解變式遷移2d由于f(0)0，而f(x)x3ln中的x3及l(fā)n在上是增函數(shù)，故f(x)在上也是增函數(shù)，故f(x)在上存在零點，所以x0，第二次計算應(yīng)計算0和在數(shù)軸上對應(yīng)的中點x1.例3解若a0，f(x)2x3，顯然在1，1上沒有零點，所以a0.令48a(3a)8a224a40，解得a.當(dāng)a時，f(x)0的重根x1,1，當(dāng)a時，f(x)0的重根x1,1，yf(x)恰有一個零點在1,1上；當(dāng)f(1)f(1)(a1)(a5)0，即1a5時，yf(x)在1,1上也恰有一個零點當(dāng)yf(x)在1,1上有兩個零點時，則，或，解得a5或a1或a.變式遷移3解方法一(換元)設(shè)2xt，則函數(shù)f(x)4xa2xa1化為g(t)t2ata1 (t(0，)函數(shù)f(x)4xa2xa1在(，)上存在零點，等價于方程t2ata10，有正實數(shù)根(1)當(dāng)方程有兩個正實根時，a應(yīng)滿足，解得：1a22；(2)當(dāng)方程有一正根一負根時，只需t1t2a10，即a1；(3)當(dāng)方程有一根為0時，a1，此時方程的另一根為1.綜上可知a22.方法二令g(t)t2ata1 (t(0，)(1)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，)上存在兩個零點時，實數(shù)a應(yīng)滿足，解得1a22；(2)當(dāng)函數(shù)g(t)在(0，)上存在一個零點，另一個零點在(，0)時，實數(shù)a應(yīng)滿足g(0)a10，解得a1；(3)當(dāng)函數(shù)g(t)的一個零點是0時，g(0)a10，a1，此時可以求得函數(shù)g(t)的另一個零點是1.綜上(1)(2)(3)知a22.課后練習(xí)區(qū)1b因為f(1)30，所以f(x)在區(qū)間(1,0)上存在零點2a3c能用二分法求零點的函數(shù)必須在給定區(qū)間a，b上連續(xù)不斷，并且有f(a)f(b)0.a、b中不存在f(x)1時，函數(shù)f(x)x24x3與g(x)log2x的圖象有1個交點，可得函數(shù)h(x)有1個零點，函數(shù)h(x)共有3個零點63解析函數(shù)f(x)為r上的奇函數(shù)，因此f(0)0，當(dāng)x0時，f(x)2 006xlog2 006x在區(qū)間(0，)內(nèi)存在一個零點，又f(x)為增函數(shù)，因此在(0，)內(nèi)有且僅有一個零點根據(jù)對稱性可知函數(shù)在(，0)內(nèi)有且僅有一解，從而函數(shù)在r上的零點的個數(shù)為3.7x1x2x3解析令x2x0，即2xx，設(shè)y2x，yx；令xln x0，即ln xx，設(shè)yln x，yx.在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出y2x，yln x，yx，如圖：x10x21，所以x1x21解析設(shè)函數(shù)yax(a0，且a1)和函數(shù)yxa，則函數(shù)f(x)axxa(a0，且a1)有兩個零點，就是函數(shù)yax(a0，且a1)與函數(shù)yxa有兩個交點，由圖象可知當(dāng)0a1時，因為函數(shù)yax(a1)的圖象過點(0,1)，而直線yxa所過的點一定在點(0,1)的上方，所以一定有兩個交點，所以實數(shù)a的取值范圍是a1.9證明令g(x)f(x)x.(2分)g(0)，g()f()，g(0)g()0的否定是：對于區(qū)間1,1內(nèi)的任意一個x都有f(x)