【全程復(fù)習(xí)方略】（福建專用）高考數(shù)學(xué) 分類題庫考點(diǎn)41 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系（）理 新人教版(1).doc

考點(diǎn)41 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一、選擇題1.（2011浙江高考理科8）已知橢圓（0）與雙曲線有公共的焦點(diǎn)，的一條漸近線與以 的長(zhǎng)軸為直徑的圓相交于兩點(diǎn)，若 恰好將線段三等分，則（ ） （a） （b）13 （c） （d）2【精講精析】c2的一條漸近線為,設(shè)該漸近線與橢圓（0）的交點(diǎn)分別為,則,即,又由在上,所以有,又由橢圓（0）與雙曲線有公共的焦點(diǎn)可得,由解得,故選c.二、解答題2.（2011福建卷理科17）已知直線：y=x+m，mr.（i）若以點(diǎn)m（2,0）為圓心的圓與直線相切于點(diǎn)p，且點(diǎn)p在y軸上，求該圓的方程；（）若直線關(guān)于x軸對(duì)稱的直線為，問直線與拋物線c：x2=4y是否相切？說明理由.【思路點(diǎn)撥】（i）由題意畫出圖形，結(jié)合圖形求出圓的半徑，然后寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）由的方程求得的方程，將的方程與拋物線c的方程聯(lián)立，得一元二次方程，然后依據(jù)對(duì)應(yīng)判別式的正負(fù)，來判定兩者能否相切.【精講精析】方法一：（i）依題意，點(diǎn)的坐標(biāo)為.因?yàn)樗越獾?，即點(diǎn)坐標(biāo)為.從而圓的半徑故所求圓的方程為.()因?yàn)橹本€的方程為，所以直線的方程為.由得.當(dāng)，即時(shí)，直線與拋物線c相切；當(dāng)，即時(shí)，直線與拋物線c不相切.綜上，當(dāng)時(shí)，直線與拋物線相切；當(dāng)時(shí)，直線與拋物線c不相切.方法二：（i）設(shè)所求圓的半徑為，則圓的方程可設(shè)為.依題意，所求圓與直線相切于點(diǎn)，則解得所以所求圓的方程為.（ii）同方法一.3. （2011福建卷文科18）如圖，直線l：y=x+b與拋物線c：x2=4y相切于點(diǎn)a.（1）求實(shí)數(shù)b的值；（2）求以點(diǎn)a為圓心，且與拋物線c的準(zhǔn)線相切的圓的方程.【思路點(diǎn)撥】（1）直線與拋物線方程聯(lián)立，然后根據(jù)相切即判別式，解之得b的值；（2）求出a點(diǎn)坐標(biāo)，找出圓心和半徑，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可.【精講精析】(1)由得. 因?yàn)橹本€與拋物線c相切，所以，解得.(2)由（1）可知，故方程即為，解得.將其代入，得故點(diǎn)a（2,1）.因?yàn)閳Aa與拋物線c的準(zhǔn)線相切，所以圓a的半徑等于圓心a到拋物線的準(zhǔn)線的距離，即，所以圓a的方程為4.（2011江蘇高考18）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，m，n分別是橢圓的頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于p，a兩點(diǎn)，其中p在第一象限，過p作x軸的垂線，垂足為c，連接ac，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)b，設(shè)直線pa的斜率為k.（1）當(dāng)直線pa平分線段mn時(shí)，求k的值；（2）當(dāng)k=2時(shí)，求點(diǎn)p到直線ab的距離d；（3）對(duì)任意k0，求證：papb. 【思路點(diǎn)撥】本題考查的是直線與橢圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是正確的聯(lián)立方程結(jié)合已知進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解.【精講精析】（1）由題意知，故,所以線段mn的中點(diǎn)的坐標(biāo)為，由于直線pa平分線段mn，故直線pa過線段mn的中點(diǎn)，又直線pa過坐標(biāo)原點(diǎn)，所以.（2）直線pa的方程為，代入橢圓方程得，解得，因此,于是,直線ac的斜率為，所以直線ab的方程為，因此.（3）解法一：將直線pa的方程代入，解得，記，則，于是故直線ab的斜率為，直線ab的方程為，代入橢圓方程得，解得或，因此，于是直線pb的斜率為，因此，所以.解法二：設(shè)，則，.設(shè)直線pb，ab的斜率分別為.因?yàn)閏在直線ab上，所以 ，從而 ，因此，所以.5.（2011北京高考理科t19）已知橢圓，過點(diǎn)作圓的切線交橢圓于a,b兩點(diǎn).（）求橢圓g的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（）將|ab|表示為m的函數(shù)，并求|ab|的最大值.【思路點(diǎn)撥】（）根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；（）先討論切線斜率不存在的兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，聯(lián)立切線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式可表示出|ab|，再求|ab|的最大值.【精講精析】（）由已知得，所以，所以橢圓g的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為.（）由題意知，.當(dāng)m=1時(shí)，切線的方程為x=1，點(diǎn)a,b的坐標(biāo)分別為，此時(shí)；當(dāng)m=-1時(shí)，同理可得；當(dāng)|m|1時(shí)，設(shè)切線的方程為.由得.設(shè)a,b兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為.又由與圓相切，得，即.所以.由于當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，.所以|ab|的最大值為2.6.（2011北京高考文科t19）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為，斜率為1的直線與橢圓g交于a,b兩點(diǎn)，以ab為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為.（）求橢圓g的方程；（）求的面積. 【思路點(diǎn)撥】（）利用a,b,c的關(guān)系及離心率求出a,b，代入標(biāo)準(zhǔn)方程；（）聯(lián)立直線方程與橢圓方程，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求，整體代入.【精講精析】（）由已知得，解得.又，所以橢圓g的方程為.（ii）設(shè)直線的方程為，由得，.設(shè)a,b的坐標(biāo)分別為，ab中點(diǎn)為，則.因?yàn)閍b是等腰的底邊，所以.所以pe的斜率，解得.此時(shí)方程為，解得，所以.所以.此時(shí)，點(diǎn)到直線ab：的距離，所以的面積.7.（2011江西高考理科20）是雙曲線e：上一點(diǎn)，m，n分別是雙曲線e的左、右頂點(diǎn)，直線pm，pn的斜率之積為.（1）求雙曲線的離心率；（2）過雙曲線e的右焦點(diǎn)且斜率為1的直線交雙曲線于a，b兩點(diǎn)，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，c為雙曲線上一點(diǎn)，滿足，求的值.【思路點(diǎn)撥】（1）表示出直線pm，pn的斜率，根據(jù)直線pm，pn的斜率之積為，得，進(jìn)而求得離心率.（2）首先根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系結(jié)合，將c點(diǎn)坐標(biāo)用a,b兩點(diǎn)坐標(biāo)表示，再將c點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程，即得的關(guān)系式，從而求得的值.【精講精析】8.（2011江西高考文科19）已知過拋物線的焦點(diǎn)，斜率為的直線交拋物線于（）兩點(diǎn)，且（1）求該拋物線的方程；（2）為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，若，求的值【思路點(diǎn)撥】（1）首先將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，可得，再結(jié)合拋物線的定義可求出p的值.（2）結(jié)合第一問所求，解出a,b坐標(biāo)，結(jié)合條件式解出c點(diǎn)的坐標(biāo)，將其代入拋物線方程可得的值.【精講精析】（1）直線ab的方程是 所以，由拋物線定義得：，所以p=4，從而拋物線方程是.（2） 由p=4，化簡(jiǎn)得，又x1x2,從而,從而a(1,),b(4,).設(shè)=，又因?yàn)?，?（4），即，解得.9.（2011陜西高考文科t17）設(shè)橢圓: 過點(diǎn)（0，4），離心率為（）求的方程；（）求過點(diǎn)（3，0）且斜率為的直線被所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)【思路點(diǎn)撥】（）由橢圓過已知點(diǎn)和橢圓離心率可以列出方程組，解方程組即可，也可以分步求解；（）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關(guān)系，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解【精講精析】（）將點(diǎn)（0，4）代入的方程得,b=4,又 得，即，的方程為（）過點(diǎn)且斜率為的直線方程為，設(shè)直線與的交點(diǎn)為a，b，將直線方程代入的方程，得，即，解得，ab的中點(diǎn)坐標(biāo)，即所截線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為10.（2011浙江高考理科21）已知拋物線，圓的圓心為點(diǎn)m（）求點(diǎn)m到拋物線的準(zhǔn)線的距離；（）已知點(diǎn)p是拋物線上一點(diǎn)（異于原點(diǎn)），過點(diǎn)p作圓的兩條切線，交拋物線于a，b兩點(diǎn)，若過m，p兩點(diǎn)的直線垂直于ab，求直線的方程.【思路點(diǎn)撥】（）利用拋物線的幾何性質(zhì)可直接解決；（）考查直線與拋物線、圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，利用“過m，p兩點(diǎn)的直線垂直于ab”這一幾何條件建立關(guān)系式即可解出【精講精析】（）解：由題意可知，拋物線的準(zhǔn)線方程為：所以圓心m（0,4）到準(zhǔn)線的距離是（）解：設(shè)p(x0, x02)，a（）,b（），由題意得,設(shè)過點(diǎn)p的圓c2的切線方程為y-x02=k(x- x0)， 即， 則， 即 設(shè)pa，pb的斜率分別為，則是上述方程的兩根，所以 ，將代入得，由于是此方程的根，故所以而.由mpab,得，解得即點(diǎn)p的坐標(biāo)為，所以直線的方程為.11.（2011浙江高考文科22）如圖，設(shè)p是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)做圓：的兩條切線，交直線：于兩點(diǎn).（）求的圓心到拋物線 準(zhǔn)線的距離；（）是否存在點(diǎn)，使線段被拋物線在點(diǎn)處的切線平分，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【思路點(diǎn)撥】（）題利用拋物線的幾何性質(zhì)可直接求解；（）寫出三切線方程，求出及拋物線在點(diǎn)處的切線與交點(diǎn)的坐標(biāo)即可找出關(guān)于點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系【精講精析】（）由題意可知，拋物線c1的準(zhǔn)線方程為：所以圓心m到拋物線c1準(zhǔn)線的距離為(）設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為()，拋物線c1在點(diǎn)p處的切