高三數(shù)學一輪復習 第二章 函數(shù) 第四節(jié) 二次函數(shù)與冪函數(shù)課件 理.ppt

理數(shù)課標版 第四節(jié)二次函數(shù)與冪函數(shù) 1 二次函數(shù) 1 二次函數(shù)的定義形如 f x ax2 bx c a 0 的函數(shù)叫做二次函數(shù) 2 二次函數(shù)的三種表示形式 i 一般式 f x ax2 bx c a 0 教材研讀 ii 頂點式 f x a x m 2 n a 0 iii 兩根式 f x a x x1 x x2 a 0 3 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的圖象和性質(zhì) 2 冪函數(shù) 1 冪函數(shù)的定義形如 y x 的函數(shù)稱為冪函數(shù) 其中x是 自變量 為 常數(shù) 2 冪函數(shù)的性質(zhì) i 當 0時 冪函數(shù)y x 有下列性質(zhì) a 圖象都過點 0 0 1 1 b 在第一象限內(nèi) 函數(shù)值隨x的增大而增大 ii 當 0時 冪函數(shù)y x 有下列性質(zhì) a 圖象都過點 1 1 b 在第一象限內(nèi) 函數(shù)值隨x的增大而減小 3 五種常見冪函數(shù)的性質(zhì) 1 y x2 y y 4x2 y x5 1 y x 1 2 y x y ax a 1 上述函數(shù)是冪函數(shù)的有 a 0個b 1個c 2個d 3個答案c只有y x2 y x是冪函數(shù) 故選c 2 已知函數(shù)f x ax2 x 5的圖象在x軸上方 則a的取值范圍是 a b c d 答案c由題意知即得a 3 若四個冪函數(shù)y xa y xb y xc y xd在同一坐標系中的圖象如圖 則a b c d的大小關(guān)系是 a d c b ab a b c dc d c a bd a b d c答案b根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)及圖象可知選b 4 已知冪函數(shù)f x k x 的圖象過點 則k 答案解析由冪函數(shù)的定義知k 1 又f 所以 解得 從而k 5 2016德州模擬 已知f x ax2 bx 3a b是偶函數(shù) 且其定義域為 a 1 2a 則y f x 的值域為 答案解析因為f x ax2 bx 3a b是偶函數(shù) 所以其定義域 a 1 2a 關(guān)于原點對稱 所以a 1 2a 所以a 因為f x ax2 bx 3a b是偶函數(shù) 即f x f x 所以b 0 所以f x x2 1 x 其值域為 考點一冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)典例1 1 已知冪函數(shù)f x m2 3m 3 xm 1為偶函數(shù) 則m a 1b 2c 1或2d 3 考點突破 2 若 a 1 3 2a 則實數(shù)a的取值范圍是 答案 1 a 2 解析 1 冪函數(shù)f x m2 3m 3 xm 1為偶函數(shù) m2 3m 3 1 即m2 3m 2 0 解得m 1或m 2 當m 1時 冪函數(shù)f x x2為偶函數(shù) 滿足條件 當m 2時 冪函數(shù)f x x3為奇函數(shù) 不滿足條件 故選a 2 易知函數(shù)y 的定義域為 0 在定義域內(nèi)為增函數(shù) 所以解之得 1 a 規(guī)律總結(jié) 1 冪函數(shù)的形式是y x r 其中只有一個參數(shù) 因此只需一個條件即可確定其解析式 2 若冪函數(shù)y x r 是偶函數(shù) 則 必為偶數(shù) 當 是分數(shù)時 一般將解析式先化為根式的形式 再判斷奇偶性 3 若冪函數(shù)y x 在 0 上單調(diào)遞增 則 0 若在 0 上單調(diào)遞減 則 0 1 1 2016青島模擬 已知冪函數(shù)y f x 的圖象過點 則log9f 3 的值為 a b c 2d 2 答案a設(shè)冪函數(shù)f x x 為常數(shù) 由題意得 解得 所以f x 所以log9f 3 log9 1 2 2016課標全國 7 5分 已知a b c 2 則 a b a cb a b cc b c ad c a b答案aa c 2 而函數(shù)y 在 0 上單調(diào)遞增 所以 即b a c 故選a 考點二二次函數(shù)的解析式典例2 2017沈陽一中期末 已知二次函數(shù)f x 滿足f 2 1 f 1 1 且f x 的最大值是8 試確定此二次函數(shù)的解析式 解析解法一 設(shè)f x ax2 bx c a 0 依題意有解之得 所求二次函數(shù)解析式為f x 4x2 4x 7 解法二 設(shè)f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 拋物線的對稱軸為直線x m 又函數(shù)f x 的最大值是8 f x a 8 f 2 1 a 8 1 解之得a 4 f x 4 8 4x2 4x 7 解法三 依題意知f x 1 0的兩根為x1 2 x2 1 故可設(shè)f x 1 a x 2 x 1 a 0 即f x ax2 ax 2a 1 又函數(shù)f x 的最大值為8 8 a 0 解之得a 4 函數(shù)解析式為f x 4x2 4x 7 方法技巧求二次函數(shù)的解析式 一般用待定系數(shù)法 其關(guān)鍵是根據(jù)已知條件恰當選擇二次函數(shù)解析式的形式 一般選擇規(guī)律如下 2 1已知二次函數(shù)f x 的圖象經(jīng)過點 4 3 且截x軸所得的線段長為2 并且對任意x r 都有f 2 x f 2 x 求f x 的解析式 解析 f 2 x f 2 x 對x r恒成立 f x 的圖象的對稱軸為直線x 2 又 f x 的圖象截x軸所得的線段長為2 f x 0的兩根為1和3 設(shè)f x 的解析式為f x a x 1 x 3 a 0 又 f x 的圖象過點 4 3 3a 3 a 1 f x 的解析式為f x x 1 x 3 即f x x2 4x 3 考點三二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)命題角度一二次函數(shù)的最值問題典例3已知f x ax2 2x 求f x 在 0 1 上的最小值 解析 當a 0時 f x 2x 其在 0 1 上遞減 當0 x 1時 f x min f 1 2 當a 0時 f x ax2 2x的圖象的開口方向向上 且對稱軸為x 當 1 即a 1時 f x 在上遞減 在上遞增 當0 x 1時 f x min f 當 1 即0 a 1時 f x 在 0 1 上遞減 當0 x 1時 f x min f 1 a 2 當a 0時 f x ax2 2x的圖象的開口方向向下 且對稱軸x 在y軸的左側(cè) f x ax2 2x在 0 1 上遞減 當0 x 1時 f x min f 1 a 2 綜上所述 當0 x 1時 f x min 命題角度二二次函數(shù)中恒成立問題典例4已知函數(shù)f x ax2 2x 2 若對一切x f x 0都成立 則實數(shù)a的取值范圍為 a b c 4 d 4 答案b解析因為對一切x f x 0都成立 所以當x 時 a 2 又 2 則實數(shù)a的取值范圍為 方法技巧1 二次函數(shù)的最值問題的類型及求解方法 1 類型 對稱軸 區(qū)間都是給定的 對稱軸動 區(qū)間固定 對稱軸定 區(qū)間變動 2 求解方法 抓住 三點一軸 進行數(shù)形結(jié)合 三點是指區(qū)間兩個端點和中點 一軸指的是對稱軸 具體方法是利用配方法 函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想求解 2 二次函數(shù)中恒成立問題的求解思路求解恒成立問題中的參數(shù)問題時 常用思路是分離參數(shù) 這種思路是將問題歸結(jié)為求函數(shù)的最值 其依據(jù)是 a f x a f x max a f x a f x min 應用時注意f x 的最大 小 值是否存在 3 1 2017廣州十六中月考 若函數(shù)f x x2 2x 1在區(qū)間 a a 2 上的最小值為4 則a的取值集合為 a 3 3 b 1 3 c 3 3 d 1 3 3 答案cf x x2 2x 1 x 1 2 圖象的對稱軸是x 1 因為f x 在區(qū)間 a a 2 上的最小值為4 所以當1 a時 ymin f a a 1 2 4 解得a 1 舍去 或a 3 當a 2 1 即a 1時 ymin f a 2 a 1 2 4 解得a 1 舍去 或a 3 當a 1 a 2 即 1 a 1時 ymin f 1 0 4 不符合題意 故a的取值集合為 3 3 3 2已知x 1 1 時 f x x2 ax 0恒成立 則實數(shù)a的取值范圍是 a 0 2 b 2 c