高中數(shù)學(xué) 第三章 推理與證明 3.1 歸納與類比 3.1.1 歸納推理課件 北師大版選修12.ppt

3 1 1歸納推理 歸納推理1 定義 根據(jù)一類事物中部分事物具有某種屬性 推斷該類事物中每一個事物都有這種屬性 將這種推理方式稱為歸納推理 2 歸納推理的特征歸納推理是由部分到整體 由個別到一般的推理 3 歸納推理結(jié)論真假利用歸納推理得出的結(jié)論不一定是正確的 4 思維過程流程圖實驗 觀察 概括 推廣 猜想一般性結(jié)論 名師點撥1 歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象 歸納所得的結(jié)論是未知的一般現(xiàn)象 該結(jié)論超越了前提所包含的范圍 2 由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì) 結(jié)論是否真實 還需要經(jīng)過邏輯證明和實踐檢驗 因此 它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具 3 歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理 通過歸納推理得到的猜想 可以作為進一步研究的起點 幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題 做一做 1 數(shù)列5 9 17 33 x 中的x等于 a 47b 65c 63d 128 2 金導(dǎo)電 銀導(dǎo)電 銅導(dǎo)電 鐵導(dǎo)電 金 銀 銅 鐵都是金屬 因此可猜想所有金屬都導(dǎo)電 這種推理形式為 答案 1 b 2 歸納推理 思考辨析判斷下列說法是否正確 正確的在后面的括號內(nèi)打 錯誤的打 1 統(tǒng)計學(xué)中 先從總體中抽取樣本 再用樣本估計總體 這種估計屬于歸納推理 2 歸納推理得到的結(jié)論可以作為定理使用 3 歸納推理是由個別得到一般的推理 4 歸納推理具有由具體到抽象的認(rèn)識功能 答案 1 2 3 4 探究一 探究二 探究三 思維辨析 數(shù)式中的歸納推理 例1 觀察如圖所示的 三角數(shù)陣 1 第1行22 第2行343 第3行4774 第4行51114115 第5行 記第n行的第2個數(shù)為an n 2 n n 請仔細(xì)觀察上述 三角數(shù)陣 的特征 完成下列各題 1 依次寫出a2 a3 a4 a5 2 第6行的6個數(shù)依次為 3 歸納出an 1與an的關(guān)系式 探究一 探究二 探究三 思維辨析 思路分析 觀察數(shù)陣的每行 每列數(shù)的特征 對上 下行 左 右列間的關(guān)系進行研究 找到規(guī)律 問題即可迎刃而解 解 1 a2 2 a3 4 a4 7 a5 11 2 由數(shù)陣可看出 除首末兩數(shù)外 每行中的數(shù)都等于它上一行的肩膀上的兩數(shù)之和 且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù) 故第6行的6個數(shù)依次為6 16 25 25 16 6 3 a3 a2 2 a4 a3 3 a5 a4 4 由此歸納 an 1 an n 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟1 歸納推理的一般步驟 1 觀察 通過觀察個別事物發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì) 2 概括 歸納 從已知的相同性質(zhì)中概括 歸納出一個明確表述的一般性命題 3 猜測一般性結(jié)論 2 由已知數(shù) 式進行歸納推理的基本方法 1 分析所給幾個等式 或不等式 中項數(shù)和次數(shù)等方面的變化規(guī)律或結(jié)構(gòu)形式的特征 2 提煉出等式 或不等式 的綜合特點 3 運用歸納推理得出一般結(jié)論 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練1已知 sin230 sin290 sin2150 sin25 sin265 sin2125 通過觀察上述兩等式的規(guī)律 請你寫出一般性的命題 解析 觀察每個式子中三個角的關(guān)系 三個角分別成等差數(shù)列 即30 60 90 90 60 150 5 60 65 65 60 125 根據(jù)式子中角的這種關(guān)系 可以歸納得出 sin2 sin2 60 sin2 120 答案 sin2 sin2 60 sin2 120 探究一 探究二 探究三 思維辨析 圖與形中的歸納推理 例2 有兩種花色的正六邊形地面磚 按下圖的規(guī)律拼成若干個圖案 則第6個圖案中灰色正六邊形的個數(shù)是 a 26b 31c 32d 36思路分析 數(shù)出前三個圖案中灰色正六邊形的個數(shù) 注意分析規(guī)律 由此規(guī)律作出推斷 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解析 灰色正六邊形的個數(shù)如下表 由表可以看出灰色正六邊形的個數(shù)依次組成一個以6為首項 以5為公差的等差數(shù)列 所以第6個圖案中灰色正六邊形的個數(shù)是6 5 6 1 31 故選b 答案 b 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟通過一組平面或空間圖形的變化規(guī)律 研究其一般性結(jié)論 通常先把形狀問題數(shù)字化 展現(xiàn)數(shù)字之間的規(guī)律 特征 再進行歸納推理 解答該類問題的一般策略是 探究一 探究二 探究三 思維辨析 變式訓(xùn)練2如圖所示 圖 是棱長為1的小正方體 圖 圖 由這樣的小正方體擺放而成 按照這樣的方法繼續(xù)擺放 自上而下分別叫第1層 第2層 第n層 第n層的小正方體的個數(shù)記為sn 解答下列問題 1 按照要求填表 2 s10 探究一 探究二 探究三 思維辨析 解析 s1 1 s2 3 1 2 s3 6 1 2 3 推測s4 1 2 3 4 10 s10 1 2 3 10 55 答案 1 10 2 55 探究一 探究二 探究三 思維辨析 不等式中的歸納推理 探究一 探究二 探究三 思維辨析 反思感悟?qū)τ谂c正整數(shù)n有關(guān)的指數(shù)式與整式的大小比較 在不能用作差 作商法比較時 常用歸納 猜想 證明的方法 解題時對n的取值的個數(shù)要適當(dāng) 太少易產(chǎn)生錯誤猜想 太多增大計算量 探究一 探究二 探究三 思維辨析 探究一 探究二 探究三 思維辨析 因?qū)Ω拍罾斫獠煌钢抡` 典例 設(shè)f n n2 n 41 n n 計算f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 的值 同時由歸納推理得到猜想 并判斷所得的猜想是否正確 易錯分析 1 誤認(rèn)為歸納得出的結(jié)論一定是正確的 實際上歸納推理的結(jié)論不一定正確 2 歸納時數(shù)據(jù)偏少 不一定具有一致性 無法得出一般性的結(jié)論 解 f 1 12 1 41 43 f 2 22 2 41 47 f 3 32 3 41 53 f 4 42 4 41 61 f 5 52 5 41 71 f 6 62 6 41 83 43 47 53 61 71 83都是質(zhì)數(shù) 由此猜想對于任何n n f n n2 n 41都是質(zhì)數(shù) 這個猜想是錯誤的 如f 40 402 40 41 40 41 41 41 41就不是質(zhì)數(shù) 糾錯心得平時學(xué)習(xí)時一定要對每一個基礎(chǔ)知識理解透徹 探究一 探究二 探究三 思維辨析 跟蹤訓(xùn)練對任意正整數(shù)n 試歸納猜想2n與n2的大小關(guān)系 解 當(dāng)n 1時 21 12 當(dāng)n 2時 22 22 當(dāng)n 3時 2352 當(dāng)n 6時 26 62 歸納猜想 當(dāng)n 3時 2n n2 當(dāng)n n 且n 3時 2n n2 1 2 3 4 5 1 數(shù)列2 5 11 20 x 47中的x等于 a 28b 32c 33d 27解析 由前幾個數(shù)字可歸納出此列數(shù)字為 2 5 11 20 32 47 故答案為b 答案 b 1 2 3 4 5 2 下圖為一串白黑相間排列的珠子 按這種規(guī)律往下排起來 則第36顆珠子應(yīng)是什么顏色 a 白色b 黑色c 白色可能性大d 黑色可能性大解析