高中數(shù)學(xué) 第二章 參數(shù)方程 2.2 圓錐曲線的參數(shù)方程課件 新人教A版選修44.ppt

二圓錐曲線的參數(shù)方程 自主預(yù)習(xí) 橢圓 雙曲線 拋物線的普通方程和參數(shù)方程 y2 2px p 0 即時(shí)小測(cè) 1 參數(shù)方程 為參數(shù) 表示的曲線為 解析 選b 由參數(shù)方程 為參數(shù) 得將兩式平方相加 得x2 1 表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 2 直線y 2x 與曲線 為參數(shù) 的交點(diǎn)坐標(biāo)是 解析 因?yàn)閏os2 1 2sin2 所以曲線方程化為y 1 2x2 與直線y 2x 聯(lián)立 解得 由 1 sin 1 故不符合題意 舍去 則直線與曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為答案 知識(shí)探究 探究點(diǎn)圓錐曲線的參數(shù)方程1 橢圓的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義是什么 提示 橢圓的參數(shù)方程中 參數(shù) 的幾何意義為橢圓上任一點(diǎn)的離心角 要把它和這一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)角 區(qū)分開(kāi)來(lái) 除了點(diǎn)m在四個(gè)頂點(diǎn)處 離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外 即在0到2 的范圍內(nèi) 在其他任何一點(diǎn) 兩個(gè)角的數(shù)值都不相等 但當(dāng)0 時(shí) 相應(yīng)地也有0 在其他象限內(nèi)也有類似范圍 2 拋物線y2 2px p 0 的參數(shù)方程 t為參數(shù) 中參數(shù)t的幾何意義是什么 提示 由拋物線參數(shù)方程的推導(dǎo)過(guò)程可知 參數(shù)t表示拋物線上除頂點(diǎn)外的任意一點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù) 歸納總結(jié) 1 橢圓的參數(shù)方程中的參數(shù) 與圓的參數(shù)方程中的參數(shù) 意義的區(qū)別從橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)過(guò)程可以看出參數(shù) 是橢圓上的點(diǎn)m所對(duì)應(yīng)的大圓的半徑oa的旋轉(zhuǎn)角 不是om的旋轉(zhuǎn)角 而圓的參數(shù)方程中的 是半徑om的旋轉(zhuǎn)角 橢圓參數(shù)方程中的 稱為點(diǎn)m的離心角 2 余切函數(shù) 正割函數(shù) 余割函數(shù)與雙曲線的參數(shù)方程 1 定義 如圖 已知點(diǎn)p x y 是角 的終邊上異于原點(diǎn)的任一點(diǎn) 角 的始邊是x軸的正半軸 頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn) 其到原點(diǎn)的距離為 op r 則分別叫做角 的余切函 數(shù) 正割函數(shù) 余割函數(shù) 表示為cot k k z sec k k z csc k k z 2 雙曲線 a 0 b 0 的參數(shù)方程為 為參數(shù) 且 k k z 雙曲線 a 0 b 0 的參數(shù)方程為 為參數(shù) 且 k k z 類型一橢圓的參數(shù)方程與應(yīng)用 典例 已知曲線c1的參數(shù)方程是 為參數(shù) 以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 曲線c2的極坐標(biāo)方程是 2 正方形abcd的頂點(diǎn)都在c2上 且a b c d依逆時(shí)針次序排列 點(diǎn)a的極坐標(biāo)為 1 求點(diǎn)a b c d的直角坐標(biāo) 2 求曲線c1的普通方程 判斷曲線形狀 3 設(shè)p為c1上任意一點(diǎn) 求的取值范圍 解題探究 1 典例 1 中如何求各點(diǎn)的直角坐標(biāo) 提示 先求a點(diǎn)的直角坐標(biāo) 由對(duì)稱性求其余各點(diǎn)的坐標(biāo) 2 曲線c1的形狀是什么 提示 將曲線c1的參數(shù)方程化為普通方程 是橢圓 3 如何求距離平方和的取值范圍 提示 利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題 解析 1 由曲線c2的極坐標(biāo)方程 2 可知曲線c2是圓心在極點(diǎn) 半徑為2的圓 正方形abcd的頂點(diǎn)都在c2上 且a b c d依逆時(shí)針次序排列 點(diǎn)a的極坐標(biāo)為故由對(duì)稱性得 直角坐標(biāo)分別為 2 由曲線c1的參數(shù)方程 為參數(shù) 得兩式平方相加得所以曲線是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 3 由于點(diǎn)p為曲線c1上任意一點(diǎn) 得p 2cos 3sin 則 pa 2 pb 2 pc 2 pd 2 2cos 1 2 3sin 2 2cos 2 3sin 1 2 2cos 1 2 3sin 2 2cos 2 3sin 1 2 16cos2 36sin2 16 32 20sin2 因?yàn)?2 32 20sin2 52 所以 pa 2 pb 2 pc 2 pd 2的取值范圍是 32 52 方法技巧 橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用技巧 1 橢圓的參數(shù)方程 中心在原點(diǎn)的橢圓的參數(shù)方程 為參數(shù) a b 0 常數(shù)a b分別是橢圓的長(zhǎng)半軸 短半軸 焦點(diǎn)f c 0 在x軸上 其中a2 b2 c2 橢圓的參數(shù)方程也可以是 為參數(shù) a b 0 2 與橢圓上的動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的最大值 最小值或取值范圍問(wèn)題 常常利用橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解決 變式訓(xùn)練 1 橢圓 為參數(shù) 在坐標(biāo)軸的正半軸上的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 解析 將橢圓的參數(shù)方程 為參數(shù) 化為普通方程為由a2 25 b2 9 得c2 a2 b2 16 所以c 4 橢圓在坐標(biāo)軸的正半軸上的焦點(diǎn)坐標(biāo)為 4 0 答案 4 0 2 在平面直角坐標(biāo)系xoy中 設(shè)p x y 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn) 求s x y的最大值 解析 橢圓的參數(shù)方程為 為參數(shù) 故可設(shè)動(dòng)點(diǎn)p的坐標(biāo)為 cos sin 其中0 2 所以s x y cos sin 所以當(dāng)時(shí) s取得最大值 smax 2 類型二雙曲線的參數(shù)方程與應(yīng)用 典例 已知等軸雙曲線c的實(shí)軸長(zhǎng)為2 焦點(diǎn)在x軸上 1 求雙曲線的普通方程和參數(shù)方程 2 已知點(diǎn)p 0 1 點(diǎn)q在雙曲線c上 求的最小值 解題探究 1 求典例中的普通方程和參數(shù)方程的思路是什么 提示 運(yùn)用待定系數(shù)法 設(shè)普通方程為x2 y2 a2 求參數(shù)a的值 再化為參數(shù)方程 2 如何求線段長(zhǎng)度的最小值 提示 利用雙曲線的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)解決 解析 1 設(shè)等軸雙曲線c的普通方程為x2 y2 a2 依題意 得2a 2 所以a 1 所以x2 y2 1 化為參數(shù)方程為 為參數(shù) 2 因?yàn)辄c(diǎn)p 0 1 q在雙曲線c上 設(shè)q sec tan 則當(dāng)且僅當(dāng)tan 時(shí) 延伸探究 1 若本例條件不變 求雙曲線c的焦點(diǎn)到漸近線的距離 解析 由于等軸雙曲線c的普通方程為x2 y2 1 一個(gè)焦點(diǎn)為f 0 一條漸近線方程為x y 0 所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為 2 若本例條件變?yōu)?已知p 0 b 點(diǎn)q在雙曲線 a b 0 上 如何求 pq 的最小值 解析 由雙曲線得參數(shù)方程為 為參數(shù) 則 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí) 方法技巧 雙曲線的參數(shù)方程中的應(yīng)用技巧 1 雙曲線的參數(shù)方程 為參數(shù) 中 所以cos 0 所以 k k z 這也與使tan 有意義的 的取值范圍相一致 故我們通常規(guī)定參數(shù) 的范圍為 0 2 且 2 雙曲線的參數(shù)方程中 常用的三角函數(shù)關(guān)系式為sin2 cos2 1 1 tan2 sec2 sec2 tan2 1 補(bǔ)償訓(xùn)練 1 參數(shù)方程 為參數(shù) 表示曲線的離心率為 解析 參數(shù)方程 為參數(shù) 即所以表示雙曲線 其中c2 a2 b2 9 16 25 所以答案 2 2015 湖北高考 在直角坐標(biāo)系xoy中 以o為極點(diǎn) x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系 已知直線l的極坐標(biāo)方程為 sin 3cos 0 曲線c的參數(shù)方程為 t為參數(shù) l與c相交于a b兩點(diǎn) 則 ab 解題指南 先將極坐標(biāo)方程 sin 3cos 0和曲線c的參數(shù)方程 t為參數(shù) 化成普通方程 再求解 解析 由 sin 3cos 0知 直線的方程是y 3x 由曲線c的參數(shù)方程為 t為參數(shù) 消去參數(shù)得 y2 x2 4 解方程組 得答案 自我糾錯(cuò)等價(jià)轉(zhuǎn)化求軌跡方程 典例 已知a b是拋物線y2 2x上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn) 且oa ob om ab 并與ab相交于點(diǎn)m 求點(diǎn)m的軌跡 失誤案例 分析解題過(guò)程 找出錯(cuò)誤之處 并寫(xiě)出正確答案 提示 錯(cuò)誤的根本原因一是忽視了動(dòng)點(diǎn)m不能到達(dá)原點(diǎn)導(dǎo)致求方程增解出錯(cuò) 另外 沒(méi)有判斷軌跡形狀導(dǎo)致錯(cuò)誤 正確解答過(guò)程如下 解析 方法一 設(shè)m x y 由 2t1t2 2 22t1t2 0 因?yàn)閍 b是拋物線上異于頂點(diǎn)的兩動(dòng)點(diǎn) 所以t1t2 1 所以x t1 t2 y 0 x 0 又且a m b共線 所以 即y t1 t2 2t1t2 x 0 將 代入 得到x2 y2 2x 0 由于動(dòng)點(diǎn)m不能到達(dá)原點(diǎn) 故軌跡方程為x2 y2 2x 0