【志鴻優(yōu)化設(shè)計(jì)】（湖南專(zhuān)用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章數(shù)列6.4數(shù)列的通項(xiàng)與求和教學(xué)案 理.doc

6.4數(shù)列的通項(xiàng)與求和1熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式2掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種常見(jiàn)方法數(shù)列求和的常用方法1公式法(1)直接用等差、等比數(shù)列的求和公式(2)掌握一些常見(jiàn)的數(shù)列的前n項(xiàng)和123n_；135(2n1)_；2462n_；122232n2_；132333n3_.2倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列an，與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如_數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的3錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來(lái)求，如_數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的4裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和5分組轉(zhuǎn)化法把數(shù)列的每一項(xiàng)分成多個(gè)項(xiàng)或把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差、等比數(shù)列求和公式求解6并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱(chēng)之為并項(xiàng)求和形如an(1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解例如sn10029929829722212(10099)(9897)(21)5 050.1.等于()a. b. c1 d3 2已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an，其前n項(xiàng)和sn，則項(xiàng)數(shù)n等于()a13 b10 c9 d63數(shù)列(1)n(2n1)的前2 012項(xiàng)和s2 012()a2 012 b2 012 c2 011 d2 0114已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn且ann2n，則sn_.一、分組轉(zhuǎn)化法求和【例1】已知函數(shù)f(x)2x3x1，點(diǎn)(n，an)在f(x)的圖象上，an的前n項(xiàng)和為sn.(1)求使an0的n的最大值；(2)求sn.方法提煉1數(shù)列求和應(yīng)從通項(xiàng)入手，若無(wú)通項(xiàng)，則先求通項(xiàng)，然后通過(guò)對(duì)通項(xiàng)變形，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求數(shù)列的前n項(xiàng)和的數(shù)列求和2常見(jiàn)類(lèi)型及方法(1)anknb，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式直接求解；(3)anbncn，數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求an的前n項(xiàng)和請(qǐng)做演練鞏固提升4二、裂項(xiàng)相消法求和【例21】等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且2a13a21，a9a2a6.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bnlog3a1log3a2log3an，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【例22】已知各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列an的前四項(xiàng)和s414，且a1，a3，a7成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)tn為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若tnan1對(duì)一切nn*恒成立，求實(shí)數(shù)的最小值方法提煉1利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，也有可能前面剩兩項(xiàng)，后面也剩兩項(xiàng)將通項(xiàng)裂項(xiàng)后，有時(shí)候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開(kāi)的兩項(xiàng)之差和系數(shù)之積與原通項(xiàng)相等2一般情況如下，若an是等差數(shù)列，則，.此外根式在分母上時(shí)可考慮利用分母有理化相消求和3常見(jiàn)的拆項(xiàng)公式有：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)()請(qǐng)做演練鞏固提升3三、錯(cuò)位相減法求和【例31】(2012浙江高考)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且sn2n2n，nn*，數(shù)列bn滿(mǎn)足an4log2bn3，nn*.(1)求an，bn；(2)求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和tn.【例32】已知在數(shù)列an中，a13，點(diǎn)(an，an1)在直線(xiàn)yx2上(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnan3n，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn.方法提煉1用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：(1)要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形；(2)在寫(xiě)出“sn”與“qsn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“snqsn”的表達(dá)式2利用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和若公比是個(gè)參數(shù)(字母)，則應(yīng)先對(duì)參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和特別強(qiáng)調(diào)：利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)要注意：(1)在把通項(xiàng)裂開(kāi)后，是否恰好等于相應(yīng)的兩項(xiàng)之差；(2)在正負(fù)項(xiàng)抵消后，是否只剩下了第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，或有時(shí)前面剩下兩項(xiàng)，后面也剩下兩項(xiàng)請(qǐng)做演練鞏固提升5分類(lèi)討論思想在數(shù)列求和中的應(yīng)用【典例】(13分)(2012湖北高考)已知等差數(shù)列an前三項(xiàng)的和為3，前三項(xiàng)的積為8.(1)求等差數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a2，a3，a1成等比數(shù)列，求數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和規(guī)范解答：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a2a1d，a3a12d，由題意得解得或(4分)所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得an23(n1)3n5，或an43(n1)3n7.故an3n5，或an3n7.(6分)(2)當(dāng)an3n5時(shí)，a2，a3，a1分別為1，4,2，不成等比數(shù)列，不滿(mǎn)足條件；當(dāng)an3n7時(shí)，a2，a3，a1分別為1,2，4，成等比數(shù)列，滿(mǎn)足條件故|an|3n7|(8分)記數(shù)列|an|的前n項(xiàng)和為sn.當(dāng)n1時(shí)，s1|a1|4；(9分)當(dāng)n2時(shí)，s2|a1|a2|5；當(dāng)n3時(shí)，sns2|a3|a4|an|5(337)(347)(3n7)5n2n10，當(dāng)n2時(shí)，滿(mǎn)足此式(12分)綜上，sn(13分)答題指導(dǎo)：分類(lèi)討論思想在數(shù)列求和時(shí)經(jīng)常遇到，尤其是含絕對(duì)值的求和問(wèn)題，與等比數(shù)列有關(guān)的問(wèn)題，還有分奇偶項(xiàng)進(jìn)行討論的問(wèn)題，此類(lèi)問(wèn)題討論時(shí)要掌握不遺漏、不重復(fù)的原則1在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，a3a54，則數(shù)列l(wèi)og2an的前7項(xiàng)和等于()a7 b8 c27 d282已知等比數(shù)列an的首項(xiàng)為1，若4a1,2a2，a3成等差數(shù)列，則數(shù)列的前5項(xiàng)和為()a b2 c d3數(shù)列，的前n項(xiàng)和為()a b c d4求下面數(shù)列的前n項(xiàng)和11，4，7，3n2，.5已知數(shù)列an是首項(xiàng)a11的等比數(shù)列，且an0，bn是首項(xiàng)為1的等差數(shù)列，又a5b321，a3b513.(1)求數(shù)列an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和sn.參考答案基礎(chǔ)梳理自測(cè)知識(shí)梳理1(2)n2n(n1)22等差3等比基礎(chǔ)自測(cè)1a解析：sn.故選a.2d解析：an1，snnn1.而5.n15.n6.3b解析：s2 0121357(22 0111)(22 0121)2 012.故選b.4(n1)2n12解析：sn2222323n2n，2sn22223324(n1)2nn2n1.，得sn222232nn2n1n2n12n12n2n1，sn(n1)2n12.考點(diǎn)探究突破【例1】 解：(1)依題意an2n3n1，an0，即2n3n10.函數(shù)f(x)2x3x1在1,2上為減函數(shù)，在3，)上為增函數(shù)當(dāng)n3時(shí)，239120，當(dāng)n4時(shí)，2412130，2n3n10中n的最大值為3.(2)sna1a2an(2222n)3(123n)n3n2n12.【例21】 解：(1)設(shè)數(shù)列an的公比為q.由a329a2a6得a329a42，所以q2.由條件可知q0，故q.由2a13a21得2a13a1q1，所以a1.故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).故2，2.所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為.【例22】 解：(1)設(shè)公差為d.由已知得聯(lián)立解得d1或d0(舍去)，a12，故ann1.(2)，tn.tnan1，(n2).又.的最小值為.【例31】 解：(1)由sn2n2n，得當(dāng)n1時(shí)，a1s13；當(dāng)n2時(shí)，ansnsn14n1.所以an4n1，nn*.由4n1an4log2bn3，得bn2n1，nn*.(2)由(1)知anbn(4n1)2n1，nn*.所以tn3721122(4n1)2n1,2tn32722(4n5)2n1(4n1)2n，所以2tntn(4n1)2n34(2222n1)(4n5)2n5.故tn(4n5)2n5，nn*.【例32】 解：(1)點(diǎn)(an，an1)在直線(xiàn)yx2上，an1an2，即an1an2.數(shù)列an是以3為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，an32(n1)2n1.(2)bnan3n，bn(2n1)3n.tn33532733(2n1)3n1(2n1)3n，3tn332533(2n1)3n(2n1)3n1.得2tn332(32333n)(2n1)3n192(2n1)3n12n3n1tnn3n1.演練鞏固提升1a解析：在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，由a3a54，得a424，a42.設(shè)bnlog2an，則數(shù)列bn是等差數(shù)列，且b4log2a41.所以bn的前7項(xiàng)和s77b47.2a解析：設(shè)數(shù)列an的公比為q，則有4q222q，解得q2，所以an2n