電大經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)形成性考核冊答案

1 電大 經(jīng)濟數(shù)學基礎(chǔ)形成性考核冊及參考答案 （一）填空題 1. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _s inlim0 xxxx.答案： 0 2.設(shè) 0, 0,1)(2xkxxxf ，在 0x 處連續(xù)，則 _k .答案： 1 3.曲線 xy 在 )1,1( 的切線方程是 .答案：2121 xy4.設(shè)函數(shù) 52)1( 2 xxxf ，則 _ _ _ _ _ _ _)( xf .答案： x2 5.設(shè) xxxf sin)( ，則 _ _ _ _)2( f.答案：2（二）單項選擇題 1. 函數(shù)212 xx xy的連續(xù)區(qū)間是（ D ） A ),1()1,( B ),2()2,( C ),1()1,2()2,( D ),2()2,( 或 ),1()1,( 2. 下列極限計算正確的是（ B ） A. 1lim0 xxxB. 1lim0 xxxC. 11sinlim0 xxxD. 1sinlim xxx3. 設(shè) y x lg2 ，則 dy （ B ） A 12 dx xB 1 dx xln10C ln10x xdD 1dx x4. 若函數(shù) f (x)在點 x0處可導，則 ( B )是錯誤的 A函數(shù) f (x)在點 x0處有定義 B Axfxx )(lim 0，但 )(0xfA C函數(shù) f (x)在點 x0處連續(xù) D函數(shù) f (x)在點 x0處可微 5.當 0x 時，下列變量是無窮小量的是（ C ） . A x2 BxxsinC )1ln( x D xcos (三 )解 答題 1計算極限 （ 1）211 23lim 221 xxxx 2 2112lim)1)(1()2)(1(lim11xxxxxxxx原式（ 2）2186 65lim 222 xxxxx原式 =4)-2)(x-(x3)-2)(x-(xlim2x 2143lim2 xxx（ 3）2111lim 0 xxx原式 =)11()11)(11(lim0 xxxxx=111lim0 xx=21（ 4）31423 53lim 22 xx xxx原式 =22433531xxxx=31（ 5）535sin 3sinlim0 xxx原式 =xxxxx55sin33sinlim530=53 3 （ 6） 4)2s in(4lim 22 xxx原式 =2)2sin(2lim2xxxx=2)2sin(lim)2(lim22xxxxx = 4 2設(shè)函數(shù)0s in0,0,1s in)(xxxxaxbxxxf ， 問：（ 1）當 ba, 為何值時， )(xf 在 0x 處有極限存在？ （ 2）當 ba, 為何值時， )(xf 在 0x 處連續(xù) . 解： (1) 1)(lim,)(lim00 xfbxf xx當 1f ( 0 )f ( x )lim10x 有時，ba(2). 1f ( 0 )f ( x )lim1ba0x 有時，當函數(shù) f(x)在 x=0 處連續(xù) . 3計算下列函數(shù)的導數(shù)或微分： （ 1） 222 2lo g2 xxy x ，求 y 答案：2ln12ln22 xxy x （ 2）dcx baxy ，求 y 答案：22 )()()()(dcxbcaddcxbaxcdcxay （ 3）531 xy，求 y 答案： 23)53(23 xy （ 4） xxxy e ，求 y 4 答案： )(21 xx xeexy = xx xeex 21 （ 5） bxy ax sine ，求 yd 答案： )c o s( s inc o ss in)( s in( s in)(bxbbxebxbebxaebxebxeyaxaxaxaxax dxbxbbxaedy ax )co ss in( （ 6） xxy x 1e ，求 yd 答案： xexy x 231 12 dxexxdy x )123( 12（ 7） 2ecos xxy ，求 yd 答案： )()(s in 22 xexxy x = 222sin xxexx dxxexxdy x )22s in( 2 （ 8） nxxy n s ins in ，求 y 答案： nxnxxny n c o sc o ss in 1 （ 9） )1ln( 2xxy ，求 y 答案： )1(11 22 xxxxy= )11(1122 xxxx =222 1111xxxxx =21x（ 10）xxxy x 212 3 21c o t ，求 y 5 答案：531c o s261211c o s61211s in2ln21)2()1(c o s2ln2xxxxxxxyxx4.下列各方程中 y 是 x 的隱函數(shù)，試求 y 或 yd (1) 方程兩邊對 x求導： 0322 yxyyyx 32)2( xyyxy 所以 dxxyxydy232 (2) 方程兩邊對 x 求導： 4)()1)(c o s ( yxyeyyx xy xyxy yeyxyxeyx )c o s (4) c o s ( 所以 xyxyxeyxyeyxy)c o s ()c o s (4 5求下列函數(shù)的二階導數(shù)： （ 1） )1ln( 2xy ，求 y 答案： (1) 212 xxy 222222)1(22)1(22)1(2xxxxxxy (2) 212321212121)( xxxxy 23254143 xxy 14143)1( y作業(yè)（二） （一）填空題 1.若 cxxxf x 22d)( ，則 _)( xf .答案： 22ln2 x 6 2. xx d)sin( _ .答案： cxsin 3. 若 cxFxxf )(d)( ，則 xxxf d)1( 2 .答案： cxF )1(21 24.設(shè)函數(shù) _d)1ln (dd e1 2 xxx.答案： 0 5. 若 ttxP x d11)( 02 ，則 _ _ _ _ _)( xP .答案：211x（二）單項選擇題 1. 下列函數(shù)中， （ D ）是 xsinx2的原函數(shù) A21cosx2 B 2cosx2 C -2cosx2 D -21cosx2 2. 下列等式成立的是（ C ） A )d(cosdsin xxx B )1d(dlnxxx C )d(22ln1d2 xx x D xxx dd1 3. 下列不定積分中，常用分部積分法計算的是（ C ） A xxc 1)dos(2 ， B xxx d1 2 C xxx d2sin D xxx d1 24. 下列定積分計算正確的是 （ D ） A 2d211 xxB 15d161 xC 0)d( 32 xxxD 0dsin xx5. 下列無窮積分中收斂的是 （ B ） A 1 d1 xx B 1 2 d1 xx C 0 de xxD 1 dsin xx(三 )解答題 1.計算下列不定積分 （ 1） xxx de3原式 = dxe x)3(= ceceexxx)13( ln33ln)3(（ 2） xxx d)1( 2 答案： 原式 = dxxxx )2( 2321 = cxxx 25232152342 （ 3） xxx d242 答案： 原式 = cxxdxx 221)2( 2 7 （ 4） xx d21 1答案： 原式 = cxx xd 21ln2121 )21(21（ 5） xxx d2 2 答案： 原式 = )2(221 22 xdx= cx 232 )2(31 （ 6） xxx dsin 答案： 原式 = cxxdx c o s2s in2 （ 7） xxx d2sin答案： (+) x 2sin x(-) 1 2cos2 x(+) 0 2sin4 x 原式 = cxxx 2s in42c o s2（ 8） xx 1)dln( 答案： (+) )1ln( x 1 (-) 11xx 原式 = dxx xxx 1)1ln (= dxxxx )111()1ln (= cxxxx )1ln ()1ln ( 2.計算下列定積分 （ 1） xxd121 答案： 原式 = 2111 )1()1( dxxdxx=29252)21(2 212 xx 8 （ 2） xxx de21 21 答案： 原式 = 21221 1)( xdxxe x = 21211 eee x （ 3） xxx dln113e1 答案： 原式 = 31 )ln1(ln1e xdxxx = 21ln123 ex （ 4） xxx d2cos20 答案： (+)x x2cos (-)1 x2sin21(+)0 x2cos41 原式 = 20)2c o s412s in21( xxx =214141 （ 5） xxx dlne1答案： (+) xln x (-) x122x 原式 = ee x d xxx112 21ln21 = )1(41412 2122 exe e （ 6） xx x d)e1(40 答案： 原式 = 404 dxxe x又 (+)x xe 9 (-)1 - xe (+)0 xe 40 40)( xxx exedxxe= 15 4 e 故：原式 = 455 e 作業(yè)三 （一）填空題 1.設(shè)矩陣161223235401A ，則 A 的元素 _23 a .答案： 3 2.設(shè) BA, 均為 3 階矩陣，且 3 BA ，則 TAB2 = _ . 答案： 72 3. 設(shè) BA, 均為 n 階矩陣，則等式 222 2)( BABABA 成立的充分必要條件是 .答案： BAAB 4. 設(shè) BA, 均為 n 階矩陣， )( BI 可逆，則矩陣 XBXA 的解 _ _ _ _ _ _ _ _ _X .答案：ABI 1)( 5. 設(shè)矩陣300020001A ，則 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 A .答案：31000210001A（二）單項選擇題 1. 以下結(jié)論或等式正確的是（ C ） A若 BA, 均為零矩陣，則有 BA B若 ACAB ，且 OA ，則 CB C 對角矩陣是對稱矩陣 D若 OBOA , ，則 OAB 2. 設(shè) A 為 43 矩陣， B 為 25 矩陣，且乘積矩陣 TACB 有意義，則 TC 為（ A ）矩陣 A 42 B 24 C 53 D 35 3. 設(shè) BA, 均為 n 階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ C ） A 111)( BABA ， B 111)( BABA C BAAB D BAAB 10 4. 下列矩陣可逆的是 （ A ） A300320321B 321101101C 00 11D 22 115. 矩陣444333222A 的秩是（ B ） A 0 B 1 C 2 D 3 三、解答題 1計算 （ 1） 01 1035 12= 53 21（ 2） 00 1130 20 00 00（ 3） 21034521 =0 2計算723016542132341421231221321解 72301654274001277197723016542132341421231221321= 1423011121553設(shè)矩陣110211321B110111132，A ，求 AB 。 解 因為 BAAB 11 221 22)1()1(01021123211011113232 A 01101-1-0321110211321B 所以 002 BAAB 4設(shè)矩陣01112421A ，確定 的值，使 )(Ar 最小。 解： 74041042141074042101112421)1()2( ），（ A 4900410421)4( 所以當49時，秩 )(Ar 最小為 2。 5求矩陣32114024713458512352A 的秩。 答案： 解： )4()2()5()(3211412352345850247132114024713458512352A ， )3()3(361527036152701259002471361527012590361527002471 ），（ 00000000001259002471所以秩 )(Ar =2。 12 6求下列矩陣的逆矩陣： （ 1）111103231A 答案 解： 101340013790001231100111010103001231)1(3IA 19431910009131971003103101101340091319710001231)4(3)91( 943100732010311001194319100732010311001973所以9437323111A 。 （ 2） A =1121243613 答案 解： 10011201012470141110011201012400136137IA 13027101512810701411130271028141520701411)2(4 2101001720100310012101001512810811401)8(4)1( 所以2101720311A 。 13 7設(shè)矩陣 32 21,53 21 BA，求解矩陣方程 BXA 答案： 1 BAX 1310 01211310 01211053 0121 )1()3( IA 1310 2501)2( 13 251A 11 0113 2532 211BAX四、證明題 1試證：若 21,BB 都與 A 可交換，則 21 BB ， 21BB 也與 A 可交換。 證明： ABAB 11 ， ABAB 22 ABBABABABABBBA )()( 21212121 ABBABBABBBABBBA )()( 2121212121 即 21 BB ， 21BB 也與 A 可交換。 2試證：對于任意方陣 A ， TAA ， AAAA TT , 是對稱矩陣。 證明： TTTTTTT AAAAAAAA )()( TTTTTT AAAAAA )()()( AAAAAA TTTTTT )()()( TAA ， AAAA TT , 是對稱矩陣。 3設(shè) BA, 均為 n 階對稱矩陣，則 AB 對稱的充分必要條件是： BAAB 。 證明：充分性 AAT ， BBT ， ABAB T )( BAABABAB TTT )( 必要性 14 AAT ， BBT ， BAAB ABBABAAB TTTT )()( 即 AB 為對稱矩陣。 4設(shè) A 為 n 階對稱矩陣， B 為 n 階可逆矩陣，且 TBB 1 ，證明 ABB1 是對稱矩陣。 證明： AAT ， TBB 1 ABBBABBABBABABB TTTTT 11111111 )()()()( 即 ABB1 是對稱矩陣。 作業(yè)（四） （一）填空題 1.函數(shù)xxxf 1)( 在區(qū)間 _ 內(nèi)是單調(diào)減少的 .答案： )1,0()0,1( 2. 函數(shù) 2)1(3 xy 的駐點是 _ ，極值點是 ，它是極 值點 . 答案： 1,1 xx ，小 3.設(shè)某商品的需求函數(shù)為 2e10)( ppq ，則需求彈性 pE.答案： p2 4.行列式 _111111111D .答案： 4 5. 設(shè)線性方程組 bAX ，且010023106111tA ，則 _t 時，方程組有唯一解 .答案： 1 （二）單項選擇題 1. 下列函數(shù)在指定 區(qū)間 ( , ) 上單調(diào)增加的是 （ B ） A sinx B e x C x 2 D 3 x 2. 已知需求函數(shù) ppq 4.02100)( ，當 10p 時，需求彈性為（ C ） A 2ln24 4 p B 2ln4 C 2ln4- D 2ln24- 4 p 3. 下列積分計算正確的是（ A ） A 11 0d2ee xxx B 11 0d2ee xxx 15 C 0dsin11 xxx-D 0)d(311 2 xxx-4. 設(shè)線性方程組 bXAnm 有無窮多解的充分必要條件是（ D ） A mArAr )()( B nAr )( C nm D nArAr )()( 5. 設(shè)線性方程組33212321212 axxxaxxaxx，則方程組有解的充分必要條件是 （ C ） A 0321 aaaB 0321 aaaC 0321 aaaD 0321 aaa三、解答題 1求解下列可分離變量的微分方程： (1) yxy e 答案： 原方程變形為： yxedxdy 分離變量得： dxedye xy 兩邊積分得： dxeyde xy )( 原方程的通解為： Cee xy （ 2）23eddyxxy x 答案： 分離變量得： dxxedyy x23 兩邊積分得： dxxedyy x23 原方程的通解為： Cexey xx 3 2. 求解下列一階線性微分方程： （ 1） 3)1(12 xyxy答案： 原方程的通解為： )1()1( 3)1(12)1(1231212 CdxxeeCdxxeey xdxxdxdxxdxx )1()1()1()1( 3223)1l n ()1l n ( 22 CdxxxxCdxxee xx )21()1()1()1( 222 CxxxCdxxx （ 2） xxxyy 2sin2答案： 原方程的通解為： 16 )2s i n2()2s i n2( 11 Cxd xxeeCxd xxeey xxdxdx 3.求解下列微分方程的初值問題： (1) yxy 2e , 0)0( y 答案： 原方程變形為： yxedxdy 2分離變量得： dxedye xy 2 兩邊積分得： dxedye xy 2 原方程的通解為： Cee xy 221將 00 yx ， 代入上式得：21C則原方程的特解為：2121 2 xy ee(2) 0e xyyx , 0)1( y 答案： 原方程變 形為：xyxyxe1 原方程的通解為： )(1)()( lnln11 1 CdxexCdxxeeeCdxxeeey xxxxxdxxdxx )(1 Cex x 將 01 yx ， 代入上式得： eC 則原方程的特解為： )(1 eexy x 4.求解下列線性方程組的一般解： （ 1）03520230243214321431xxxxxxxxxxx答案： 原方程的系數(shù)矩陣變形過程為： 000011101201111011101201351223111201)2( A 由于秩 ( A )=2n=4，所以原方程有無窮多解，其一般解為： 432431 2 xxx xxx （其中 43 xx， 為自由未知量）。 17 （ 2）5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx答案： 原方程的增廣矩陣變形過程為： 51147111112241215114712412111112),( A 000003735024121373503735024121)1()2( 000005357531054565101000005357531024121)2()51(由于秩 ( A )=2n=4，所以原方程有無窮多解，其一般解為： 432431575353565154xxxxxx（其中43 xx，為自由未知量）。 5.當 為何值時，線性方程組 43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx有解，并求一般解。 答案： 原方程的增廣矩陣變形過程為： 141826203913103913102451110957332231131224511)7()3()2(A 800000000039131015801)2()1(所以當 8 時，秩 (A )=2n=4，原方程有無窮多解，其一般解為： 18 432431 9133 581 xxx xxx 5 ba, 為何值時，方程組 baxxxxxxxxx3213213213221答案：當 3a 且 3b 時，方程組無解； 當 3a 時，方程組有唯一解； 當 3a 且 3b 時，方程組無窮多解。 原方程的增廣矩陣變形過程為： 3300112011111140112011113122111111)2()1()1(bababaA 討論：（ 1）當 ba ，3 為實數(shù)時 ， 秩 (A )=3=n=3，方程組有唯一解； （ 2）當 33 ba ， 時，秩 (A )=2n=3，方程組有無窮多解； （ 3）當 33 ba ， 時，秩 (A )=3秩 (A )=2，方程組無解； 6求解下列經(jīng)濟應(yīng)用問題： （ 1）設(shè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品 q 個單位時的成本函數(shù)為： qqqC 625.01 0 0)( 2 （萬元） , 求： 當 10q 時的總成本、平均成本和邊際成本； 當產(chǎn)量 q 為多少時，平均成本最小？ 答案： 平均成本函數(shù)為： 625.01 0 0)()( qqq qCqC（萬元 /單位） 邊際成本為： 65.0)( qqC 當 10q 時的總成本、平均成本和邊際成本分別為： )(1851061025.0100)10( 2 元C 5.1861025.010100)10( C（萬元 /單位） 116105.0)10( C （萬元 /單位） 由 平均成本函數(shù)求導得： 25.01 0 0)(2 qqC 19 令 0)( qC 得唯一駐點 201 q（個）， 201