【備考】全國名校數(shù)學試題分類匯編（12月 第三期）F單元 平面向量（含解析）.doc

【備考2015】2015屆全國名校數(shù)學試題分類匯編（12月 第三期）f單元 平面向量（含解析目錄f單元平面向量1f1平面向量的概念及其線性運算1f2平面向量基本定理及向量坐標運算3f3平面向量的數(shù)量積及應用7f4 單元綜合17f1平面向量的概念及其線性運算【數(shù)學理卷2015屆湖北省武漢華中師范大學第一附屬中學高三上學期期中考試（201411）】12在中，與交于點，設=，=，則(用,表示)【知識點】向量的線性運算性質及幾何意義f1【答案】【解析】解析：三點共線，三點共線，即，且，所以，所以故答案為：【思路點撥】由三點共線，知；由三點共線，知，所以，所以【數(shù)學理卷2015屆浙江省嘉興一中等五校2015屆高三上學期第一次聯(lián)考（201412）】16設向量，其中為實數(shù)若，則的取值范圍為_【知識點】三角函數(shù)的性質向量相等函數(shù)的單調性f1 c3 b3【答案】【解析】6,1解析：由得，得,解得，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，當時得最小值為6,當x=2時得最大值為1,所以所求的范圍是6,1.【思路點撥】利用向量相等等到變量之間的關系，再利用三角函數(shù)的性質求出的范圍，再利用導數(shù)判斷單調性，利用單調性求函數(shù)的值域.【數(shù)學理卷2015屆河北省唐山一中高三上學期期中考試（201411）】6已知點p是abc的內心（三個內角平分線交點）、外心（三條邊的中垂線交點）、重心（三條中線交點）、垂心（三個高的交點）之一，且滿足，則點p一定是abc的（ ）a內心b外心c重心d垂心【知識點】平面向量的線性運算f1【答案】【解析】b解析：設d為bc的中點，可得，所以，即，即，結合d為bc的中點，可得p在bc的垂直平分線上又點p是abc的內心、外心、重心和垂心之一結合三角形外接圓的性質，得點p是abc的外心，故選擇b.【思路點撥】：設d為bc的中點，可得，根據向量數(shù)量積的運算性質，得到，即，可求得.f2平面向量基本定理及向量坐標運算【數(shù)學理卷2015屆重慶市重慶一中高三上學期期中考試（201411）word版】10. （原創(chuàng)）已知o為坐標原點，,，記、中的最大值為m，當取遍一切實數(shù)時，m的取值范圍是 （ ） a. b. c. d. 【知識點】向量模的坐標運算；向量模的最值. f2【答案】【解析】c解析：因為，,，所以，（1）當a=0時，m，（2）當a=7（a、b、c三點共線）時，則點p落在ab中點時，m取得最小值，,(3)當a0且a7時，p落在abc的外心q 時，m有最小值 q所在的直線與ab 垂直，故q 在直線y=x 上，若,則yx；當yx時到點c距離等于到x軸的距離的點的軌跡是拋物線：，交直線y=x于p，當a=2時，m取得最小值，綜上得：m的取值范圍是，故選c. 【思路點撥】（1）當a=0(a、b、o三點重合)時，p是oc中點時，m最??；（2）當a=7（a、b、c三點共線）時，則點p落在ab中點時，m取得最小值；(3)當a0且a7時，p落在abc的外心q 時，m有最小值.三種情況下m均無最大值，故分類討論出m的最小值，即可得到答案.【數(shù)學理卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】5在abc中，是邊所在直線上任意一點，若，則【】 a1 b2 c3 d4【知識點】平面向量的基本定理及其意義f2【答案】【解析】c解析：abc中，m是ab邊所在直線上任意一點，存在實數(shù)，使得=，即化簡得=，=2+，結合平面向量基本定理，得，解之得=3，=故選：c【思路點撥】根據a、m、b三點共線，可得存在實數(shù)使=成立，化簡整理得=，結合已知等式建立關于、的方程組，解之即可得到實數(shù)的值【數(shù)學理卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】5在abc中，是邊所在直線上任意一點，若，則【】 a1 b2 c3 d4【知識點】平面向量的基本定理及其意義f2【答案】【解析】c解析：abc中，m是ab邊所在直線上任意一點，存在實數(shù)，使得=，即化簡得=，=2+，結合平面向量基本定理，得，解之得=3，=故選：c【思路點撥】根據a、m、b三點共線，可得存在實數(shù)使=成立，化簡整理得=，結合已知等式建立關于、的方程組，解之即可得到實數(shù)的值【數(shù)學理卷2015屆浙江省嘉興一中等五校2015屆高三上學期第一次聯(lián)考（201412）】15設是按先后順序排列的一列向量，若，且，則其中模最小的一個向量的序號_【知識點】向量的坐標運算f2【答案】【解析】1002或1001解析：因為，所以，因為二次函數(shù)的對稱軸方程為，又n為正整數(shù)，所以當n=1002或1001時模最小.【思路點撥】可以借助于等差數(shù)列的通項公式求出向量的一般形式，再借助于二次函數(shù)求最值.【數(shù)學文卷2015屆重慶市重慶一中高三上學期期中考試（201411）word版】18.（原創(chuàng)）（本題滿分13分）已知中，角的對邊分別為，且有.求角的大??；設向量,且，求的值.【知識點】正弦定理；兩角和與差的三角函數(shù)；三角形的內角和；誘導公式；向量垂直的性質，三角函數(shù)的求值. c8 c5 c2 c7 f2【答案】【解析】(1)；(2)7.解析：由條件可得：整理得：所以，又，故由可得：整理得：從而（舍去）又，為銳角故，于是【思路點撥】(1)利用正弦定理，兩角和與差的三角函數(shù)，三角形的內角和，誘導公式，將已知等式化為，從而得；（2）由可得,可得的值.【數(shù)學文卷2015屆湖南省長沙長郡中學高三上學期第四次月考（201412）word版】9如圖，在rtabc中，c= 90，ac=4，bc=2，d、e分別是bc、ab的中點，p是abc（包括邊界）內任一點，則的取值范圍是a-7，7 b-8，8c-9，9 d-10，jo【知識點】平面向量基本定理f2【答案】c【解析】在rtabc中，c=90，ac=4，bc=2，d是bc的中點，那么=，=16+4=20()=()=2以ca所在的直線為x軸，以cb所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，則a的坐標為（4，0），b的坐標為（0，2），由線段的中點公式可得點d的坐標為（0，1），點e的坐標為（2，1），設點p的坐標為（x，y），則由題意可得可行域為abc及其內部區(qū)域，故有令t=（-4，1）（x-2，y-1）=7-4x+y，即 y=4x+t-7故當直線y=4x+t-7過點a（4，0）時，t取得最小值為7-16+0=-9，當直線y=4x+t-7過點b（0，2）時，t取得最大值為 7-0+2=9，故t=的取值范圍是-9，9，【思路點撥】由條件可得=，故()=()=，由此求得()的值以ca所在的直線為x軸，以cb所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系，利用簡單的線性規(guī)劃求得t=的取值范圍【數(shù)學文卷2015屆浙江省嘉興一中等五校2015屆高三上學期第一次聯(lián)考（201412）】15. 設是按先后順序排列的一列向量，若，且，則其中模最小的一個向量的序號【知識點】向量的坐標運算f2【答案】【解析】1002或1001解析：因為，所以，因為二次函數(shù)的對稱軸方程為，又n為正整數(shù)，所以當n=1002或1001時模最小.【思路點撥】可以借助于等差數(shù)列的通項公式求出向量的一般形式，再借助于二次函數(shù)求最值.f3平面向量的數(shù)量積及應用【數(shù)學理卷2015屆重慶市重慶一中高三上學期期中考試（201411）word版】6（原創(chuàng)）在abc中，已知，則的值為（ ）a b cd【知識點】三角形面積公式；向量的數(shù)量積. f3 【答案】【解析】d解析：=所以=，故選d. 【思路點撥】由三角形的面積公式求得sina ，進而得到cosa，再用向量數(shù)量積公式求解.【數(shù)學理卷2015屆湖南省長沙長郡中學高三上學期第四次月考（201412）word版】8已知等邊abc中，點p在線段ab上，且，若，則實數(shù)的值為a2bc1d【知識點】平面向量的數(shù)量積及應用f3【答案】c【解析】設等邊三角形abc的邊長為1則|=|=，|=1-（01）=()=+=.，所以11cos120+1cos0=（1-）cos180化簡-+=-（1-），整理2-2+=0，解得=（=1舍去）【思路點撥】將表示為,利用向量數(shù)量積公式，將關系式化簡得出關于的方程并解出即可注意01【數(shù)學理卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】10在abc中，已知，p為線段ab上的點，且的最大值為【】a3b4c5d6【知識點】向量在幾何中的應用；平面向量的綜合題；正弦定理的應用c8 f3【答案】【解析】a解析：abc中設ab=c，bc=a，ac=bsinb=cosasinc，sin（a+c）=sinccosna，即sinacosc+sinccosa=sinccosasinacosc=0，sina0cosc=0 c=90=9，sabc=6，bccosa=9，bcsina=6tana=，根據直角三角形可得sina=，cosa=，bc=15，c=5，b=3，a=4以ac所在的直線為x軸，以bc所在的直線為y軸建立直角坐標系可得c（0，0）a（3，0）b（0，4）p為線段ab上的一點，則存在實數(shù)使得=（3，44）（01）設，則|=|=1，=（1，0），=（0，1），=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3，y=44則4x+3y=12，12=4x+3y，xy3，故所求的xy最大值為：3故選c【思路點撥】abc中設ab=c，bc=a，ac=b，由sinb=cosasinc結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求 cosc的值，再由=9，sabc=6可得bccosa=9，bcsina=6可求得c，b，a，建立以ac所在的直線為x軸，以bc所在的直線為y軸建立直角坐標系，由p為線段ab上的一點，則存在實數(shù)使得=（3，44）（01），設，則|=|=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x與y的關系式，利用基本不等式求解最大值【數(shù)學理卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】10在abc中，已知，p為線段ab上的點，且的最大值為【】a3b4c5d6【知識點】向量在幾何中的應用；平面向量的綜合題；正弦定理的應用c8 f3【答案】【解析】a解析：abc中設ab=c，bc=a，ac=bsinb=cosasinc，sin（a+c）=sinccosna，即sinacosc+sinccosa=sinccosasinacosc=0，sina0cosc=0 c=90=9，sabc=6，bccosa=9，bcsina=6tana=，根據直角三角形可得sina=，cosa=，bc=15，c=5，b=3，a=4以ac所在的直線為x軸，以bc所在的直線為y軸建立直角坐標系可得c（0，0）a（3，0）b（0，4）p為線段ab上的一點，則存在實數(shù)使得=（3，44）（01）設，則|=|=1，=（1，0），=（0，1），=x+y=（x，0）+（0，y）=（x，y）可得x=3，y=44則4x+3y=12，12=4x+3y，xy3，故所求的xy最大值為：3故選c【思路點撥】abc中設ab=c，bc=a，ac=b，由sinb=cosasinc結合三角形的內角和及和角的正弦公式化簡可求 cosc的值，再由=9，sabc=6可得bccosa=9，bcsina=6可求得c，b，a，建立以ac所在的直線為x軸，以bc所在的直線為y軸建立直角坐標系，由p為線段ab上的一點，則存在實數(shù)使得=（3，44）（01），設，則|=|=1，=（1，0），=（0，1），由=x+y推出x與y的關系式，利用基本不等式求解最大值【數(shù)學理卷2015屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（201412）】17（本小題滿分12分）已知abc的三內角a, b, c所對邊的長依次為a,b,c，若，（）求；（）若，求abc的面積【知識點】正弦定理；平面向量數(shù)量積的運算c8 f3【答案】【解析】（）;（）解析：( i )依題設：sina，sinc，故cosbcos(ac)cos (ac)(cosacosc-sinasinc)(). 則:sinb所以4:5:66分 ( ii ) 由( i )知：4:5:6，不妨設：a4k，b5k，c6k，k0.故知：|b5k，|a4k.依題設知：|2|22|cosc46 46k246，又k0k1.故abc的三條邊長依次為：a4，b5，c6.abc的面積是12分【思路點撥】（）a，c為三角形內角，先求出sina，sinc，由cosb=cos-（a+c）展開即可求出cosb的值，從而可求出sinb，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出abc的面積【數(shù)學理卷2015屆江西省五校（江西師大附中、臨川一中、鷹潭一中、宜春中學、新余四中）高三上學期第二次聯(lián)考（201412）word版】二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13已知為單位向量，當向量的夾角為時，在上的投影為.【知識點】平面向量數(shù)量積的運算；平面向量數(shù)量積的含義與物理意義f3 c8【答案】【解析】解析：根據題意畫出圖形如下圖：設，根據余弦定理得：，所以,則在上的投影為，故答案為?！舅悸伏c撥】利用數(shù)量積運算、投影的意義即可得出【數(shù)學文卷2015屆重慶市重慶一中高三上學期期中考試（201411）word版】13.若向量的夾角為，則【知識點】向量的運算. f3 【答案】【解析】2解析：=.【思路點撥】把求向量的模，轉化為數(shù)量積運算即可.【數(shù)學文卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】16、(本小題滿分12分)已知向量，函數(shù)，(1)求函數(shù)f(x)的解析式及其單調遞增區(qū)間；(2)當x時，求函數(shù)f(x)的值域【知識點】三角函數(shù)中的恒等變換應用；平面向量數(shù)量積的運算c5 f3【答案】【解析】(1) (2) 解析：（）4分單調遞增區(qū)間是.6分（）.8分函數(shù)f(x)的值域是.12分【思路點撥】（1）首先根據=（1，sinx），=（cos（2x+），sinx），求出；然后根據函數(shù)f（x）=cos2x，求出函數(shù)f（x）的解析式；最后根據正弦函數(shù)的特征，求出其單調遞增區(qū)間即可；（2）當x0，時，可得2x，然后求出函數(shù)f（x）的值域即可【數(shù)學文卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】14、如圖，在邊長為2的菱形abcd中，為中點，則、【知識點】平面向量數(shù)量積的運算f3【答案】【解析】1解析：在菱形abcd中，bad=60，abd為正三角形，=60，=18060=120，=，=（+=+=22cos60+12cos120=21=1，故答案為：1【思路點撥】將表示為，再利用向量的運算法則，數(shù)量積的定義求解【數(shù)學文卷2015屆湖南省衡陽市五校高三11月聯(lián)考（201411）】、已知，且，則與夾角的余弦值為（ ）abcd【知識點】平面向量數(shù)量積的運算f3【答案】【解析】b解析：（2+）=1，化為=故選b【思路點撥】利用向量的數(shù)量積運算法則和夾角公式即可得出【數(shù)學文卷2015屆湖北省武漢華中師范大學第一附屬中學高三上學期期中考試（201411）】16把邊長為1的正方形如圖放置，、別在軸、軸的非負半軸上滑動（1）當點與原點重合時，=；（2）的最大值是_【知識點】平面向量數(shù)量積的運算f3【答案】【解析】(1)(2)解析：（1）當a點與原點重合時，在軸上，則.（2）如圖令，由于故，如圖，故故同理可求得，即當時，取最大值，則的最大值是故答案為：1，2【思路點撥】（1）求出的坐標，以及向量的坐標，再由數(shù)量積的坐標公式即可得到；（2）令，由邊長為的正方形的頂點、分別在軸、軸正半軸上，可得出的坐標，由此可以表示出兩個向量，算出它們的內積【數(shù)學文卷2015屆湖北省八校高三第一次聯(lián)考（201412）word版】11在邊長為2的正abc中，則_【知識點】向量數(shù)量積的計算. f3 【答案】【解析】-2解析：【思路點撥】根據向量數(shù)量積的定義求解. 【數(shù)